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第二十三章 圆知识归纳与题型突破（21 题型清单）
01 思维导图02 知识速记
一、圆的基本性质
1.圆
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫
做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的有关概念
（1）弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
（2）直径：
经过圆心的弦叫做直径.
（3）弧的有关概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
（4）同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
（5）等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
3.垂直于弦的直径
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
4.弧、弦、圆心角的关系
（1）圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（2）圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余
各对量也相等．
5.圆周角
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6.圆内接多边形
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
1.圆内接四边形的对角互补．
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）
二、点与圆、直线与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系（重点）
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
2.圆的确定条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
3.三角形的外接圆
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法
（1）反证法
假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命
题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法.
（2）用反证法证明命题的一般步骤
①假设命题的结论不成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾
③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确
5.直线和圆的位置关系
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切
点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆
心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直
线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
直线 l和⊙O相交⇔dr.
6.切线的判定定理和性质定理
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
（3）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（4）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（5）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半
径，见垂直．
7.切线长及切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
8.三角形的内切圆
（1）三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
（2）三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相
等.
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，
即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1) 到三角形三个顶点的距
接圆的圆心) 交点 离相等，即OA=OB=OC；
(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
三、正多边形和圆
1.正多边形及有关概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这
个圆就是这个正多边形的外接圆．
3.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
4.正多边形的性质
（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边
数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
（5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆
的外切正多边形.
知识点2.正多边形的有关计算（重点）
1.正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
2.正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
3.正ｎ边形每个外角的度数是 .
知识点3.正多边形的画法
1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的
周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、
B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分
点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
四、弧长和扇形面积
1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
nπR
（2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
2.扇形的面积公式
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
n 1
S = πR2或S = lR（其中l为扇形的弧长）
扇形 360 扇形 2
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
3.圆锥的侧面积和全面积
1
圆锥的侧面积：S = •2πr•l＝πrl．
侧 2
圆锥的全面积：S ＝S +S ＝πr2+πrl
全 底 侧
03 题型归纳
题型一 圆的基本概念辨析
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦
是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆、直径、弦、半圆等概念，熟练掌握相关概念是解题关键．根据圆、直径、弦、半圆
等概念逐一判断即可得答案．
【详解】解：半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定，还要确定圆心位置，故①错误，
直径是弦，故②正确，
弦不一定是直径，故③错误，半圆是弧，但弧不一定是半圆，故④正确，
圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，故⑤错误，
综上所述：①③⑤的说法是错误的．共3个，
故选：C．
2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，
逐个判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
3．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相
等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键．
根据圆的特征逐项分析即可解答．
【详解】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确；
B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；
C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条
对称轴；
D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．
故选：B．
4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
【答案】ABD
【分析】此题考查了圆的认识，属于基础概念的考查，根据：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的
弦叫直径，直径是最长的弦，逐一判断即可．
【详解】解： 、圆有无数条直径，故本选项说法正确，符合题意；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确，符合题意；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误，不符合题意；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确，符合题意；
故选：ABD．
题型二 圆的最值模型
例：（2024·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，E是直角边 的中点，F是直角边 上
的一个动点，将 沿 所在直线折叠，得到 ，D是斜边 的中点，若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、
圆的定义，确定动点 的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得 ， ，结合
E是直角边 的中点，得到 ，由此可判断点 在以 为圆心， 为半径的
圆上运动，当 、 、 共线时，此时 的值最小，根据三角形中位线定理求出 ，即可求
出此时 的最小值．
【详解】解： 将 沿 所在直线折叠，得到 ，
，
，E是直角边 的中点，
