文档内容
第一讲 乘法巧算
第一部分：趣味数学
“＞”“＜”和“=”的本领
很久很久以前，数字王国里乱糟糟的，没有任何次序。0-9十个兄弟不仅在王国中称霸，
而且他们彼此之间总是自己吹嘘自己的本领大。数学天使看见这种情况非常生气，于是就派
“<”“>”和“=”三个小天使到数学王国，要求他们一定要让王国变得有次序起来。三个小
天使来到了数学王国，0-9十个兄弟轻蔑地盯着他们，“9”问道：“你们三个是来干什么的?
我们的王国不欢迎你们。”
“=”天使笑了笑说：“我们是天使派到你们王国的法官，
帮助你们治理好你们的国家。我是‘等号’，在我两边的数字总
是相等的;这两位是‘大于号’和‘小于号’，他们开口朝谁，
谁就大，尖尖朝谁，谁就小。”
0-9 十兄弟一听他们是数学天使派来的法官，以及“=”的
介绍，都乖乖地服从“<”“>”和“=”的命令。
从此以后数学王国越来越强盛，而且有着十分严格的次序，任何人都不会违反。
第二部分 :奥数小练
知识要点前面我们已经给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法进行
巧算，实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要牢
记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。
巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于
运用运算定律，是提高巧算能力的关键。
【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125
（3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
【思路导航】
（1）我们知道25×4=100，因而我们要尽量把25与4放在一块计算，这样比较简便。
所以我们先算25×4=100，再与17相乘即100×17=1700；
（2）因为8×125=1000，因而我们先把8与125放在一块计算，8×125=1000，再乘
18：1000×18=18000；
（3）已知25×4=100、125×8=1000，因此这道题我们要通过移位的方法把25与4相乘，
125与8相乘，然后再把1000与100相乘，1000×100=100000；
（4）因为125×8=1000，2×5=10，因而这道题也要移一移，先计算125×8=1000和
2×5=10，再计算1000×10=10000。
练习一：
1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2.计算：（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5
3.想一想，怎样算比较简便？ 125×16
【例题2】你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125
（3）16×25×25 （4）125×32×25
【思路导航】
（1）已知25×4=100，因为8=2×4，所以我们可以把25×8转化为25×4×2.然后先算
25×4=100，再算出100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因而我们可以把16×125转化为2×（8×125），然后算
出8×125=1000，再乘2得到2000；
（3）因为25×4×100，16=4×4，这样可以将两个4分别与两个25相乘，所以原式就
转化为（4×25）×（4×25），再分别计算，得到结果100×100=10000；
（4）因为125×8=1000，25×4=100，我们又发现32=4×8，所以可将4和8分别与
25、125相乘，得到（125×8）×（25×4），再分别算出结果为1000×100=100000。
练习二：
1.（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
2.（1）125×16×5 （2）25×8×5
3.（1）125×64×25 （2）32×25×25
【例题3】你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十位
上的数字相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首位数字，
得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果末位数
字相乘的积是一位数，要在前面补一个0。（1）82×88先用首位数字加1再乘首位数字，即
（8＋1）×8=72作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘2×8=16作为积的末位两个数
字，所以82×88=7216；（2）51×59先用首位数字加1乘首位数字，即（5＋1）×5=30作为
积的前两位数字，再用两个末位数字相乘1×9=9，它们的积是一位数，要前9前面补一个
0，作为积的末两个数字，所以，51×59=3009。
练习三：
1.（1）72×78 （2）45×45
2.（1）81×89 （2）91×99
3.（1）42×48 （2）61×69
【例题4】简便运算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125【思路导航】这里可以运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数
（0除外），商不变，因而：（1）130÷5可将130和5同时乘2.使除数变为10，然后再用
260÷10=26；（2）4200÷25可以将4200和25同时乘4，使除数变为100，然后再用
16800÷100=168；（3）34000÷125可以将34000和125同时乘8，使除数变为1000，然后再
用272000÷1000=272。
练习四：
1.你能迅速算出结果吗？
（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2.计算：
（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）5600÷25
3.你有好办法计算下面各题吗？
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
【例题5】计算：31×25
【思路导航】题中31不能被4整除，但31可拆成4×7＋3.这样就得到（4×7＋3）
×25，或者把25看作100÷4也可求出得数。
（1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775
（2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775
练习五：
计算：
（1）29×25 （2）17×25 （3）221×25
（4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25
第三部分：数学史话
“0”的历史
大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。他
们使用罗马数字。罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定
规则，把它们组合起来表示不同的数目。在这种数字的运用里，
不需要“0”这个数字。而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。他发现，有了
“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。
过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，
罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在
上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇
就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使
他两手残废，让他再也不能握笔写字。就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止
了。
但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍
然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。后来“0”终于在欧洲被广泛使
用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
参考答案：
练习一：
1.（1）25×23×4 =25×4×23=2300
（2）125×27×8=125×8×27=27000
2.（1）5×25×2×4=（25×4）×（5×2）=1000
（2）125×4×8×25=（125×8）×（25×4）=100000
（3）2×125×8×5=（125×8）×（2×5）=10000
3. 125×16=125×8×2=2000
练习二：
1.（1）25×12=25×4×3=300
（2）125×32 =125×8×4=4000
（3）48×125=6×(8×125)=6000
2.（1）125×16×5 =(125×8)×(2×5)=10000（2）25×8×5=(25×4)×(2×5)=1000
3.（1）125×64×25 =(125×8)×(4×25)×2=200000
（2）32×25×25=(4×25)×(4×25)×2=20000
练习三:
1.（1）72×78 =5616 （7×（7+1）=56作为前两位；2×8=16做后两位）
（2）45×45=2025 （4×（4+1）=20作为前两位；5×5=25做后两位）
2.（1）81×89 =7209（8×（8+1）=72作为前两位；1×9=9做后一位，前面补一个0）
（2）91×99=9009 （9×（9+1）=90作为前两位；1×9=9做后一位，前面补一个0）
3.（1）42×48=2016（4×（4+1）=20作为前两位；2×8=16做后两位）
（2）61×69=4209（6×（6+1）=42作为前两位；1×9=9做后一位，前面补一个0）
练习四:
1.（1）170÷5 =（170×2）÷（5×2）=34
（2）3270÷5 =（3270×2）÷（5×2）=654
（3）2340÷5=（2340×2）÷（5×2）=468
2.（1）7200÷25=（7200×4）÷（25×4）=288
（2）3600÷25 =（3600×4）÷（25×4）=144
（3）5600÷25=（5600×4）÷（25×4）=224
3.（1）32000÷125 =（32000×8）÷（125×8）=256
（2）78000÷125 =（78000×8）÷（125×8）=624
（3）43000÷125=（43000×8）÷（125×8）=344
练习五：
（1）29×25 =（4×7+1）×25=4×7×25+25=725
（2）17×25=（4×4+1）×25=4×4×25+25=425
（3）221×25 =221×100÷4=5525
（4）322×25 =322×100÷4=8050
（5）2561×25 =2561×100÷4=64025
（6）3753×25=3753×100÷4=93825
