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第 8 章 二元一次方程组（基础篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．若 是二元一次方程，则 ( )
A．m＝3，n＝4 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝-1， n＝2
2．已知 是二元一次方程组 的解，则m﹣n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．二元一次方程2x+y=7的正整数解有多少组( )
A．2 B．3 C．5 D．4
4．解二元一次方程组 用代入消元法整体消去 得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于 ， 的二元一次方程组 ，则 的值为( )
A．2 B． C．3 D．1
6．解方程组① ，② ，比较简便的方法是（ ）
A．都用代入法 B．都用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
7．已知方程组 ，那么代数式8x–y–z的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
8．七年级两个班植树，一天共植树30棵，已知甲班的植树棵数是乙班植树棵数的2倍，
设甲、乙两班分别植树x棵，y棵，那么可列方程组( )A． B． C． D．
9．对于非零的两个实数a，b，规定 ，若3 (-5)=-15，4 (-7)=-28，则
(-1) 2的值为( )
A．-13 B．13 C．2 D．-2
10．《孙子算经》记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
何？”大致意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人
共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？有多少辆车？若设有x人，有y辆
车，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．关于x、y的方程组 的解是 ，则 的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
12．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两
个数●和△，则两个数●与△的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若 是关于 、 的二元一次方程 的解，则 ________．
14．将方程x+3y＝8变形为用含y的式子表示x，那么x＝_______．
15．定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕
（﹣1）＝4，则a⊕b＝_____．
16．已知 从方程组 中求出 ______.17．已知方程组 ，则 的值是______．
18．已知 是二元一次方程组 的解，则m+3n的立方根为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．解下列方程组（10分）
{ x−2y=1①
(1) （代入消元法） (2) （加减消元法）
4x+3 y=26②
20．（10分）已知 中的x，y满足4＜y﹣x＜5，求k的取值范围．
21．（8分）解方程组： ．
22．（10分）某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价
和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
23．（10分）万物皆有规律，请你找一找下面方程组中隐含的规律．
⑴解方程组：
⑵猜测并解方程组 的解为： ．
⑶请写出一个具有你发现规律的方程组 ．
24．（12分）定义数对（x，y）经过一种运算φ可以得到数对（x'，y'），并把该运算记作
φ（x，y）＝（x'，y'），其中 （a，b为常数）．例如，当a＝1，且b＝1时，φ
（﹣2，3）＝（1，﹣5）．
（1）当a＝1且b＝1时，φ（0，1）＝ ；
（2）若φ（1，2）＝（0，4），则a＝ ，b＝ ；
（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足二元一次方程2x﹣y＝0，并且对任意数对
（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），求a和b的值．参考答案
1．A
【分析】根据二元一次方程的定义可知3m-2n=1，n-m=1，可求得m、n的值
【详解】
根据二元一次方程的定义可得
解得
故选A
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合
以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方
程.注意： 是一个数
2．D
【分析】根据已知将 代入二元一次方程组 得到m，n的值，即可求得
m-n的值．
【详解】
∵ 是二元一次方程组
∴
∴m=1，n=-3m-n=4
故选：D
【点拨】本题考查了二元一次方程组解的定义，已知二元一次方程组的解，可求得方程组
中的参数．
3．B
【分析】把x看做已知数表示出y，即可确定出正整数解．
【详解】
解：方程2x＋y＝7，
解得：y＝−2x＋7，
当x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝3；x＝3时，y＝1，
则方程的正整数解有3组，
故选B．
【点拨】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
4．D
【分析】由 可得 ，代入 即可.
【详解】
，
由②得： ③
把③代入①得：12y= -36，
故选D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
5．C
【分析】利用加减法解方程组求得 ， ，结论可求．
【详解】
解： ，
② ①得： ．
．
把 代入①得： ．．
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是用适当
的方法解二元一次方程．
6．C
【分析】根据解二元一次方程组的基本方法代入法和加减法的特点，选择恰当的方法即可．
【详解】
①中的第一个方程为y=x–3，用代入法比较简便；②中的x的系数相等，用加减法比较简便；
故选C．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法.
7．B
【分析】根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入8x−y−z得：5x＋z＋1，
①＋②得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案．
【详解】
解：∵3x−y−2z＝1，
∴−y−z＝1＋z−3x，
8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1，
，
①＋②得：
5x＋z＝6，
即8x−y−z＝6＋1＝7，
故选B．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，正确掌握解三元一次方程组的方法是解题的关键．
8．A
【分析】设甲、乙两班分别植树x棵，y棵，根据题意可得，甲班的植树棵数+乙班的植树
棵数=30，甲班的植树棵数=2乙班植树棵数，据此列方程组．【详解】
解：设甲、乙两班分别植树x棵，y棵，根据题意可得，
，
故选：A.
