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2015 年呼和浩特市中考试卷
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.以下四个选项表示某天四个城市的平均气温,其中平均气温最低的是( )
A.-3 ℃ B.15 ℃ C.-10 ℃ D.-1 ℃
2.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
3.如图,已知∠1=70°,如果CD∥BE,那么∠B的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.120°
4.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球,它们只有颜色上的区别,随机从袋中摸出2
个小球,两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 6
5.如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示,则函数值y的取值范围是( )
A.-3≤y≤3B.0≤y≤2 C.1≤y≤3 D.0≤y≤3
6.下列运算,结果正确的是( )
( 1) 2 1
A.m2+m2=m4 B. m+ =m2+
m m2
m
C.(3mn2)2=6m2n4 D.2m2n÷ =2mn2
n
7.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为
AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( )1 9
A. B. C.2 D.4
2 8
8.以下是某手机店1~4月份的两个统计图,分析统计图,对3、4月份三星手机的销售情况四
个同学得出的以下四个结论,其中正确的为( )
A.4月份三星手机销售额为65万元
B.4月份三星手机销售额比3月份有所上升
C.4月份三星手机销售额比3月份有所下降
D.3月份与4月份的三星手机销售额无法比较,只能比较该店销售总额
9.如图是某几何体的三视图,根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( )
A.236π B.136π C.132π D.120π
x2+2x
10.函数y= 的图象为( )
|x|
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.本题要求把正确结果填在横线上,不需要解
答过程)
11.某企业去年为国家缴纳税金达到4 100 000元,用科学记数法表示为 元.
12.分解因式:x3-x= .
13.如图,四边形ABCD是菱形,E、F、G、H分别是各边的中点,随机地向菱形ABCD内掷一
粒米,则米粒落到阴影区域内的概率是 .
14.一个圆锥的侧面积为8π,母线长为4,则这个圆锥的全面积为 .
15.若实数a、b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a+b= .
16.以下四个命题:
①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直,则这两个角互补.②边数相等的两个正多边形一定相似.
③等腰三角形ABC中,D是底边BC上一点,E是一腰AC上的一点,若∠BAD=60°且AD=AE,
则∠EDC=30°.
④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点.
其中正确命题的序号为 .
三、解答题(本大题共9小题,满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算.
(1) -1
(1)(5分)计算:|√6-3|- +√24;
3
( 2a 3b ) 7 √5 1
(2)(5分)先化简,再求值: + ÷ ,其中a= ,b=- .
5a2b 10ab2 2a3b2 2 2
18.(6分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)若BD=EF,连结DE、BF,判断四边形EBFD的形状,无需说明理由.19.(6分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高
楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离AD为120 m.求这栋高楼的高度.(结果用
含非特殊角的三角函数及根式表示即可)
{2x+ y=-3m+2, 3
20.(6分)若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y>- ,求出满足条件
x+2y=4 2
的m的所有正整数值.21.(7分)某玉米种子的价格为a元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的
种子价格打8折.某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析,
并绘制出了函数图象.以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料,已知点A的坐标
为(2,10).请你结合表格和图象:
付款金额(元) a 7.5 10 12 b
购买量(千克) 1 1.5 2 2.5 3
(1)指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x,并写出表中a、b的值;
(2)求出当x>2时,y关于x的函数解析式;
(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买该玉米种子,乙农户购买了4 165克该玉米种子,分别计算
他们的购买量和付款金额.
22.(9分)学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛,
学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试,他们各自
的成绩(百分制)如下表:
选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
(1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25,请计算乙的平均成绩,从他们的这一成绩看,应选
派谁;
(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们 2、1、3和4的权,请分别
计算两名选手的平均成绩,从他们的这一成绩看,应选派谁.
4
23.(7分)如图,在平面直角坐标系中A点的坐标为(8,y),AB⊥x轴于点B,sin∠OAB= ,反比例
5
k
函数y= 的图象的一支经过AO的中点C,且与AB交于点D.
x
(1)求反比例函数解析式;
k
(2)若函数y=3x与y= 的图象的另一支交于点M,求三角形OMB与四边形OCDB的面积的
x
比.24.(9分)如图,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O外的一点,AM是☉O的直径,∠PAC=∠ABC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)连结 PB 与 AC 交于点 D,与☉O 交于点 E,F 为 BD 上的一点,若 M 为 ⏜ 的中点,且
BC
BD FD CD
∠DCF=∠P,求证: = = .
