文档内容
2024年高考数学模拟卷02（新题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为： 90分、100分、120分、115分、130
分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为（ ）
A．120 B．122.5 C．125 D．130
2．已知双曲线 的离心率 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差为（ ）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
4．已知 、 是不重合的两条直线， 、 是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
5．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友
谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往 ， ， 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只
能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去 ， 两个数点中的一
个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72 B．84 C．100 D．120
6．如图，在 中， ， 为 上一点，且 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点P满足 ，且 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆 B．P到原点最短距离为1C．P点轨迹是一个菱形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
8．若点 既在直线 上，又在椭圆 上， 的左、右焦点分别为 ，
，且 的平分线与 垂直，则 的长轴长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．已知函数 （ ， ， ），若 的图象过 ， ，
三点，其中点B为函数 图象的最高点（如图所示），将 图象上的每个点的纵坐标保
持不变，横坐标变为原来的 倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上单调递减
11．已知定义在 上的函数 满足 ，当 ，时，
.下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 在 上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合 的真子集的个数是 .
13．某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．14．若实数a，b，c满足条件： ，则 的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证： ．
16．（15分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道
题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题
的概率都是 ，甲乙正确回答每道题的概率分别为 ， ，且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率.
17．（15分）
已知：斜三棱柱 中， ， 与面 所成角正切值为 ， ，
，点 为棱 的中点，且点 向平面 所作投影在 内．
（1）求证： ；
（2） 为棱 上一点，且二面角 为 ，求 的值．18．（17分）
已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在 上，且 的面积为
．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记点 在 轴上的射影为点 ，过点 的直线 与 交于 两点．探究： 是否为定值，
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（17分）
约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称
为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为 .
（1）当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
（2）当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
（3）记 ，求证： .
