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2025年河南省开封市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分） 的绝对值是
A． B． C． D．2025
2．（3分）2025年4月24日，长征二号 火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生
能力的涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有 5.2亿年进化史的再生生物．将数据5.2亿年用科学记数法表
示为
A． B． C． D．
3．（3分）豫剧发源于中原，被列人国家级非物质文化遗产名录，是中国传统文化的典型代表之一．为
了弘扬传统文化，某校开展了传统文化进校园之经典豫剧欣赏，从以下四个经典曲目中随机选择一个，
选择《花木兰》的概率为
A． B． C． D．
4．（3分）如图，直线 、 相交于点 ， ．当 时， 的度数为
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是
第1页（共18页）A． B．
C． D．
6．（3分）开封盘鼓，气势宏大，震撼人心，如图所示，盘鼓的俯视图为
A． B．
C． D．
7．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩
均按百分制计，然后再按演讲内容占 、演讲能力占 、演讲效果占 计算选手的综合成绩（百
分制）．某选手上述三项成绩分别为90分，92分，94分．这名选手的综合成绩为
A．91.2分 B．92分 C．93.1分 D．94分
8．（3分）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B．
C． D．
9．（3分）下面是“过直线 外一点 作直线 的垂线”的尺规作图方法．
（1）任取一点 ，使得点 和点 在直线 的两旁；
（2）以点 为圆心， 长为半径作弧，交直线 于点 和点 ；
（3）分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ；
（4）作直线 ．
第2页（共18页）直线 就是所求作的垂线．
上述方法通过构造直线 上线段 的垂直平分线，得到直线 的垂线 ．其中判定点 在线段 的垂
直平分线上的依据可以是
A．点 与点 关于直线 对称
B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ， ， ，
， ，按照此规律，点 的坐标为
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解： ．
12．（3分）若 在实数范围内有意义，写出一个满足条件的正整数x的值： ．
第3页（共18页）13．（3分）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ．
14．（3 分）如图，△ 内接于 ，过点 作 的切线 ，△ 为直角三角形，且
，若 ， ，则 的半径为 ．
15．（3分）如图，矩形 中， ， ，点 是 上一动点（不与 、 重合），连接
，将△ 沿 折叠得△ ，点 在 上，将△ 沿 折叠，使点 恰好落在射线
上，连接 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（9分）（1）解不等式 ，并在数轴上表示解集．
（2）已知 ，求代数式 的值．
17．（9分）某校举办数学文化知识问答活动．数学兴趣小组从全校八、九年级学生中随机各抽取 20名
学生的问答成绩．并对问答成绩进行整理和分析，形成如下不完整的报告：
环节一：数据收集
八年级学生问答成绩 九年级学生问答成绩
60，80，80，90，100， 90，80，90，70，80，
80，70，90，100，80， 60，70，80，100，70，
90，80，100，90，70， 60，90，100，90，100，
70，70，80，90，70． 90，90，80，90，60．
环节二：数据的整理
第4页（共18页）八、九年级学生成绩分析表
平均数 中位数 众数
八年级 82 80 80
九年级 82 90
请根据题目中所给信息，回答如下问题：
（1）补全条形统计图；
（2）填空： ， ；
（3）如果该校九年级学生有1500人，请你估计该年级不低于80分的人数．
18．（9分）如图，四边形 为矩形， ， ，点 为 上的一点（不与点 、 重
合），连接 ．
（1）尺规作图：求作 ，使 ，且边 与 交于点 （保留作图痕迹，不写作
法），判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）根据以上信息，若四边形 为菱形，求 的长．
19．（9分）如图①是2025年春晚一群活泼又喜感的人形机器人扭秧歌，该节目吸引了无数观众的目光，
不仅展示了人工智能技术的进步，还体现了科技为传统文化注入新的活力．如图②是一个人形机器人跳
舞时的侧面示意图．已知其上半身 ，大、小腿的长 ，胳膊 ，
，当 ， ， 且 、 、 共线时，点 到水平地面 的距
第5页（共18页）离是多少．（参考数据： ， ，
20．（9分）如图，△ 的顶点为网格线的交点，反比例函数 的图象过格点 ， ．将△
先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 的对应点 ．
（1）求过点 的反比例函数解析式，并画出其图象 ．
（2）在过点 的反比例函数图象上任取一点 ，过点 向 轴作垂线，交 的图象于点 ，连接
， ，△ 的面积会发生变化吗？若不变化，求出△ 的面积；若变化，请说明理由．
21．（9分）某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息．
信息
车型 座位数（人 辆） 租金（元 辆）
30座客车 30 300
45座客车 45 400
信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老
第6页（共18页）师无学生可带．
请根据以上信息，完成以下任务．
任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人．
任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超
载．请设计最优租车方案．
22．（9分）某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高
度 与水平距离 满足二次函数关系 ．
（1）用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义．
（2）若距飞行起始点正前方 处有一个 高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中
是否存在与广告牌发生碰撞的风险．
23．（12分）综合实践课上，数学兴趣小组以三角形为研究对象进行了数学探究活动．
初步探究：
（1）如图①，在 △ 中， ， ．以 为斜边作等腰直角△ ，其中
．分别过点 ， 作 于点 ， 于点 ．则 与 的数量关系为 ．
拓展延伸：
（2）如图②，将图①中的△ 绕点 沿顺时针方向旋转 得到△ ，射线 与直线 交于点
．
①当 时，四边形 的形状为 ；
第7页（共18页）②当 时，请你写出 ， ， 的数量关系，并证明你的结论．
综合运用：
（3）在旋转的过程中，若 ，当 ， 时，请直接写出 的长度．
第8页（共18页）2025年河南省开封市中考数学二模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B D A B D B
11. 12.0（答案不唯一） 13. 14. 15.
