文档内容
第8章 二元一次方程组
一、单选题
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成；根据
二元一次方程组的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、方程组 中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，
所以本选项不符合题意；
B、方程组 中有三个未知数，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；
C、该方程组是二元一次方程组，所以本选项符合题意；
D、方程组 中第二个方程未知数x、y的次数是2，不是二元一次方程组，所以本选项不符
合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，属于基础概念题型，熟知二元一次方程组的
概念是关键．
2．如果方程 与下面方程中的一个组成的方程组的解为 ，那么这个方程可以
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将解代入每个方程，使若方程两边相等则该组解是该方程的解，即为所求的方程．
【详解】解：将 依次代入，得：
A、12-4≠16，故该项不符合题意；
B、1+2≠5，故该项不符合题意；
C、2+3≠8，故该项不符合题意；
D、6=6，故该项符合题意；
故选：D.【点睛】此题考查二元一次方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解，正确
计算是解题的关键.
3．由 可以得到用 表示 的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先移项，后系数化为1，即可得．
【详解】解：
移项，得 ，
系数化为1，得 ，
故选B．
【点睛】本题考查了方程的基本运算技能，解题的关键是熟练掌握方程的基本运算技能．
4．某船顺流航行的速度为a，逆流航行的速度为b，则水流速度为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】顺流航行的速度等于船在静水中的速度加上水流的速度，逆流航行的速度等于船
在静水中的速度减去水流的速度，利用两个公式列方程组，再解方程组即可得到答案.
【详解】解：设水流的速度为 船在静水中航行的速度为 则
①-②得：
所以水流的速度为：
故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，掌握顺流航行与逆流航行的速度公式是解
题的关键.
5．将 代入 的可得（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 代入 ，再进行整理，即可得到答案．
【详解】解：将 代入 ，得： ，即
故选D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法，先将已知代入方程得出一个关于x的方程，
运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
6．代数式 ，当 ，2时，其值均为0，则当 时，其值为（ ）
A．0 B．6 C． D．2
【答案】B
【分析】把x与y的两对值代入代数式列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，
再将 代入即可求解．
【详解】解：由题意，得 ，
②－①得： ，
，
把 代入①得： ，
，
解得： ，
把 代入代数式 得： ，
当 时， ．
故选B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，求出a与b的值是解题关键．
7．若 是关于x，y的二元一次方程，则 的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．6
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义，得 ， ，即可得到关于a、b的方程
组，从而解出a，b．
【详解】解：∵ 是一个关于x，y的二元一次方程，∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中
只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
8．己知方程组 的解为 ，则2a﹣3b的值为（ ）
A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6
【答案】B
【分析】将x和y的值代入到方程组，原方程组变成关于a、b的方程组．再仔细观察未知
数的系数，相同或者相反，可以运用加减消元解题．
【详解】解：∵方程组 的解为 ，
∴ ．
由①＋②得a＝ ，②−①得b＝−1．
将a＝ ，b＝−1代入2a−3b，即2× −3×（−1）＝3＋3＝6．
故选：B．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的代入消元法，灵活运用代入消元或加减消元是解
题的关键．
9．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方
程组中符合题意的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人”列方程组即
可．
【详解】解：由题意得
，
故选B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设
两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
10．关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x＋3y＝﹣6的解，则
k的值是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【答案】A
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x＋3y＝﹣6中可
得．
【详解】解：解方程组 ，
得：x＝7k，y＝﹣2k，
把x，y代入二元一次方程2x＋3y＝﹣6，
得：2×7k＋3×（﹣2k）＝﹣6，
解得：k＝﹣ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是用含k的代数式表示x、y．
二、填空题
11．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票________枚，
120分的邮票________枚．
【答案】 11 6
【分析】设购买80分的邮票x枚，购买120分的邮票y枚，根据题意列方程组得：
，解方程组即可求解．
【详解】解：设购买80分的邮票x枚，购买120分的邮票y枚，根据题意列方程组得：
，
由 得： ，
代入 可得： ，
整理可得： ，
解得： ，
所以 ．
故答案为：11、6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是准确列出二元一次方程组．12．已知二元一次方程组 的解为 ，则 _____．
【答案】11
【分析】把a、b代入方程组，解方程求解即可得到答案．
【详解】解：∵二元一次方程组 的解为
∴ ，
②-①×4得到 ，解得 ，
把 代入①解得
∴ ．
故答案为：11．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解．．
13．若二元一次方程组 和 同解，则可通过解方程组_____求得这个
解．
【答案】
【分析】联立两方程组中不含a与b的方程重新组成新的方程组即可．
【详解】解：∵二元一次方程组 和 同解，
∴可通过解方程组 求得这个解，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组同解的问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关
知识进行求解．
14．已知点 ，点 关于x轴对称，则 的值是____．
【答案】-6【分析】让两点的横坐标相等，纵坐标相加得0，即可得关于x，y的二元一次方程组，解
值即可．
【详解】解：∵点 ，点 关于x轴对称，
∴ ；
解得： ，
∴ ，
故答案为-6．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系：关于
横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
15．若 ，且 ，则 _________．
【答案】-15
【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b-4c=9，转化为关于k的一元一次方程解答．
【详解】解：设 ，
则a=3k，b=5k，c=7k，
代入3a+2b-4c=9，
得9k+10k-28k=9，
解得：k=-1，
∴a=-3，b=-5，c=-7，
于是a+b+c=-3-5-7=-15．
故答案为：-15．
【点睛】本题主要考查比例的性质，解答此类题关键是灵活运用设“k”法求解代数式的值．
16．正数a的两个平方根是方程 的一组解，则a＝_____．
【答案】4
【分析】先根据平方根的性质可得 ，再代入方程 求出x的值，由此即可
得出答案．
【详解】由题意得： ，
，
，
将 代入得： ，
解得 ，
则 ，故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根、二元一次方程的解等知识点，熟练掌握平方根的性质是解题
关键．
17．若 是关于x，y的方程 的一组解，且 ，则 的值为
______.
【答案】-43
【分析】要求5a-2b的值，要先求出a和b的值．根据题意得到关于a和b的二元一次方程
组，再求出a和b的值．
【详解】解：将 代入 ，
得 ，
因为 ，
所以得到关于a和b的二元一次方程组
两式相减，得 ，
将 代入 ，
得 ，
所以 .
