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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）
黄金卷08·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C D A B A C C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ABD ACD BCD ABC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．6 15． 16．①③④
17．（1） .（2）见解析.
【解析】（1）当 时， ，当 时，
＝ － .
而当 时， ，∴ ( )．
（2） ，
∴18．(1) (2) .
【解析】（1）由已知条件得 ，
由正弦定理得 . ，
即 .
因为在 中， ，所以 .又 是锐角，所以 .
（2）由正弦定理得 ，
则 ，
所以
.
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
所以 面积的取值范围为 .
19．(1)证明见解析
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)存在，点 为线段 上靠近点 的三等分点，理由见解析
【解析】（1）证明：因为四边形 为菱形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
（2）解：连接 、 、 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
因为四边形 是边长为 的菱形，则 ，
又因为 ，则 为等边三角形，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设 ，其中 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
，
则 ，取 ，则 ， ，所以， ，
由题意可得 ，
整理可得 ，即 ，因为 ，解得 ，
故当点 为线段 上靠近点 的三等分点时，二面角 的正弦值为 .
20．(1) ，
(2)不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见详解(3)
【解析】（1）由已知条件可得 ，
又因为每组的小矩形的面积之和为1.
所以 ，解得 ；
（2）由频率分布直方图可得，
.
估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，
所以市民心理健康指数平均值为 .
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
（3）由（1）知： ，则调查评分在 中的人数是调查评分在 中人数的 ，
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在 中有1人，在 中有2人，
设事件 “在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”.
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以 .
故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为 .
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21．(1) ；(2)存在，N（0，1）.
【解析】（1）由焦距为2 得 ，又因为P（ ，－ ）在椭圆上，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 ，所以椭圆C的方程为： ．
（2）假设在y轴上存在定点N，使得 恒成立，设N（0， ），A（ ， ），B（ ，
）.
①当直线l的斜率存在时，设l： ，由 整理得 ，
， ， ．
因为 ，所以 ，而点M为线段AB的中点，所以
，则点N在以AB为直径的圆上，即 ．
因为 ，
所以
，
∴ 解得 ，即存在N（0，1）满足题意.
②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），点N（0，1）满足.
综上，存在定点N（0，1），使得 恒成立.
22．(1)答案见解析(2)证明过程见解析
【解析】（1）对 求导得， ，分以下
两大情形来讨论 的单调性：
情形一：当 时，有 ，令 ，解得 ，
所以当 时，有 ，此时 单调递减，
当 时，有 ，此时 单调递增；
所以 在 单调递减，在 单调递增；
情形二：当 时，令 ，解得 ，
接下来又分三种小情形来讨论 的单调性：
情形（1）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！情形（2）：当 时，有 ，此时 ，所以此时 在 上单调递
增；
情形（3）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以由题意 ，
又因为 在区间 上存在唯一零点 ，
所以存在唯一的 ，有 ，化简得 ，
若要证明 ，则只需 ，即只需 ，不妨设 ，求导得 ，
令 ，继续求导得 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
即当 时，有不等式 成立，
综上所述：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 .
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