文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷01
第 I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么 ．
•如果事件A、B相互独立，那么 ．
•球的体积公式 ，其中R表示球的半径．
•圆锥的体积公式 ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ,
,
则 .
故选：D
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】 ，故 或 ； ，则 或 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数，
对于A，定义域为 ，因为 ，所以此函数是偶函数，不满足条件，
排除A，
对于D，定义域为 ，因为 ，且 ，
所以此函数是非奇非偶函数，不满足条件，排除D，
对于C，因为 和 在 上为增函数，所以 在 上为增函数，不满足条件，
排除C，对于B，定义域为 ，因为 ，所以此函数是奇函数，当 时，
，则 ，所以当 时， ，即 在 上单调递增；当 时，
，即 在 上单调递减；
又因为 ，且 时， ，故B选项符合题意.
故选：B．
4．已知 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，
则 .
故选：C.
5．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
由对数函数 的图象与性质知 ，
∴ ；∵由对数函数 的图象与性质知 ，
∴ ；
∵由指数函数 的图象与性质知 ，
∴ ；
∴ ．
故选：A.
6．下列说法中正确的个数为（ ）个
①互斥事件一定是对立事件.
②在回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 增加0.1个单位；
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
④在回归分析模型中，若相关指数 越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】互斥事件不一定对立，所以①是错误的；
根据回归直线方程中回归系数的含义，可知当回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位
时，预报变量 增加 个单位,②是正确的；
根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近 ，两个变量的相关性就越强，所以③是正确的；
根据回归分析的基本思想可知相关指数 越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，④是正确的．
故选：C.
7．关于函数 有下述四个结论，其中结论错误的是（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于 对称 D． 在 上单调递增
【答案】C【解析】 ,
选项A: 选项正确；
选项B:令 ， ，故有 的图象关于直线 对称，选项正确；
选项C: 令 ，结合三角函数图象性质， 的图象不关于 对称，选项错误；
选项D: 结合三角函数图象性质， 在 上单调递增.
故选C.
8．已知双曲线 的左､右焦点分别为 为双曲线上第二象限内一点，若渐近线
垂直平分线段 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
到渐近线 的距离为 ，
因为渐近线 垂直平分线段 ，所以 ，
又因为 ，据双曲线的定义知： ，即 ，所以 ，
故选：A.
9．已知函数 ，若函数 有6个零点，则 的值可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可函数 大致图象如图所示，
令 ，则由题意可得 有2个不同的实数解 ， ，且 ，
则 ，观察选项可知， 满足题意.
故选：C．
第 II 卷
注意事项
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
10．已知复数 满足 ，则 ．【答案】
【解析】由 得 ，
所以 ，
故答案为： .
11．在二项式 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】
【解析】由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以展开式中 的系数为 .
故答案为： .
12．直线 被圆 截得的最短弦长为 .
【答案】
【解析】直线 ，即 ，
令 ，解得 ，所以直线 恒过点 ，
又圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，
当 时直线 被圆 截得的最短弦长，
最短弦长为 .
故答案为： .13．如图，在正四棱台 中， ，且各顶点都在同一球面上，则该球
体的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示的正四棱台 取上下两个底面的中心 ，
连接 ， ， ，过点 作底面的垂线与 相交于点 ，
因为四棱台 为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线 上，
在 上取一点 为球心，
连接 ，则 ，
设 ，因为 ，
A B C D
1 1 1 1
且四边形 和 均为正方形，
所以 ，
，
所以 为正方形，
故 必在 延长线上，在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
联立解得 ，
所以 .
故答案为： .
14．语文老师抽查小明古文背诵的情况，已知要求背诵的15篇古文中．小明有2篇不会背诵．若老师从这
15篇古文中随机抽取3篇检查，记抽取的3篇古文中，小明会背诵的篇数为 ，则 ；
．
【答案】 /2.6
【解析】由题意，离散型随机变量 的所有可能取值为 ，
， ， ，
，
.
故答案为： ； .
15．已知正 的边长为1，中心为 ，过 的动直线 与边 ， 分别相交于点M、N，
， ， ．（1）若 ，则 .
（2） 与 的面积之比的最小值为 .
【答案】 /
【解析】（1）
；
（2）因为 ，所以 ，
因为M，O，N三点共线，故 ，即 ，
又因为 ， 而 ， ，
则 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 与 的面积之比的最小值为 .
故答案为： ； .
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤
16．（15分）在 中，角 、 、 所对的边为 、 、 ．已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由余弦定理得 ，所以， ，由正弦定理可得 ，且 ，则 ，
因为 ，则 ，
所以， ，解得 ， .
（2）解：因为 ，则 为钝角， 、 为锐角，
，
，
因此， .
17．（15分）如下图，在三棱锥 中， 分别是 的中点， ，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【解析】（1）连接OC.∵ ， 是 的中点，
∴ ，且 .
又 ， 是 的中点，
∴ ，且 .
在 中， ，所以 ，即 .
又 ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 .
由 是 的中点，知 ，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角.
在 中， ， .
∵OM是直角三角形AOC斜边上的中线，∴ .
在 中，由余弦定理可得：
，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .
（3）设点 到平面 的距离为h.
.
在△ 中， ，
∴ .
∴ .
即点 到平面 的距离为 .
18．（15分）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，是否存在实数 使得对任意的 ，恒有 ？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，且 .
【解析】（1）对任意的 ， .
当 时， ，即 ;
当 时，由 可得 ，两式作差得 ，即 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ；
（2）由（1）得 ，
可得 ，
，
两式相减得 ，
因此， ；
（3）存在．由（1）得 ．
假设存在实数 使得对任意的 ，恒有 ，
即 ，则 ，
即 ，即 ．
当 为正偶数时， ，则 ， ，
由于数列 单调递减，所以， ；
当 为奇数时， ， ， ，
由于数列 单调递增，则 .
综上所述， .19．（15分）已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的
与直线 相切.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过定点 斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，若 ，求实数 的值及 的面
积.
【答案】(1)
(2) ， 的面积为
【解析】（1）由题意知离心率 ，所以 ，即 .
以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的 与直线 相切，有 ，
所以 ，故椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为
由 ，消去 得 ，
∴ ，
，解得 .∴ ，
所以 ，
点 到直线的距离 ，
所以 的面积
20．（15分）已知函数
(1)当a=0时，求函数 在x=1处的切线方程
(2)若函数 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围；
(3)令 ，是否存在实数 ，当 时，函数 最小值为3.若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【解析】(1)当 时， ， ， ， ，所以函数 在x=1
处的切线方程为： ，即 .
(2)若函数 在区间 上是减函数，即 在 上恒成立，只需 在 上的
最小值，其中 在 上单调递减，故 ，所以 ，故实数 的取值范围是 .
(3)存在 ，使得当 时，函数 最小值为3.
理由如下：
， ，因为 ， ，当 时， 恒成
立， 单调递减，故 最小值为 ，解得： ，与 矛盾，舍去
当 时，令 得： ，令 得： ，即 在 单调
递减，在 单调递增，故 ，解得：
所以存在实数 ，当 时，函数 最小值为3.
