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第 8 章 二元一次方程组（培优篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．满足方程组 的 ， 的值的和等于 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．由方程组 可得出x与y的关系式是（ ）
A．x+y=9 B．x+y=3
C．x+y=－3 D．x+y=－9
3．“若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（
）
A． B． C． D．
4．已知方程组 的解满足 x+y＝3，则 k 的值为（ ）
A．k＝-8 B．k＝2 C．k＝8 D．k＝﹣2
5．新运算“ ”定义为(a，b) (c，d)＝(ac+bd，ad+bc)，如果对于任意数a，b都有(a，
b) (x，y)＝(△a，b)，则(x，y)＝△（ ）
A．△(0，1) B．(0，﹣1) C．(﹣1，0) D．(1，0)
6．若二元一次方程组 的解为x=a，y=b，则a+b的值 ( )
A． B． C． D．
7．甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
8．如图，将正方形 的一角折叠，折痕为 ，点 落在点 处， 比
大 .设 和 的度数分别为 和 ，那么 和 满足的方程组是( )
A． B． C． D．
9．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一
次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两
位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
A．38 B．40 C．42 D．45
10．解方程组 时，第一次消去未知数的最佳方法是( )
A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2
B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②
C．加减法消去z，将①＋②与③＋②
D．代入法消去x，y，z中的任何一个11．定义新运算：对于任意实数a，b都有a※b＝am－bn，等式右边是通常的减法和乘法
运算．规定，若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－7 D．－11
12．设 ， ，…， 是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若 + +…+ =69，
，则 ， ，…， 中为0的个数是（ ）
A．173 B．888 C．957 D．69
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：正确的有_____．（填序号）
①当 时，方程组的解也是 的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互
为相反数；③x，y都为正整数的解有3对
14．定义一种新运算“※”，规定 ※ = ，其中 、 为常数，且
1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．
15．甲乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程（1）中的 ，得到方程组
的解为 ；乙看错了方程（2）中的 ，得到方程组的解为 ；计算
________．
16．若m，m，…，m 是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，且m+m+…
1 2 2021 1 2
+m =1530，(m-1)2+(m-1)2+…+(m -1)2=1525，则在m，m，…，m 中，取值为2的
2021 1 2 2021 1 2 2021
个数为_________．
17．在等式 中，当 时， ；当 ， ；当 时， ，
则a=______，b=______，c=______．18．已知a，b，c为3个自然数，满足 ，其中 ，则
的最大值是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）解方程组
20．（10分）（1）用代入法解方程组：
（2）用加减法解方程组：
21．（10分）若关于 的二元一次方程组 的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）若上述方程组的解是等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形周长为9，求a
的值．
22．（10分）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，
5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花
费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
23．（10分）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，
则接收方对应收到的密码为A，B，C，双方约定：A=2a﹣b，B=2b，C=b+c，例如发出
1，2，3，则收到0，4，5．
（1）当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
24．（12分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的
值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答
案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还
可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① ②可得 ，由① ② 可得
．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ________， ________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多
少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是
通常的加法和乘法运算．已知 ， ，那么 ________．
参考答案
1．C
解：根据题意 ，由加减消元法把① ②，得 ③；然后由 与
的和等于 ，得到 ④，再根据③ ④，得 ，最后把 代入④得 ，因此
可解得 ．
故选C.
2．A
解：分析：由①得m=6-x，代入方程②，即可消去m得到关于x，y的关系式．
解答：解： 由①得：m=6-x
∴6-x=y-3
∴x+y=9．
故选A．
3．D
解：∵方程组 的解是 ，
∴ ，
两边都除以5得：，
对照方程组 可得，
方程组 的解为 ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关
键．
4．C
【分析】方程组两方程相减表示出x+y，代入已知方程计算即可求出k的值．
解： ，
②-①得： ，即 ，
代入x+y=3得：k-2=6，
解得：k=8，
故选：C．
【点拨】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的
值．
5．D
【分析】根据新定义运算法则列出方程 ，由①②解得关于x、y的方程组，
解方程组即可.