PD ED AD
25.(12分)已知:抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1经过坐标原点,且当x<0时,y随x的增大而减小.
(1)求抛物线的解析式,并写出y<0时,对应x的取值范围;
(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点
D,再作AB⊥x轴于点B,DC⊥x轴于点C.
①当BC=1时,直接写出矩形ABCD的周长;
②设动点A的坐标为(a,b),将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围,
判断周长是否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点A的坐标;如果不存在,请
说明理由.答案全解全析：
一、选择题
1.C -10 ℃<-3 ℃<-1 ℃<15 ℃,所以平均气温最低的是-10 ℃,选C.
2.A A选项既是轴对称图形又是中心对称图形,B选项是中心对称图形,C、D选项是轴对称
图形,不是中心对称图形,故选A.
3.C ∠1的邻补角是110°,因为CD∥BE,所以∠B的度数为110°,故选C.
4.A 记3个红球为A,A ,A ,黄球为B.列表如下:
1 2 3
A A A B
1 2 3
A
1
A
2
A
1
A
3
A
1
B A
1
A
2
A
1
A
2
A
3
A
2
B A
2
A
3
A
1
A
3
A
2
A
3
B A
3
B A
1
B A
2
B A
3
B
从表中可以看出,从袋中随机摸出2个小球,共有12个可能的结果,而两球恰好是一个黄球和一个红球的结果共有6个,所
1
以两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 ,选A.
2
5.D 从题图看出y的最大值是3,最小值是0,所以0≤y≤3,选D.
m n
6.D 2m2n÷ =2m2n· =2mn2,故选D.
n m
AB
7.C 在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,因为BF∥DE,所以△ABF∽△ADE,所以 =
ADBF 4 BF 1
,即 = ,解得BF=4,所以CF=2,∴S = CE·CF=2.
DE 6 6
△CEF
2
8.B 4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元,3月份三星手机销售额为60×18%=10.8
万元,所以4月份三星手机销售额大于3月份三星手机销售额,故选B.
9.B 从题中三视图看出,该几何体是由两个圆柱组成的,其体积为π×22×2+π×42×8=136π,故选
B.
x2+2x { x+2(x>0),
10.D y= = 其图象是D选项,故选D.
|x| -x-2(x<0),
二、填空题
11.答案 4.1×106
解析 4 100 000=4.1×106.
12.答案 x(x+1)(x-1)
解析 x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
1
13.答案
2
解析 连结BD.因为点H、E分别是AD、AB的中点,所以HE是△ADB的中位线, 所以
1 1 1 1
HE∥DB,HE=
2
DB,所以△AHE∽△ADB,所以S
△AHE
=
4
S
△ADB
=
8
S
菱形ADCB
,易证S
阴影
=
2
S
菱形ADCB
,
1
则米粒落到阴影区域内的概率是 .
2
14.答案 12π
1
解析 设圆锥的底面半径为r,根据题意得 ×2πr×4=8π,解得r=2,则圆锥的底面积是4π,故其
2
全面积是12π.
1
15.答案 - 或1
2
1
解析 由(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0得(a+b)(2a+2b-1)-1=0,则2(a+b)2-(a+b)-1=0,解得a+b=- 或1.
2
评析 在本题中,需要把a+b当作一个整体,构造一元二次方程,解得(a+b)的值.属于容易题.
16.答案 ②③④
解析 若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直,则这两个角互补或相等,如图1中
∠A+∠B=180°,图2中∠C=∠D,所以①错误;
边数相等的两个正多边形对应边成比例,对应角相等,所以这两个正多边形相似,②正确;
如图所示,在△ABC中,AB=AC,所以∠B=∠C;在△ADE中,AD=AE,所以∠ADE=∠AED;
因为∠DAE+∠ADE+∠AED=180°,∠DAE+∠BAD+∠B+∠C=180°,所以∠AED=∠C+30°,又因为∠AED=∠C+∠EDC,所以∠EDC=30°,故③正确;
任意三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,故④正确.
综上所述,②③④正确.
三、解答题
17.解析 (1)原式=3-√6-3+2√6(3分)
=√6.(5分)
(2)原式=( 2 3 )·2a3b2= 2 ·2a3b2+ 3 ·2a3b2=4a2b+3a2b=a2b.(3分)
+
5ab 10ab 7 5ab 7 10ab 7 35 35 5
√5 1 1
当a= ,b=- 时,原式=- .(5分)
2 2 8
18.解析 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BO=DO,AO=OC.