选择题、填空题解法提示
10．解：已知 ， ， ， ， ， ， ，按照此规律，
可得每两个坐标一个周期，每个周期横坐标 ，纵坐标 ，
即 ， ，
，
即 ，
故选： ．
14．解：连接 ，过点 作 交于点 ，
，
由题意可得： ，
由题意可得： ，
， △ △ ，
，
第9页（共18页），
故答案为： ．
15．解：矩形 中， ， ，
， ，
将△ 沿 折叠得△ ，点 在 上，将△ 沿 折叠，使点 恰好落在射线 上，
， ，
点 恰好落在射线 上，
，
，
，
设 ，则 ，
，即 ，
，
，
，
当 取得最小值时， 取得最小值，
，
当 时， 取得最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
解答题参考答案
16．解：（1） ，
第10页（共18页）去分母得： ，
去括号得： ，
整理得： ，
解得： ，
在数轴上如下：
；
（2）原式
；
，
，
原式 ．
17．解：（1）根据八年级学生问答成绩数据可得，分数为70的有5人
补全统计图如图所示；
（2）根据九年级学生问答成绩可得，分数为90的有7人，
第11页（共18页），
九年级成绩从小到大排列为：
60，60，60，70，70，70，80，80，80，80，
90，90，90，90，90，90，90，100，100，100，
根据中位数的计算方法可得： ，
， ，
故答案为：35，85．
（3）用1500乘不低于80分的人数的占比可得：
（人 ，
即该校九年级不低于80分的人数约为1050人．
18．解：（1）如图所示；
四边形 为平行四边形，理由如下：
由条件可知 ，
，
，
四边形 为平行四边形．
（2） 四边形 为矩形，
，
由条件可知 ，
，
在 △ 中，由勾股定理得：
，
解得： ，
第12页（共18页）答： 的长为 ．
19．解：连接 ，过点 分别作
,
，垂足分别为点 、 ，过点 作 于点
．
则四边形 为矩形，
，
， ，
，
，
， ，
，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
答：点 到水平地面的距离 为 ．
第13页（共18页）20．解：（1）如图1， ，
将△ 先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 的对应点 ，
，
设点 的反比例函数解析式为 ，
，
，
过点 的反比例函数解析式为 ，其图象 ；
（2）△ 的面积不会发生变化；理由如下：
如图2，设 交 轴于点 ，
第14页（共18页）轴，过点 的反比例函数解析式为 ，反比例函数 的图象过格点 ， ，
， ，
，
△ 的面积不会发生变化，△ 的面积为3．
21．解：任务1：设此次活动中老师有 人，
由题意，得 ，
整理得， ，
解得 ．
学生人数为： （人
答：此次活动中老师有6人，学生有230人；
任务2：设租用 辆30座客车，则租用 辆45座客车，租金为 元．
根据题意，得 ，
整理得， ，
解得 ，
随 的增大而减小
当 ， 时， 有最小值．
答：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少．
22．解：（1）将解析式配方可得：
；
顶点坐标为 ，表示当飞行的水平距离为 时，飞行达到最大高度为 ．
第15页（共18页）（2）当 时， ，
答：不存在碰撞的风险．
23．解：（1）由题意可得： ，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）①由题意可得： ， ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
四边形 是矩形，
又 ，
，
四边形 是正方形，
故答案为：正方形；
②连接 ，
△ 为等腰直角三角形， ，
为 的中点，
，
第16页（共18页）， ，
，
，
，
，
，
△ △ ，
，
，
， ， ，
，
．
（3）当 ，由（2）可得： ，
， ，
；
如图，当 时，连接 ，
第17页（共18页）同（2）可得 ，
，
， ， ，
，
，
， ，
，
的长为 或 ．
第18页（共18页）