解：由新定义，知： (a,b) (x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b)，
△
则由①+②，得:(a+b)x+(a+b)y=a+b，
∵a，b是任意实数，∴x+y=1，③
由①−②，得
(a−b)x−(a−b)y=a−b，∴x−y=1，④
由③④解得，x=1，y=0，
∴(x,y)为(1,0)；
故选D.
6．A
【分析】首先解方程组求得x、y的值，即可得到a、b的值，进而求得a+b的值．
解：解方程组 得：
则
则
故选A．
【点拨】
此题主要考查了二元一次方程组解法，解方程组的基本思想是消元，正确解方程组是关键．
7．A
【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，
乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解．
解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：
即
由此可得， ，
∴ ，即甲比乙大5岁．
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，
年龄差是不变的．
8．D
【分析】根据由将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠B'AD比∠BAE大48°的等量
关系即可列出方程组.
解：.设 和 的度数分别为 和
由题意可得：
故答案为D.
【点拨】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据翻折变换的性质以及正方形的四个角都是直角寻
找等量关系是解答本题的关键.
9．A
【分析】根据题意，分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【点拨】
考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是了解题意，根据数量关系列出方程组，即可
求出结果．
10．C
【分析】根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题.
解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数,
∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋②
故选C.
【点拨】
本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键.
11．A
【分析】按照定义新运算的法则，先求出m和n的值，再把算式转化为有理数运算即可．
解：根据题意，3※2＝5，1※（－2）＝－1，得，
，
解得， ，
则（－3）※1=（-3）×1-1×（-1）=-2，
故选：A．
【点拨】
本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算
法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m、n的值．
12．A
【分析】首先根据（a+1）2+（a+1）2+…+（a +1）2得到a2+a2+…+a 2+2156，然后设
1 2 2018 1 2 2018
有x个1，y个-1，z个0，得到方程组 ，解方程组即可
确定正确的答案．
解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2=a12+a22+…+a20182+2（a1+a2+…
+a2018）+2018
=a12+a22+…+a20142+2×69+2018
=a12+a22+…+a20142+2156，
设有x个1，y个-1，z个0∴
化简得x-y=69，x+y=1845，
解得x=888，y=957，z=173，
∴有888个1，957个-1，173个0，
故答案为173．
【点拨】
本题考查数字的变化类问题，解题关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．
13．①②
【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；
②将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断；
③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可判断正整数解；
解：解关于x，y的方程组 得
①当 时，原方程组的解是 ，此时 是 的解，故①正确；
②原方程组的解是 ，∴ ，即无论a取何值，x，y的值不可能是互为
相反数，故②正确；
③x，y都为正整数，则 ，解得 ，正整数解分别是当 时，
故只有两组，故③错误；
故答案为①②
【点拨】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14．11
解：分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x＝1，y＝2时，ax＋by2＝5，当x＝2，y＝1时，
ax＋by2＝3，由此列二元一次方程组求a，b的值后，再求解.详解：根据题意得 ，解得 .
当a＝1，b＝1时，x※y＝x＋y2.
所以2※3＝2＋32＝11.
故答案为11.
点拨：本题考查了二元一次方程组的解法和新定义，当方程组中有未知数的系数为1时，
可考虑用代入消元法求解，对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则去
运算.
