文档内容
【赢在中考黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（广东
专用）
第八模拟
（本卷满分120分，考试时间为90分钟）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只有
一个选项是最符合题意的）
1．-5的相反数是 ( ）
A．-5 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】相反数就是绝对值相等符号相反的数，-5的相反数是5.故选B.
2． 年7月，我国北斗三号全球卫星导航系统全面建成并开通．北斗卫星导航系统可
提供高精度的授时服务，授时精度优于 纳秒（1秒 纳秒），与美国 精
度相当．用科学记数法表示 纳秒为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时，n是正整数，当原数绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： 纳秒 秒，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，则下列结论不正确的是（ ）A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质逐一判断即可得解．
【详解】解：A、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠3+∠5=180°，故A不
符合题意；
B、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠2+∠4=180°，但∠2与∠4不一定
相等，故B符合题意；
C、由a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠2=∠5，故C不符合题意；
D、由a∥b，得到∠3+∠5=180°，又因为∠3=∠1，所以∠5+∠1=180°，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、 “两直线平行，
内错角相等”是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a=5a2 B．﹣2ab+2ab=0 C．2a3+3a2=5a5 D．3a﹣a=3
【答案】B
【分析】先分析是否为同类项，再计算判断．
【详解】A、3a+2a=5a，故该选项不符合题意；
B、-2ab+2ab=0，故该项符合题意；
C、2a3与3a2不是同类项，不能合并，故该项不符合题意；
D、3a-a=2a，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查同类项的定义及合并同类项法则，熟记同类项定义是解题的关键．
5．在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇
匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球400次，其中100次摸到黑球，请估计盒子中白球的个数是（ ）
A．10个 B．15个 C．20个 D．25个
【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可
以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验400次，其中有100次摸到黑球，
∴白球所占的比例为1﹣ ＝0.75，
设盒子中共有白球x个，则 ＝0.75，
解得：x＝15．
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白
球的频率得到相应的等量关系．
6．一次函数 的x与y的部分对应值如下表所示：
x … 2 1 3 …
y … 7 4 2 …
根据表中数据分析，下列结论正确的是（ ）A．该函数的图象与x轴的交点坐标是
B．将该函数的图象向下平移4个单位长度得 的图象
C．若点 均在该函数图象上，则
D．该函数的图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先根据条件列出方程求出该一次函数解析式为 ，把 代入函数解析式
即可判断A选项，根据一次函数的平移性质求出平移后的图象可判断B选项，最后根据一
次函数的图象性质即可直接判断C、D选项．
【详解】解：根据题意得：当 时， ，当 时， ，∴ ，解得： ，
∴该一次函数解析式为 ，
当 时， ，
∴图象不经过点 ，即该函数的图象与x轴的交点坐标不是 ，故A选项错误；
若将 的函数图象向下平移4个单位长度，得到的函数图象为 ，故B选项
错误；
∵ ， ，
∴y随x的增大而减小，图象经过一、二、四象限，故C选项错误，D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函
数的图象和性质是解题的关键．
7．张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个
这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这
种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：设张三每小时加工这种零件x个，则李四每小时加工这种零件（x﹣
5）个，由题意得， ，故选B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
8．如图，在正方形 中， ，M是边 的中点，连接 ，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当的长度为半径作弧，交线段 于E，F两点；②分别以点E，F为
圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点G；③连接 ，交 于点P，则 的
