文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先解出集合B，进而求出交集即可.
【详解】由题意， ，则 .
故选：A.
2．若复数z (i是虚数单位)，则|z|=（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算.
【详解】z .
所以|z| .
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．非零向量 、 满足： ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意得出 ，在方程组中消去 ，可得出 和 的等量关系，即可得出 的
值.
【详解】由题意可得 ，即 ，① ② 得 ，
即 ，因此， .
故选：B.
4．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为 ．成绩分析时发现有三名同学的成绩
录入有误， 同学实际成绩137分，被错录为118分； 同学实际成绩115分，被错录为103分； 同学
实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.
【详解】设班级人数为 ，因为 ，所以更正前后平均分不变，
且 ，所以 ．
故选：C
5．已知实数 ， ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，及特殊值，逐一分析选项即可.
【详解】对于A：当 时，不成立，所以A错误；
对于B：由指数函数 图象与性质得，其在 是减函数，， ，所以B正确；
对于C：当 时，不成立，所以C错误；
对于D：幂函数 在 单调递减，而 ，
所以 ，所以D错误.
故选： .
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正切公式可得出关于 的方程，解出 的值，再利用二倍角的余弦公式以及
弦化切可求得 的值.
【详解】因为 ，
整理可得 ，解得 ，
所以， .
故选：C.
7．已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且 ，点 为双曲线右支一点，
为 的内心，若 成立，给出下列结论：
①当 轴时，
②离心率③
④点 的横坐标为定值
上述结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【解析】当 轴时，求出 ，判定①不正确；通过求解离心率，可判定②正确；设
的内切圆半径为 ，利用面积公式求得 ，可判定③正确；设内切圆与 , 的切点分别为
，结合双曲线的定义，求得 的横坐标，可判定④正确.
【详解】当 轴时，可得 ，此时 ，所以①不正确；
因为 ，所以 ，整理得 ，
可得 （其中 为双曲线的离心率， ），所以 ，所以②正确；
设 的内切圆半径为 ，
由双曲线的定义可得 ，
其中 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以③正确；
设内切圆与 , 的切点分别为 ，
可得 ，
因为 ，
可得 ，则点 的坐标为 ，所以 点横坐标为 ，所以④正确.
故选：D.
8．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得 ，由题意转化为 在 上恒成立，设 ，求得
，令 ，利用导数求得 单调递增，结合 ，得到
在 上单调递减，利用 ，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 上单调递增，可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，可得 ，
令 ，可得
当 时， ，所以 单调递增，
又因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：
“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截
（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个
四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．
若长方体的体积为V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为 ，则下列选项不正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积 的数量关系，即可得答案.【详解】解：由题意，堑堵的体积 ，阳马的体积 ，鳖臑的体积 ，
所以 ， ， ，即 ，
所以 ，
所以，ACD选项正确，B选项错误.
故选：ACD
10．已知数列 中， ，且 ，则能使 的n可以是（ ）
A．4 B．14 C．21 D．28
【答案】AD
【分析】由已知条件计算可得数列 是以3为周期的周期数列，从而可求得答案
【详解】因为 ，且 ，
所以 ， ，
，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
所以 ，
所以n可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……
故选：AD
11．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
12．已知抛物线 的焦点为 是 上相异两点，则下列结论正确的是
（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AB
【分析】利用抛物线的性质结合平面向量的坐标表示计算一一判定即可.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
对于A项， ，
故 ，即A正确；
对于B项，若 ，
又 ，解得 ，故 ，即B正确；
对于C、D项，当 ，直线 位置不固定，故弦长不定，即C错误；
同样当 ，点 位置不固定，故弦长不定，即D错误.
故选：AB
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。
13．某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为 =80，方
差为 ．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布
（其中μ近似为平均数 ， 近似为方差 ，则估计获表彰的学生人数为 ．（四舍
五入，保留整数）
参考数据：随机变量X服从正态分布 ，则 ，， ．
【答案】27
【分析】根据题意得到 ，结合 原则和正态分布的对称性求出
，求出获得表彰的学生人数.