，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，如图所示，
，
当 、 、 共线时，即 与 重合时， 取得最小值，
又 ，
此时 的值最小，
D是斜边 的中点，
是 的中位线，
，
此时， ，
的最小值为4．
故选：C．
6．（2024·江苏苏州·二模）如图， 中， ， ， ， 点D为斜边 上一
任意点， 连接AD， 将点B关于直线AD作轴对称变换得到点 E， 连接 ， ， 则 面积的最
大值为（ ）
\
A．18 B．30 C．15 D．24
【答案】A
【分析】本题考查轴对称，根据题意得到 ，则点E在以A为圆心，6为半径的圆上，然后确定点E到AB得最大距离最大值计算即可．
【详解】解：∵点B关于直线AD作轴对称变换得到点 E，
∴ ，
∴点E在以A为圆心，6为半径的圆上，
即当 时，点E到AB得最大距离最大，最大为6，
∴ 面积的最大值为 ，
故选A．
7．（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中， 的圆心为(0,1)，半径为1，直线
经过定点 ，交 于一点 ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段
上， 取得最大值，把点I的坐标代入 中，即可求得k的值．
【详解】解：由题意知，当圆心I在线段 上， 取得最大值，
此时直线过点I，
把点I坐标代入 中，得： ，
解得： ；
故选：D．
8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 和射线 ，动点 在 上，动点
在射线 上， ．若 的最小值为 ，最大值为 ，则 的半径为 ．【答案】7
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据 ，得到当
时， 最长，当 时， 最短，利用 的长为定值，结合勾股定理进行求
解即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 ， 最长，此时 最长， 当 ， 最短，此时 最短，如图：
设半径为 ，
当 ，即： ，
由勾股定理，得： ，
当 ，即： ，
由勾股定理，得： ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：7．
题型三 利用垂径定理进行求解
例：（2023·广西玉林·三模）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为点 ，
， ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．结合题意，由垂径定理可得
垂直平分 ，然后在 中运用勾股定理求得 即可求解．
【详解】解：由题意可知， 垂直平分 ， ，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
10．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【答案】D
【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据
相关定理逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意；
C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意；
故选：D．
11．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，将半径为 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕
的长为（ ）A． B．4 C．6 D．
【答案】D
【分析】作 的半径 于 ，连接 、 ，如图，利用折叠的性质得 垂直平分 ，则
，于是可判断 为等边三角形，所以 ，利用含30度的直角三角形三边的关系求
出 ，然后利用垂径定理得到 ，从而得到 的长．本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的
连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
【详解】解：作 的半径 于 ，连接 、 ，如图，
圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
垂直平分 ，
，
而 ，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
，
．
故选：C．12．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知
点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段 的垂直平分线 和线段 的垂直平分线 的交点
即可得到圆心坐标．
【详解】解：如图线段 的垂直平分线 和线段 的垂直平分线 的交点M，即为弧的圆心，
∴圆心的坐标是 ，
故选：B．
13．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦 ， ，则弦 与
的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作 于E， 于F，由垂径定理得
，由于 ，易得E、O、F三点共线，在 和 中，
利用勾股定理分别计算出 与 ，然后讨论：当圆心O在弦 与 之间时， 与 的距离
；当圆心O在弦 与 的外部时， 与 的距离 ．【详解】解：如图，作 于E， 于F，连 ，
则 ，
∵ ，
∴E、O、F三点共线，
在 中， ，
在 中， ，
当圆心O在弦 与 之间时， 与 的距离 ；
当圆心O在弦 与 的外部时， 与 的距离 ．
所以 与 的距离是14或2．
故选：C．
14．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 是 的直径， 为 的一条弦， 于
点E，已知 ， ，则 的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连结 ，根据垂径定理求
得 ，再根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，连结 ，
是 的直径， ，
，
，
即 的半径为5．故答案为：5．
题型四 垂径定理的实际应用
例：（22-23九年级上·浙江台州·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已
知：锯口深为1寸，锯道 尺（1尺 10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
【答案】A
【分析】过点O作 ，交 于点D，交 于点E，设 的半径为r．在 中，
，由勾股定理得出方程 ，解方程即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：过点O作 ，交 于点D，交 于点E，
设 的半径为r．
在 中， ，
由勾股定理得出方程 ，
解得： ，∴ 的直径为26寸，
故答案为：26．
16．（2024·广西·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O
在水面上方，且 被水面截得弦 长为4米， 半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C
到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接 ，交 于D，由垂径定理得 （米），再由勾股定理得 （米），然后
求出 的长即可．
【详解】连接 ，交 于D，
由题意得： 米， ，
米， ，
在 中
米，
米，
即点C到弦 所在直线的距离是 米，故选：C．
17．（2024·陕西榆林·一模）如图，这是一扇拱形门的示意图， 为门框底， ，
，门框顶部是一段圆心角为 的圆弧， 是 的中点，则点 到门框底 的距离
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意作出图形，利用垂径定理结合等
腰直角三角形的性质求得圆弧的半径，利用直角三角形的性质求得 ，再求得圆弧的高，据此求解即可．
【详解】解：如图，圆心角为 的圆弧的圆心为 ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴点 到门框底 的距离是 ，
故选：B．
18．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直
径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于 、 、
、 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 ， ， ．请你帮忙计算纸杯杯底
的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出 ， 的长，设 ，由勾股定理
得到 ，求出 的值，得到 的长，由勾股定理求出 长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图， ， 过圆心 ，连接 ， ，
，
∵ ，
，
， ，
设 ，
，， ，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为 ．
故选：B．
19．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人
民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O
为圆心， 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 长为 ，则筒车工作时，盛水
桶在水面以下的最大深度为 ．
【答案】
【分析】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算．根据题意作 于 ，
交 于点 ，再利用勾股定理得出 ，即可解答．
【详解】解：作 于 ，交 于点 ，在 中， ，
，
，
筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ，
故答案为：3．
题型五 弦、弧、弦心距之间的关系
例：（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是 的两条弦， 与BD相交于点E， ．
(1)求证： ；
(2)连接 作直线 求证： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出 ，则 ；（2）因为 所以 ，即 结合 ，得出E、O都在 的垂直平分线上，
即可作答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
∴ ，
即 ．
∴ ．
（2）证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在 的垂直平分线上．
∴
21．（2024·广东揭阳·三模）如图，在 中， ，那么（ ）