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
9．B
【分析】根据已知规定及两式，确定出m、n的值，再利用新规定化简原式即可得到结果．
【详解】
根据题意得：3 (-5) ，4 (-7) ，
∴ ，
解得： ，
∴(-1) 2 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了新定义运算，涉及到了解二元一次方程组等知识，要求学生能理解题
目规则，正确列出等式．解决本题时，求出m、n是关键．
10．B
【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因
无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
依题意，得：
故选：B
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
11．D
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵方程组 的解是 ，
∴
解得
所以，|m-n|=|2-3|=1．
故选D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出m、n的
值是解题的关键．
12．D
【分析】根据题意可以分别求出●与△的值，本题得以解决．
【详解】
∵方程组 的解为 ，
∴将x=5代入2x﹣y=12，得：y=﹣2，
∴△=﹣2．
将x=5，y=﹣2代入2x+y得：2x+y=2×5+(﹣2)=8，
∴●=8，
∴●=8，△=﹣2．
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求数的值．
13．5
【分析】把 代入方程得到 ，整体代入求出即可．
【详解】解：将 代入 ，得 ，
∴ ，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是整我整体思想的运用．
14．8﹣3y
【分析】利用等式的性质求解．
【详解】
解：x+3y＝8，
x＝8﹣3y．
故答案为：8﹣3y
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减
消元法，代入消元法是解题的关键．
15．13
【分析】首先根据题意，可得：a+2b=7①，2a−b=4②，应用加减消元法，求出的a、b的值，
再代入计算即可．
【详解】
解：∵1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，
∴ ，
解得：a＝3，b＝2，
∴a⊕b＝3⊕2＝3×3+2×2＝13，
故答案为：13．
【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减
消元法的应用．
16．2:5
【分析】根据方程组系数的特点，消去未知数y，得出x与z的关系，便可求出比值．
【详解】
解： ，①+②得：5x-2z=0，∴5x=2z，即x:z=2:5，
故答案为2:5.
【点拨】本题考查了解三元一次方程组．可利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组
的问题转化为解二元一次方程组.
17．
【分析】利用方程①-②可得答案.
【详解】
解：
①-②得：
故答案为：
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握利用整体思想解决问题是解题的关键.
18．2
【详解】
把 代入方程组 ，得： ，解得 ，
∴ ，∴ ，
故答案为2.
19．(1)
(2)
【分析】（1）将①变形为 ，然后将其代入②求解得出 ，然后将其代入③得
求解即可得；
（2）①+②得 ，得出 ，将其代入①求解，由此即可得出方程组的解．
(1)
解：由①得： ③，把③代入②得， ，
解得 ，
把 代入③得：x=1+2×2=5，
原方程组的解为： ；
(2)
解：①+②得： ，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得 ，
．
∴
【点拨】题目主要考查解方程组的方法：代入消元法和加减消元法，熟练掌握两个方法是
解题关键．
20． ．
【分析】方程组两方程相减表示出y﹣x，代入不等式计算即可求出k的范围．
【详解】
解： ，
①﹣②得：y﹣x＝3k﹣1，
代入不等式得：4＜3k﹣1＜5，
解得： ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组,熟练掌握其解法是解本题的关键．
21．
【详解】
解： ，
② ③得： ④，由④和①组成一个二次一次方程组 ，
解得： ，
把 代入③ ，
解得： ，
所以原方程组的解是： ．
【点拨】此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
22．（1）商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；（2）该商场共获得利润
6600元．
【详解】
（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，
由题意得： ，
解得： ，
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；
（2）300×(36−24)+200×(48−33)=3600+3000=6600(元)，
答：该商场共获得利润6600元．
23．解：⑴ ;
⑵ ;⑶如 等.
【详解】
（1）解二元一次方程组（利用代入法消元或加减法消元）转化成一元一次方程即可
（2）同上
（3）从左到右，从上到下，系数是相连的6个正整数24．（1）（1，﹣1）；（2）2，﹣1；（3）
【分析】（1）当a=1且b=1时，分别求出x′和y′即可得出答案；
（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；
（3）根据对任意数对(x，y)经过运算φ又得到数对(x，y)，得到 ，根据2x-
y=0，得到y=2x，代入方程组即可得到答案．
【详解】
解：（1）当a＝1且b＝1时，
x′＝1×0+1×1＝1，
y′＝1×0﹣1×1＝﹣1，
故答案为：(1，﹣1)；
（2）根据题意得：
，
解得： ，
故答案为：2，﹣1；
（3）∵对任意数对(x，y)经过运算φ又得到数对(x，y)，
∴ ，
∵2x﹣y＝0，
∴y＝2x，
代入方程组解得：
，
∴ ，解得 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方
程转化为一元方程是解题的关键．
