文档内容
太原市 2025 年初中学业水平模拟考试（一）数学
（考试时间：上午 ）
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 中国红十字会是中华人民共和国统一的红十字组织，以保护人的生命和健康，维护人的尊严，发扬人道
主义精神，促进和平进步事业为宗旨．下列红十字会的图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心
对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（ ）
A. 随机抽取某一个班的全体同学
B. 每个年级随机抽取15名女生
C. 课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学
D. 将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯
第1页/共26页视图，则它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，一个平面镜 放置在两个互相平行的挡板 和 之间，平面镜 与挡板 形成的锐角为 ．
一支激光笔从点 处发出的光束投射到平面镜上的点 处，反射光束投射到挡板 上的点 处．设光束
所在直线与挡板 的交点为 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 晋祠天龙山新晋为太原首个国家5A级景区，这是太原旅游业发展的一个重要里程碑．已知天龙山门票
的单价旺季比淡季贵20元，旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同．设旺季门票的单价为 元/张，
淡季门票的单价为 元/张，则 满足的方程组是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将 沿着 的方向平移得到 ，其中 与 交于 ，连接 ，则下列结论
一定成立的是（ ）
第2页/共26页A. B. C. D.
9. “无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度 的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无
糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度 （含糖浓度= ）与饮料
质量 之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料 与 的关系满足
，丙、丁饮料 与 的关系满足 ．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A. 甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多
B. 丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多
C. 甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多
D. 丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多
10. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，以 为圆心， 长为半径作圆心角为
的扇形 与边 交于点 与边 交于点 ．若 ，则图
第3页/共26页中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
第II卷非选择题
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置．
11. 计算： ___________．
12. 如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正
方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为___________
（用含 的代数式表示）．
13. 学校组织同学们开展“青春志愿行，环保进社区”志愿者活动．明明和亮亮计划分别从
四个社区中随机选择一个社区，利用周末参加志愿者活动．两人选择的社区相同的概率为___________．
14. 随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度 与光敏
传感器感应到的环境光线强度值 的关系，近似满足一次函数 ，其中 ．
已知当 时，灯光亮度 的值为80，则当 时，灯光亮度 的值为___________．
第4页/共26页15. 如图， 是边长为 的等边三角形，点 是 外的一点， ， ．
若 ，连接 ，则线段 的长为___________.
三、解答题（本大题共 8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算
步骤）
16. （1）计算： ；
（2）解方程： ．
17. 如图，已知在 中， ，点 分别是 的中点，连接 ．
（1）实践与操作：利用尺规在 外部作 ，射线 交 的延长线于点 （要求：
保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）猜想与证明：猜想（1）中的四边形 的形状，并加以证明．
18. 2025年2月22日，“太原地铁”1号线一期工程正式开通运营，与2号线横向穿行构成“力”字型地
铁线网骨架，极大地提升了市民的出行便利性．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以
外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录了16个工作日上班路上的用时，
其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车．
数据整理：张老师将记录 的数据绘制成如下统计图：
第5页/共26页数据分析：张老师对不同出行方式所用时间的数据进行了如下分析：
平均数（分 中位数（分 众数（分
方差
钟） 钟） 钟）
乘坐地
32 32
铁
开私家
34 40
车
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ___________， ___________， _________；
（2）通过上述分析，张老师选择乘坐地铁上班，请你结合两种统计量说明理由．
19. 2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读
区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高 20%．
已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单
价．
20. 综合与实践
第6页/共26页校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活
动报告如下：
活动
测量运动场围网外路灯的高度
主题
如图 1， 表示水平地面，线段 表示路灯，线段 表示运动场围网的一根立柱，
于点 于点 ．
数学
抽象
测量
激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺．
工具
如图2，在运动场内，因为有围网遮挡， 底部不能直接到达，测量步骤如下：
第一步：在运动场内的地面上取测量点 ，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端 的仰角
的度数；
第二步：将角度仪沿 方向移动至测量点 ，测得路灯顶端 的仰角 的度数；
第三步：测出 两点间 的距离（图中各点均在同一竖直平面内）．
方案
设计
测 量 对
象
数据
测量 测 量 结
米
果
第7页/共26页根据上述方案及测量结果，计算路灯 的高度如下：……
解决
（结果精确到 0.1 米，参考数据： ；
问题
．
我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3：
第一步：测量围网立柱的高 米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离 米；
第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点 ，使点 与 分别
在同一条直线上；
第三步：测量……．
实践
反思
（1）请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯 高度的过程；
（2）按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯 的高度．
你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯 的高度为___________米．
（用含 或 的式子表示，其中，用 表示测得的线段长度， 表示测得的角度）．
21. 阅读与理解
下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探
正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直
尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或
与线段相关的特殊角等
如图1，在 的正方形网格中，已知线段 的端点均为格点．利用无刻度的直尺解
决下面的问题．
类型一：构造特殊点
问题1：求作线段 的中点 ．
第8页/共26页思路1：如图2，利用网格构造线段 ，满足 且 ，连接
，则 与 的交点即为线段 的中点 ．
思路2：如图3，利用网格构造格点 的中点 ，将 平移至 ，则
，此时 与 的交点即为线段 的中点 ．
问题2：求作线段 的三等分点 ，使 ．
．．．．．．
类型二：构造特殊角
问题 3：如图 4，在线段 外有点 ，连接 ．在线段 上确定一点 ，使得
．
．．．．．．
任务：
（1）思路2中由条件“ 和 为 的中点”判断点 为 中点的依据是_________；
（2）请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）；
（3）请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）．
22. 太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的
第9页/共26页市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯．
信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯；
素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨；
素材3：经调研发现，这批马铃薯 销的售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示：
建立模型：（1）根据素材3中 的信息可知，销售价格 （元/吨）是储存星期数 （个）的___________函
数（选填“一次”“二次”“反比例”）， 与 之间的函数关系式为___________；
问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额
销售价格 销售量）；
（3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用 元．若这批马铃薯全部售完后，
所获得的最大利润为35600元，求 的值及相应的储存星期数．
23. 综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图
1，已知 中， ．点 是射线 上的一个动点，连接 ，将线段
绕点 逆时针旋转 ，得到线段 （点 分别是 的对应点）．
第10页/共26页特例分析：（1）创思小组先研究了点 与点 重合时的情形，如图2．连接 ．请判断此
时线段 与 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点 的位置，提出了如下问题，请你解答：
①如图3，当点 在线段 上，连接 ，猜想线段 与 的数量关系和位置关系，说明理由；
②在点 沿射线 方向运动过程中，是否存在某一时刻使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，
请直接写出相应的 两点间的距离；若不存在，说明理由．
太原市 2025 年初中学业水平模拟考试（一）数学
参考答案
第11页/共26页选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D C B A B D D B
11. 12. 13. 14.65 15.