A． B．C． D． 与 的大小关系无法比较
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理．可过 作半径 于 ，由垂径定理可知 ，因此只需比较
和 的大小即可；易知 ，在 中， 是斜边， 是直角边，很显然 ，
即 ，由此可判断出 和 的大小关系，即可得解．
【详解】解：如图，过 作半径 于 ，连接 ；
由垂径定理知： ， ；
；
在 中， ，则 ；
，即 ；
故选：A．
22．（2024·黑龙江大庆·二模）如图， 是 的直径， ， ，则 的大小为
．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
23．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图， 是 的直径，点C、D在 上， ，
，垂足分别为E，F，且 ， 与 相等吗？为什么？
【答案】 ，理由见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接 ，欲证 与 相等，先证 、
关系，证明 即可．
【详解】 ，连接
∵
∴
又∵
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
题型六 圆周角定理及其推论的应用例：（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）如图， 为 的直径， ， 交 于点E，
交 于点E， ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质：
（1）等边对等角，求出 的度数，根据直径所对的圆周角为直角，得到 ，进而得到
，再根据角的和差关系即可得出结果；
（2）连接 ，圆周角定理，得到 ，三线合一，得到 即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，∵ 为 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
25．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图， 为 的直径，点C，D在圆上，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，直角三角形的特征，连接 ，由同弧所对的圆周角相等得
，由直径所对的圆周角是直角得 ，由直角三角形的特征即可求解；掌握圆的基
本性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
，
，
为 的直径，
，
，
故选：C．
26．（22-23九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，点 、 、 在 上， ，半径 的长为
3，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
首先根据圆周角定理求出 的度数，然后利用勾股定理求出 的长．
【详解】 ，
，
∵ ，
．
故答案为∶： ．
27．（2024·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ．若
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内
角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
28．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆 经过 ， ， 三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，
保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作出圆心 ；
(2)在图2中，在劣弧 上找一点 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了尺规作图—作角平分线，格点作图，圆周角定理，掌握以上知
识点是解题的关键．
（1）由表格可知， ，故圆心在 上，利用网格找到 的中点即可．
（2）使 ，根据等弧所对的圆周角相等，利用网格找到劣弧 的中点即可．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求
（2）解：如图，点 即为所求
题型七 圆内接四边形
例：（22-23九年级上·云南红河·期末）如图， 的半径为4，弦 长为 ，C是 上一点（不同于A，B），则 的度数是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查圆周角定理，分点 在优弧和劣弧上两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点 在优弧 上时， ，
当点 在劣弧 上时， ；
故答案为： 或 ．
30．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，四边形 是 的内接四边形， ，
，则 ．
【答案】 /144度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计
算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．根据等腰三角形的性质得出 ，根据三角形内角和定理求出 ，然后根据圆内接四边形的性质求出答案即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
31．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，四边形 是 的内接四边形，四边形 为平行四
边形，则 的度数为 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查了平行四边形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据平行四边形的性质得出
，由圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出 ，即可得出答案，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
32．（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆
O的面积为 ．【答案】
【分析】连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， ，可得 ，从而可得BD//CE，
得到 ，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．
【详解】解：如图，连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， ．
则 ， ．
∵ ，
∴ // ，
∴
∴BE=CD，
∵
∴ ．
在Rt 中，AB=10，
△
所以，由勾股定理得，
∴ ．
所以圆 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作
出辅助线构造直角是解答本题的关键．
题型八 点与圆的位置关系
例：（22-23九年级上·广东湛江·期末）如图，在 中， ，点D在边 上，且
，以 为直径作 ，设线段 的中点为P，则点P与 的位置关系是（ ）A．点P在 内 B．点P在 上 C．点P在 外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点
到圆心的距离为d，则有：当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内．首先根
据三角形中位线的性质得出 ，进而利用点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：连接 ，
∵以 为直径作 ，线段 的中点为P，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点P与 的位置关系是点P在 外．
故选：C．
34．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）已知 的半径为6，点P在 内，则线段 长（ ）
A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半
径为 ，点到圆心的距离为 ，则有：当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆
内．【详解】解： 点 在 内，
，
故选：A．
35．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，若关于 的方程
不存在实数根，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 外 B．点 在 上
C．点 在 内 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断
的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的
位置关系的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意，得 ，
解得 ，
∴ ，则点 在 外，
故选： ．
36．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在平面内， 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点
与 的位置关系是点 在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
【答案】圆外
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：点 在圆
外 ；点 在圆上 ；点 在圆内 ；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解
题的关键．
【详解】解：∵ 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，
∴ ，
∴点 在圆外，
故答案为：圆外．
37．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果从 内一点P到 上所有点的距离中，最大距离是6，最
小距离是2，那么 的半径长是 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点P在圆内，则最大距离与最小距离的和等于圆的直径，
进而得出答案．【详解】解：根据点P在 内时，圆的直径是 ，所以半径是4．
故答案为：4．
题型九 三角形内接圆有关应用
例：（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
则 的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找
