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2025年云南省昆明市中考数学模拟试卷（四）
一、单选题
1．（3分）“雪山之巅轿子立，千年冰封岁月长”．冬日某一天的轿子雪山，山脚最低气温为零上 ，
记作 ，山顶最低气温为零下 ，记作 ，则这一天轿子雪山山脚与山顶的温差是
A．3 B． C． D．
2．（3分）苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球
218000000公里的小行星命名为“苏步青星”，将 218000000用科学记数法表示为 ， 的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）如图，直线 ， 被直线 所截， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
5．（3分）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
6．（3分）如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为 ，其投影
的对应边长为 ，则三角尺的面积与投影的面积比为
第1页（共15页）A． B． C． D．
7．（3分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图
形的是
A． 厨余垃圾 B． 可回收物
C． 其他垃圾 D． 有害垃圾
8．（3分）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是
A．当 时， 随 的增大而增大 B．当 时， 随 的增大而减小
C．点 在它的图象上 D．它的图象在第一、三象限
9．（3分）函数 中，自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
10．（3分）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ， ， ，第 个单项式为
A． B．
C． D．
11．（3分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言
第2页（共15页）如果全班同学有 名学生，根据题意，下列方程正确的是
A． B． C． D．
12．（3分）如图，某班数学课外活动小组的同学想要测量公园内一小山的高度 ，通过测量知道坡角
，斜坡 的长度为 ，则小山的高度 为 ．
A． B． C． D．
13．（3分）大理古城简称榆城，位居风光亮丽的苍山脚下，是全国首批历史文化名城之一．它东临洱海，
西枕苍山，城楼雄伟，风光优美，引来无数旅客前来观光．“十一”期间相关部门对到大理观光的游客
的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误
的是
A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．扇形统计图中的 为
C．样本中选择公共交通出行的约有2500人
D．若“十一”期间到大理观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人
14．（3分）如图，在矩形 中，分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点
， ，作直线 与 ， 分别交于点 ， ，连接 ．已知 ， ，则 的长为
第3页（共15页）A．5 B．3 C． D．
15．（3分）黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在．黄金分割
是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值
为 ，通常人们把这个数叫做黄金分割数．请估计 的值在
A．0和 之间 B． 和1之间 C．1和 之间 D． 和2之间
二、填空题
16．（3分）分解因式： ．
17．（3分）已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则这个圆锥的高是 ．
18．（3分）已知 为等边三角形， 为 的高，延长 至 ，使 ，连接 ，
则 ．
19．（3分）如图，一个正 边形被树叶遮掩了一部分，若直线 ， 所夹锐角为 ，则 的值是
第4页（共15页）三、解答题
20．（8分）计算： ．
21．（8分）如图，已知 与 相交于点 ， ， ，求证： ．
22．（8分）习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀
的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召
为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个
甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书
柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格．
23．（8分）为参与创评“全国文明城市”称号，周末某校组织志愿者进行宣传活动．梁老师决定从4名
女同学（女同学 、女同学 、女同学 、女同学 中通过抽签的方式确定2人去参加．抽签规则是：
将4名女同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老
师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）“该班男生小刚被抽中”是 事件，第一次抽取卡片，“该班女同学 被抽中”的概率为 ．
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“女同学 被抽中”的概率．
24．（8分）如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点 ，与 相交于点
，与 相交于点 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 平分 ， ，求矩形 的面积．
第5页（共15页）25．（8分）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，
对乙种道具按40元件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具 件，付款 元， 与 之间的函数关系
如图所示；
（1）求出当 和 时， 与 的函数关系；
（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的 ，
乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额 （元 最少？
26．（8分）在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点是 ，与 轴交于点 ，已知 ，
两点的坐标分别为 ， ．
（ 1 ） 当 时 ， 若 和 ， 是 抛 物 线 上 任 意 两 点 ， 且
，当 时，求 的值；
（2）若二次函数 的图象与线段 只有一个公共点，求 的取值范围．
27．（7分）如图， 是 的直径，点 是劣弧 上一点， ，且 ， 平分
， 与 交于点 ．
第6页（共15页）（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长；
（3）延长 ， 交于点 ，若 ，求 的半径．
第7页（共15页）2025年云南省昆明市中考数学模拟试卷（四）
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 C C B B A B D A D C A D D A B
16. 17.15 18.3 19.5
填空题解法提示
19．解：如图所示：
由题意得： ，
，
，
正多边形每个外角都相等，
，
正多边形的外角和为 ，
它的边数为： ，
的值为5，
故答案为：5．
解答题参考答案
20．解：
．
21．证明： ，
， ，
第8页（共15页）在 和 中，
，
，
．
22．解：设每个乙种书柜的价格是 元，则每个甲种书柜的价格是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲种书柜的价格是192元，每个乙种书柜的价格是160元．
23．解：（1）由题意得，“该班男生小刚被抽中”是不可能事件．
由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次抽取卡片，“该班女同学 被抽中”的结果有1种，
第一次抽取卡片，“该班女同学 被抽中”的概率为 ．
故答案为：不可能； ．
（2）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果．
其中“女同学 被抽中”的结果有： ， ， ， ， ， ，共6种，
“女同学 被抽中”的概率为 ．
24．（1）证明： 四边形 是矩形，
，
第9页（共15页），
垂直平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
四边形 是菱形．
（2）解： 平分 ，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形 的面积为 ．
25．解：（1）当 时，设 ，根据题意得 ，
第10页（共15页）解得 ；
；
当 时，设 ，
根据题意得，
，解得 ，
，
综上， 与 的函数关系为 ；
（2）设购进甲种道具 件，则购进乙种道具 件，
甲种道具数量不少于乙种道具数量的 ，乙种道具不少于35件，
，
解得 ，
，
，
，
当 时， 最小，最小值为4990，
（件 ，
答：购进甲种道具为85件，购进乙种道具35件，才能使繁花歌舞团付款总金额 （元 最少．
26．解：（1）当 时， ，
故抛物线的对称轴为直线 ，
第11页（共15页），
和 关于对称轴直线 对称，
则 ，
，
；
（2）抛物线 的顶点是 ，点
①当 时， ， ，
抛物线 与 轴交点在点 下方，顶点在直线 下方，如图1
在 中，令 ，得 ，
， 当 时抛物线过点 ．
由结合图可知，当 时，二次函数 的图象与线段 只有一个公共点；
②当 时，
若顶点在线段 时，如图
第12页（共15页）此时 ，
解得 ，
若顶点在直线 上方，即 时，如图
二次函数 的图象与线段 只有一个公共点， ， ．
，解得 ；
综上所述，二次函数 的图象与线段 只有一个公共点， 的取值范围是 或
或 ．
27．（1）证明： 是 的直径，
第13页（共15页），
，
， ，
，
，
，
即 ，
又 是 的直径
是 的切线；
（2）如图，连接 ， ，
平分 ，
，
是 的直径，
， ，
即 ，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 ，交 于 ．
第14页（共15页），
，
平分 ，
，
，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值舍去），
的半径为 ．
第15页（共15页）