15．0
【分析】根据题意，将 代入方程（2）可得出b的值， 代入方程（1）可得出
a的值，将a与b的值代入所求式子即可得出结果．
解：根据题意，将 代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；
将 代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，
∴ =1-1=0．
故答案为：0．
【点拨】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
16．517
【分析】设0有a个，1有b个，2有c个，由（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，可得
，由m+m+…+m =1530，可得 ，再由数字总个数为2021，即可
1 2 2021
列出方程求解．
解：设0有a个，1有b个，2有c个，
∵（m-1）2+（m-1）2+…+（m -1）2=1525，
1 2 2021
∵m，m，…，m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（1-1）2=0，（0-1）2=1，
1 2 2021
（2-1）2=1，∴
∵m+m+…+m =1530，
1 2 2021
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故取值为2的个数为517个，
故答案为：517．
【点拨】
此题考查了三元一次方程的应用，有理数的乘方和有理数的加法运算，解题的关键在于能
够找到等量关系列出方程求解．
17． 3 －2 －5
【分析】由“当 时， ；当 时， ；当 时， ”即可得出关于 、
、 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．
解：根据题意，得 ，
② ①，得 ④；
③ ①，得 ⑤．
④与⑤组成二元一次方程组 ，
解这个方程组，得 ，
把 代入①，得 ．因此 ，
故答案为为3， ， ．
【点拨】
本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是由点的坐标得出关于 、 、 的三元一次方
程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求
出函数解析式是关键．
18．1346
【分析】先化简绝对值，再根据方程取非负整数解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵a，b，c为3个自然数，
要想取最大值，a应该取最小值0，
代入得， ，
当b=1时，c最大，最大值为673，
，
故答案为：1346．
【点拨】
本题考查了绝对值化简和不定方程求非负整数解，解题关键是根据题意化简绝对值并确定
a、b、c的最值．
19． .
【分析】先对方程组的每一个方程进行化简，再利用加减消元法解方程组.
解：原方程组可化为
（1）+（2），得
把 代入（1），得所以原方程组的解是 .
【点拨】
本题考查解二元一次方程组，多项式乘以多项式.本题方程组看起来比较繁琐，一定要对每
一个等式进行化简，再解方程组.
20．（1） ；（2） .
【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；
（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.
解：（1）
由①得x=3+y③
将③代入②得：y=
将y= 代入③得：x=
所以原方程组的解为：
（2）原方程组可化为：
①×2得：6x+4y=24③
②×3得：6x-9y=-15④
③-④得：13y=39，解得：y=3
将y=3代入①中得：x=2
所以原方程组的解为：
【点拨】
本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.21．（1）a>1；（2）a 的值为2.
解：分析：（1）先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系
得到关于a的不等式求解即可；
（2）首先用含a的式子表示x和y，由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y
可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三
角形．
详解：（1） 得： ，
∵ ，且的二元一次方程组 的解都为正数.
∴ ，
∴ ，即a>1.
（2）因为二元一次方程组的解是等腰三角形的一条腰和底边长，周长为9，
分类讨论：①当x=a-1为腰时，有：
2（a-1）+a+2=9，
解得a=3，
此时三角形三边为（2，2，5）（不符合题意，舍去）
②当y=a+2为腰时，有：
2（a+2）+a-1=9，
解得a=2，
此时三角形三边为（1，4，4）（符合题意）
综上所述：a 的值为2.
点拨：本题考查了等腰三角形的性质, 二元一次方程组的解, 三角形三边关系.
22．（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方
案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案
3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方
程组求解可得；
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元
一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费
用最小的数据．
解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得： ，
解得： ，
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：20m+15n=190，即 ，
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：500 8+400 2=4800(元)；
方案2所需费用：500 5+400 6=4900(元)；
方案3所需费用：500 2+400 10=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
【点拨】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据
总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．23．（1）1、6、8；（2）3、4、7．
解：试题分析：（1）根据题意可得方程组，再解方程组即可．
（2）根据题意可得方程组，再解方程组即可．
试题解析：（1）由题意得： ，解得：A=1，B=6，C=8．
答：接收方收到的密码是1、6、8；
（2）由题意得： ，解得：a=3，b=4，c=7．
答：发送方发出的密码是3、4、7．
考点：三元一次方程组的应用．
24．（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11
【分析】（1）已知 ，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②
即可求得x+y的值；
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据
（1）中“整体思想”，即可求解；
（3）根据 ，可得 ， ，
，根据“整体思想”，即可求得 的值．
解：（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）∵
∴ ①， ②，
∴②-①，得 ③
∴ ④
①+②，得 ⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【点拨】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系
数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义
结合“整体思想”求代数式的值．
