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第一次月考难点特训（一）与二次函数有关的压轴题
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P
在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件
的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，
连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，
{−16+4b+c=0
∴ ，
−1−b+c=0
{b=3
解得： ，
c=4
则抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；
（2）存在．
①当以C为直角顶点时，
过点C作CP ⊥AC，交抛物线于点P ，
1 1
过点P 作y轴的垂线，垂足是M，如图1．
1
∵∠ACP ＝90°，
1
∴∠MCP +∠ACO＝90°．
1
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP ＝∠OAC．
1
∵OA＝OC＝4，
∴∠MCP ＝∠OAC＝45°，
1
∴∠MCP ＝∠MP C，
1 1∴MC＝MP ，
1
设P（m，﹣m2+3m+4），
则m＝﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m ＝0（舍去），m ＝2．
1 2
∴m＝2，
此时﹣m2+3m+4＝6，
∴P 的坐标是（2，6）；
1
②当点A为直角顶点时，
过A作AP ⊥AC交抛物线于点P ，
2 2
过点P 作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P N∥x轴，
2 2
∵∠CAO＝45°，
∴∠OAP
2
＝45°，
∴∠FP N＝45°，AO＝OF，
2
∴P N＝NF，
2
设P （n，﹣n2+3n+4），
2
则﹣n+4＝﹣（﹣n2+3n+4），
解得：n ＝﹣2，n ＝4（舍去），
1 2
∴n＝﹣2，
此时﹣n2+3n+4＝﹣6，
∴P 的坐标是（﹣2，﹣6）．
2
综上所述：P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；
3+√17 3−√17
（3）当EF最短时，点P的坐标是（ ，2）或（ ，2）．
2 2
解题过程如下：
连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．
根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4．
根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
DF AD 1
∴ = = ，
CO AC 21
∴DF= OC＝2，
2
∴点D的纵坐标是2，
∴点P的纵坐标也是2，
3+√17 3−√17
解﹣x2+3x+4＝2，得x = ，x = ，
1 2 2 2
3+√17 3−√17
∴点P的坐标为（ ，2）或（ ，2）．
2 2
2．如图，已知抛物线C ：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的
1
左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，将抛物线C 向右平移，平移后的抛物
2 1 2
线记为C ，C 的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C 的解析式；
3 3 3（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C 绕点Q旋转180°后得到抛物线C ．
1 4
抛物线C 的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶
4
点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线C ：y＝a（x+2）2﹣5得，
1
顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），
∵点B（1，0）在抛物线C 上，
1
∴0＝a（1+2）2﹣5，
5
解得a= ；
9
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点B成中心对称，
∴PM过点B，且PB＝MB，
∴△PBH≌△MBG，
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，
∴顶点M的坐标为（4，5），（也可以用中点坐标公式）
抛物线C 由C 关于x轴对称得到，抛物线C 由C 平移得到，
2 1 3 2
5
∴抛物线C 的表达式为y=− （x﹣4）2+5；
3 9
（3）∵抛物线C 由C 绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
4 1
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF＝AB＝2BH＝6，
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（﹣2，0），K坐标为（m，﹣5），
∵顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），
根据勾股定理得：
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，
NF2＝52+32＝34，
44
①当∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，解得m= ，
3
19
∴Q点坐标为（ ，0）．
3
10
②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，解得m= ，
3
2
∴Q点坐标为（ ，0）．
3
③∵PN＞NK＝10＞NF，
∴∠NPF≠90°
19 2
综上所得，当Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三
3 3
角形．1 1 1
3．在平面直角坐标系中，抛物线y= x2− mx+ m2﹣2m顶点为M．
4 2 4
（1）M点坐标为 （ m ，﹣ 2 m ） （结果用m表示）．
（2）当m＝2时，如图所示，该抛物线与x轴交于A，B两点．P为抛物线第三象限内一点，过
A作MP的垂线，垂足为C，D为射线CM上一点，若AC＝CD，求∠BDM；
（3）G（﹣3，1），H（1，2），若该抛物线与线段GH只有一个公共点，求m的取值范围．
1 1 1 1
【解答】解：（1）∵抛物线y= x2− mx+ m2﹣2m= （x﹣m）2﹣2m，