长为（ ）A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接GE，GF，DE，DF，由题意可证△DEG≌△DFG(SSS)，得到∠EDP=∠FDP再
证△DEP≌△DFP(SAS)，得到∠DPE=∠DPF，从而可证△APD∽△MBA，根据勾股定理求出
AM，由对应边成比例，可以得到DP的长．
【详解】解：由尺规作图可知，
∴∠DPE=∠DPF=90°
又∵AD∥BC
∴∠DAM=∠BMA 且∠MBA=90°=∠APD
∴△APD∽△MBA，
∵正方形ABCD 中，AB=4 ，M是边BC 的中点，
∴BM= BC=2
且AM= =
又△APD∽△MBA，
∴
∴
∴DP=
故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定以及勾股定理的
运用，解题的关键是根据题意灵活运用全等三角形性质和判定，相似三角形的性质与判定，结合勾股定理，求出线段的长．
9．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2 ，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将
ABE沿AE翻折，点B落在点 处，线段E 交AD于点F．将 ECD沿DE翻折，点C
的对应 恰好落在线段 上，且点 为 的中点，则线段EF的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得AB＝A ＝CD＝ D＝2 ，∠B＝∠ ＝90°＝∠C＝∠D
E，BE＝ E，CE＝ E，由中点性质可得 E＝2 E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理
可求CE的长，由“AAS”可证 ，可得 ＝1，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2 ，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°
由折叠的性质可得：
AB＝ ＝CD＝ ＝2 ，
∠B＝∠ ＝90°＝∠C＝∠ ，
BE＝ ，CE＝ ，
∠BEA=∠ = ，∠CED=∠ =
∴∠AED= +
=
= =90∴ 是直角三角形
∴AD2＝AE2+DE2，
∵点 恰好为 的中点，
∴ ＝2 ，
∴BE＝2CE，
∴BC＝AD＝3EC，
∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，
∴(3CE)2= AB2+BE2+DC2+CE2
即9CE2＝8+4CE2+8+CE2，
∴CE＝2，
∴ ＝BE＝4，BC＝AD＝6， ＝2，
∴ ＝2，
∵∠ ＝∠DC'F＝90°，∠AF ＝∠DFC'，A ＝ D，
∴ A F D F（AAS），
∴ F＝ F＝1，
∴EF＝C'E+ F＝3，
故选：A．
【点睛】此题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，解题的关
键是求出CE的长．
10．如图，过坐标原点 的直线 与两函数 ， 的图象分别交于 ，
两点，作 轴于 ，连接 交 轴于点 ，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的是（ ）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，得到 ；设A点坐标为（m， ），得
到H（0， ），进而求得OA的解析式，OA解析式和 联立，求得B（ ，
），由 相似可以判断②③；求出BH解析式，然后求得C点坐标，根据
三角形面积即可判断④．
【详解】①根据反比例函数的性质，得到 ，故①正确；
设A点坐标为（m， ），则H（0， ）
设直线AB的解析式为 ，代入A点坐标，得
，解得
∴直线AB的解析式为
将 和 联立，求得
∴B点坐标为（ ， ）
设直线BH的解析式为 ，代入B、H坐标得，，解得
∴直线BH的解析式为
当y=0时，x=
∵OC∥AH
∴
∴相似比为
∴ ， ，故②正确，③错误
∵
∴
∴ ，故④正确
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，对
于反比例函数 ，k过图像上的点向两坐标轴做垂线，所形成的矩形的面积．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11． 的平方根是___________;81的算术平方根是________; =____________.
【答案】 ±2 9 -4
【详解】∵ =6，∴ 的平方根是± ；
∵92=81，∴81的算术平方根是9；∵ 表示-64的立方根，∴ = .
12．现有四张卡片，正面分别写有汉字“我”“爱”“中”“国”，反面是完全相同的五
角星图案．现将背面朝上充分洗匀后，从中任意抽取2张，其正面文字恰好组成“爱国”
字样的概率为__．
【答案】
【分析】分别记“我”“爱”“中”“国”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有
等可能结果；再找到正面文字恰好组成“爱国”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：分别记“我”“爱”“中”“国”为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中正面文字恰好组成“爱国”字样的结果数有2种
结果，
所以其正面文字恰好组成“爱国”字样的概率 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出
表格得到所有等可能结果是解题的关键．
13．若 ABC≌△DEF，AB=3，AC=7，且 DEF的周长为奇数，则EF的值为___________
【答案△】5,7,9 △
【详解】试题解析：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∵3+7=10，7-3=4
∴4＜AC＜10，
∵△ABC的周长为奇数，
∴BC的长为奇数，
∴BC=5或7或9.