【详解】由题意得： ，
故 ，
所以 ．
故答案为：27.
14．已知直线 与 ： 交于 ， 两点，写出满足“三角形 面积为2”的 的
一个值 .
【答案】1(或-1)
【分析】由直线所过定点 也在 上，则 ，由面积可知点 在到 轴的距离为2，可求坐标，
代入直线方程求 的值.
【详解】直线 过定点 ，点 也在 上，故可设 ，
，三角形 面积为2，则点 到 轴的距离为2，
点 在 上，则有 或 ，代入直线方程解得 或 .
故答案为：1(或-1)
15．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处 海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，
距A处2海里的C处的缉私船奉命以 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速
度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：
）【答案】15
【分析】由已知条件，先解 ，利用正余弦定理得 及 为东西走向，再解 ，利用利
用正弦定理得 ，进而得到 ，利用路程与速度的比即可求时间.
【详解】设缉私艇最快在 处追上走私船，追上走私船需t小时，
则 ， ，
∴在 中，已知 , ,
，
由余弦定理得，
，即 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
，
∴ 为东西走向， ，
在 中，由正弦定理得 ，
则 ，且 为锐角，∴ ，
即 ，∴ 小时，即 分钟.
故答案为： .
16．已知函数 ，若 恰有2个零点，则实数a的值为 ，若关于x的
方程 恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】 ；
【分析】先利用导数研 的 的图象，再作出 的图象, 恰有2个零点，则
与 有2个交点，数形结合即可得实数a的值;若关于x的方程 恰有4
个不同实数根，令 ，通过分析可得 有2个不等根 ,且 ，
，再数形结合即可建立 的不等式组，即可求解
【详解】当 时 ，则 ， ，
令 ，解得 ，
所以当 时， , 单调递增， 时， , 单调递减,
再根据题意可作出 的图象如下:若 有2个零点,则 与 有2个交点，数形结合可知 ;
若关于x的方程 恰有4个不同实数根，
令 ，则 有两个不等实数根 ，
故 ， 与 都有2个交点或者 与 仅1个交点， 与 有3个交点；
当 ， 与 都有2个交点，根据图象可得 ，不满足 ，舍去；
当 与 仅1个交点， 与 有3个交点，则 ， ，
当 时， ，解得 ，故 ，解得 或 ，舍去；
故 两个实数根的范围为 ， ，
所以 解得 ，
所以实数m的取值范围为 ，
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到 与
仅1个交点， 与 有3个交点，并通过分析得到 ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、
证明过程及验算步骤。17．在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、B、C，且 ．
(1)求角B的大小；
(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高．
条件①： ，b＝1；
条件②：b＝2， ；
条件③：a＝3，c＝2．
注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后整理计算可得答案；
（2）若选择条件①：由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答案；若选择条
件②：根据正弦定理计算得 ，得到△ABC不存在；若选择条件③：由三角形的两边及其夹角确定
可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.
【详解】（1）由正弦定理边化角得 ，
，得 ，
，
，
（2）若选择条件①： ，b＝1， ，， ，
则△ABC中 均唯一确定，又 ，则△ABC存在且唯一，
由正弦定理
，
AC边上的高为 ；
若选择条件②：b＝2， ，
由正弦定理 得 ，
ABC不存在；
△
若选择条件③：a＝3，c＝2， ，
由a＝3，c＝2， 可得△ABC存在且唯一，
由余弦定理 ，则 ，
由正弦定理 得 ，
AC边上的高为 ；
18．已知数列 的前 项和为 ， 为等差数列 的前 项和，且满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由 计算可得结果.
（2）求等差数列乘以等比数列的前n项和通过错位相减法可得结果.
【详解】（1）①当 时， ；
②当 时， ，
③将n=1代入 中得： 符合.
