文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知复数 （ ， 且 ），且 为纯虚数，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 为纯虚数，所以 ，即 （舍）或 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：D
2．已知集合 和集合 满足： 有2个元素， 有6个元素，且集合 的元素个数比集合 的元
素个数多2个，则集合 的所有子集个数比集合 的所有子集个数多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【分析】设集合 和集合 的元素个数分别为 ，根据条件列方程求出 ，然后根据集合子集个数的
公式求出集合 和集合 的所有子集个数，然后做差即可.
【详解】设集合 和集合 的元素个数分别为 ，
则由 有2个元素， 有6个元素可知， ．
即 ①．
又因为集合 的元素个数比集合 的元素个数多2个，所以 ②．
联立①②可得 ， ，即集合 和集合 的元素个数分别为5和3，
所以集合 的所有子集个数和集合 的所有子集个数分别为 ， ，
所以 ，
故选：C．
3．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 时 的范围，及当 时， 的取值，利用排除法即可得解.
【详解】令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
故排除CD，
又当 时， ，故排除B.
故选：A.
4．已知向量 ， ，且 ，若 ，则 在 方向上的投影向量的坐标是（ ）
2
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试卷第2页，共20页A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.
【详解】 ，故 ，解得 ，所以 ，
则 在 方向上的投影向量为 .
故选：A.
5．已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，P是它们的一个公共
点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求 ，根据双曲线离心率的定义可得结果.
【详解】因为 ， ，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
， ，
由 ，
解得 ，而 ，所以双曲线 的离心率 ．
故选：A．
6．已知直线 和圆 相交于M，N两点，当 的面积最大时，m＝
（ ）
A． 或 B． 或C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】结合圆的几何性质，求得弦长与点到直线的距离即可求解.
【详解】圆 ，圆心为 ，半径为 ，
则圆心到直线 的距离为 ，
则弦长为 ，
则 的面积为
令 ， ，则 ，
则当 时， 取得最大值，
此时 ，解得 或 .
故选：C
7．已知 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.
【详解】 ，
，
，分子分母同时除以 得：
4
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试卷第4页，共20页①，
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，代入①得：
，解得 .
故选：B
8．已知等差数列 的前 项和为 ，且关于正整数 的不等式 与不等式
的解集均为 ．
命题 ：集合 中元素的个数一定是偶数个；
命题 ：若数列 的公差 ，且 ，则 ．
下列说法中正确的是（ ）
A．命题 是真命题，命题 是假命题 B．命题 是假命题，命题 是真命题
C．命题 是假命题，命题 是假命题 D．命题 是真命题，命题 是真命题
【答案】B
【分析】举反例即可判断命题 为假；由 可知 单调递增，结合 且 可知，即可判断命题 为真.
【详解】对于命题 ：当 时， 的解集为 ，
的解集为 ，此时集合 中元素的个数是1，
故命题 为假命题；
对于命题 ：又公差 ，则 单调递增，
由 ，得 且 ，
解得 且 ，所以
所以 ，故命题 为真命题.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航
天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，
91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩.下列说法正确的是（ ）
A．众数为95 B．中位数为93
C．平均成绩超过93分 D．第 分位数是91
【答案】ACD
【分析】根据题意将成绩排序，结合众数、中位数、平均数、百分位数相关知识求解即可.
【详解】将成绩按从小到大的顺序排序为： ，
对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确；
对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为 ，故B错误；
对于C，平均数为 ，故C正确；
6
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试卷第6页，共20页对于D， ，所以第 分位数是第二个数，为91，故D正确.
故选：ACD
10．根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪
音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单
位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会
严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为 （dB），那么满足：
.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业
混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB．已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安
静住宅区测得声音的实际强度分别为 ， ， ，则（ ）
A． B．若声音强度由 降到 ，需降为原来的
B． D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍
【答案】AD
【分析】根据题目分贝数函数求出 ， ， ，即可判断ABC，再分别求出40分贝数和60分贝数对应的
声音强度即可判断D.
【详解】由题意可知， ，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
则 ，所以 ， 与 大小关系不确定，由此可知A正确，B错误；
因为 ， ，所以 ，C错误；
当声音强度的等级为60dB时，有 ，即 ，得 ，此时对应的强度 .
当声音强度的等级为40dB时，有 ，
即 ，得 ，此时对应的强度 ，
所以60dB的声音与40dB的声音强度之比 ，D正确.