14．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为___
【答案】
【分析】由点C在抛物线y＝（x−1）2−1=x2−2x上，可设点C的坐标为(x，x2−2x)，点B在
直线y＝x上，且BC∥y轴，可得点B的坐标为(x，x)，而线段BC的长就是两点纵坐标差，
从而得出关于BC长与自变量x的函数关系式，根据函数的最值，即可求出BC最大值．
【详解】解：∵点C在抛物线y=（x-1）2-1=x2−2x上，
∴设点C的坐标为(x，x2−2x)．
∵点B在直线y＝x上，BC∥y轴，
∴点B的坐标为(x，x)．
∵点B在点C的上方，设BC的长为L，
∴L= x−（x2−2x）=−x2＋3x＝−(x− )2＋ ，
∵a＝−1＜0，
∴L有最大值，
∴线段BC长度的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值问题，掌握二次函数的图象和性
质并能根据函数关系式求出最值是解题的关键．
15．数学何老师网购了一本《魔法数学》，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲
说：“至少15元．”乙说：“至多25元．”丙说：“至多20元．”何老师说：“你们三
个人中只有一人说对了”．则这本书的价格 （元）所在的范围为________．
【答案】
【分析】根据题意得出不等式组解答即可．【详解】解：根据题意可得： ，
∵三个人中只有一人说对了，
∴这本书的价格x（元）所在的范围为x＞25．
故答案为：x＞25．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
16．如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）图象上一点，B是
y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作 ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y＝
▱
﹣ （x＜0）图象上，则k的值为____________
【答案】8
【分析】设点C坐标为（a，﹣ ），点A（x，y），根据中点坐标公式以及 点在反比例
函数y＝﹣ 上，求得 的坐标，进而求得 的坐标，根据平行四边形的性质对角线互相
平分，再根据中点坐标公式列出方程，进而求得 的坐标，根据待定系数法即可求得 的
值
【详解】解：设点C坐标为（a，﹣ ），点A（x，y），
∵点D是BC的中点，
∴点D的横坐标为 ，
∴点D坐标为（ ，﹣ ），
∴点B的坐标为（0，﹣ ），∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AC与BO互相平分，
∴ ， ，
∴x＝﹣a，y＝﹣ ，
∴点A（﹣a，﹣ ），
∴k＝（﹣a）×（﹣ ）＝8，
故答案为：8
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数的性质，中点坐标公式，利用平行四
边形的对角线互相平分求得 点的坐标是解题的关键．
17．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应
用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有
新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径 弦 于 ），设
， ，他用含 的式子表示图中的弦 的长度，通过比较运动的弦 和与
之垂直的直径 的大小关系，发现了一个关于正数 的不等式，你也能发现这个不等
式吗？写出你发现的不等式__________．
【答案】
【详解】解：连接AC，BD，∵∠CAE=∠BDE，∠AEC=∠DEB，
∴△ACE∽△DBE，
∴ ，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，CD=2CE，
∴CE2=AE•BE，
∴CE= ．
∵CD=2CE，
∴CD=2CE=2 ．
又AB=x+y，且AB≥CD，得x+y≥2 ．
故答案为：x+y≥2 ．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中a＝ ．
【答案】 ；原式= .
【分析】原式利用分式除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结
果，把 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式 ，
当 时，原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图：已知 ， ， ，垂足分别为点 、 ，若 ，求
证： ．【答案】见解析
【分析】利用已知条件证明 ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而
得出结论． △
【详解】证明：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF；
∴DF=BE；
在Rt ADF和Rt BCE中
△ △
，
∴Rt ADF≌Rt CBE（HL），
∴∠B△=∠D， △
∴ ．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得
DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
20．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，
为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，
且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题.（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是____________；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.
【答案】见解析；100；360人．
【详解】试题分析：（1）、根据女生的总人数等于男生总人数求出女生的素描人数；
（2）、根据条形统计图得出样本的总人数；（3）、根据喜欢剪纸人数的百分比得出全校
喜欢剪纸的人数.
试题解析：（1）、补全条形统计图，如图所示．
（2）、10÷20%=50（人）
50+50=100（人）．
（3）、∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，
∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200× =360人．
答：全校学生中喜欢剪纸的有360人．
考点：（1）、条形统计图；（2）、扇形统计图.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，点 、 、 是方格纸中的格点，请用无刻度的直尺作图．
（1）在图1中画出一个以 、 、 、 为顶点的平行四边形；
（2）在图2中过点 作出 的垂线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据网格即可在图1中画出一个以A、B、C、D为顶点的平行四边形；
（2）根据网格即可在图2中过点C作出AB的垂线．
【详解】（1）如图1，四边形ABCD即为所求；
（2）如图2，CP即为所求．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是
准确利用网格．
22．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气
象局测得沙尘暴中心在A城的正北方向240km的B处，以12km/h的速度向南偏东30°方向
移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
【答案】（1）见解析；（2）时间为15时．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt ABD中，由题意可知∠B=30°，由此
可以求出AD的长度，然后和150比较大小即可判断△A城是否受到这次沙尘暴的影响；