4 2 4 4
∴顶点为M为（m，﹣2m），
故答案为（m，﹣2m）；
（2）过B点作BN⊥CD，交CD的延长线于N，连接BM、AM，
∵M是抛物线的顶点，
∴AM＝BM，
1
当m＝2时，抛物线为y= x2﹣x﹣3，
4
1
令y＝0，则 x2﹣x﹣3＝0，解得x ＝﹣2，x ＝6，
4 1 2
∴A（6，0），B（﹣2，0），
∴AB＝8，∴AB2＝64，
∵M（2，﹣4），
∴MA2＝（6﹣2）2+（0+4）2＝32，
∴MB2＝32，
∵MA2+MB2＝AB2＝64，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝90°，
∴∠BMN+∠AMC＝90°，
∵AC⊥CD，
∴∠MAC+∠AMC＝90°，
∴∠MAC＝∠BMN，
在△AMC和△MBN中
{
∠MAC=∠BMN
∠ACM=∠MNB=90°
AM=BM
∴△AMC≌△MBN（AAS），
∴AC＝MN，CM＝BN，
∵AC＝CD，
∴CD＝MN，
∴CM＝DN，
∴DN＝BN，
∴△BDN是等腰直角三角形，
∴∠BDN＝∠DBN＝45°，
∴∠BDM＝∠DNB+∠DBN＝90°+45°＝135°；
（3）∵G（﹣3，1），H（1，2），
1 7
∴线段GH为y= x+ （﹣3≤x≤1），
4 4
1 1 1 1 1 1 1 7
与y= x2− mx+ m2﹣2m联立得： x2﹣（ m+ ）x+ m2﹣2m− =0，
4 2 4 4 2 4 4 4
1 1 1 1 7
令y′= x2﹣（ m+ ）x+ m2﹣2m− ，
4 2 4 4 4
1 1 1 1 7
若抛物线y= x2﹣（ m+ ）x+ m2﹣2m− 与线段GH只有1个公共点，
4 2 4 4 4
即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个交点，1 1 1 1 7
当与线段相切时，（ m+ ）2﹣4× ×（ m2﹣2m− ）＝0，
2 4 4 4 4
29
解得m=− ，
36
1 1 5
当x＝﹣3时，y′= m2+ m+ ＞0，
4 2 4
∵Δ＞0，
∴此种情况不存在，
1 5 7
当x＝1时，y′= m2− m− ≤0，
4 2 4
29
解得5﹣4√2＜m≤5+4√2或m=− ．
36
1
4．已知：如图1，抛物线C：y= x2+c交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，若
8
OB＝2OC．
（1）求c的值；
1
（2）如图2，已知y= x2+c，过C点的直线l分别交第一象限内的抛物线C 、C 于M、N两
4 1 2
点，探究M、N两点横坐标之间的数量关系；
（3）如图3，将抛物线C 向下平移经过点K（8，0），交y轴于点T，得抛物线C ，点P是抛
1 3
物线C 上在T、K间的一个动点（含端点）．若D（0，﹣6）、E（4，0），记△PDE的面积
3
为S，点P的横坐标为x．
①求S关于x的函数关系式；
②求满足S为整数的点P的个数．【解答】解：（1）OB＝2OC＝2c，则点B（﹣2c，0），
1
将点B的坐标代入抛物线表达式得：0= ×（﹣2c）2+c，
8
解得：c＝﹣2或0（舍去0），
故c＝﹣2；
（2）直线y＝kx（k＞0）分别交第一象限内的抛物线C ，C 于M，N两点，
2 1
1 1
两抛物线的表达式为：y= x2−2，y= x2−2，
8 4
1
将y= x2−2与y＝kx联立并整理得：x2﹣8kx﹣16＝0，
8
即x +0＝8k，解得：x ＝8k，
M M
同理x ＝4k，
N
故x ＝2x ；
M N
1
（3）①依题意可求出抛物线C 的解析式为y= x2﹣8，
3 8
1 1 1
∴S＝S△PDO +S△POE ﹣S△ODE ＝3x +
2
×4×（−
8
x2+8）﹣12 =−
4
x2+3x+4 （0≤x≤8 ），
1 1
②∵S=− x2+3x+4=− （x﹣6）2+13，
4 4
在0≤x≤8 的取值范围内，S的取值为：4≤S≤13，
即S可取4至13的10个整数，
又当S＝12时，x有两个值相对应，即存在两个点P的位置使S＝12，
所以共有11个点P使S的值为整数．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且
长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．
（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交
于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线l的解析式为y＝ax2+bx+c，
将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，
{ c=m {a=−1
得 4m2a+2mb+c=m，解得 b=2m，
a−b+c=−1−m c=m
所以抛物线l的解析式为y＝﹣x2+2mx+m；
（2）设A′D与x轴交于点Q，过点A′作A′N⊥x轴于点N．
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，
∴△OAD≌△OA′D，OA＝OA′＝m，AD＝A′D＝2m，∠OAD＝∠OA′D＝90°，∠ADO＝
∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOQ，
∴∠A′DO＝∠DOQ，
∴DQ＝OQ．
设DQ＝OQ＝x，则A′Q＝2m﹣x，
在Rt△OA′Q中，∵OA′2+A′Q2＝OQ2，
∴m2+（2m﹣x）2＝x2，
5
解得x= m．
41 1
∵S△OA′Q =
2
OQ•A′N =
2
OA′•A′Q，
3
m⋅ m
4 3
∴A′N= = m，
5 5
m
4
4
∴ON=√OA′2−A′N2=
m，
5
4 3
∴A′点坐标为（ m，− m），
5 5
3
易求直线OA′的解析式为y=− x，
4
3
当x＝4m时，y=− ×4m＝﹣3m，
4
∴E点坐标为（4m，﹣3m）．
当x＝4m时，﹣x2+2mx+m＝﹣（4m）2+2m•4m+m＝﹣8m2+m，
即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8m2+m），
∵抛物线l与线段CE相交，
∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，
∵m＞0，
∴﹣3≤﹣8m+1≤0，
1 1
解得 ≤m≤ ；
8 2
1 1
（3）∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m， ≤m≤ ，
8 2
∴当x＝m时，y有最大值m2+m，
1 1
又∵m2+m＝（m+ ）2− ，
2 4
1 1
∴当 ≤m≤ 时，m2+m随m的增大而增大，
8 2
1 1 1 3
∴当m= 时，顶点P到达最高位置，m2+m＝（ ）2+ = ，
2 2 2 4
1 3
