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第二十八章 锐角三角函数 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·山东聊城·九年级校联考期中）在 中， ， ， ，那么 的正弦值
是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正弦的定义；根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，
在 中， ， ， ，
∴ ,
故选：D．
2．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据正弦的定义解答即可．掌握锐角 的对边a与斜边c
的比叫做 的正弦成为解题的关键．
【详解】解：在 中， ，
故选：A．
3．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图，已知 的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错
误的为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，先设小正方形的边长为 ，利用勾股定理分别求出
， ， ，进而可得 为直角三角形，然后根据三角函数的定义分别求出 ，
， ， ， ，进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可得出答案．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，即 ，
∴ ，
故选项A正确；∵ ，
∴ ，
故选项B正确；
∵ ，
∴ ，
故选项C不正确；
∵ ，
∴选项D正确．
故选：C．
4．（2023上·吉林长春·九年级长春市第八十七中学校考阶段练习）数学兴趣小组利用无人机A测量学校旗
杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为
，则旗杆的高度约为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D．22.5米
【答案】B
【分析】题考查了解直角三角形的应用，解题关键是利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角
三角形求出 ．
【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为 ，无人机为点 ，由题意可知， 米， ， 米，
（米），
米；
故选B．
5．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，
， ，将 绕点 逆时针旋转 ，点B的对应点 的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转，解直角三角形等知识如图，过点 作 轴于 ．解直角
三角形求出 ， H即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ．
∵ ， ．
∴
∵旋转，
∴
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，故选：B．
6．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于 两
点；②作直线 交 于点M，交 于点N，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，勾股定理，特殊角的三角函数值，过点C作
于点H，利用锐角三角函数，求出 ，化斜为直，结合已知求解是解题的关键．
【详解】根据题意，直线 是 的垂直平分线，
∴ ，
过点C作 于点H，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
， ，∴ ， ，
∴ ，
故选C．
7．（2023上·江西九江·九年级校考阶段练习） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，
， ，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图
象上，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，分别过点A，B
作x轴的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ， ，根据两角对应相等的两三角形相似得
出 ，代入计算即可得到结果．
【详解】提示：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为 ， ．
∴ ，∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴相似比为 ，
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
∴ ， ．
∴ ，
∴
∴ ．
故选：D
8．（2021上·广东深圳·九年级校考期中）如图，已知： 是 斜边 上的高线， 是
斜边 上的高线，如果 ， ，那么 等于（ ）
A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，设 ，先证明 ，
根据等角的正切值相等可得 ，再证明 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可
得出结论．【详解】解：∵ ，
∴
设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
9．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，在 中， 是 上一点，
若 ，则 的长为（ ）．
A．2 B． C． D．1【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，由题意及勾股定理得出
， ，作 于 ，则 ，证明出 是等腰直角三角形，得到
，结合正切的定义求出 ，最后由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点，添加
适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解： 在 中， ，
， ，
如图，作 于 ，则 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
，
故选：A．
10．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，矩形 对角线 相交于点O，过点A作
于点M，交 于点E，过点C作 于点N，交 于点F，连接 ，若
，则下列结论：① ；② ；③ ；④四边形 是菱形．正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角函数等知识点．根据特殊角的三
角函数值求得 ，得到 和 都是等边三角形，利用角的和与差，证明
，推出四边形 是菱形；再证明 ，推出 ， ，
证明四边形 是平行四边形，推出 ；证明 ，推出 ；证明
不是等边三角形，即可证明 ，据此可以得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；故④正确；
同理 ，
∴ ， ，
∴ ，∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ 不是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误，
综上，①②④正确，
故选：B．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习） ．
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，直接将特殊角的三角函数值代入计算即可．牢记特
殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解： ．
故答案为 ．
12．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）某人上坡沿直线走了50 m，他升高了 m，则此坡的坡
度为 .
