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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第十九章 二次根式·基础通关
建议用时：60 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进
【答案】
行求解即可．
【详解】解： ∵ 在实数范围内有意义，
∴ ,
∴ .
2 ．下列二次根式，不能与 合并的是 ()
A ． B ． C． D ．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键．
先将 化简为 ，然后检查各选项化简后是否含有 ，若不含则不能合并，即可解
答． 【详解】解： ∵ ,
∴与 合并的二次根式必须化简后含有 ．
对于 A ∶ , 含有 ，可合并．
对于 B ∶ , 含有 ，可合并．
对于 C ∶ , 含有 ，不含有 ，不可合并．
对于 D ∶ , 含有 ，可合并．
故选：C．
3 ．下列运算正确的是 ()
1 / 16A ． B ． C ． D ．
【答案】D
【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，二次根式的运算性质，包括加法、减法、乘除和化简，掌握
知识点是解题的关键．
根据二次根式的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：对于选项A： 不是同类二次根式，不能直接合并，该项错
误；对于选项 B ： ，该项错误；
对于选项 C ： ，该项错误；
对于选项 D ： ，该项正确．
故选 D．
4 ．估计 的值应在 ( )
A ．1 到 2 之间 B ．2 到 3 之间 C ．3 到 4 之间 D ．4 到 5 之间
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则化简式子，再利用
无理数的估算即可得出答案．
【详解】解： ，
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴估计
的值应在 2 到 3 之
故选：B．
5 ．下列根式： 、 、 、 、 、 中，最简二次根式的个数是 ( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
A
【答案】
2 / 16【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或
式．根据最简二次根式的定义进行判断即可．
因
6 ．若 ，则 a 的取值范围为 ( )
A ． B ． C ． D ．
C
【分析】此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质，利用平方根与绝对值的
性质，将方程转化为绝对值方程，再根据绝对值的非负性确定取值范围．
【答案】
【详解】解： ∵ ,
∴原方程化为 ，
又∵ ,
∴ , 即 ，
当 时， ，
∴ , 等式成立，
7 ．当 时，代数式 的值为 ( )
A ．2 B ． C． D ．
C
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式
的
3 / 16【详解】解： ，
当 时，原式
．故选：C．
8 ．若 ， ，则 的值用 a ，b 可以表示为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将 化为分数形式，利用二次
根式的性质进行化简，并结合给定的 a 和 b 表示即可．
【详解】解： ， ，
.
故选：C．
9 ．已知矩形的长为 ，面积为 ，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面
积是 ( )
A ．30 B ．40 C ．50 D ．60
D
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形
的最大边长，进而计算面积，即可作答．
矩形的宽为 ，
∴
, , 且
∵
,
∴
正方形的最大边长为 ，
∴
正方形的最大面积为 ，
∴
D
故选：
10 ．2025 年 5 月 4 日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，
若
4 / 16以下运算为数据加密方式： ，那么 的值为 ( )
A ．1 B ．4 C． D ．9
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解题意新定义是解题的关键．
根据新定义的运算法则计算即可．
【详解】解：由题意得，
.
故选：B．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则，将两个根式相乘转化为根号下的乘法运算，即可解答．
【详解】解： ．
故答案为：2．
12 ．比较大小： （填“ ”“ ”“ ”）
【分析】本题考查了二次根式的大小比较．
【答案】
通过比较两个数的平方值来判断大小即可．
【详解】解： ，
，由于 ，
： ．
故答案为
5 / 1613 ．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类
二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解．
【详解】解： 与最简二次根式 是同类二次根式，
,
14 ．已知三角形三边长分别为 、 、 ，则化简代数式 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定 的取值范
围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解： 三角形三边长分别为 、 、
， , 即 ，
,
故答案为： ．
15 ．实数 x、y 满足 ，则yx = .
3
【【分答析案】】本题考查算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组，二次根式的混合
运算，掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，从而确定 x 的值，再代入求y ，最后计算 即可．
6 / 16, 即
，解得 ，
∴ .
则 ．
故答案为：3．
16 ．观察下列各式：① ; ② ; ③ ； ……请你将发现的规律用
含自然数 n（ ）的等式表示出来 ．
【答案】 ( )
【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分
母为系数的平方减 1 ；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减 1 ，由
此
得出规律．
【详解】解：总结得：对于自然数 n（ ），等式左边为 ，右边为 ，
验证：左边 ，
右边
，左右相等，故规律成立，
因此，用含自然数 的等式表示为 ( ).