故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（ ， ）．
2 46．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的
周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求
出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y＝﹣x2+bx+c中得
{ −1+b+c=0
，
−9−3b+c=0
{b=−2
∴ ．
c=3
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
解法一、（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y＝x+3，{ x=−1
Q点坐标即为 ，
y=x+3
{x=−1
解得 ，
y=2
∴Q（﹣1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），
9
∵S△BPC ＝S四边形BPCO ﹣S△BOC ＝S四边形BPCO −
2
，
若S四边形BPCO 有最大值，则S△BPC 就最大，
∴S四边形BPCO ＝S△BPE +S直角梯形PEOC ，
1 1
= BE•PE+ OE（PE+OC）
2 2
1 1
= （x+3）（﹣x2﹣2x+3）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）
2 2
3 3 2 9 27
=− (x+ ) + + ，
2 2 2 8
3 9 27
当x =−
2
时，S四边形BPCO 最大值=
2
+
8
，
9 27 9 27
∴S△BPC 最大=
2
+
8
−
2
=
8
，
3 15
当x=− 时，﹣x2﹣2x+3= ，
2 4
3 15
∴点P坐标为（− ， ）．
2 4
或（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，
∴y＝﹣（x﹣1）（x+3），即y＝﹣x2﹣2x+3；
解法二、（2）存在．
∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣1，C的坐标为：（0，3），
∵A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，
∴直线BC解析式为：y＝x+3，∴Q（﹣1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），
作PE⊥x轴交BC于F点，
∴F（m，m+3），
1
S△BPC ＝S△PFB +S△PFC =
2
PF•BO，
∵PF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
BO＝3，
1 3 3 27
∴S△BPC =
2
（﹣m2﹣3m）×3 =−
2
（m +
2
）2+
8
，
3
∵− ＜0，﹣3＜m＜0，
2
3 27
∴当m =−
2
时，S△BPC 有最大值为
8
，
3 15
∴点P坐标为（− ， ）．
2 4
7．如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负
半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点 E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点
E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分
成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，
则x +x ＝a+1，x x ＝a，
1 2 1 2
则AB2＝（x +x ）2﹣4x x ＝（a﹣1）2＝16，
1 2 1 2
解得：a＝5或﹣3，
抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；
（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），
设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，
故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m），
则EF=√2（x ﹣x ）=√2（﹣2m﹣3）＝MN，
F E
四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4√2）m﹣6√2，
3+2√2
∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m=− ，
2
3+2√2
故点E的横坐标为：− ；
2（3）①当点Q在第三象限时，
当OC平分四边形面积时，
则|x |＝x ＝1，故点Q（﹣1，﹣4）；
Q B
当BQ平分四边形面积时，
1 1 1
则S△OBQ =
2
×1×|y
Q
|，S四边形QCBO =
2
×1×3 +
2
×3×|x
Q
|，
1 1 1
则2（ ×1×|y |）= ×1×3+ ×3×|x |，
2 Q 2 2 Q
3 3 15
解得：x =− ，故点Q（− ，− ）；
Q 2 2 4
②当点Q在第四象限时，
−5+√37 15−3√37
同理可得：点Q（ ， ）；
2 2
3 15 −5+√37 15−3√37
综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（− ，− ）或（ ， ）．
2 4 2 2
8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点
C，顶点为D，且A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
（1）求抛物线的解析式和抛物线的对称轴．
（2）连接BC，如图2，与抛物线的对称轴交于点 E，点P为线段BC上一动点，过点 P作
PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．△BCF的面积为S，求S与m的函数关系，并
指出m的取值范围．
（3）试证明：对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、
N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM＝MN成立．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c，经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
将三点代入抛物线得：a＝﹣1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，b