【答案】
【分析】本题考查了坡度的应用，先用勾股定理求得斜坡的水平宽度，则可求得斜坡的坡度．
【详解】解：由勾股定理得斜坡的水平宽度 ，则斜坡的坡度为： ，
故答案为： ．
13．（2022上·湖南永州·九年级校考期末）在 中， ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】如图所示，根据 ，设 ，则 ，运用勾股定理可求出 的值，根据正弦值
的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
14．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在一坡度 的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了
米，则木箱升高了 米．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，设木箱升高了 米，根据坡度的概念用 表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比
是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了 米，
∵斜坡的坡度为 ，
∴木箱前进的水平距离为 米，
由勾股定理得 ，
解得 （负值舍去），
故答案为： ．
15．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）我县动车站于2014年开通，方便了更多的人出行，如图是该动
车站某扶梯的示意图，扶梯 的坡度 （ 为铅直高度与水平宽度的比）．小艺同学乘扶梯从扶梯
底端 以 米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 ，则小艺同学上升的铅直高度 为 米．
【答案】 /
【分析】先求 的长度，根据坡度设 ，则 ，利用勾股定理求出x的值，即可得到答案．
此题考查了勾股定理、坡度等知识，准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵小艺同学乘扶梯从扶梯底端 以 米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 ，
∴ （米），
∵ 的坡度 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，解得 （负根已舍去），
∴ ，
故答案为：
16．（2022下·湖北省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带
安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的 处，测得一辆汽车从 处行驶到 处所用的时间为 .
已知 ， ，那么这辆汽车速度是 .（参考数据： ， ）
【答案】30
【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作 于点D，利
用三角函数计算 ，后计算速度即可．
【详解】如图，过点A作 于点D，
根据题意，得 ， ， ，
∴ ， ，
解得 ，
∵汽车从 处行驶到 处所用的时间为 ，
∴ ，
故答案为：30．
17．（2023上·河北邯郸·九年级校联考期中）把一副三角板按如图方式放置，含 角的三角板顶点 在
等腰直角三角板的斜边 的延长线上， ．（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、含 角的直角三角形和三角函数的知识，（1）作
于 ，设 ，由等腰 得出 ，从而得出 ；再由直角 可得 ，从而得
出 ，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得 和 ，根据正弦的定义即可得出结论；
通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：（1）作 于 ，设 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是斜边 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵含 角的顶点 在等题直角三角板的斜边 的延长线上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
（2）∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
18．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为 ，对角线 ， 交于点
O，点E在边 上，连接 ，F为 上一点，若 ， ，则 的长为
．
【答案】
【分析】在 中，根据 ，可得出 ，又根据正方形 的边长为6，可得出，即可求得 ， ，再根据 ，可得出
，从而证得 ，进而得出 ，代入数值进行即可求解．
【详解】解：设 与 相交于点H，如图所示：
四边形 为正方形，
，
，
在 中，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得：
，
，
又 ，
，
，
，，
即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性质，解题的关
键是能证明三角形的相似从而得出对应线段成比例进而解决问题．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023上·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校联考期中）计算：
【答案】0
【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，以及二次
根式的性质和绝对值性质、特殊角的三角函数值分别求解即可．熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答
的关键．
【详解】解：
．
20．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，求
的值．【答案】 ．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．根据锐角三角函数的定义求出 ，根据勾股定理
求出 即可．
【详解】解：∵ ，tanA= = ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
21．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔 的高度，如图，
他们在地面上 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至 处，测得仰角为60°，点 、 、
在同一直线上．（身高忽略不计，结果不取近似值）
(1)求证：
(2)求塔 的高
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用—仰角俯角问题；
（1）根据三角形的外角的性质可得 ，进而根据等角对等边即可得出 ；
（2）解 ，即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴该塔高为 ．．
22．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在下列 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫
做格点，例如 、 、 都是格点．仅用无刻度的直尺在网格中做如下操作：
(1)在图1中，画出线段 ，使 ，其中E是格点，并写出点E的坐标；
(2)在图1中，找格点F，使 ，画出 ，并写出点F的坐标；
(3)在图2中，在直线 的右侧找格点D（D与B不重合），使 ，直接写出格点D的坐标．