∵AE=CF,
∴AO-AE=OC-CF,
即OE=OF.
在△BOE和△DOF中,
{
OB=OD,
∠BOE=∠DOF,
OE=OF,
∴△BOE≌△DOF(SAS).(4分)
(2)矩形.(6分)
19.解析 在Rt△ABD中,
BD
∵tan 30°= ,
AD
√3
∴BD=AD·tan 30°=120× =40√3.(2分)
3
在Rt△ACD中,
CD
∵tan 65°= ,
AD
∴CD=120·tan 65°,(4分)
∴BC=BD+CD=(40√3+120·tan 65°)m .
答:这栋高楼的高度为(40√3+120·tan 65°)m .(6分){2x+ y=-3m+2, ①
20.解析
x+2y=4, ②
①+②得:3(x+y)=-3m+6,∴x+y=-m+2.(2分)
3
∵x+y>- ,
2
3
∴-m+2>- ,
2
7
∴m< .(4分)
2
∵m为正整数,
∴m=1、2或3.(6分)
21.解析 (1)购买量是函数中的自变量x.(1分)
a=5,(2分)
b=14.(3分)
(2)当x>2时,设y与x的函数关系式为y=kx+b.
∵y=kx+b经过点(2,10),
又x=3时,y=14,
{2k+b=10, {k=4,
∴ 解得
3k+b=14, b=2.
∴当x>2时,y与x的函数关系式为y=4x+2.(5分)
8.8
(3)当y=8.8时,x= =1.76,
5
当x=4.165时,y=4×4.165+2=18.66.
∴甲农户的购买量为1.76千克,乙农户的付款金额为18.66元 .(7分)
73+80+82+83
22.解析 (1)乙的平均成绩: =79.5.(1分)
4
∵80.25>79.5,∴应选派甲.(2分)
85×2+78×1+85×3+73×4
(2)甲的平均成绩: =79.5.(5分)
10
73×2+80×1+82×3+83×4
乙的平均成绩: =80.4.(8分)
10
∵79.5<80.4,∴应选派乙.(9分)
23.解析 (1)∵A点的坐标为(8,y),∴OB=8.
4
∵sin∠OAB= ,
5
5
∴OA=8× =10,则AB=6.
4
∵C是OA的中点,且在第一象限,∴C(4,3).
k
∵y= 的图象过点C,
x
k
∴3= ,k=12.
4
12
∴反比例函数的解析式为y= .(2分)
x(2)解方程组
{y=3x,
得{x =2,{x =-2,
12 1 2
y= , y =6, y =-6.
x 1 2
∴M(-2,-6).(3分)
1 1
∴S = ·OB·|-6|= ×8×6=24.
△OMB
2 2
1
S =S +S =12+ ·BD·4,(5分)
四边形OCDB △OBC △BCD
2
∵D在双曲线上,且D点横坐标为8,
∴D( 3),即BD=3,
8,
2 2
∴S =12+3=15,
四边形OCDB
∴ S △OMB =8.(7分)
S 5
四边形OCDB
24.证明 (1)连结CM,
∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC,
∴∠PAC=∠M.
∵AM为直径,
∴∠ACM=90°,
∴∠M+∠MAC=90°,
∴∠PAC+∠MAC=90°,即∠MAP=90°,
∴MA⊥AP,
∴PA是☉O的切线.(3分)
(2)连结AE.
∵M为 ⏜ 的中点,AM为☉O的直径,
BC
∴AM⊥BC.
∵AM⊥AP,∴AP∥BC,
∴△ADP∽△CDB,
BD CD
∴ = .(5分)
PD AD
∵AP∥BC,∴∠P=∠CBD.
∵∠CBD=∠CAE,∴∠P=∠CAE.
∵∠P=∠DCF,∴∠DCF=∠CAE.
∵∠ADE=∠CDF,
∴△ADE∽△CDF,CD FD
∴ = .(7分)
DA ED
BD FD CD
∴ = = .(9分)
PD ED AD
25.解析 (1)∵抛物线经过坐标原点(0,0),
∴m2-1=0,∴m=±1,
∴y=x2+x或y=x2-3x.(2分)
∵当x<0时,y随x的增大而减小,
∴y=x2-3x.(3分)
由图象知:y<0时,0
