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第七章 实数压轴题考点训练
1．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O
称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OM的长度称为极径．点M的极坐
标就可以用线段OM的长度以及从Ox转动到OM的角度（规定逆时针方向转动角度为正）
来确定，即M（4，30°）或M（4，-330°）或M（4，390°）等，则下列说法错误的是（
）．
A．点M关于x轴对称点M 的极坐标可以表示为M（4，-30°）
1 1
B．点M关于原点O中心对称点M 的极坐标可以表示为M（4，570°）
2 2
C．以极轴Ox所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则极坐标M（4，30°）转
化为平面直角坐标的坐标为M（2，2 ）
D．把平面直角坐标系中的点N（-4，4）转化为极坐标，可表示为N（ ，135°）
【答案】C
【详解】A中，点 与点M关于x轴对称，则点 在第四象限，极坐标为(4，-30°)
B中，点 与点M关于原点对称，则点 在第三象限，极坐标为(4，(30+180)°)，根据极
坐标的特点，将角度加360°，结果不变，则 可表示为(4，(30+180+360)°)，即(4，
570°)；
C中，如下图，过点M作x轴的垂线
∵OM=4，∠MON=30°，∴在Rt△MON中，ON=2 ，MN=2，∴M(2 ，2)；
D中，如下图，过点N作x轴的垂线∵N(－4，4)，∴NM=4，MO=4
∴∠NOM=45°，ON=4 ，∴∠NOX=135°
∴N(4 ，135°)
故选：C
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形， 、 、 ．
规定“把 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经
过2022次变换后， 的顶点D的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），
把 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，
∴D（2，-3），
观察，发现规律：D（3，3），D（2，-3），D（1，3），D（0，-3），D（-1，3）
0 1 2 3 4
……
∴对于横坐标，每次变换减一，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3.
∴经过2022次变换后，D（-2019，3）．故选：A．
3．若点 到两坐标轴的距离相等，则点 的坐标（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】解： 点 到两坐标轴的距离相等，
，
或 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ；
故选： ．
4．已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的
坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
【答案】C
【详解】解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
5．已知点A(3a，2b)在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y的距离分别为( )
A．3a，2b B．3a，2b C．2b，3a D．2b，3a
【答案】C
【详解】∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是-3a；
故答案为C．
6． 如图，在平面直角坐标系中，已知长方形ABCD的顶点坐标：A（-4，-4），B（12，
6），D（-8，2），则C点坐标为______．【答案】（8，12）
【详解】解：设点C的坐标为(x，y)，
根据矩形的性质，AC、BD的中点为矩形的中心，
所以， = ，
= ，
解得x=8，y=12，
所以，点C的坐标为(8，12)．
故答案为：(8，12)．
7．如图，已知 ， ，第四象限的点 到 轴的距离为 ，若 ， 满足
，则 点坐标为______； 与 轴的交点坐标为
_______．
【答案】
【详解】解：∵ ，
根据二次根式的定义得到： ，
∴c=2，
∴ 并且 ，
即 ，∴ ，
又∵第四象限的点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
故 点坐标为 ，
又∵ ，
∴B点坐标为 ， 点坐标为 ，
设BC直线方程为：y=kx+b，
把B、C代入直线方程得到 ，
当x=0时， ，
故 与 轴的交点坐标为 ．
故答案为： ， ．
8．在平面直角坐标系中，A（ ，4），B（ ，3），C（1，0）， ．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为
______．
【答案】 5
【详解】解：（1）过 分别作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，交于点 ，如
图，∵A（ ，4），B（ ，3），C（1，0），
∴ ，
， ，
∴ ，
，
，
故答案为：5；
（2） ，设 ，则 ，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴ 向下移动了 个单位，向右移动了 个单位，
∴ 向下移动 个单位，向右移动 个单位，得到 ，即 ，
如图，过点 作 轴，于点 ，则 ，
过点 作 轴交 于点 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
根据题意 是 沿 方向平移得到的，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