外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作 和 的垂直平分线，交点为所求．
【详解】解：作 和 的垂直平分线，交点为所求，
的外心坐标为 ，
故选：D．
39．（15-16九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四个顶点在同一圆上【答案】C
【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质．根据题意逐一对选项进行
分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；
∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，
故B选项不正确，C选项正确；
∵圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于 ，故D选项不正确，
故选：C．
40．（2024·河北保定·二模）如图，在 中， ，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到
的外心，作法如下：
嘉嘉：
淇淇：
作 的垂直平分线， 作 和 的平分
线，两条角平分线交于点O，点O即为 的外心
交 于点O，点O即为 的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】A
【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，
解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断．
【详解】解： 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点．
嘉嘉正确，淇淇错误．
故选：A．
41．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 、 、 、 、
、 、 都在小正方形的顶点上，则 的外心是（ ）A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该
三角形的外心”是解题的关键．作线段 、 的垂直平分线，即可求解．
【详解】解：作线段 、 的垂直平分线，如图所示：
的外心是点 ，
故选：A．
42．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外
接圆半径等于 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的斜边等于
其外接圆的直径可得这个三角形的外接圆的半径．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴直角三角形的斜边 ，
所以这个三角形的外接圆的半径 ，
故答案为：5．43．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个
圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】作 的垂直平分线交于点 ，连接 ，设 的垂直平分线交网格线于点 ，连接
， 根据作图可得 是过 三点的圆的圆心，网格可得 则 ，得出
是等腰直角三角形，进而勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，作 的垂直平分线交于点 ，连接 ，设 的垂直平分线交网格线
于点 ，连接 ，
根据作图可得 是过 三点的圆的圆心，
根据网格可得
∴
又∵
∴ 是等腰直角三角形，
∵ 小正方形的边长为2，
∴ ，
∴故选：A．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
题型十 确定圆的条件
例：（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．
(1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
如果不能，说明理由．
(2)分别连接AB、 、 ，若 是等边三角形，边长为6，求 外接圆的半径．
【答案】(1)能，见解析(2)
【分析】题考查作图——复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接AB， ，并作AB， 的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以 为半径作 ，即为所
作；
（2）根据垂径定理可以求出 ， ，然后解直角三角形求出 长即可．
【详解】（1）如图所示，圆O为所求圆．
（2）连接 ， ， 于点D，∵ 是等边三角形，
∴弧 等于圆周长的三分之一，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
45．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点 ， ， ，
确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
判断三个点在不在一条直线上即可．
【详解】解：∵ ， ， ，在 这条直线上，，
∴三个点 ， ， 不能确定一个圆．
故答案为：不能．
46．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的
三个点作圆，最多可以作 个．
【答案】6
【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线
l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出
选取的方式即可．
【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆，选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个．
故答案为：6．
47．（2024·四川攀枝花·一模）作图题
如图，在 中，已知 ．
(1)尺规作图：画 的外接圆 （保留作图痕迹，不写画法）
(2)连接 ， ；若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理：
（1）先画出该三角形两条垂直平分线，相交于点O，以 为半径画圆即可；
（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵
∴ ，
∵ ， ，即 ，
解得： 或 （负值舍去）．题型十一 反证法
例：（23-24八年级下·山东枣庄·期中）已知 中， ，求证： ，下面写出运用反证法
证明这个命题的四个步骤：
①因此假设不成立．
② ，这与三角形内角和为 矛盾
③假设在 中，
④由 ，得 ，即 ．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①②
【答案】C
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
③假设在 中， ，
④由 ，得 ，即 ，
② ，这与三角形内角和为 矛盾，
①因此假设不成立． ，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①．
故选：C．
49．（23-24七年级下·江苏常州·期末）对假命题“若 ，则 ”举一个反例，符合要求的反例可以
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查的命题和定理，根据条件，把数值代入计算，判断即可．
【详解】解：A、 ，但 ，故符合反例要求，符合题意；
B、 ，故不符合反例要求，不符合题意；C、 ，且 ，故不符合反例要求，不符合题意；
D、 ，故不符合反例要求，不符合题意；
故选A．
50．（2024·山西临汾·二模）反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线
被直线 所截， ，那么 ．”先假设 ，过点 作直线 ，使
，由“同位角相等，两直线平行”，可得 ．这样过点 就有两条直线 ，
都平行于直线 ，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明 的假设是不正确的，于
是有 ，上述材料中的“基本事实”是指（ ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，内错角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查了反证法，直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．
【详解】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
故选：C
51．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程
中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，
以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相
平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形
C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形
【答案】C【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键．
反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案．
【详解】用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设对角线不互相平分
的四边形是平行四边形，
故选C．
52．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）求证：一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ，用反
证法证明时的假设为“三角形 ．”
【答案】三个内角都大于
【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只
有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．
【详解】解：用反证法证明一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ，先假设三角形的三个内角都
大于 ，
故答案为：三个内角都大于 ．
题型十二 直线与圆
例：（2023九年级下·全国·专题练习）在 中， ，若 与 相离，则半
径为r满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作 于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾
股定理求出 的长，等积法求出 的长，根据圆与直线相离得到 ，即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
4
∴AC= ❑√3，
3
∴ ，
过C作 于D，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 相离，
∴半径r满足 ，
故选：C．
54．（22-23九年级上·广西河池·期中）已知 的半径为 ，圆心 到直线AB的距离为 ，则直线AB与
的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系有三种：当 时，直线与圆相切；当
时，直线与圆相交；当 时，直线与圆相离．只要比较圆心到直线的距离 和圆的半径 的大小即
可．根据直线与圆的位置关系 比较圆心到直线的距离 和圆的半径 的大小即可解答．
【详解】解：∵ 的半径为 ，圆心 到直线AB的距离为 ，
∴点 到直线AB的距离小于圆的半径，
∴直线AB与 的位置关系是相交，
故选C．
55．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）在 中， ， 为 中点，以点 为圆心， 长为
半径作 ，则 与直线 的位置关系是（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定．先由等腰三角形三线合一的性质得出 ，
再根据切线的判定即可得出位置关系．
【详解】解：如图，连接 ，
是等腰三角形
为 中点
是等腰 的高
为 的半径
是 的切线
与直线 的位置关系是相切．
故选：B．
56．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 的半径为1，直线l上有一点P满足 ，则直线
l与 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离
C．相切或相离 D．相切或相交
【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键；
根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和 相交得 ；②直线l和
相切得 ；③直线l和 相离得 ．分 垂直于直线l， 不垂直直线l两种情况讨论．【详解】解：当 垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离 ， 与l相切；
当 不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离 ， 与直线l相交．
所以，直线l与 的位置关系是相切或相交．
故选：D．
57．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在 中， ，若以C为圆心，r
长为半径的圆C与边 有交点，那么r的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题注意两种情况：（1）圆与 相切时；（2）点 在圆内部，点 在圆上或圆外时．根据勾
股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考
查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况．
【详解】解：依题意， ，
根据勾股定理求得 ．
当圆与 相切时，此时半径最小，即 ；
当点 在圆上，此时半径最大，即 ，
综上：即 ．
故选：D．
58．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 的圆心P的坐标为，将 沿x轴正方向以 个单位/秒的速度平移，使 与y轴相切，则平移的时间为
秒．
【答案】2或10
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【详解】解：当 位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
∴ (秒)；
当 位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
∴ (秒)；
故答案为：2或10
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆
的半径．
题型十三 切线的证明
例：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径，点 为 外一点，连接 交 于点
，连接 并延长交线段 于点 ， ．求证： 与 相切．
【答案】见解析【分析】本题主要考查切线的判定．由题意易得 ， ， ，
进而根据角的等量关系可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切．
60．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线．
作法：如图2．
（1）连接 ；
（2）以 为直径作圆，与 交于C、D两点；
（3）作直线 、 ，则直线 、 就是所求作经过P点的切线．
下列可作为以上作图依据的是 ．
甲：直径所对的圆周角为直角；
乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
丙：同弧所对圆周角相等．
【答案】甲乙
【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接 ， ，根据直径所对的
圆周角为直角以及切线的判定可知 、 是所求作经过 点的切线，进而可得答案．
【详解】解：如图2，连接 ， ，为直径，
，
， 为 的半径，
、 是所求作经过 点的切线．
可作为以上作图依据的是甲乙．
故答案为：甲乙．
61．（2024·四川眉山·一模）如图，线段 经过圆心O，交 于点 为 的弦，连结
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），根据圆周角定理求出 ，可得 ，即可得出答案；
对于（2），先根据直径所对的圆周角是直角得出 ，即可得出 ，再根据三角形外角的性质得
出 ，然后根据“等角对等边”得 ，最后根据正切得定义得出答案．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；（2）如图，连结 ，
∵ 是 的直径，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，正切，三角形外角的性质等，构造直角三角形是求线
段长的常用方法．
62．（23-24九年级下·湖北孝感·期中）如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点 ，
交 于点 ， 平分 ，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，求得 ，根据等腰
三角形的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，根据全等三角形的性质得到
，求得 ，根据切线的判定即可得到结论；
（2）由（1）得， ，由勾股定理得 ，由 得到 ，根
据平行得性质得 ，再利用弧长公式计算即可．
本题考查了切线的判定和性质，弧长公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和
性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，，
为的直径，
是 的切线；
（2）解：由（1）知：
得到， ，
，
题型十四 切线的性质
例：（2024·重庆·模拟预测）如图，在 中， ， 是 上的一点，以 为直径的
与 相切于点 ，连接 、 ，若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，切线的性质．先连接 ，证明 ，，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接 ，
切圆于 ，
于 ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
．
故选：B．
64．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 与
交于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由切线的性质得到 ，
则由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可得 ．
【详解】解：∵ 是 的切线，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
故答案为： ．
65．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交
于点D，连接 ．若 ，则 的度数是 °．
【答案】26
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，利用圆的切线的性质定
理和圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：26．
66．（2024·四川乐山·模拟预测）如图， 的内切圆 与 分别相切于点 ，若
，则 的大小为 ．【答案】 / 度
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，综合运用了圆周角定理以及切线的性质定理和四边形的内角
和定理，正确添加辅助线并熟练运用相关的知识是解题的关键.连接 ，根据切线的性质，可得出
，再由 ，从而得出 ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求
得 ．
【详解】连接 ，
∵ 的内切圆 与 分别相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型十五 切线的性质与判定的综合
例：（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于 ，点 在
线段 上，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．【答案】(1)证明见解析(2)1
【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关
键．
（1）连接 ．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到 ，求得 ．根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ．
，
，
，
，
，
．
，
，
是 的切线；
（2）解： ， 为直径，
是 的切线．
是 的切线，
，
，
．
，
在 中， ，，
．
的半径为1．
68．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图
三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发
