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第十六章 二次根式 知识清单
一、二次根式的概念
一般地，我们把形如❑√a (a≥0)的式子叫做二次根式，“❑√❑”称为二次根号.
【深度理解】
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号❑√❑；
4.a≥0，❑√a≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
二、二次根式的有意义的条件
1.单个二次根式如❑√A有意义的条件：A≥0
❑√A+❑√B+...+❑√N
2.多个二次根式相加如 有意义的条件：B √ 1
3.二次根式作为分式的分母如 或❑ 有意义的条件：A＞0
❑√A A
❑√A C
4.二次根式与分式的和如 或❑√A+ 有意义的条件：A≥0且B≠0
B B
三、二次根式的性质
性质一：一般地， (a≥0)
(❑√a) 2=a
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式❑√a有意义的前提条件.
性质二：一般地，根据算术平方根的意义， (a≥0)， (a＜0)
❑√a2=a ❑√a2=-a
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
❑√a2=|a|
四、代数式及其写法
s
回顾我们学过的式子，如 5，a，a+b，-ab， ，-x3，❑√3，❑√a (a≥0)，它们都是用基本运算
t
符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我
们称这样的式子为代数式.
代数式书写格式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a×b 通常写作a·b或ab.
2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如： a×2通常写作2a.
2 11
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：3 ×a通常写作 a.
3 3
3
4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: .
y5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由 2℃上升
t℃后是(2+t)℃.
六、二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则：❑√a•❑√b=❑√ab (a≥0，b≥0)
即：二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
2.积的算术平方根的性质：❑√ab=❑√a⋅❑√b（a≥0，b≥0）
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
七、二次根式的除法
1.二次根式的除法法则：❑√a √a (a≥0，b＞0)
=❑
❑√b b
即：二次根式相除，________不变，________相除.
语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2.二次根式的商的算术平方根的性质:
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
八、最简二次根式
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
九、二次根式的加减1.同类二次根式:化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.
2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同
类二次根式)进行合并.
加减法的运算步骤：
(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找—找出被开方数相同的二次根式；
(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
十、二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算：
二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
2.二次根式与乘法公式的综合运用：
二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式
乘法公式进行计算.运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式.