【点睛】运用代入法，得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解是解决此类问题
的关键．
18．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称
这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同
的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十
位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到
132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（241）＝_________，F（635）＝___________ ；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正
整数），规定： ，当F(s)＋F(t)＝18时，则k的最大值是___．
【答案】 7 14
【详解】分析: （1）根据F（n）的定义式，分别将n=241和n=635代入F（n）中，即可
求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F
（s）、F（t）的值，将其代入k= 中，找出最大值即可.
详解: ：（1）F（241）=（421+142+214）÷111=7；
F（635）=（365+536+653）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，
F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ 或 或 或 或 或 ．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∴y≠1，y≠5．
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴k＝ ＝ 或k＝ ＝1或k＝ ＝ ，
∴k的最大值为 ．
点睛: 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出
F（241）、F（635）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出
关于x、y的二元一次方程.
三、解答题
19．解下列方程组：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先将原方程的第一个方程去括号、移项、合并同类项，第二个方程去分母，化简成 ，再利用代入消元法解题；
（2）先将原方程的第一个方程去分母、去括号、移项、合并同类项，第二个方程去括号，
化简，整理成 ，再利用代入消元法解题．
【详解】解：（1）
整理得，
由①得， ③
把③代入②得，
把 代入③得
（2）
整理得，
由②得， ③
把③代入①得
把 代入③得，
．
【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求
这个等式中a、b、c的值．【答案】a＝1，b＝﹣1，c＝1．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．
【详解】由题意得， ，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利
用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一
个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，
求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简
单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第
三个未知数的值，得到方程组的解．
21．甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走
3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地
需53.4 min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
【答案】甲地到乙地，上坡路1.2 km、平路0.6 km、下坡路1.5 km．
【分析】设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据全程
3.3km，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．分别列出方程，组成方程组，再求解即可．
【详解】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是xkm，ykm，zkm，
根据题意得： ．解得 ．
答：甲地到乙地，上坡路1.2 km、平路0.6 km、下坡路1.5 km．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题目中的等量关系，
列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
22．几个人一起买物品，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则还差4元，人数
和价格各是多少？
【答案】共有7人，价格为53元．
【分析】设有x人，物品价格是y元．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的
方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设有x人，物品价格是y元，
由题意可得： ，解得：
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出合适的等量关系，列出相应的方程组．
23．材料：解方程组 时，可由①得 ③，然后再将③代入②得
，求得 ，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”请用这
样的方法解方程组
【答案】
【分析】观察方程组的特点，把 看作一个整体，得到 ，将之代入②，进行
消元，得到 ，解得 ，进一步解得 ，从而得解．
【详解】解： 由①得 ③，
把③代入②得 ，解得 ，
把 代入③，得 ，解得 ，
故原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组
的特点灵活运用选择合适的解法．
24．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次
租用这两种货车的情况如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
最大运货物吨数（单位：吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及4辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元
计算，问货主应付运费多少元？【答案】660元．
【分析】设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货y吨，先根据表格建立方程组，求
出x、y的值，再根据这次租用的甲、乙两种货车的数量和每吨运费列出运算式子，由此即
可得．
【详解】设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货y吨，
由题意得： ，
解得 ，
则货主应付运费为 （元），
答：货主应付运费660元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，依据题意，正确建立方程组是解题关键．
25．在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明
与他爸爸的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由．
【答案】（1）小明他们一共去了8个成人，4个学生；（2）购团体票更省钱．
【分析】（1）设去了x个成人，则去了（12−x）个学生，根据爸爸说的话，可确定相等关
系为：成人的票价＋学生的票价＝350元，据此列方程求解；
（2）计算团体票所需费用，和350元比较即可求解．
【详解】(1)设成人人数为x人，则学生人数为(12－x)人．
根据题意，得35x＋ (12－x)＝350．
解得x＝8．
则12－x＝12－8＝4．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
(2)如果买团体票，按16人计算，共需费用为35×0.6×16＝336(元)．
因为336＜350，所以购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
【点睛】考查利用方程模型解决实际问题，关键在于设求知数，列方程．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．
26．请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活
动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯.若某单位
想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由.
【答案】（1）一个暖瓶30元，一个水杯8元；（2）到乙家商场购买更合算．
【分析】（1）等量关系为：2×暖瓶单价+3×（38-暖瓶单价）=84；
（2）甲商场付费：暖瓶和水杯总价之和×90%；乙商场付费：4×暖瓶单价+（15-4）×水杯
单价．
【详解】（1）设一个暖瓶x元，则一个水杯（38-x）元，
根据题意得：2x+3（38-x）=84．
解得：x=30．
一个水杯=38-30=8．
故一个暖瓶30元，一个水杯8元；
（2）若到甲商场购买，则所需的钱数为：（4×30+15×8）×90%=216元．
若到乙商场购买，则所需的钱数为：4×30+（15-4）×8=208元．
因为208＜216．
所以到乙家商场购买更合算．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出所求量的合适的等量
关系．需注意乙商场有4个水杯不用付费．
