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辽宁省沈阳铁西区2025年九年级数学中考二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算： 的结果是（ ）
A．7 B． C．3 D．
2．如图所示的5个相同的小立方块搭成的几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．在2025年五一假期期间，辽宁省文化和旅游厅推出“沐春寻芳 悠游辽宁”2025春游
辽宁消费季活动．据大数据测算，5天假期，辽宁省累计接待游客超33000000人次，将数
据“33000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，对我国国旗中一颗五角星的对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
试卷第1页，共3页C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
6．在2，5，7三个数中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， 的平分线交 边于点 ，交 的延长线于点 ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 里，
慢马每天行 里，慢马先行 天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由
题意得（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，菱形 的对角线交于点 ， ， ，则菱形 的高为（ ）
A． B．6 C． D．8
10．如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中心， 轴，点 在
双曲线 （ 为常数， ）上， ，则 的值为（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
二、填空题
11．使分式 有意义的条件是 ．
12．在平面直角坐标系中，将点 绕原点 顺时针旋转 得到点 ，则点 的坐标
为 ．
13．如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 是 的中点，连接
，若 ，则线段 的长为 ．
14．关于 的二次函数 （ 是常数）的图象与 轴只有一个公共点，
则 的值为 ．
15．如图，等边三角形 中， ， 平分 ， 平分 ，分别以点
和点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交
边 于点 ，连接 并延长，交边 于点 ，则线段 的长为 ．
试卷第3页，共3页三、解答题
16．计算
(1) ；
(2) ．
17．某工厂要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B两个工种的工人的月工资分别为
1500元和3000元．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2 倍，那么招聘A工种工人
多少人时，可使每月所付的工资总额最少？
18．某校本学期开展了“人工智能进校园”系列活动，为学生提供人工智能体验、学习、
探究、实践的空间．为了解活动效果，该校组织学生参加了人工智能应用知识竞赛，将学
生的百分制成绩（ 分）按“ ”记为 级，“ ”记为 级，“ ”
记为 级，“ ”记为 级，“ ”记为 级，共五个等级记录．现随机
将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了2个小组的学生成绩进行整理，绘
制统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
试卷第4页，共3页(1)求第1小组得分等级条形统计图中， 等级的学生有多少人？
(2)求第2小组得分等级扇形统计图中， 等级所在扇形的圆心角的度数；
(3)已知该校参加此次知识竞赛的学生有2400人，请根据题目中的信息估计成绩为E等级
的学生有多少人？
19．某校积极开展劳动教育，两次购买锄头和铁锹，购买记录如下表：
锄头（把） 铁锹（把） 合计金额（元）
第一
20 25 1150
次
第二
10 20 800
次
(1)求锄头和铁锹的单价；
(2)若该校再次计划购买锄头和铁锹共60把，锄头和铁锹的单价不变，其中锄头计划购买
把，购买这60把锄头和铁锹共需要 元，求 与 的函数表达式．
20．如图，一艘轮船航行到海上点 处时，观察到岸边灯塔 在南偏西 方向的 海
里处，岸边另一座灯塔 在北偏西70度方向，且直线 与直线 的夹角 ，
求两座灯塔 ， 之间的距离．（精确到1海里，参考数据： ）
21．如图，在 中， ，点 在 边上，以 为直径作的 经过 边上
的点 ，连接 ， 平分 ，
试卷第5页，共3页(1)求证： 是 的切线；
(2) ， ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 边于点 ，交 边于点
，求图中 ， ， ， ．围成的阴影部分的面积．
22．【初步探究】
（1）如图1， 中， ，点 是边 上一点，连接 ，当 时，
判断线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
【变式应用】
（2）如图2，在 中， ，点 是 边的中点，过点 作 的平行线
与射线 交于点 ，点 在线段 上， ，点 在 的延长线上，若
， ，
①求 的长；
②求 的度数；
【拓展创新】
（3）如图3，在 中， 是钝角，过点 作 交边 于点 ，点 为线
段 的中点，连接 ， ，当 ， 时，请直接写出线段
的长．
23．定义：如果两条抛物线与 轴都有两个交点，且这两个交点位置相同，那么这两条抛
物线称为“同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相同，那么这两条抛物线称为
试卷第6页，共3页“同向同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相反，那么这两条抛物线称为“异