明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，
且 的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ， 够长． 使用方法如图2所示，若要把
三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与
另一边 恰好相切，切点为 ，则 ， 就把 三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程．
已知：如图2，点 ， ， ， 在同一直线上， ，垂足为点 ， ， 与半圆 相
切于点 ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】通过证明 ，得到 ，通过证明 ，得到 ，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质、判定定理．
【详解】解： ，
，
又 ，
，
，
与半圆 相切于点 ，
，，
，
，
．
69．（2023·山东枣庄·二模）已知：如图， 过正方形 的顶点 ，且与 边相切于点 ．点
是 与 的交点，连接 ， ， ，点 是 延长线上一点，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)如果正方形边长为 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形 是正方形，可得 是 的直径，根据圆周角定理可得
，再根据 ，可得 ，可证 ，由此即可求证；
（2）如图所示，连接 ，过 作 于 ，可得四边形 是矩形，可求出 的长，设
，可用含 的式子表示 ，在 中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是 的直径，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即
∴ 是 的切线．
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ 与 相切于点 ，即 是 的切线，
∴ ，且 （圆的半径相等），
过 作 于 ，则四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵ ，即 分别是 的中点，
∴ ，
设 ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆与正方形的综合，掌握正方形的性质，切线的证明和性质，勾股定理等知识是解
题的关键．
70．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知 是 上一点， 是直径， 的平分线交
于点 ， 的切线 交 的延长线于点 ，连接 ， ．(1)求证： 为 的切线．
(2)若 ，
①若 ，则 ________．
②作 关于直线 对称的 ，连接 ， ，当四边形 是菱形时，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)① ；②
【分析】（1）先由切线的性质得到 ，由角平分线的定义得到 ，再由圆周角定
理得到 ， ，则 ，证明 得到
，即可证明结论；
（2）①先证明 ，则由垂径定理可得 ，则 ，进而求出
，即可得到 ；
②如图所示，由菱形的性质可得 ， ，进而证明 ，即可得到
．
【详解】（1）证明：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 上一点，
∴ 为 的切线；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②如图所示：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，菱形的性质，等边对等角，勾股定
理，含30度角的直角三角形的性质，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键．
题型十六 切线长定理
例：（23-24九年级上·广东广州·期中）如图， 分别与 相切于 两点， 与 相切于点 ，
与 相交于 两点，若 ， ，则 的周长和 的度数分别为
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，115
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键．
DADC EBEC △ PDE OA,OB,OP
根据切线的性质可得 ， ，可得 的周长，如图所示，连接 ，可求出
AFB AOB
所对圆心角 ，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解．
PA,PB O A,B
【详解】解：∵ 分别与 相切于 两点，
∴PA PB9，即ADDP9，BEEP9，
DA,DC O A,C
∵ 分别与 相切于 两点，
∴DADC，
EB,EC O B,C
∵ 分别与 相切于 两点，∴EBEC，
∴ADDEDCDP，BEEPECEP，
∴△ PDE的周长为DCDPECEP APBP9918，
OA,OB,OP
如图所示，连接 ，
PA,PB O A,B APB50
∵ 分别与 相切于 两点， ，
1 1
∴ ，APOBPO APB 5025，
OA AP,OBOP 2 2
在RtAPO中，AOP90APO902565，
同理，BOP65，
ACB AOB6565130
∴ 所对的圆心角 ，
AFB AOB360130230
∴ 所对圆心角 ，
1
∴ACB 230115，
2
故选：D．
AB O C O C
72．（2023·山东青岛·二模）如图， 是 的直径，点 是 外一点，过点 的两条直线分别与圆相
切于点B、D，点E是圆周上任意一点，连接AE、DE，若C 70，则∠AED（ ）
A．50 B．40 C．25 D．35
【答案】D
【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接BD，根据切线长定理结合等边对等角，求出CBD的度数，切线的性质，求出ABD的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】解：连接BD，
， 分别切圆于 、 ，
CB CD B D
CBCD，
CBDCDB，
C70，
1
CBD 1807055，
2
AB是圆的直径，
ABC 90，
ABDABCCBD35
AEDABD35．
故选：D．
VABC ACB58 VABC O AB
73．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在 中， ， 的内切圆 与 ，
AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则BFD ．
【答案】29/29度
【分析】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出
1
BFD 180AABC 是解题的关键．
2
1
由 的内切圆 与 ， 分别相切于点D，E，得 ，ABF ABC，则
VABC O AB AC AD AE 2
1 1
ADE 180A BFD ACB29
2 21 1
ADE 180A ，所以BFD ACB29，于是得到问题的答案．
2 2
ABC O AB AC
【详解】解： 的内切圆 与 ， 分别相切于点D，E，
1
，ABF CBF ABC，
AD AE 2
1
ADEAED 180A ，
2
BFDADEABF
1 1
180A ABC
2 2
1
180AABC ，
2
∵180AABCACB58，
1
BFD 5829，
2
故答案为：29．
ABCD O G H E F
74．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知：四边形 是 的外切四边形， ， ， ，
分别是切点，求证：ADBC ABCD．
【答案】见详解
【分析】根据切线长定理可得：AH AE，BEBF ，CF CG，DH DG，问题随之得解 ．
【详解】根据切线长定理可得：AH AE，BEBF ，CF CG，DH DG，
∴AH HD AEDG，BFCF BECG，
∴AD AEDG，BC BECG，
∵AB AEBE，CDDGCG，
∴ADBC BECGAEDG ABCD．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理得出AH AE，BEBF ，CF CG，DH DG，是解答本题的关键．
题型十七 三角形的内切圆
例：（2023·河北邢台·二模）如图，将ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD，再将
ABC折叠，使BC边落在AB边上，展开后得到折痕BE，若AD与BE的交点为O，则点O是
（ ）
A．ABC的外心 B．ABC的内心
C．ABC的重心 D．ABC的中心
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质，根据折叠的性质可知点O为角
平分线的交点，根据角平分线的性质可知点O到VABC三边的距离相等．
【详解】解：如图：过点O作OF AB，OM AC，ON BC ，
由题意得：BADCAD，ABE CBE，
O为角平分线的交点，
OF OM ON，
点O到VABC三边的距离相等．
点O是VABC的内心．
故选：B．
76．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，点I 是VABC的内心，若AIB130，则C等于
（ ）A．65 B．70 C．75 D．80
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内心，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的内心是三条角平分线的交点是
解题的关键．
1 1
由点 是 的内心，可得CAI BAI CAB，CBI ABI CBA，由
I VABC 2 2
C 180CABCBA1802BAIABI
BAIABI 180AIB
，根据 ，求解作答即可．
【详解】解：∵点I 是VABC的内心，
1 1
∴CAI BAI CAB，CBI ABI CBA，
2 2
∵BAIABI 180AIB50，
C 180CABCBA1802BAIABI80
∴ ，
故选：D．
77．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在VABC中，BIC 125， I是VABC的内心，O是VABC
的外心，则BOC （ ）
A．125° B．140° C．130° D．150°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三
角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到
1
BIC 90 A，则可计算出 ，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数．
2 A70
【详解】解：过点I分别作EI AB，FI AC，GI BC，如图∵点I是VABC的内心，且结合切线性质
1 1
