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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
附录：期中期末情境测试
附录1： 2024--2025学年度人教版九年级数学上册期中情境核心素养达标模拟试卷（1）
本试卷共24小题，满分100分．考试用时90分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一元二次方程 的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．
2. 用配方法解方程x2 2x50时，原方程应变形为（ ）
A．(x1)2 6 B．(x1)2 6 C．(x2)2 9 D．(x2)2 9
【答案】B
【解析】原方程可化为x2 2x160，
∴(x1)2 6.故选B.
3.下列关于x的方程有两个不相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用 逐一计算，根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可得到答案．
由 所以方程有两个相等的实数根，故A不符合题意，
由 所以方程没有实数根，故B不符合题意，
由 所以方程没有实数根，故C不符合题意，
由 所以方程有两个不相等的实数根，故D符合题意.
4.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
1A．3 B．4 C．3或4 D．7
【答案】C
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形
的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比
较后可得知该结论符合题意．
【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．
∴k的值为3或4．
5．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上
种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:
(32−2x)(20−x)=570，
6.如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花
卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是（ ）
A. B. C. 或 D.
2【答案】A
【解析】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的
面积，根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可
得出结论．
【详解】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的
面积，
依题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），
∴小路宽为 ．故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线 ，射线 的方
向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．设点M运动的路程为 ，
的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先根据 ，求出 与 之间函数关系式，再判断即可得
出结论．
3，
，
，
，
故 与 之间函数关系为二次函数，图像开口向上， 时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出 与 之间函数关系式，
再判断 与 之间函数类型．
8. 如图，将函数y （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B
（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的
函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
4【解析】∵函数y （x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m （1﹣2）2+1＝1 ，n （4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1 ），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y （x﹣2）2+4．
故选：D．
9．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图
2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点 ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂
直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点 ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的
5高度为2.24米），落地时（图2中点 ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意结合函数的图象，得出图中A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可．
（米）
根据题意和所建立的坐标系可知，A（-5， ），B（0， ），C（ ，0），
设排球运动路线的函数关系式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：
，
解得， ，
∴排球运动路线的函数关系式为
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
6且当x＝ 时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣ ；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣ 和0之间；④P（t﹣1，
1
y ）和P （t+1，y ）在该二次函数的图象上，则当实数t＞ 时，y ＞y ．
1 2 2 1 2
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【解析】将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得 ，可得二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据当x＝ 时，
对应的函数值y＜0，有a＜﹣ ，b＞ ，即得a＜0，b＞0，c＞0，故①不正确；由m＝2a+2，n＝2a+2，结
合a＜﹣ ，可得m+n＜﹣ ，故②正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x＝ ，而当
x＝ 时，对应的函数值y＜0，可知当x＝﹣ 时，对应的函数值y＜0，关于x的方程ax2+bx+c＝0的负
实数根在﹣ 和0之间，故③正确；由y ＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y ＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，知a（t﹣1）
1 2
2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2时，t＞ ，故④不正确，
解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得 ，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝ 时，对应的函数值y＜0，
∴ a﹣ a+2＜0，
∴a＜﹣ ，
∴﹣a＞ ，即b＞ ，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
7∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣ ，
∴m+n＜﹣ ，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝ ，
又∵当x＝ 时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣ 时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣ 和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣ 和0之间，故③正确；
∵P （t﹣1，y ）和P （t+1，y ）在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
∴y ＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y ＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
1 2
若y ＞y ，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
1 2
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞ ，故④不正确.
二、填空题（本大题有8个小题，8个空，每空3分，共24分）
1．某工厂去年十月份生产零件50万个，为完成第四季度182万个零件的生产任务，该工厂提高了生产
效率．设该工厂十一、十二月份生产这种零件平均每月的增长率为 x，那么x满足的方程是
．
【答案】 50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
【解析】设该工厂十一、十二月份生产这种零件平均每月的增长率为x，根据第四季度完成182万个零
件的生产任务，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
8设该工厂十一、十二月份生产这种零件平均每月的增长率为x，
根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
2．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____．
【答案】1
【解析】x2+2x-1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
（x+1）2=2，
则m=1
3. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】
【解析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（-3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代
入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原
点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（-3，0）代入得，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式为：
；
当水面下降，水面宽为8米时，把x=4代入解析式，得
；
9∴水面下降14/9米；