(4)在图2中，在线段 上作点P，使得 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见详解
【分析】（1）利用 的长方形的对角线，即可得到线段 ；
（2）利用直角边为2和3的直角三角形，即可得到点F；
（3）利用三角形面积相等时，如果底边相等则高相等，即可得到点D；
（4）利用三角形的相似即可找到点P的位置．【详解】（1）解：如图所示：
如图线段 ，点 ．
（2）
如图点F即为所求，点 ．
（3）
如图点D即为所求， ．
（4）过点C作 ,且 ,作如图 和 ，连接 交 于点M，连接 交 于点P，
则有 ,即 ,
故点P即为所求．【点睛】本题主要考查了在网格中作图，利用平行四边形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、相似
三角形的性质和解直角三角形，根据网格构造图形是解题的关键。
23．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， 为 延长线上一点，
，过点 作 ，交 的延长线于点H．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
（1）根据平行线的性质可证 ，然后可证 ，再根据相似三角形的对应边
成比例，可得 ，再由 ，求得 的长，然后根据直角三角形的锐角三角函
数的性质可得 ，从而得到结果；
（2）由 和 可证得 ，然后相似三角形的对应边成比例，可得
，由（1）知 ，因此 ，即 ，进而可得 的长，从而求
得 的长．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ．
（2）解：由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
即 的长是 ．
24．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如
图所示，经测量，点 、 均在点 的正北方向且 米，点 在点 的正西方向，且
米，点 在点 的南偏东 方向且 米，点 在点 的东北方向．(参考数据： ，
， )(1)求道路 的长度(精确到个位)；
(2)若甲从 点出发沿 的路径去点 ，与此同时乙从点 出发，沿 的路径去点 ，
其速度为 米 分钟．若两人同时到达点 ，请比较谁的速度更快？快多少？(精确到十分位)
【答案】(1) 米；
(2)甲的速度更快，快 米 分钟．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，勾股定理的应用；
（1）过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得：
， ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 ， 的长，从而求出 的长，
再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出 的长，再在 中，利用勾股定理可求出 的长，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
由题意得：
， ，
在 中， ， 米，
（米），（米），
米，
米，
（米），
米，
在 中， ，
（米），
道路 的长度约为 米；
（2） 米， 米，
（米），
在 中， 米，
（米），
在 中， ，
（米），
甲的路程 米，
乙的路程 （米），
乙的速度为 米 分钟，
乙所用的时间 （分钟），
甲所用的时间也是30分钟，
甲的速度 （米 分钟），
（米 分钟），
若两人同时到达点 ，甲的速度更快，快 米 分钟．
25．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在 中， ， 平分 交 于点
E，点D在 边上且 ．(1)判断直线 与 外接圆的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)直线 与 外接圆相切
(2)
【分析】本题考查了切线的判定以及勾股定理的有关知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，
连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
（1）连接OE，结合两半径构成的等腰三角形性质和角平分线定义，易证为 垂直关系；
（2）由（1）的结论，根据勾股定理构造方程，可求出半径长，再求出 的值．
【详解】（1）解：直线AC与 外接圆相切．
理由如下：设 外接圆的圆心为O，连接OE，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC为 的切线．
（2）解：设 的半径为r，则 ， ，在 中， ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
26．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直
线 与 轴相交于点 ，与 轴交于点 ，点 是 轴正半轴上一点，且满足 ．
(1)若抛物线 经过 、 、 三点，求抛物线的解析式；
(2)若点 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴，交 于点 ，连接 ，在第一象
限内找一点 ，过点 作 且 ，连接 ， ，设 的面积为 ，点 的横坐标为 ，
求 与 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设 与 轴相交于点 ，若 时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点求得 的坐标，根据正切的定义得出 的坐标，进而待定
系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出直线 的解析式为 ， ， ，进而过点 分别作
轴的垂线，垂足分别为 ，证明 ，得出 ，则 ，进而根据三角
形的面积公式，即可求解；
（3）证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴相交于点 ，与 轴交于点 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ , ，
∴ ，
∵点 是 轴正半轴上一点，且满足 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设抛物线解析式为 ，将点 代入得，
，
解得： ，
∴ ；
（2）解：∵ , ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得
∴直线 的解析式为 ，∵点 的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
∴
∵ 且 ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∵点 是第二象限内抛物线上的一个动点，
∴ ，
∴
（3）解：如图所示，∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵ , ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
由∵
∴ ，又
∴
∵
∴
∴ 即
解得： 或
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，一次函数与坐标轴交点问题，已知正切求边长，相
似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形；熟练掌
握二次函数的性质，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