故选：AD
11．已知二次函数 满足对于任意的 且 ．若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设 ，根据题意，求得 ，由 ，得到
，设 ，得到 ，结合三角函数的性质，逐项计
算，即可求解.
【详解】设二次函数 ，
因为 ，令 ，可得 ，故 ，所以 ，
令 ，得 ，故 ，即 ；
又因为 ，即 ，解得 ，所以 ，
由 ，可得 ，
设 ，即 ，
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试卷第8页，共20页从而 ，故A错误，B正确；
又由
，所以C错误、D正确．
故选：BD．
12．半正多面体亦称“阿基米德体多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由
4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为
1，则下列结论正确的是（ ）
A．该半正多面体的表面积为
B．该半正多面体的体积为
C．该半正多面体外接球的的表面积为
D．若点 分别在线段 上，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质，球的截面圆的性质，以及多面体的侧面展开图，结合
棱锥的表面积与体积公式，以及球的表面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，其棱长
为1，A中，该半正多面体的表面积为 ，所以A错误.
B中，如图所示，该半正多面体所在的正四面体中，可得正四面体的棱长为 ，
取正四面体的下底面的中心为 ，连接 ，则 底面 ，
在直角 中，因为 ， ，
所以 ，
即该半正多面体所在的正四面体的高为 ，体积为 ，
该半正多面体的体积为 ，所以B正确；
C中，该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，
记球心为 ，半径为 ， 的中心为 ，
连接 ，由等边 的边长为 ，可得 ，
又由底面正六边形 的边长为 ，可得 ，
在正四面体 中，可得 ，所以 ，
设 ，因为 ，可得 ，
即 ，解得 ，即 ，
所以 ，故该半正多面体外接球的表面积为 ，
所以C正确.
1
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0
试卷第10页，共20页D中，该半正多面体的展开图，如图所示，
则 ，所以D正确.
故选：BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中 的系数为 .
【答案】
【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得 的展开式中 项的系数.
【详解】 表示5个因式 的乘积，
在这5个因式中，有1个因式选 ，其余4个因式选1，相乘可得含 的项；
或者有3个因式选 ，1个因式选 ，1个因式选1，相乘可得含 的项；
故 项的系数为： .故答案为： .
14．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木
料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意
趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则
该米斗的外接球的表面积是 ．
【答案】
【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心 所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组
得外接球半径，最后求出外接球表面积即可．
【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为 ，下底面中心为 ，
由棱台的性质可知，外接球的球心 落在线段 上，
由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10，
则 ， ， ，
所以 ，
设外接球的半径为 ， ，则 ，
因为 垂直于上下底面，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
联立解得 ， ，
所以该米斗的外接球的表面积为 ．
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2
试卷第12页，共20页故答案为：
15．函数 经过点 ，图象如图所示，图中阴影部分的面积为 ，则
.
【答案】
【分析】根据阴影部分的面积以及已知点求得 的解析式，进而求得 .
【详解】由图可知 ，
则 ，
依题意， ，
由于 ，
所以 ，所以 .
则
.
故答案为：
16．已知抛物线Γ： 与直线 围成的封闭区域中有矩形 ，点A，B在抛物线上，点
C，D在直线 上，则矩形对角线 长度的最大值是 .
【答案】4
【分析】由题意首先画出图形，不妨设 ，结合图形以及 分别算出参数 的范围
以及目标函数表达式，从而即可求解.
【详解】如图所示：
联立 ，解得 或 ，
得抛物线Γ与直线 的两个交点分别为 ，
由题意四边形 是矩形，故 ，且注意到
1
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4
试卷第14页，共20页所以不妨设 ，
又 ，所以 ，
所以由图可知 ，
联立 ，
因此 ，
而 ，
由两平行线间的距离公式可知 ，
从而 ，
所以当且仅当 时， 长度取最大值是 .
故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出
目标函数表达式只需仔细计算即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020
年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额 （单
位：万元）与时间第 年进行了统计得如下数据：
1 2 3 4 5
2.6 3.1 4.5 6.8 8.0
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当 时的利润额．
附： ，
， ．
参考数据： ， ， ， ．
【答案】(1) ，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2) ， 万元．
【分析】（1）先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较，进而得到结果；
（2）先利用公式求得 ，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当 时的利润额．
【详解】（1）由题表， ，
因为 ， ， ，
所以 ．
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
（2） ， ，
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试卷第16页，共20页所以 ．当 时， ．
预测该专营店在 时的利润为 万元．
18．已知数列 的首项 ， 是 与 的等差中项．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题设 ，构造法得到 ，即可证结论.