∴GBI ABC，GCI ACB
2 2
∵AABCACB180，BICIBCICB180
1
∴BIC 90 A，
2
1
即12590 A
2
∴A70，
∵点O是VABC的外心，
∴BOC 2A270140．
故选：B．
VABC AB AC 5 BC 6 P Q VABC
78．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图， ， ， ，若 、 分别是 的
内心和外心，则PQ的长为 ．
5
【答案】
8
ADBC PF AC BQ PC BAC
【分析】作 于点D，作 于点F，连接 和 ，可得AD平分 ，且AD垂直平分
BC BDCD3 AD=4 D BQ PF DQ
，及 和 ，点A、点P、点Q、和点 共线，进一步求得 、 和 ，由
RtPCF≌RtPCD，得CF CD，利用勾股定理求得AP即可求得答案．ADBC PF AC BQ PC
【详解】解：作 于点D，作 于点F，连接 和 ，如图，
则ADBADC 90，
∵AB AC 5，
∴AD平分BAC，且AD垂直平分BC，
∵BC 6，
1
∴BDCD= BC 3，
2
AD AB2BD2=4
∴ ，
P Q VABC
∵ 、 分别是 的内心和外心，
PQ
∴点P、点Q、线段 都在线段AD上，
BQ=AQ=4DQ PF=PD=4AP PFCPFA90
则 ， ， ，
7
在 Rt△QDB 中， BD2DQ2=BQ2，得32DQ2 4DQ2，解得DQ=
8
，
在RtPCF和RtVPCD中
PC PC
PF PD
RtPCF≌RtPCDHL
∴ ，
∴CF CD3，
则AF ACCF 532，
∵AF2PF2 AP2，5
∴224AP2 AP2，解得 AP ，
2
5 7 5
则PQ ADAPDQ=4 = ．
2 8 8
5
故答案为∶ ．
8
【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角
形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键．
79．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知VABC的三边长为AB2，BC 3，AC 4，则三角形内切圆
半径为 ．
15
【答案】 6
【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作ADBC于D，
连接AO，BO，CO，根据直角三角形的性质和勾股定理求出AD、DC的长，根据三角形的面积公式求
出即可．
C CD AB D AI BI CI VABC r
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，连接 ， ， ，设 内切圆的半径为 ，
设AD x，则BD2x，
CD2 AC2AD2 CD2 BC2BD2
由勾股定理得： ， ．
42x2 32(2x)2
．
解得：x2.75．
3 15
CD AC2AD2 422.752 ，
4
S S S S
△ABC △AOC △ABO △BCO
，1 1 1 1
ABCD ACr ABr BCr
2 2 2 2 ，
1 3 15 1 1 1
2 4r 2r 3r，
2 4 2 2 2
15
r
解得： 6 ，
15
故答案为： 6 ．
题型十八 正多边形和圆
O AB BC
例：（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是 的内接正五边形的边 ， 上的点，
BPCQ，则POQ（ ）
A．75 B．54 C．72 D．60
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三
角形的判定定理是解题的关键．连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到
BOPCOQ，结合图形计算即可．
【详解】解：连接OA、OB、OC，
五边形 是 的内接正五边形，
ABCDE O
AOBBOC 72，
OAOB，OBOC，
OBAOCB54，OBP △OCQ
在 和 中，
OBOC
OBPOCQ
，
BPCQ
OBP≌OCQ(SAS)，
BOPCOQ
，
BOC BOQQOC
AOBAOPBOP
， ，
BOPQOC，
POQBOPBOQ BOC BOQQOC
， ，
POQBOC 72
．
故选：C．
81．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）正六边形的边长、边心距、半径之比为（ ）
1:1: 3 2:2: 3 3:2:2 2: 3:2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，构造以半边长、半径和边心距形成的直角三角形是解题的关键
经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．
【详解】解：设正六边形的边长是AB=a，
则半径长也是OAOBa；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则BOC30，
3
在 中，根据三角函数得到OC＝a·cos30＝ a，
Rt△OBC 2
3
AB:OC:OAa: a:a2: 3:2
∴ 2
2: 3:2
即边长、边心距与半径之比为 ，
故选：D．O ABCDEF
82．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知 的半径为4，则该圆内接正六边形 的
边心距OG的值是（ ）
3
A． B． C． D．3
2 3 2 2
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的
关键．连接OC，OD，可得OCD是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．
【详解】解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
360
∴COD 60，
6
∴OCD是等边三角形，
由题意可知OGCD，则OG垂直平分CD，
1
∴ ，CG CD2
OC ODCD4 2OG OC2CG2 2 3
∴
故选：A．
O O ABCDEF
83．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，已知 ，求作： 内接正六边形 ，以下是甲、
乙两同学的作业：
甲：①先作直径BE；②作OB的垂直平分线交O于点A、C；③作OE的垂直平分线交O于点D、F ；
④依次连接ABCDEF A，六边形ABCDEF 即为所求（如图①）．
乙：①O上任取点A，以点A为圆心，OA为半径画弧，交O于点B；②以点B为圆心，OA为半径画
弧交O于点C；③同上述作图方法逆时针作出点D、E、F ；④依次连接
ABCDEF A，多边形ABCDEF 即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】由甲同学的作业可知，OF OEEF，同理可知EF AF ABBC CDDE，由乙同学的作
业可知OA ABOB．依次画弧可得BC CDEDEF AF AB．进而即可判断
【详解】由甲同学的作业可知，OF OEEF，同理可知EF AF ABBC CDDE，
六边形ABCDEF 是正六边形，即甲同学的作业正确．
由乙同学的作业可知OA ABOB．依次画弧可得BC CDEDEF AF AB．
六边形ABCDEF 为正六边形，即乙同学的作业正确．
故选C
【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键．
题型十九 弧长计算π
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）(1)已知扇形的圆心角为 ，弧长等于 ，则该扇形的半径是
45 2
；
π
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为 ．
3
【答案】 2 60°/60度
【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求
解即可．
【详解】解：（1）设扇形的半径为R，
45πR π
则根据题意，得 ，
180 2
解得R2.
故该扇形的半径是2．
nπ1 π
（2）根据弧长公式得 ，
180 3
解得n60，
故扇形圆心角的大小为60．
故答案为：2；60．
85．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）弧AB长为2π，所在圆的半径是6，则弦AB所对的圆周角为
．
【答案】30或150
【分析】本题考查弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性质等知识，根据弧长公式，列方程求出圆心角，
再由弦所对的圆周角有两种情况，分类求解即可得到答案，熟记弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性
质是解决问题的关键．
【详解】解：弧AB长为2π，所在圆的半径是6，
2π 2π6，解得 ，这个 是 所对的圆心角，
360 60 AB
弦AB所对的圆周角有两种情况，
1
由圆周角定理可得 所对的圆周角为 30；再由圆内接四边形性质可得弦 所对的另一个圆周角
AB 2 AB
为18030150，
综上所述：弦AB所对的圆周角为30或150，
故答案为：30或150．86．（2024·辽宁·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如
1
图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中 AD 的长为 3 πm，裙长 AB 为 1m ，圆心角 �AOD�50 ，则 BC 的
长为 m．
11
【答案】 π
18
nr
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：l （弧长为 ，圆心角度数为 ，
180 l n
圆的半径为r)，即可计算．
【详解】解：圆心角�AOD�50 ，
50OA 1
的长 ，
AD 180 3
6
OA
米，
5
6 11
OBOAAB1
5 5
（米)，
11
50
5 11
BC 的长 180 18 （米 ) ，
11
故答案为： π
18
VABC A(2,3) B(6,0)
87．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、
C(1,0)
．(1)在图中画出将VABC绕原点O逆时针旋转90后得到的ABC；
(2)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(3)在旋转过程中，点B所经过的路径长为 ．
【答案】(1)见解析
(3,2) (0,6)
(2) ；
(3)3
【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）由图可得答案；
（3）利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，ABC即为所求；
A(3,2) B(0,6)
（2）解：由图可得， ， ．故答案为：(3,2)；(0,6)；