抛物线的对称轴为x=− =1．
2a
（2）在直角坐标系中标出P．F．
1 3
S= PF•OB= PF；
2 2
当x＝m时，F点纵坐标为﹣m2+2m+3，
当x＝m时，P点纵坐标为3﹣m，
3
∴S=− （m2﹣3m）（0≤m≤3）；
2
（3）设直线GN解析式为y＝kx+t，
∵MN＝GM，且M，N为y＝﹣x2+2x+3，上的点，
3
∴当x＝a（0＜a＜ ）时，y＝ka+t＝﹣a2+2a+3，
2
−a2+2a+3−t
解得k= ，
a
3
当x＝2a（0＜a＜ ）时，y＝2ka+t＝﹣4a2+4a+3，
2
−a2+2a+3−t
解得k= ，
a
∴当对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、N两点，如
图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM＝MN成立．
9．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 A（1，0）、B（5，0）、C
（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平
行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣
6x+5），
4
则5a＝4，解得：a= ，
5
4 4 24
抛物线的表达式为：y= （x2﹣6x+5）= x2− x+4，
5 5 5
函数的对称轴为：x＝3，
16
顶点坐标为（3，− ）；
5
（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，
{0=5k+b
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得： ，
b=4
{ 4
k=−
解得： 5，
b=44
直线BC的表达式为：y=− x+4，
5
8
当x＝3时，y= ，
5
8
故点P（3， ）；
5
（3）存在，理由：
四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，
则S四边形OEBF ＝OB×|y
E
|＝5×|y
E
|＝12，
12
点E在第四象限，故：则y =− ，
E 5
将该坐标代入二次函数表达式得：
4 12
y= （x2﹣6x+5）=− ，
5 5
解得：x＝2或4，
12 12
故点E的坐标为（2，− ）或（4，− ）．
5 5
10．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的
对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m＝0，解得m＝﹣1，
所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；
当x＝0时，y＝4﹣1＝3，
所以C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝2，
所以B点坐标为（4，3），{ k+b=0 { k=1
将A（1，0）、B（4，3）代入y＝kx+b得 ，解得 ，
4k+b=3 b=−1
所以一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点
C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE
交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x＝1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y＝kx+b．
{3k+b=0
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
b=3
{k=−1
解得： ．
b=3
所以直线BC的函数关系式为：y＝﹣x+3．
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴E（1，2）．
当x＝m时，y＝﹣m+3，
∴P（m，﹣m+3）．
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4．∴D（1，4）
当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，
∴F（m，﹣m2+2m+3）
∴线段DE＝4﹣2＝2，
线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF＝ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由﹣m2+3m＝2，
解得：m ＝2，m ＝1（不合题意，舍去）．
1 2
因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），
可得：OB＝OM+MB＝3．
∵S＝S△BPF +S△CPF
1 1 1 1
即S= PF•BM+ PF•OM= PF•（BM+OM）= PF•OB．
2 2 2 2
1 3 9
∴S= ×3（﹣m2+3m）=− m2+ m（0≤m≤3）．
2 2 2
12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，
连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，
交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线
上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
E的坐标；若不存在，请说明理由．{ a−b+3=0
【解答】解：（1）依题意得： ，
9a+3b+3=0
{a=−1
解得： ，
b=2
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
{3k+b=0
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则 ，
b=3
{k=−1
解得： ，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
b=3
设点P坐标为（t，﹣t+3），则M点坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
1 1 3 3 27
∴S△BCM ＝S△PMC +S△PMB =
2
PM⋅OB=
2
(−t2+3t)×3=−
2
(t−
2
) 2+
8
，
3 3 3
∴当t= 时，△BCM的面积最大．此时，点P的坐标为（ ， ）．
2 2 2
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，