（2）由（1）及放缩法得 ，再应用等比数列前n项和公式求和，即可证结论.
【详解】（1）由题设 ，又 ，
所以 是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知： ，则 ，显然 时 成立，
当 有 ，此时 ，
综上， ，得证.
19．在直三棱柱 中， ， 为 的中点.(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ， ，求二面角 的平面角的正切值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 为 的中点得 ，然后两边平方即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角.
【详解】（1）因为点 为 的中点，所以 ，
两边平方可得 ，
故 .
（2）由题意及 ，知 ， ， 两两互相垂直，所以以 为坐标原点，
， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
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试卷第18页，共20页则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 ，可得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 ，可得 .
设 与 的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，
则 ，
由图观察可得该二面角的平面角为锐角，
故 ， ，所以 ，
即二面角 的平面角的正切值为 .
20．已知① ，② ，③ ，从上述三个
条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在 中，内角 的对边分别为 ，并且满足
__________.
(1)求角 ；
(2)若 为角 的平分线，点 在 上，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理或余弦定理实现边角互化，从而求角 的大小；
（2）用余弦定理结合三角形面积公式求解.
【详解】选①：由 ，
得 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
所以 .
选②：由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
2
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试卷第20页，共20页选③：由 得
则
即 ，
且 ，可知 ，则 ，
解得 ，即 ，
，故 .
（2）由 ，得 ，
即 .
由余弦定理得 ，所以 .
解得 （舍去）或 ，所以 .
21．已知双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ，点 到 的一条渐近线的距离为 ，
动直线 与 在第一象限内交于B，C两点，连接 ， .
(1)求E的方程；
(2)若 ，证明：动直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的方程写出渐近线方程以及焦点F的坐标，利用点到直线距离公式求得 ，
即可得到双曲线的方程；（2）联立直线l与双曲线E的方程，根据韦达定理得到B，C的横坐标满足 ， ，
由题中条件结合斜率定义及两角和差的正切公式可得 ，整理后得到m与k的关系，即可得
证.
【详解】（1）由题可得，双曲线 的一条渐近线方程为 ， ，
则点 到 的一条渐近线的距离 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）证明：由（1）可得 ， ，
依题意，直线 的斜率一定存在，
所以设直线 ， ， .
因为动直线 与 在第一象限内交于B，C两点，且E的一条渐近线斜率为1，所以 .
联立 整理得 ，
则 ，
根据韦达定理得， ， .
由斜率定义得， ， .
因为 ，
所以 ，
2
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2
试卷第22页，共20页化简得， ，即 ，
变形得， ，①
将 代入①整理可得，
，②
将 ， 代入②得，
，
化简得， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 ，此时直线 过点 ，不符合题意；
当 时，直线 ，此时直线 过点 .
综上，动直线 过定点 .
【点睛】关键点点睛：本题第（2）小问中，解题关键在于利用斜率与倾斜角的关系及两角和差的正切公
式，将题中条件 转化成 与 的关系，进而利用韦达定理化简求解.
22．已知函数 ．
(1)若直线 与函数 的图象相切，求实数a的值；(2)若函数 有两个极值点 和 ，且 ，证明： ．（e为自然对数的底
数）．
【答案】(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义结合已知求出a的值.
（2）求出函数 及其导数，确定 有两个极值点的条件，再由 变形并构造函数，
利用导数推理论证即得.
【详解】（1）依题意，设切点 ，求导得 ，
则 ，解得 ，又 ， ，则 ，
所以实数a的值为2.
（2）依题意， 的定义域为 ，
求导得 ，则 有两个不等的正根 ，且是 的变号零
点，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由函数 有两个零点，得 ，解得 ，
此时 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上递增，在 上递减，
则 ，即 ， ，
2
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试卷第24页，共20页因此当 时，函数 必有两个零点 ，且是变号零点，由 ，得 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
于是 ，解得 ， ，
因此要证 ，只需证 ，即 ，只证 ，
令 ， ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，
所以 .
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.2
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6
试卷第26页，共20页
