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难点特训（一）和勾股定理有关的压轴大题
1．正方形 中， ， 分别为 ， 上一点， ， ， 交于点 ， 为
的中点．
(1)求证： ≌ ；
(2)求证： ；
(3)求证：
2．在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（12，0），点A在第一象限，且
△ABC是等边三角形．点D的坐标为（4，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE
右侧作等边△DEF．
(1)求出A点坐标；
(2)当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理
由；
(3)连接CF，当△CDF是等腰三角形时， ______．
3．在□ABCD中，连接BD，若 ，点E为边AD上一点，连接CE．(1)如图1，点G在BD上，连接CG，过G作 于点H，连接DH并延长交AB于点M．求
证： ；
(2)如图1，在（1）的前提下，若 ， ．求证： ；
(3)如图2， , ，点N在BC边上， ，若CE是 的角平分线，
线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动， ，连接BP，NQ，求
的最小值．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同
时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接
PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；
（4）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是 ．
5．已知，如图，在 ABC中，AB=AC=20cm，BD⊥AC于D，且BD=16cm．点M从点A出发，沿
AC方向匀速运动，速△度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s，过
点P的动直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，解答下列问题：
（1）线段AD=___cm；
（2）求证：PB=PQ；（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．
6．平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标为（m，n），m、n满足m﹣8
．
(1)m＝______，n＝_______；
(2)如图1，连接AB、OC交于点D，过点D作DM⊥DB交x轴于点M，求点M的坐标；
(3)如图2，E、F分别为OB、BC上的动点，以AE、EF为边作矩形AEFQ，连接EQ、CQ，当EQ
＝2CQ时，求点Q的纵坐标．
7．如图，点P为正方形ABCD的对角转AC上一动点，过点P作PE⊥PB交射线DC于点E．（1）如图1，当点E在边CD上时，求证：PB＝PE；
（2）如图2，当点E在DC的延长线上时，探求线段PA、PC、CE的数量关系并加以证明；
（3）如图3，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若正方形ABCD的边长为4，当点E为
CD的中点，则PF＝ （请直接写出结果）．
8．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）解决问题：已知AB＝5 ．BC＝4 ，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE
和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2 ，则S ABC＝
△
．
9．已知平行四边形ABCD中，AD＝2AB．
（1）作∠ABC的平分线BM交AD于M，连CM．
①如图1，求∠BMC的度数；
②如图2，若∠ADC＝90°，点P是AD延长线上一点，BP交CM于N，CG⊥BP垂足为H，交AD
于G，求证：BN＝CG+GN；
（2）如图3，若∠ADC＝60°，AB＝4，E是AB的中点，P是BC边上一动点，将EP逆时针旋转90°得到线段EQ，连DQ，直接写出DQ的最小值 ．
10．在正方形ABCD中，点E是边BC上一动点（不含端点B、C）．
（1）如图1，AE⊥EP，AE＝EF，连接CF．
①求∠ECF的大小；
②如图2，N为CF的中点，连接DN、DE，求证：DE＝ DN；
（2）如图3．若AD＝1+ ，直接写出 BE+DE的最小值．
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，D两点坐标分别为A（0，a），D（b，b），且a﹣
b＝ ．
（1）求A，D两点坐标；
（2）点B，C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形ABCD为平行四边形．
①如图，当点B，C分别在原点两侧时，连接DO，过点O作OG⊥DO交AB于点G，连接DG，取
DG中点H，在DO上截取DE，使DE＝GO，求证：4AH2＋DE2＝2AE2；
②当点B在原点左侧时，过点O的直线MN⊥AB，分别交AB，CD于M，N，试探究OM，BM，
CN三条线段之间的数量关系．12．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（0，a），点B（b，0），且a，b满
足：b＋4＝ ＋ ，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线AB上的两
个动点．
（1）则点C的坐标为 ；
（2）连接PA，PE．
①如图1，当点P在线段BO（不包括B，0两个端点）上运动，若△APE为直角三角形，F为斜边
PA的中点，连接EF，OF，试判断EF与OF的关系，并说明理由；
②如图2，当点P在线段OC（不包括O，C两个端点）上运动，若△APE为等腰三角形，M为底
边AE的中点，连接MO，试探索PA与OM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，连PA，CE，设它们所在的直线交于点G，设CE交y轴于点F，连接BG，若OP＝
OF，则BG的最小值为 ．13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，
24）．
（1）求AB的值；
（2）点C在OA上，且BC平分∠OBA，求点C的坐标；
（3）在(2)的条件下，点M在第三象限，点D为y轴上的一个点，连接DM交x轴于点H，连接
CM,点F为BC的中点，点E为AD的中点，AD与BC交于点G，点H为DM的中点，当∠MCG-
∠DGF=∠OAB，且AD=CM时,求线段EF的长．
14．若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称
△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
①若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：_______ （填“是”或“否”） ；
②当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝ ，则DE＝_______；
③当0°＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．
①画出△OAB与△OCD，使它们互为“底余等腰三角形”；
②若△OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为_______（用含a的式子表示）．
15．如图1，点 点 的坐标分别为 ，且 将线段 绕点 逆时
针旋转 得到线段 .
（1）直接写出 __， __ _，点 的坐标为 _；
（2）如图2，作 轴于点 点 是 的中点，点 在 内部， 求证:
（3）如图3，点 是第二象限内的一个动点，若 求线段 的最大值.
