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2024 四川甘孜数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有
一项符合题目要求）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，
只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 的相反数是 ，负数的相反数是正数．
【详解】解：根据相反数的定义可得： 的相反数是 ，
故选： ．
2. 由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从前往后看,看到的图形就是主视图即可得到答案．
【详解】解：该几何体从前往后看，其主视图是
故选：B．
3. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客
前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ， 可以用整数
位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意 的形式，以及指数 的确定方法．根据
，即得解．
【详解】解： ，
将1665000用科学记数法表示应为 ．
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行计算即可．
【详解】解：A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项正确，符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意；
故选：C．
5. 2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别约为 ，
， ， ， （单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数．奇数个数据的中位数是按大小顺序排列后中间的一个数据；
偶数个数据的中位数是按大小顺序排列后中间两个数据的平均数．先将这组数据按大小顺序排列，再求出第三和第四个数据的平均数即可．
【详解】解：把这句数据按大小顺序排列为： ， ， ， ， ；
∴这五个数据的中位数是： ，
故选：C．
6. 如图， ， 平分 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据 、
即可求解.
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵ 平分 ，
∴
故选：B
7. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．
根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可．
【详解】解：∵由已知，得： ，
∴图象经过第一、二、三象限，∴图象不经过第四象限．
故选：D．
8. 如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到 ，
得到 为等边三角形，进而得到 ，判断出 为等边三角形是解题的关键．
【详解】解： ∵ 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故选：C．
9. 我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；
每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解．
【详解】解：∵ 每人出8元，剩余3元，
∴ ，
∵每人出7元，还差4元，
∴ ，
故所列方程组为： ．
故选：A．
10. 二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；③当
时， ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的
关键．根据图象与 轴交点 在 轴负半轴，可得 ，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为 ，由于对称轴为 ，可得 ，故②正确；当 时，二次函数图象
位于 轴下方，即当 ，所对应的 ，故③正确．
【详解】解：① 当 时， ，根据图象可知，二次函数 的图象与 轴交点
在 轴负半轴，即 ，故①正确，符合题意；
②根据图象可知，二次函数 的对称轴是直线 ，即 ，故
②正确，符合题意；
③根据图象可知，当 时，图象位于 轴下方，即当 ，所对应的 ，故③正确，符
合题意；
综上所述，①②③结论正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是___．
【答案】8cm
【解析】
【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．
【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm，
为
故答案 ：8cm．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13. 分式方程 的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】解： ，
去分母得：
移项合并同类项得：
经检验， 是原方程的解
故答案为
14. 如图，在 中， ， ，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 ， 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 长为半径画弧，两弧在 的内
部相交于点F，作射线 交 于点G．则 的大小为______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的
尺规作法是解题的关键．根据 ， ，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知 为 的角平分线，由此可得
．
【详解】解： ， ，
，
根据尺规作图过程，可知 为 的角平分线，
，
故 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
.
15 （1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1）1；（2） ．
【解析】
【分析】本题考查的了实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义计算，然后进行二次根式的混合
运算即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）；
（2） ．
由①得： ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ．
16. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通
分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解．
【详解】解：
．
17. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．
为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查
结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角 ______度；
②补全条形统计图；
（2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数．
【答案】（1）①40；54；②见解析 （2）160人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图
得出必要的信息和数据是解题关键．
（1）①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数得出其所占比
例，再乘以 即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图；
（2）用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可．
【小问1详解】
解：①此次调查一共随机抽取了 名学生．
扇形统计图中圆心角 ．
故答案为：40；54；
②此次调查声乐小组的人数为 名，
故补全条形统计图如下：
【小问2详解】解： 名，
答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有160人．
18. 如图，一艘海轮位于灯塔 的北偏东 方向，距离灯塔100海里的 处，它沿正南方向航行一段时
间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处．这时， 处距离 处有多远？（参考数据：
， ， ）
【答案】 处距离 处有140海里．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题．过 作 于 ，解直角三角形即可得到
结论．
【详解】解：过 作 于 ，
在 中， ， 海里，
（海里），（海里），
在 中， ，
（海里），
（海里），