（2）如图，设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与CB的交点，根据勾股定理可
以求出DE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时
间．
【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt ABD中，由题意可知∠DBA=30°，
△
∴AD= AB= ×240=120（km），
∵AD=120＜150，
∴A城将受这次沙尘暴的影响；
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与CB的交点，连接AE，AF，由题意得DE= =90（km），
∴EF=2DE=2×90=180（km），
∴A城受沙尘暴影响的时间为：180÷12=15（时），
答：A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15时．
【点睛】本题考查的知识点是直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股
定理的应用，解题关键是正确理解题意，把握好题目的数量关系．
23．某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌
文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元．
（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，
B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计
一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
【答案】（1）购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；（2）①w
＝﹣3x+700；②购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最
大利润是598元．
【分析】（1）根据购进 品牌文具袋和 品牌文具袋各5个共花费120元，购进 品牌文
具袋3个和 品牌文具袋4个共花费88元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求
得购进 品牌文具袋和 品牌文具袋的单价；
（2）①根据题意，可以写出 关于 的函数关系式；
②根据所获利润不低于进货价格的 ，可以得到 ，从而可
以求得 的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
【详解】解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，由题意得： ，得 ，
答：购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；
（2）①由题意可得，w＝（12﹣8）x+（23﹣16）（100﹣x）＝﹣3x+700，
即w关于x的函数关系式为w＝﹣3x+700；
②∵所获利润不低于进货价格的45%，
∴﹣3x+700≥[8x+16（100﹣x）]×45%，
解得： ，
∵x为整数，w＝﹣3x+700，
∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝598，100﹣x＝66，
答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598
元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解
答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．对于平面内的点 与射线 ，射线 上与点 距离最近的点与端点 的距离叫做点
关于射线 的侧边距，记作 ．
（1）在菱形 中， ， ．则 __________，
__________．
（2）在 中，若 ，则 是否必为正方形，请说明理由；
（3）如图，已知点 是射线 上一点， ，以 为半径画 ，点 是
上任意点， 为线段 的中点．
①若 ，则 __________；②设 ， ，求 关于 的函数关系式并写出自变量 的取值范围．
【答案】（1） ；0；（2） 不一定为正方形，理由见解析；（3）①0；②
关于 的函数关系式是
【分析】（1）根据题意画图，再根据定义进行判定则问题可解；
（2）根据定义举出反例即可；
（3）①根据已知条件，利用三角形中位线性质及锐角三角函数知识，可求出 ，
，从而得到 ，根据定义解决问题；
②根据定义，找到与x、y对应线段，通过分类讨论，利用相似三角形的知识构造等式，则
问题可解．
【详解】（1） ；0．
如图，过点B作BE⊥OA于点E，由 ，
可得， ，则
则
由于射线 上与点C距离最近的点是O点本身，则 0
故答案为： ；0；
（2）解： 不一定为正方形．
理由：如图1，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即点 、 重合，且 、 、 共线，
∴ ，
又∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
（3）①如图，设点DF⊥OC于点F，过点B作BE⊥OC于E
由已知，OF=
∵
∴
∵ 为线段 的中点，BE∥DF
∴EF=FC，则EO=1
∴BE=
Rt 中，
∴ ，
同理，∴
则可知， 0
故答案为：0
②圆是轴对称图形，故只考虑点 在直线 上及 上方部分的情形．
如图2，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
（ⅰ）当 时，如图，过点 作 交 于点 ，过点 作
交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
∴ ， ，
∴
∴
∵ 为线段 的中点
∴
∴
∵
∴
∴∴
∵ 为线段 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴
∴
∴ ，又∵
∴ ，即 ．
（ⅱ）当 时，
射线 上与点 距离最近的点是点 ，此时 ．
当点 在线段 上时，
当点 在线段 的反向延长线上时，
当 时，如图3， ， ，
∴ ， ，∴
综上所述， 关于 的函数关系式是
【点睛】本题利用新定义考查了点到直线的距离、相似三角形的性质和判定，以及圆的有
关知识，解答关键是充分利用数形结合思想解决问题．
25．已知抛物线G：y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1（m≠0）经过定点A，直线l：y＝kx+b经过
点A和抛物线G的顶点B．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线l的解析式；
(3)已知点P为抛物线G上的一点，且△PAB的面积为2．若满足条件的点P有且只有3个，
求抛物线的顶点B的坐标．
【答案】(1)(2)
(3) 或
【分析】（1）解析式变形为 ，即可求得定点 为 ；
（2）把抛物线化成顶点式，可得出点 的坐标，利用待定系数法可解；
（3）过点 作 轴，交 于点 ，设点 ， ，由（2）可知，
直线 的解析式为： ， ，分两种情况讨论计算当 时，得到 的值，
再根据 的面积求出 的值，令两者相等，求得 即可；当 时，思路同 ．
(1)
解：
，
时， ，
定点 ；
(2)
，
顶点 ， ，
将点 和点 代入解析式 中， ，
解得 ，
直线 的解析式为： ；
(3)
①当 时，过点 作 轴，交 于点 ，如图，设点 ， ，
由（2）可知，直线 的解析式为： ，
，
的面积为2，满足条件的点 有且只有3个，
在直线 的下方的点 只有1个，即 最大，
，
，
当 时， 有最大值 ，
，
，即 ，
，解得 ，
，
，
，
；
②当 时，过点 作 轴，交 于点 ，如图，在直线 的上方的点 只有1个，即 最大，
，
，
当 时， 有最大值 ，
，
，即 ，
，解得 ，
，
，
，
；
综上， 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数表达式，三角形的面积问题等
知识，第（3）问注意需要分类讨论．也可以不分类讨论，线段 的长加绝对值即可．