906
l 3
（3）解：在旋转过程中，点 B 所经过的路径长为 BB 180 ．
故答案为：3．
题型二十 扇形与不规则图行的面积计算
例：（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为弧AC的中点，
OE AC D AB4，AC 2 3
交弦 于点 ，若 ，求：
(1)DE的长．
(2)阴影部分的面积．
【答案】(1)1
4π
(2) 3
3
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
1
（1）由E是弧 的中点，可得 ．根据垂径定理得：AD AC 3，在 中，运用勾
AC OE AC 2 Rt△OAD
股定理可将OD的长求出，由DEOEOD即可求解；
（2）利用阴影部分面积等于扇形AOC面积减去△AOC面积即可求出．
AC AC 2 3
【详解】（1）解：∵E是弧 的中点， ，
∴OE AC，
1
∴AD AC 3，
2
∵AB为半圆O的直径，AB4，
∴OAOE2，
Rt△OAD OA2 OD2AD2
在 中， ， 2
22 OD2 3
∴ ，
解得：OD1，
∴DEOEOD1，
∴DE的长为1；
（2）解：连接OC，
在RtAOD中，OD1，OA2，
1
\ cos�AOD ，
2
∠ AOD60，
OEAC，
AOC120，
120π�22 1 4π
\ S =S -S = - 创2 3 1= - 3．
阴影 扇形AOC AOC 360 2 3
89．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某
学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA20cm，
OB5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角AOC 120．现需在扇面一侧绘
制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）cm2．
25
π
A．
3
B．75π C．125π D．150π
【答案】C
【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面
积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，120202 400
S
cm2
，
扇形OAC 360 3
12052 25
S
cm2
，
扇形OBD 360 3
400 25
125(cm2)
所以山水画所在纸面的面积为： ．
3 3
故选：C．
90．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F 分
别为BC，AD的中点．以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F 为圆心，BE为半径作圆弧
BO，OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD面
积减去直角三角形CBD的面积之差．
【详解】解：连接BD，EF，如图，
正方形 的边长为2， 为对角线的交点，
ABCD O
由题意可得：EF，BD经过点O，且EFAD，EF CB．
点E，F 分别为BC，AD的中点，
FDFOEOEB1，
� �
OBOD OBOD
， ．以OB，OD为弦的两个弓形面积相等．
90 22 1
S S S 2 2 2．
阴影 扇形CBD CBD 360 2
故选：C．
91．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如图，点 P是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 O，在 P
点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 P点转动，转动过程
中，边界的两条光线分别与圆交于 A，B两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确
的是（ ）
A．点 P到弦 AB所在直线的距离存在最大值 B．弦 AB的大小改变
C．弦 PA与 PB的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变
【答案】A
【分析】
此题主要考查圆的基本性质，圆周角定理，点到直线的距离，掌握基础知识的综合运用是解此题的关键．
根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断
即可．
【详解】解：A、如图，连接PO，
当PO AB时，此时点P到弦AB所在直线的距离最大，故A正确；
AB AB
B、根据题意得：点A，B是圆O上的定点，所以 所对的弦的大小不变，即 的大小不变，故B错误；C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近AB，而当点P从点B向点A移动过程中，线段
PA与PB的长度之和发生变化，故C错误；
D、阴影部分面积分为弓形AB面积和ABP面积之和，弓形面积不变，而点P到AB距离不一定，所以
ABP面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误；
故选：A．
92．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，VABC中，C是直角，AB6cm，ABC 60，将
VABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的D处，则AC边扫过的图形中阴影部分
的面积是 ．
【答案】9π
【分析】本题考查的是扇形面积的计算．由将VABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长
D △ABC≌△EBD S 阴影 S 扇形ABE S BDE S ABC S 扇形BCD S 扇形ABE S 扇形BCD
线上的点 处，可得 ，由题给图象可知：
可得出阴影部分面积．
【详解】解：VABC中，C是直角，AB6cm，ABC 60
AC3 3cm BC 3cm
， ．
将VABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，
ABC≌EBD．
S S S S S
阴影 扇形ABE BDE ABC 扇形BCD
所以
12062 1 1 12032
33 3 33 3
360 2 2 360
1239π．
故答案为：9π．
题型二十一 圆锥侧面展开图
例：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线
长是6．(1)求这个圆锥的侧面展开图中ABC的度数；
(2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
【答案】(1)120
6 3
(2)这根绳子的最短长度为
【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，4为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
【详解】（1）解： 设ABC的度数为n，
n6
底面圆的周长等于22 ，
180
解得n120．
（2）解：连接AC，过B作BD AC于D，
∴CD AD，AC 2AD，BDA90
∵由（1）得n120
∴ABD60
∵BDA90
则DAB30
由AB6，
∴BD3，
AD 6232 3 3
∴ ，
AC 2AD6 3
∴ ，
6 3
即这根绳子的最短长度是 ．94．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（
）
A．6π B．12π C．15π D．24π
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面
积底面半径母线长．
S rl 3412
【详解】解： 侧 ，
故选：B．
95．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇
形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
3 1
3
【答案】 6 /6
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
连接AD，根据等边三角形的性质可求AD，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即
可求解．
【详解】解：连接AD，由题意得ADBC，是边长为2的等边三角形，
ABC
∴C 60
3
ADACsinC2 3，
2
60 3 3
扇形的弧长为 180 3 ，
3 3
圆锥的底面圆的半径是 2 ．
3 6
3
故答案为： ．
6
96．（2023·宁夏吴忠·一模）如图，用一个半径为10cm，弧长为12cm的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，
则圆锥的高AO cm．
【答案】8
【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆的周
长公式求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵弧长为12cm，
∴圆锥的底面周长为12cm，
∵圆锥的底面半径为6cm，
AO AB2OB2 10262 8cm
则圆锥的高，
故答案为∶8．
97．（21-22九年级上·全国·课后作业）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建2012m2 3.2m 1.8m
个底面积为 ，高为 ，外围高 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（ 取3.142，结果取整
数）？
【答案】738m2
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥母线l的长，再计算圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，然后计算20个蒙
古包所需毛毡的面积．
【详解】解：如图是一个蒙古包的示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为
12m2
，高
h
2
1.8m
；上部圆锥的高
h
1
3.21.81.4(m)
．
12
r 1.954(m)
圆柱的底面圆的半径 ，
21.9541.822.10
m2
侧面积为 ．
l 1.95421.42 2.404(m)
圆锥的母线长 ，
侧面展开扇形的弧长为21.95412.28(m)，
1
圆锥的侧面积为 2.40412.2814.76
m2
．
2
20(22.1014.76)738
m2
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡 ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长．注意在取近似值时需需面积应该用收尾法．
