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2024-2025 学年九年级下学期第二次考试试卷
数学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. B. C. 0 D. 3
2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 国家统计局发布的数据显示，2023年全年全国粮食总产量 亿斤，比上年增加 亿斤，增长
，连续9年稳定在 万亿斤以上．数据“ 万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长 交 的延长线于点F，
，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
第1页/共25页5. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数 与 (m，n为常数，
)的图象相交于点 ，则不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，
修路的方法有 （ ）
A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 无数种
7. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）
A. B. 0 C. D.
8. 小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为 （m），所经过的时间为 （min），
下列选项中的图象，能近似刻画 与 之间的关系的是（ ）
第2页/共25页A. B.
C. D.
9. 点 ， 是抛物线 上的点，且 ，则 与 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
10. 如图1，在菱形 中，E为 的中点，点F沿 从点A向点C运动，连接 ，设
， ，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
二、填空题（每小题3分，共15分）
的
11. 若二次根式 有意义，则 取值范围是_________．
12. 不等式组 的正整数解的和为 ________.
13. 某校“综合与实践”小组为了解全校2400名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，绘制
了如图所示的统计图：
第3页/共25页调查内容为：您平均每周阅读课外书的时间大约是（以下四个选项只能单选，每项含最小值，不含最大
值）_________
A．8小时及以上 B．6~8小时 C．4~6小时 D．0~4 小时
估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上” 的人数为 _______________ 名
14. 我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九
个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和
苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜
果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在直线 ： 上．将正方形
沿 轴正方向平移 个单位长度，当点 的对应点落在直线 上时， 的值为______，当
点 的对应点落在直线 上时， 的值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
第4页/共25页16. 先化简，再求值∶ 其中．
解：原式
……
解 ： 原 式
……
的
（1）甲同学解法 依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
17. 某商家为了推广产品，决定在甲、乙两个直播间中选取一个开展直播带货，数据分析平台提供了某一
星期内甲、乙两个直播间的日带货量和日观看人数的数据：
甲、乙两个直播间日观看人数统计表
星期
人数
（万 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
人）
直播间
甲 455
乙
第5页/共25页该商家市场营销部对所给数据作了如下处理：
名称 直播间日观看人数（万 直播间日带货量
人） （件）
数据
直播
平均数 众数 平均数 方差
间
甲 97
乙 97
根据以上信息，回答以下问题：
（1）上表中 ________； ___________ （填“<”“>”或“=”）．
（2）假如你 是该商家市场营销部经理，你会选择哪个直播间？请说明理由．
18. 如图， 内接于 ， 是 的直径，D是 的中点，连接 ．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线 （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的直线l与直线 交于点E，与 的延长线交于点F．
①判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
②若 ， 则 的长为 ．
19. 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每 记录一次容器中的水量，但由于操作
延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表中的一组数据．
2
时间 5 10 15 25 …
0
1
水量 32 47 a 77 …
7
第6页/共25页（1）探究：根据上表中的数据，请判断 和 （ ， 为常数）哪个解析式
能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该解析式并写出漏记的a值；
（2）应用：
①兴趣小组用 量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？
②成年人每天大约需饮水 ，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮
用天数．
20. 如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托
板长 ，支撑板长 ， ，托板 固定在支撑板顶端点C处，可
绕 C 点 旋 转 ， 支 撑 板 可 绕 点 D 转 动 ． （ 结 果 精 确 到 ， 参 考 数 据 ：
）
（1）若 ，点A到底座 的距离是 ；
的
（2）为了观看舒适，在（1）中 调整成 ．再将 绕点D顺时针旋转，恰好使点B落
在直线 上，则 顺时针旋转旋转的角度为 ，此时点A到底座 的距离与（1）中相比是
增大了还是减小了？增大或减小了多少？
21. 某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类处理不可回收垃圾，B类处
理可回收垃圾，已知每一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，
第7页/共25页该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨．
（1）求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？
（2）为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量
减少了5吨，市政府拟将 个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出新建的垃圾处理场日
处理垃圾最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？
22. 根据以下素材，探索并完成任务．
探究汽车刹车性能
“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了
刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．
刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间．
素材1
刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．
汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上
以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：
素材2 刹车后汽车行驶时间 1 2 3 4
刹车后汽车行驶距离 27 48 63 72
该兴趣小组成员发现：
①刹车后汽车行驶距离y（单位： ）与行驶时间t（单位： ）之间具有函
素材3 数关系 （ 、a、b 为常数）；
②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的
距离最远时，汽车完全停止．
问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．
任务一：求 y 关于t的函数解析式．
任务二：汽车司机发现正前方 处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会
撞到障碍物？请说明理由．
23. （1）问题导入： 如图 1，在正方形 中， ，E 为线段 上一动点，将
沿 翻折，得到 ，若 的延长线恰好经过点C，则 __________．
（2）问题探究： 如图2，在矩形 中，E为线段 上一动点，设 ，将 沿
第8页/共25页翻折，得到 ，延长 交 于点F，若 ，试说明点E是 的中点．
（3）问题深挖： 如图3，在 中， ， ， ，E为直线 上一动点，设
，将 沿 翻折，得到 ，在 的延长线上找一点F，使得 ，当
是以 为腰的等腰三角形时，求出点F到直线 的距离．
2024-2025 学年九年级下学期第二次考试试卷
数学
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C C B A D A A A B
第9页/共25页11. 12. 3 13. 1152 14. 15.