选择题、填空题解法提示
10. 解：过O作 于P， 于Q，
∵菱形 中， ，
∴ ， 平分 ， ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
第12页/共26页∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
，
故选：B．
15. 解：如下图所示，以点 为圆心， 为半径画圆，过点 作 ，过点 作 ，
第13页/共26页是边长为 的等边三角形，
， ，
，
在 中 ，
，
， ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
故答案为： ．
第14页/共26页解答题参考答案
16. 解：（1）
；
（2）原方程可变形为 ，
，
，
或 ，
．
17.（1）解：如图， 、射线 、点 即为所求.
（2）解：四边形 是矩形.
证明： ，
，
分别是 的中点，
第15页/共26页是 的中位线，
∴ ，
，
四边形 是平行四边形，
，
是矩形．
18.解：（1）由题意得，把开私家车的时间的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是33，38，故中
位数
，
乘坐地铁的时间中，32出现的次数最多，
故众数 ；
乘坐地铁的方差
；
故答案为： ，32，2；
（2）答案不唯一，选择两个统计量说明理由即可，如：
①从平均数看，乘坐地铁的平均用时32分低于开私家车平均用时34分，即乘坐地铁用时更短，所以选择
乘坐地铁；
②从中位数看，乘坐地铁用时的中位数32分低于开私家车用时的中位数35.5分，即乘坐地铁用时更短，
所以选择乘坐地铁；
③从众数看，乘坐地铁用时的众数32分低于开私家车用时的众数40分，即乘坐地铁用时更短，所以选择
乘坐地铁；
④从方差看，乘坐地铁用时的方差2低于开私家车用时的方差50.75，乘坐地铁所用时间更稳定，所以选择
乘坐地铁．
19. 解：设直角书架的单价为 元 个，弧形书架的单价为 元 个．
第16页/共26页由题意，得 ．
解，得 ．
经检验， 是原方程的解．
当 时，
；
答：弧形书架 的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个．
20. （1）解：设路灯 的高度为 米，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
米，
，
解得 米，
即 米；
（2）解： ，
，
第17页/共26页，
，
米， 米，
米，
，
解得 ；
要求得路灯 的高度．要测量的线段是 ， 的高度为 米或 米；
，
米， 米， ，
，
，
，
要求得路灯 的高度．要测量的角是 ， 的高度为 米；
故答案为：线段 ， 或 ；或 ， ．
21. （1）解：思路2中由条件“ 和 为 的中点”判断点 为 中点的依据是：
平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；
第18页/共26页（2）解：思路1：如图，取格点 ， ，且 ， ， ，连接 交 于 ，则
，即为所求；
理由：∵ ，
∴ ，而 ， ，
∴ ，
∴ ；
思路2：如图，取格点 ，且 ，连接 ，将 向左平移4个单位长度至 ，则 ，
此时 与 的交点即为 ，满足 ；
理由：由平移可得： ， ， ，
第19页/共26页∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，把线段 向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段 ，连接 ， 交线
段 于 ，则 即为所求；
理由：由平移可得： ， ，
而 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
22. 解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y
（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数，
设y与x之间的函数关系式为： ，
∴ ，
解得： ，
第20页/共26页∴ ，
故答案为：一次； ；
（2）设销售总额为 元，由题意，得
，
根据题意， 且 ，
所以 ．
因为 ，
所以 有最大值，
当 时，销售总额最大
答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期；
（3）设全部售完的销售利润为 元，由题意，得
，
根据题意， 且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 有最大值，
由题意，得当 时，
，
第21页/共26页因为 ，
所以 ，
解得 ， ，
当 时， ，
当 时， （不符合题意，舍去），
所以， ， ，
答： 的值是400，相应的存储星期数为6星期．
23. 解：（1） ， ．
证明： 线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
．
，
．
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ．
第22页/共26页（2）解：① ， ．
理由：连接 ，并延长 交 于点
，
．
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，
．
，
，
，
，
．
，
四边形 是平行四边形．
，
②存在；
第23页/共26页当点D在线段 上时，
由①知：
， ，
当 时，
，
，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去）；
当 时，
由①知：
， ，
，
，
，
和 重合，
故 不存在，不符合题意，舍去；
第24页/共26页当点D在线段 延的长线上时，
同理可证
， ，
当 时，
，
，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去）；
当 时，
同理可证
， ，
，
，
，
和 重合，
第25页/共26页故 不存在，不符合题意，舍去；
综上， 两点之间的距离为 或 ．
第26页/共26页