当四边形APDE为平行四边形时，
AP∥ED，AP＝ED，
3 3
∵A（﹣1，0），P（ ， ），
2 2
3
∴x ﹣x ＝x ﹣x ＝﹣1− ，
A P E D 2
∵x ＝1，
D
3
∴x =− ，
E 2
3 9
∴E（− ，− ）；
2 4
当四边形APED为平行四边形时，AP∥DE，AP＝DE，
3
∴x ﹣x ＝x ﹣x ＝﹣1− ，
A P D E 2
∵x ＝1，
D
7
∴x = ，
E 2
7 9
∴E（ ，− ）；
2 4
当四边形ADPE为平行四边形时，
AE∥DP，AE＝DP，
3
∴x +x ＝x +x ＝﹣1+ ，
A P D E 2
∵x ＝1，
D
1
∴x =− ，
E 2
1 7
∴E（− ， ）；
2 4
3 9
存在点E使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标是(− ，− )或（
2 4
7 9 1 7
，− ）或（− ， ）．
2 4 2 4
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y
轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在
y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为√5，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），
1
则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a=− ．
4
1 1
故抛物线的表达式为：y=− x2+ x+2；
4 2
（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，
1
△CPQ的面积= ×CE×（n﹣m）=√5，即n﹣m＝2√5，
2
1 1
联立抛物线与直线PQ的表达式得：− x2+ x+2=kx+1，
4 2
1 1
整理得：− x2+( −k)x+1=0⋯①，
4 2
m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，
n﹣m＝2√5=√(m+n) 2−4mn=√(2−4k) 2+16，
解得：k＝0（舍去）或1；
将k＝1代入①式并解得：x=−1±√5，
故点P、Q的坐标分别为：（−1+√5，√5、（−1−√5，−√5）；
（3）设点K（1，m），
∵A（4，0），C（0，2），
1
∴AC的表达式为y=− x+2，
2
1 2
联立PQ和AC的表达式得x+1=− x+2，解得：x= ，
2 3
2 5
故点G（ ， ），
3 3过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，
则△KMG≌△GNR（AAS），
2 1 5
GM＝1− = =NR，MK=| −m|，
3 3 3
4 4
故点R的纵坐标为： ，则点R（m﹣1， ）
3 3
√33
将该坐标代入抛物线表达式解得：x=1± ，
3
√33
故m=2± ，
3
√33 √33
故点K（1，2− ），（1，2+ ）．
3 3
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于
点C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，
请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，
{
4a+2b+c=0
得， 64a−8b+c=0，
0a+0b+c=−8
1
{ a=
2
解得， ，
b=3
c=−8
1
∴抛物线解析式为y= x2+3x﹣8；
2
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，
将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，
得，k＝﹣1，
∴y ＝﹣x﹣8，
BC
1
设F（m， m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），
2
∴S△FBC ＝S△FNB +S△FNC
1
= FN×8
2
＝4FN
1
＝4[（﹣m﹣8）﹣（ m2+3m﹣8）]
2
＝﹣2m2﹣16m
＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），
∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；
（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：
①如图2﹣1，当BQ＝BF时，
由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，
解得，m ＝4√6，m ＝﹣4√6，
1 2
∴Q （0，4√6），Q （0，﹣4√6）；
1 2
②如图2﹣2，当QB＝QF时，
由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，
解题，m＝﹣4，
∴Q （0，﹣4）；
3
③如图2﹣3，当FB＝FQ时，
由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，
解得，m ＝0，m ＝﹣24，
1 2
∴Q （0，0），Q （0，﹣24）；
4 5
设直线BF的解析式为y＝kx+b，
将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，
{ −8k+b=0
得 ，
−4k+b=−12
解得，k＝﹣3，b＝﹣24，
∴y ＝﹣3x﹣24，
BF
当x＝0时，y＝﹣24，
∴点B，F，Q共线，故Q 舍去，
5
∴点Q有坐标为（0，4√6）或（0，﹣4√6）或（0，﹣4）或（0，0）．15．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB
＝3，OC＝4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵A（1，0），B（0，3），C（﹣4，0），
{
a+b+c=0
∴ c=3
16a−4b+c=0
3 9
解得：a=− ，b=− ，c=3，
4 4
3 9
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=− x2− x+3；
4 4
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理
由如下：∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，
∴BC＝AC＝5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．
