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第一次月考难点特训（一）
与全等综合有关的压轴题
1．已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC上任意一点，过点 C作
CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN
（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；
（2）若M、N分别在CB、BC的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q
从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理
由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为
M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
3．如图1，△ACB为等腰直角三角形，即∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°．点P在
线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，即∠PAQ＝90°，AQ＝AP，
∠AQP＝∠APQ＝45°，且QE⊥AB于E．（1）求证：△PAB≌△AQE；
（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求 的值；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接
DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子 的值会变化吗？若不变，求
出该值；若变化，请说明理由．
4．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观
察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．
（1）如图1，当l经过BC中点时，此时BD CE；
（2）如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ，并证明你的
结论．
（3）如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ．
证明你的结论，并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ．
5．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE
为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝ ，其中0＜ ＜180°．
α α（1）如图2，当 ＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；
（2）在△DBE旋α转过程中，当 超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点
为点F，AD交BC于点P，CE交αBD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，
求出 ，如果不是，请说明理由；
（3）α在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．
6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF＝ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段
EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长
线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
7．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点 C．
（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M是
AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点
M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为 C．点N从点F出发，以每秒
3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F．点M、N同时开始运动，各自达到相应的
终点时停止运动，设运动时间为t秒．
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
8．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右
侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度；
（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝ 度；
（3）设∠BAC＝ ，∠BCE＝
①如图3，当点Dα在线段BC上β 移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，请直接写出α ，β 之间的数量关系，不用证明．
α β
9．阅读下面材料，完成（1）﹣﹣（2）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上一点，E是BD的中点，G为BC上一点，过点E作
EF⊥AE交DG的延长线于F，连接CF，且FD＝FC．求证DF⊥BC．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“延长AE到点H，使EH＝AE，连接DH，可以得到阴影两个三角形全等．”
小伟：“继续连接FA、FH，经过进一步推理，可以得到∠HDF与∠ACF的数量关系．”
小强：“根据等腰三角形的两个底角相等，继续添加适当的辅助线，可以得出结论……”
（1）求证：△DEH≌△BEA；
（2）探究∠HDF与∠ACF的数量关系，并证明；
（3）求证：DF⊥BC．
10．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF
上的点．
（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM＝PN，求证：BM＝
CN；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，CN与AC之间的数量关系 ；
（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，且∠MAN+∠MPN＝180°，
若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
11．△ADE中，AE＝AD且∠AED＝∠ADE，∠EAD＝90°．
（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请
你判断AB、AC是否相等，并说明理由；（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、
BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CD＝6，试求四边形CEDB的面积．
12．如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠PCQ＝45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋
转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE＝DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为 ；
（3）在（1）的条件下，若CD＝6，S△BCE ＝2S△ACD ，求AE的长．
13．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析
∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC
与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC
与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则
∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）．
（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、
DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A＝140°，∠B＝120°，∠E＝90°，则∠CPD
＝ 度．14．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC
作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系
吗？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BC＝AG＝24，请直接写出S△AEF ＝ ．
15．如图，AB＝12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度，
由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t＝1（s），△ACP与△BPQ是否
全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与
点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等．
（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BD中点，若点Q以（2）
中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求
出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．