答： 处距离 处有140海里．
19. 如图，在平面直角坐标系 中，已知 两点在反比例函数 的图象上．
（1）求k与m的值；
（2）连接 ，并延长交反比例函数 的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一
次函数的解析式．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数
的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键．
（1）根据题意将点 代入反比例函数即可求解；
（2）根据题意及反比例函数的性质得出 ，设直线 所在直线的解析式为 ，利用待定
系数法即可求解．
【小问1详解】解： 两点在反比例函数 的图象上．
∴ ，
∴ ，
将点 代入得： ，解得： ；
【小问2详解】
∵连接 ，并延长交反比例函数 的图象于点C，
∴ ，
∵ ，
设直线 所在直线的解析式为 ，代入得： ，
解得： ，
∴ ．
20. 如图， 为⊙O的弦，C为 的中点，过点C作 ，交 的延长线于点D．连接
．（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆 的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂径定理的推论可知 ，据此即可求证；
（2）利用勾股定理求出 即可求解；
【小问1详解】
证明：∵ 为⊙O的弦，C为 的中点，
由垂径定理的推论可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为⊙O的半径，
∴ 是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21. 已知 ，那么 的值是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】把所求代数式进行适当变形，然后整体代入求解即可．【详解】解： ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是求代数式的值，关键是利用整体思想把 看成一个整体，然后把所求代数式
进行变形求值即可．
22. 如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B
的位置可以分别表示为 ，则点C的位置可以表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的
第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，
可得答案．
【详解】解：∵A，B的位置分别表示为 ．
∴目标C的位置表示为 ．
故答案为：
23. 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若
抽中男生的概率为 ，则第一批次确定的人员中，男生为______人．
【答案】5
【解析】
【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计算是解题关键．
【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：5．
24. 如图， 中， ， ， ，折叠 ，使点A与点B重合，折痕
与 交于点D，与 交于点E，则 的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设 ，则 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质，得 ，
设 ，则 ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，解得 .
故答案为：3．
的
25. 在完成劳动课布置 “青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：
由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据 ， ，…， ，如果a与各个测量数据的差
的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：
5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位： ），则这株青稞穗长的最佳近似值为______ ．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 这 些 青 稞 穗 的 最 佳 近 似 长 度 可 以 取 使 函 数
为最小值的 的值，整理上式，并求出青稞穗长的最佳近似
长度．
【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和
，
时， 有最小值，
青稞穗长的最佳近似长度为 ．
故答案为： ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26. 端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．
经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60（1）设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写
出自变量x的取值范围）；
（2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
【答案】（1） ；
（2）至少需要购进 种粽子50盒．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据“总利润 种粽子利润 种粽子利润”，即可得出答案；
（2）根据题意列出不等关系式即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意，
，
答： 关于 的函数解析式为 ；
【小问2详解】
解： ，
解得： ，
故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进 种粽子50盒．
27. 如图，在四边形 中， ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于点
， ．
（1）求证： ；（2）若 ．
①请判断线段 ， 的数量关系，并证明你的结论；
②若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）① ，理由见解析；②
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形
的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得 ， ，根据 ，可得 ；
（2）①设 ，可求 ，可求 ，根据等腰三角形
的判定可得 ；
②由勾股定理可求 ，由“ ”可证 ，可得 ，通过证明
，可得 ，即可求解．
【小问1详解】
证明： ，
，
， ，
，
；
【小问2详解】
解：① ，理由如下：
设 ，
，，
，
，
，
；
② ， ，
，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
28. 【定义与性质】
如图，记二次函数 和 的图象分别为抛物线C和 ．
定义：若抛物线 的顶点 在抛物线C上，则称 是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若 是C 的伴随抛物线，则C也是 的伴随抛物线，即C的顶点 在 上．
【理解与运用】
（1）若二次函数 和 的图象都是抛物线 的伴随抛物线，则 ______， ______．
【思考与探究】
（2）设函数 的图象为抛物线 ．
①若函数 的图象为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线 与x轴有两个不同的交点 ， ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）2； ；（2）① ；② 或
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题
关键．
（1）根据题意确定点 在 的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为： ，然后代入解析式得出 ，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标 在 图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数 和 的图象都是抛物线 的伴
随抛物线，∴点 在 的伴随抛物线上，
代入得： ， ，
解得： ， ，
故答案为：2； ；
（2）① ，
∴顶点坐标为： ，
∵函数 的图象为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，
∴ ，
整理得： ，
∴ ；
②∵ 与x轴有两个不同的交点 ， ，
由①得：函数 的图象为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，
∴顶点坐标 在 图像上滑动，
顶点为 ，
当 时，
解得： 或 ，
抛物线与x轴交 两个点，
当顶点在 下方时，抛物线有两个交点， ，
∵若 是C的伴随抛物线，则C也是 的伴随抛物线，即C的顶点 在 上．∴ 在 上，
当顶点在 下方时， ；
综上可得： 或 ．