∴ ，
设等差数列 的公差为d，
则 ，解得： ，
∴ .
（2）由（1）知： ，
∵
∴ ①
②
∴ 得：
即： ，
∴ .
19．为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 )、推理能力(指标 )、建模能力(指标 )的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标 的值评定学生的数学核心素养，若 ，
则数学核心素养为一级；若 ，则数学核心素养为二级；若 ，则数学核心素养为三级，为
了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
学生编
号
(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为 ，求随机变量 的分布列
及其数学期望.
【答案】（1） ；（2）见解析
【分析】（1）根据条件，列出各项指标的表格，根据条件概率列出各种情况，由古典概率求解．
（2）根据（1），列出X的分布列，根据数学期望的公式求得数学期望．
【详解】
x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2
y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2
z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2
w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6
（1）由题可知:建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是 ；建模能力三级的学生是
.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件 .
则
(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: ，非一级的学生为余下4人
的所有可能取值为0,1，2，3.随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
【点睛】本题考查了条件概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求解，根据题意列出表格是关
键，属于基础题．
20．如图，平面 平面 ，且 ．
(1)求证：平面 平面 ;
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可证得平面 平面 ;
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角 的正弦值.
【详解】（1）分别取 的中点 ，连接 ，
则 为 的中位线，则 ， ，又 ， ，则 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，可得 平面 ，
又 平面 ，则 ，则 ，
又 中， ，则 ,
又 平面 ，则 平面 ，
又 ，则 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 .
（2）当 时，由 ，可得 为等边三角形，
在平面 内，过点B作 ，垂足为B，
又由（1）可得 平面 ，则 两两垂直，
以B为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图：
则 ,
则
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，则 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，则 ；
则 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，
又 ，则
则二面角 的正弦值为 ．
21．已知圆M： ，点 ，S是圆M上一动点，若线段SN的垂直平分线与SM交于点
Q.
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)对于曲线C上一动点P，且P不在x轴上，设 PMN内切圆圆心为E，证明：直线EM与EN的斜率之积
为定值. △
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据垂直平分线性质可知 ，可得 ，满足椭圆定义，由此
可求得点轨迹方程；
（2）根据条件求出点E的坐标，再利用斜率公式进行解题即可.【详解】（1）圆M： 的圆心 ，半径 .
设SN中点为K，则KQ为线段SN的垂直平分线，则 ，
所以 ，
所以点Q的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆，
即 ，则 ，
所以点Q的轨迹方程为： ；
（2）证明：根据椭圆的对称性，不妨设 ，圆E的半径为 .
，
同理 ，所以 ，
又 ，
所以 .
对于 ， ，
又 ，
所以 ，所以 ，
，
即直线EM与EN的斜率之积为定值 .
22．已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求 的取值范围；
(2)记两个极值点为 ，且 . 若 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将 在 有两个不同根转化为方程 在 有两个不同根，再构造函
数 ，利用导数研究函数 的单调性和最值，进而求出 的取值范围；
（2）两边取对数，将证明 转化为证明 ，再利用（1）合理转化，将问题转化
为证明 恒成立，再通过求其最值进行证明.
【详解】（1）由题意知，函数 的定义域为 ， ，
方程 在 有两个不同根，即方程 在 有两个不同根，
即方程 在 有两个不同根，
令 ， ，则 ，
则当 时， ， 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又因为 ，当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 ；
（2）要证 ，两边取对数，等价于要证 ，
由（1）可知 ， 分别是方程 的两个根，
即 ，
所以原式等价于 ，因为 ， ，
所以原式等价于要证明 .
又由 ， 作差得， ，即 .
所以原式等价于 ，令 ， ，
则不等式 在 上恒成立.
令 ， ，
又 ，当 时，可见 时， ，
所以 在 上单调增，
又 ， ，
所以 在 恒成立，所以原不等式恒成立.