【名师点拨】考查二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
4.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
，则铅球推出的距离 _________m．
【答案】10
【解析】令 ，则 ，再解方程，结合函数图象可得答案．
【详解】令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令 求解方程的解是解本题的关键．
5.如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中 ， ，连接 ，若
与 的面积相等，则 ______．
10【答案】
【解析】根据题意得出 ，即 ，解方程得出 （负值舍去）代入进行
计算即可求解．
∵图中 ， ，
∴
∵ 与 的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得： （负值舍去）
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于 的方程是解题的关键．
6.如图，抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x，0）、B（x，0），点A在点B的左侧．当x=x-2时，
1 2 2
y_____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
11【答案】＜．
【解析】由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m小于0，当x=x-2时，从而求得y小于0．
2
∵抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x，0）、B（x，0），
1 2
∴x+x=2，xx=-m＞0
1 2 1 2
∴m＜0
∵x+x=2
1 2
∴x=2-x
1 2
∴x=-x＜0
1
∴y＜0故答案为＜．
7.如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 在抛物线上，点E在直
线 上，若 ，则点E的坐标是____________．
【答案】 和
【解析】先根据题意画出图形，先求出 点坐标，当 点在线段 上时: 是△DCE的外角，
，而 ，所以此时 ，有 ，可求
出 所在直线的解析式 ，设 点 坐标，再根据两点距离公式， ，得
到关于 的方程，求解 的值，即可求出 点坐标；当 点在线段 的延长线上时，根据题中条件，
12可以证明 ，得到 为直角三角形，延长 至 ，取 ，此时，
，从而证明 是要找的点，应为 ， 为等腰直角三角形，
点 和 关于 点对称，可以根据 点坐标求出 点坐标．
【详解】在 中，当 时， ，则有 ，
令 ，则有 ，
解得： ，
∴ ，
根据 点坐标，有
所以 点坐标
设 所在直线解析式为 ，其过点 、
有 ，
解得
∴ 所在直线的解析式为：
当 点在线段 上时，设
而
∴
13∴
因为： ， ，
有
解得： ，
所以 点的坐标为:
当 在 的延长线上时，
在 中， ， ,
∴
∴
如图延长 至 ，取 ，
则有 为等腰三角形， ，
∴
又∵
∴
则 为符合题意的点，
∵
∴
14的横坐标： ，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情
况找到 点的位置，是求解此题的关键．
8. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮
筐的中心离地面的高度为 ，则他距篮筐中心的水平距离 是_________ ．
【答案】4
【解析】将 代入 中可求出x，结合图形可知 ，即可求出OH．
当 时， ，解得： 或 ，
结合图形可知：
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
1．（6分）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为_____________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为_____________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为_____________；
15…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为_____________；
②关于x的方程____________的解为x＝1，x＝n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x＝1，x＝1；②x＝1，x＝2；③x＝1，x＝3．（2）①x＝1，x＝8， ②x2－(1＋n)x＋n＝
1 2 1 2 1 2 1 2
0；（3）x＝1，x＝8．
1 2
【解析】（1）①x＝1，x＝1；②x＝1，x＝2；③x＝1，x＝3．
1 2 1 2 1 2
（2）①x＝1，x＝8；
1 2
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± ．
∴x＝1，x＝8．
1 2
2.（6分） 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形
花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价
25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【答案】（1）长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米
（2）最多可以购买1400株牡丹
【解析】（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为 米，
16∴ ，
∴当 时，y有最大值是1200，
此时，宽为 （米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为 平方米，
由题意可得
解得： ，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件．
3.（8分）为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形
花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种
植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每
段小道均为平行四边形）
【答案】小道进出口的宽度应为1米．
【解析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为608m2列出方程求解即可．
设小道进出口的宽度为x米，依题意得
（34﹣2x）（20﹣x）＝608，
整理，得x2﹣37x+36＝0．
解得x ＝1，x ＝36，
1 2
∵36＞20（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
174.（8分） 如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1） ，顶点坐标为 ； （2）
【解析】【分析】（1）把 和 代入 ，建立方程组求解解析式即可，再把解
析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把 代入函数解析式求解 的值，再利用函数图象可得 时 的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数 图象经过点 和 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为 ，
∴顶点坐标为： ；
（2）当 时， ，
∴
解得： ， ，
18如图，当 时，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不
等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
5. （9分）如图，正方形纸片 的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形
．设 的长为 ，四边形 的面积为 ．
（1）求 关于 的函数表达式；
（2）当 取何值时，四边形 的面积为10？
（3）四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当 取1或3时，四边形 的面积为10；
（3）存在，最小值为8．
【解析】【分析】（1）先证出四边形 为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公
式即可解决问题；
（2）代入y值，解一元二次方程即可；
（3）把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值．
【详解】
（1）解： 在正方形纸片 上剪去4个全等的直角三角形，
19，
，四边形 为正方形，
在 中， ，
，
正方形 的面积 ；
不能为负，
，
故 关于 的函数表达式为
（2）解：令 ，得 ，
整理，得 ，
解得 ，
故当 取1或3时，四边形 的面积为10；
（3）解：存 在．
正方形 的面积 ；
当 时，y有最小值8，即四边形 的面积最小为8．
【点睛】本题考查二次函数的应用．解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式
配方化为顶点式，即可求解．
6. （9分）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平
距离 （单位： ）以、飞行高度 （单位： ）随飞行时间 （单位： ）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现： 与 ， 与 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关于 的函数解
析式和 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．
20根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域 ．若飞机落到 内（不包括端点 ），
求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】探索发现： ；问题解决：（1） ；（2）大于 且小于
【解析】【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数 代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为 ，则飞机相对于安全线的飞行高度 ．结
合 ，即可求解.
【详解】（1）探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设 ， ，
由题意得： ， ，
解得： ，
∴ ．
问题解决（1） 解：依题总，得 ．
解得， （舍）， ，
21当 时， ．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 ．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ．
，
，
，
在 中，
当 时， ；
当 时， ．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 且小于 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题
分析转变成数学模型．
22