9．如图，正方形 的顶点 ， ，延长 交x轴于点 ，作正方形
，延长 交x轴于点 ，作正方形 ，…，按照这样的规律，点 的
纵坐标为___________
【答案】
【详解】连接 ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴点D的纵坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴点 、 、 、 的纵坐标分别是： 、 、 、 ，
以此类推，
∴点 的纵坐标为 ，
故答案为：
10．已知点A(﹣4，0)，B(2，0)，点C在y轴上，且 ABC的面积等于12，则点C的坐标为
_____．
△
【答案】(0，4) 或(0，﹣4)
【详解】解：如图： 设C点的坐标是（0，x），
∵S ＝12，
ABC
∴ △×AB×OC＝ ×6•|x|＝12，
∴|x|＝4，
∴C的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．
故答案为（0，4）或（0，﹣4）．11．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，将等边 沿 轴正方向无滑动
滚动，保持这个运动过程，则经过 的点是 顶点中的_________点．
【答案】C
【详解】如图
滚动第1次，落在 轴上的点 ，即：
滚动第2次，落在 轴上的点 ，即：
滚动第3次，落在 轴上的点 ，即：
滚动第4次，落在 轴上的点 ，即：
滚动第5次，落在 轴上的点 ，即：
滚动第6次，落在 轴上的点 ，即：
滚动第7次，落在 轴上的点 ，即：
滚动第8次，落在 轴上的点 ，即：
滚动 次，落在 轴上的点，如果 为3的倍数余1，是点 ，如果 为3的倍数余2，是点 ，如果 为3的倍数，是点 ，
，
，
经过 的点是等边三角形 顶点中的 ，
故答案为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连接AB，将AB向右平移3
个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)请直接写出点C的坐标和四边形ABDC的面积；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AB相交于点E，若三角形PEB的面积为1，请
求出此时三角形EBD的面积；
②当PD将四边形ABDC的面积分成 两部分时，求点P的坐标．
【答案】(1)C（4，2），12
(2)①3；②（0， ）或（0， ）
【解析】（1）解： 点 ，将 向右平移3个单位得线段 ， ，即
，由平移得， ，四边形 是矩形， ， ，
， ，即：四边形 的面积为12；
（2）①如图1，过 点作 于 ， 由平移知， 轴，
， ，由平移知， ， ， ，；②如图2，当 交线段 于 ，且 将四边形 分
成面积为 两部分时，连接 ，延长 交 轴于点 ，则 ，
， ，连接 ， 将四边形 的面积分成
两部分， ， ，
， ， ，
， ， ；如图3，当 交 于点 ， 将四边
形 分成面积为 两部分时，连接 ，延长 交 轴于点 ，则 ，
，连接 ， 将四边形 的面积分成 两部分，
， ， ，过 点作
交 的延长线于点 ， ， ， ，
， ， ，
， ，即：点 坐标为 或 ．
13．如图1， 四边形ABCD为正方形（四个边相等， 四个内角都是90°） ， AB平行于y
轴．(1)如图1，已知 ，正方形ABCD的边长为4， 直接写出点A，D，C的坐标；
(2)如图2，已知 ， ， ， 点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速
度延射线CD方向运动，运动时间为t秒，若
①当t=1时，求△BPQ的面积；
②当 时，求t的值．
【答案】(1) ， ， ；
(2)① ；② ．
【解析】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ；
（2）
解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，即正方形的边长为3， ，
①当 时， ， ，
∴P点位于AD上，如图，连接PC，∴ ；
②由题意可知： ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即：
，解得： ，
14．在平面直角坐标系中， ， ，a，b满足 ，连接
AB交y轴于C．
(1)直接写出 ______， ______；
(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，直线BD交x轴于 ，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点 在
直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的 ，求点Q横坐标x的取值范
围．
【答案】(1)-3，4；(2)-3，4；(3)-4≤x≤-2且x≠-3
【详解】（1）解： ，又∵ ， ，
，解得： ，故答案为：-3，4．
（2）过点 作 轴于 ，
设 ，
三角形 的面积 四边形 的面积 三角形 的面积，
，
即 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
过点 作 轴于 ，
三角形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积，
，
即 ，
，
点 的坐标为 或 ．
（3）点 向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点 平移后的对应点恰好是点 ，
连接 ，过点 作 轴，如图所示：，
三角形 的面积 三角形 的面积，
当三角形 的面积 三角形 的面积时， ，
当点 在第三象限时，
，
解得： ，
当点 在第二象限时，
，
解得： ，
当三角形 的面积不超过三角形 面积的 时，
点 的横坐标 的取值范围是 ，且 ．