向同根抛物线”．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与抛物线 都
与 轴交于点 和点 ，且开口方向都是向上，则称抛物线 与抛物线
是“同向同根抛物线”．
(1)在平面直角坐标系中，抛物线 与抛物线 （ 是常数）是
“同向同根抛物线”，求 的值；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线 与抛物线 （ 是常
数）是“同向同根抛物线”，与 轴交于点 和点 ，点 在抛物线 上，射
线 与抛物线 在第一象限交于点 ， ，当 时，求
的值；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线 与抛物线 （ 是常
数）是“异向同根抛物线”，与 轴交于点 和点 ，点 是抛物线 的顶点，
连接 ，作 交抛物线 于点 ，点 的纵坐标是 ，点 是抛物
试卷第7页，共3页线 的顶点，点 与点 不重合，连接 ，当 时，请直接写出
的值．
试卷第8页，共3页《辽宁省沈阳铁西区 2025 年九年级数学中考二模试卷 》
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A B D A B C D A C
11. 12. 13. 14. 15. 10
选择题、填空题解法提示
10．C
连接 ，过点 作 于点 ，则 ，
∵ 是正六边形，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答案第1页，共2页∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
15．10
解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
由作图方法可知， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第2页，共2页解答题参考答案
16．（1）解： ；
（2）解： ．
17．解：设招聘A种工人x人，则招聘B种工人(150－x)人，招聘两种工人的总工资
y=450000-1500x ，根据题目中的不等关系可得150－x≥2x，
解得：x≤50，根据一次函数的性质即可确定x=50时，y最小.
本题解析：设招聘A种工人x人，则招聘B种工人(150－x)人，y为工人的总工资.
∴招聘两种工人的总工资y=1500x+3000(150-x) =450000-1500x (x≤50 )
根据题意得：150－x≥2x，
解得：x≤50，
∵招聘两种工人的总工资y随x的增大而减小，
∴x=50时，y最小，
答：招聘A种工人50人时，每月所付工资最少．
18．（1）解： （人）
答：第1小组 等级的学生有 人；
（2）解：
答：第2小组 等级所在扇形的圆心角为 ；
（3）解： （人）
答：估计成绩为E等级的学生有 人．
19．（1）解：设锄头单价是a元，铁锹的单价是b元，
由题意得： ，
解得： ，
答：锄头单价是20元，铁锹的单价是30元．
答案第3页，共2页（2）解：设锄头计划购买 把，则购进铁锹 把，根据题意，得，
，
整理得 ．
20．解：过点 作 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， 海里，
∴ 海里， 海里，
在 中， 海里，
∴ 海里，
答：两座灯塔 ， 之间的距离约为71海里．
21．（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
答案第4页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的半切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由题意得，扇形 和扇形 的半径相同，且 ，
∴扇形 和扇形 的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，
∴ 。
22．解：（1） ；
理由： ， ，
，
，
；
（2）① 在 中， ，点 是 边的中点，
， ，
，
，
，
，
；
② ，
，
答案第5页，共2页， ， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
解得 （负值已舍去），
，
，
是直角三角形，
；
（3）作 ，交 的延长线于点 ，
，
，
，
，
点 为线段 的中点，
设 ，则 ， ，
，
，
，
答案第6页，共2页， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
即 ，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理
及其逆定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
23．（1）解：当 时，则 ，
解得： ， ，
抛物线 与 轴的交点为 和 ，
抛物线 与抛物线 是“同向同根抛物线”，
抛物线 与 轴的交点为 和 ，
代入 和 得， ，
解得： ；
答案第7页，共2页的值为 ．
（2）解：如图2，作 轴于点 ，作 轴于点 ，
由（1）得，抛物线 与 轴的交点为 和 ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形， ，
设 ，则 ，
点 在抛物线 上，
，
解得： ， （舍去），
，
，
，
，
，
同理可得， 是等腰直角三角形，
答案第8页，共2页，
，
代入 到 ，得 ，
解得： ，
的值为 ．
（3）解：如图3，作 轴于点 ，设 与 轴交于点 ，
由（2）得， ，
，
顶点 的坐标为 ，
，
顶点 的坐标为 ，
与 轴交于点 ，
，
， ，
答案第9页，共2页设直线 的解析式为 ，
代入 和 得， ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得， ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
答案第10页，共2页，
解得： ， ，
抛物线 与抛物线 是“异向同根抛物线”，
，
，
点 的纵坐标是 ，
．
的值为 ．
答案第11页，共2页