选择题、填空题解法提示
10. 解：由函数图象得：当点 与点A重合时 ；如图，
此时， ，
E为 的中点，
，
，
，
，
当点 与点C重合时 ；如图，过点 作 ，垂足为 ，设 与 交
于点H，
此时， ，
第10页/共25页，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
，
，
如图，当 三点共线时， 由最小值，最小值为 的长，连接 ，
，E为 的中点，
，
第11页/共25页，
y的最小值是 ，
故选：B．
15. 解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点B作 于点F，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
第12页/共25页∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点C平移后的点为 ，点B平移后的点为 ，
①当 在l上时， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
②当 在l上时， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
第13页/共25页故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正
确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析
式的方法和步骤．
解答题参考答案
16.解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）选择甲同学的解法．
原式
；
或选择乙同学的解法
原式
当 时，原式
17. （1）解：由甲、乙两个直播间日观看人数统计表可知，乙直播间周一和周四观看人数为 万人，
∴ ，
由甲、乙两个直播间日带货量折线统计图可知，甲直播间直播间日带货量波动更小，更稳定，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：我会选择甲直播间，
第14页/共25页理由：两个直播间日观看人数平均数相同，甲的众数大于乙的众数；两个直播间直播间日带货量平均数相
同，甲的方差小于乙的方差，则甲直播间日带货量更加稳定．
18.解：（1）如图，直线l即为所求，
（2）①如图，连接 交 于点G，
∵ 是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵D是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ．
∵ 是 的半径，
∴直线 与 相切；
第15页/共25页②∵D是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为∶ ．
19. 解：（1）∵ ，
∴表中的数据不符合 ．
观察表格， 可发现时间t每增加5分钟， 水量y增加15mL， 故可得 能正确反映水量y与时
间t的函数关系．
第16页/共25页把 和 代入 得 ，
解得 ，
∴水量y与时间t的函数关系 ．
把 代入 得
（2）①把 代入 得
∵
∴ 量的筒没有装满
②∵由函数解析式可知每分钟的滴水量为 ，
∴30天滴水量 ， (天)
答：这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一位成年人饮用81天．
20. （1）解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点
作 ，垂足为 ，如图：
则四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
第17页/共25页在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
，
∴点 到直线 的距离为 ，
故答案为： ．
（2）解：如图：过点 作 于点 ，
∵ ，
在 中，
第18页/共25页∴ 旋转的角度为
在 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴此时点 到底座 的距离与（1）中相比减小了 ．
21. （1）解：设该市A类垃圾处理场有x个，则B类垃圾处理场有 个，
根据题意得： ，
解得： ，则 （个）
答：该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个；
（2）解：设改建后日处理垃圾为y吨，
根据题意得到改建后一个A类垃圾处理场日处理量为25吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，A
类垃圾处理场有 8个，B类垃圾处理场有 个，
则 ，
即 ，
，
随a的增大而减小，
第19页/共25页，
当 时，y有最大值，最大值为： （吨）
答：将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾为635
吨．
22.
解∶任务一 ：将 、 代入
得
解得
∴y 关于 t 的函数解析式为
任务二：不会
∴当 时， 汽车停下， 行驶了 ，
∵
∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物．
23. 解：（1） 四边形 是正方形， ，
， ，
沿 翻折，得到 ， 的延长线恰好经过点C，
，
，
，
第20页/共25页设 ，则 ，
，
，
解得： ，
，
故答案为：2；
（2）如图1，连接 ，
由折叠的性质，知 ，
又 ，
，
，
，
，
由折叠的性质，知 ，
，
，
，
，
第21页/共25页，即点E是 的中点；
（3）①如图2，当点E在线段 上时，过点 ，点F分别作 ， 的平行线，交于点H， 的延
长线交 于点G，连接 ，
由（2）中推论得到点E是 的中点；
， ， ，
设 ，则 ，
∵ 是以 为腰的等腰三角形时，
，
在 中， ，
，
解得： ，
，则 ， ，
，
，
第22页/共25页由（2）知 ，
，
，
，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
在 中， ，
点F到直线 的距离为 ；
②如图3，当点E在 延长线上时，过点F作 垂足为G，
， ，
，
第23页/共25页，
由（2）知 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，即 ，
由（2）中推论得到点E是 的中点；
，
点F到直线 的距离为 （不合题意，舍去）；
③如图4，当点E在 延长线上时，过点F作 垂足为G，
第24页/共25页同理得： 是 的角平分线，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
点F到直线 的距离为 ；
综上，点F到直线 的距离为 或16．
第25页/共25页