故答案为： ( ).
三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题，每题 8 分；第 24 ，25 题，每题
12 分；共 9 小题，共 72 分）
17 ．计算：
(1) (2)
【答案】(1)5
(2)
7 / 16【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式，然后再计算二次根式的加法和除法即可；
【详解】（1）解：
;
（2）解：
.
18 ．定义两种新运算，规定： ， ，其中 a ，b 为实数且
． (1)求 的值；
(2)化简 ．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可．
【详解】（1）解：
;
8 / 16（2）解：
.
19 ．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元 50 年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻
名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果
一个
三角形的三边长分别为 a ，b ，c ，记 ，那么这个三角形的面积
．如图，在 中， ， ， ．求 的面积．
【答案】
【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．
将 ， ， 代入公式计算得出 ，然后再代入 计算即可得出答
案． 【详解】解： ∵ , , ,
∴ ,
.
20 ．已知 ， ，分别求下列代数式的
值： (1) ；
(2) ．
(1)
【答案】
(2)
【分析】（ ）由已知可得 ， ，再利用平方差公式计算即可；
9 / 16) 由已知可得 ， ，再把原式转化为 ，进而代入计算即可求解；
(
9 / 16,
,
,
;
,
,
,
21 ．若两个含二次根式的代数式 ， 满足： ，且 是有理数，则称 与 是关于 的“和
谐二次根式” ，如 ，则称 与 是关于 4 的“和谐二次根式”．
(1)若 与 是关于 10 的“和谐二次根式” ，求 的值．
(2)若 与 是关于 6 的“和谐二次根式” ，求 的值．
(1)
【答案】
(2)
1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案；
【分析】（
2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案；
（
式的性质是解题的关键．
本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴ .
2）解：由题可得： ，
（
,
∴
10 / 16∴
,
∴ ,
.
∴
22 ．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题 10 分）
化简： ．
解：隐含条件 ，解得 ．
所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】（1） (2)
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝
对值的化简，是解题的关键．
（1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出 的取值范围，再根据范围进行开方和绝
对值的化简即可解答．
（2）由数轴得出 、 、 的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解
答． 【详解】（1） ∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴原式 ，
,
,
.
（2） ∵实数 在数轴上的位置如图所
示， ∴ , ,
11 / 16原式
∴
， ,
23．课本再现：我们已经知道 ，因此将 的分子、分母同时乘“ ”，分母就
变成了 4 ，这就是分母有理化．
方法应用：
(1)化简： ______________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，比较 a 和 b 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题
的关键．
（1）根据题干给定的方法进行求解即可；
（2）先将 进行分母有理化得到 ，再将 化简为 ，最后代入
计算即可；
（3）将 、 进行分母有理化，再比较即
可． 【详解】（1）解：
;
（2）解： ∵
, ∴
12 / 16;
（3）解： ，
， ,
,
.
24 ．【观察思考】
第 1 个等式： ；
第 2 个等式： ；
第 3 个等式： ；
第 4 个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第 4 个等式： ；
②如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律：
． 【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简： ．
1）① ; ② ；（2）见解析；（3）
【答案】（
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是
解此题的关键．
（1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第 个等式即可；
②利用前面规律写出第 个等式，
13 / 16【详解】解：（1）①
故答案为： ．
②
故答案为： ．
（2）证明：等式左边
，
又
右
边， 等式成立
（3）原式
25 ．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善
于思考的小颖进行了以下探索：
设 （ 其 中 x ， y ， m ， n 均 为 正 整 数 ）， 则 有
， ∴ , . 这样小颖就找到了一种把部分
的式子化为平方式的方法．请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当 x，y ，m ，n 均为正整数且 时，请用含 m ，n 的式子分别表示 x，y：
______ ， ______；
(2)若 ，且 x ，m ，n 均为正整数，求 x 的值；
(3)①填空： ______；
②化简： ．
【答案】(1) ，
14 / 16(3)① ②
【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用．
1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可；
（
（2）根据完全平方公式进行展开，然后根据 x ，m ，n 的取值，分情况进行讨论即可；
（3）①根据完全平方公式进行求解即可；
②根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴ , ;
（2）解： ，
∴ , ,
∴ ,
∵m ，n 均为正整
数， ∴当 时，
，
此时， ；
当 时， ；
此时， ；
∴ 或 ；
（3）解：① ;
②
15 / 16.
16 / 16
