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2024年高考数学模拟卷02（新题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为： 90分、100分、120分、115分、130
分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为（ ）
A．120 B．122.5 C．125 D．130
【答案】C
【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为： ，
由于 ，故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125，故选：C
2．已知双曲线 的离心率 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得双曲线的焦点在 轴上时， ， ，
所以 ，由 ，解得 .故选：A.
3．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差为（ ）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
【答案】A
【解析】由题意得， ，解得 ，
∴数列 的公差为 .故选：A
4．已知 、 是不重合的两条直线， 、 是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】对于A选项，若 ， ， ，则 与 不一定垂直，A错；
对于B选项，若 ， ，则 与 的位置关系不确定，B错；
对于C选项，若 ， ， ，则 ，由线面平行的判定定理可得 ，C对；
对于D选项，若 ， ， ，则 、 平行或异面，D错.故选：C.5．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友
谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往 ， ， 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只
能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去 ， 两个数点中的一
个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72 B．84 C．100 D．120
【答案】C
【解析】若甲去 点，则剩余4人，可只去 、 两个点，也可分为3组去 ， ， 3个点.
当剩余4人只去 、 两个点时，人员分配为 或 ，
此时的分配方法有 ；
当剩余4人分为3组去 ， ， 3个点时，
先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有 ，
综上可得，甲去 点，不同的安排方法数是 .
同理，甲去 点，不同的安排方法数也是 ，
所以，不同的安排方法数是 .故选：C.
6．如图，在 中， ， 为 上一点，且 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 三点共线，所以 ，解得 ，所以 ，
而 ,所以 ,
即 .故选：D.
7．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点P满足 ，且 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆 B．P到原点最短距离为1
C．P点轨迹是一个菱形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
【答案】C
【解析】设P点坐标为 ，
则由已知条件 可得 ，整理得 ．
又因为 ，所以P点坐标对应轨迹方程为 ．
，且 时，方程为 ； ，且 时，方程为 ；
，且 时，方程为 ； ，且 时，方程为 ．
P点对应的轨迹如图所示：
，且 ，
所以P点的轨迹为菱形．A错误，C正确；
原点到 ： 的距离为 B错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为 ，D错误．故选：C．
8．若点 既在直线 上，又在椭圆 上， 的左、右焦点分别为 ，
，且 的平分线与 垂直，则 的长轴长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】过点 、 分别作 、 垂直直线 于点 、 ，
作 的平分线 与 轴交于 ，
由 ，故 、 ，
则 ， ，由 且 为 的平分线，故 ，故 ，
又 、 ，故 与 相似，
故 ，
由 ，令 ，则 ，
故直线 与 轴交于点 ，故 ，
，故 ，
由 ，故 ， ，
故 ， ，
由椭圆定义可知， ，
故 ，即 的长轴长为 .故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】若 ，则 互为共轭复数，故 ，故A正确；
若 ，则 ，而 ，故B错误；
设 ，
若 ，则 ，
又 ，
故 ，故C正确；
若 ，则 ，而 ，故D错误．故选：AC10．已知函数 （ ， ， ），若 的图象过 ， ，
三点，其中点B为函数 图象的最高点（如图所示），将 图象上的每个点的纵坐标保
持不变，横坐标变为原来的 倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】由题意得 ， ， ，所以 ，.
由 ，得 ，由图知 在 上单调递增，
所以 ， ，所以 ， .
又 ，只可能 ，所以 ，
所以 ， ，故A错误，B正确；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
令 （ ），解得 （ ），
令 ，得 ，
又 包含 但不是其子集，故D错误.故选：BC.
11．已知定义在 上的函数 满足 ，当 ，时，
.下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 在 上单调递增【答案】ACD
【解析】令 ，可得 .
令 ，可得 .因为当 时， ，所以 .
令 ，可得 .
因为 ，所以当 时， .
又因为当 时， ，所以当 时， .
令 ，可得 ，①
所以 ，两式相加可得 .
令 ，可得 .②
①-②可得 ，
化简可得 ，所以 是奇函数，C正确.
由 ，可得：
，B错误.
由 可得 解得 ，A正确.
令 ，可得 .
令 ，则 .
因为当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增.
因为 为奇函数，所以 在 上单调递增，D正确.故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合 的真子集的个数是 .
【答案】31
【解析】 共5个元素，
则真子集的个数是 .13．某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．
【答案】
【解析】如图，在正方体中取各边棱长中点得正六边形 ，
则正六边形 的边长为 ，
其最大内切圆的半径为 ，
正方体的体对角线的一半为圆锥的高 ，
所以圆锥的最大体积为 .
14．若实数a，b，c满足条件： ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】利用均值不等式得 ，
即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，所以 ．
所以 ， ，即 ， ．
所以 ，
当且仅当 时，取得等号．
故 的最大值是 ．
证明： ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 ．（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1） ，所以切点为 .
， ，所以切线为 .
（2）要证 ，只需证： ，即证： .
令 ， .
令 ，解得 .
所以 ， ， 为增函数，
， ， 为减函数.
所以 ，
所以 恒成立，即证 .
16．（15分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道
题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题
的概率都是 ，甲乙正确回答每道题的概率分别为 ， ，且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件 ，
由题意， 发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，
∴ ，故比赛开始，甲先得一分的概率为 .
（2）由（1）知：在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为 ， ，
设两人共抢答了 道题比赛结束且甲获胜，
根据比赛规则， 的可能取值为3，4，5，
∴ ， ， ，∴甲获胜的概率 .
17．（15分）
已知：斜三棱柱 中， ， 与面 所成角正切值为 ， ，
，点 为棱 的中点，且点 向平面 所作投影在 内．
（1）求证： ；
（2） 为棱 上一点，且二面角 为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取线段 的中点 ，连接 、 ，
在斜三棱柱 中， 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以， 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，
所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
又因为 ，则 ，因为 ，则 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， .
（2）由（1）可知， 平面 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，则 平面 ，所以，直线 与平面 所成的角为 ，
所以， ，则 ，
因为 ，可得 ， ，
因为 ，则 ， ，
所以， ，则 ，
因为 为 的中点，所以， ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
，则 ，
即点 ，同理可得点 、 ，
设 ，其中 ，
则 ，且 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量为，
因为二面角 为 ，
则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，即 .
18．（17分）
已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在 上，且 的面积为
．（1）求双曲线 的方程；
（2）记点 在 轴上的射影为点 ，过点 的直线 与 交于 两点．探究： 是否为定值，
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，为定值．
【解析】（1）设双曲线的焦距为 ，
由题意得， ，解得 ，故双曲线 的方程为 ．
（2）由题意得， ，
当直线 的斜率为零时，
则 ．
当直线 的斜率不为零时，
设直线 的方程为 ，点 ，
联立 ，整理得 ，
则 ，解得 且 ，
所以 ，
所以
．
综上， ，为定值．19．（17分）
约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称
为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为 .
（1）当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
（2）当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
（3）记 ，求证： .
【答案】（1）8；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】（1）当 时正整数 的4个正约数构成等比数列，
比如 为8的所有正约数,即 .
（2）由题意可知 ， ， ， ，
因为 ，依题意可知 ，所以 ，
化简可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因此可知 是完全平方数.
由于 是整数 的最小非1因子， 是 的因子，且 ，所以 ，
所以 为 ，
所以 , .
（3）证明：由题意知 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以
，因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 .
