原卷版01~11专题p210_高中物理模型题型与方法

高中物理模型题型与方法（专题 01~11） 目录 专题01 常见的匀变速直线运动模型 【模型一】 刹车模型........................................................................................................................................4 【模型二】“0—v—0”运动模型......................................................................................................................5 【模型三】 反应时间与限速模型....................................................................................................................8 1.先匀速，后减速运动模型---反应时间问题...........................................................................................9 2.先加速后匀速运动模型----限速问题....................................................................................................10 3.先加速后匀速在减速运动模型----最短时间问题................................................................................11 4.多过程运动之“耽误时间（先减后加）”模型.................................................................................12 【模型四】 ......................................................................................................................................................14 【模型五】........................................................................................................................................................15 【模型六】........................................................................................................................................................17 专题02 常见的非匀变速直线运动模型 【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型..................................................................................................21 1.力与运动-----下落的“三段四点”：...................................................................................................21 2.四个图像.................................................................................................................................................22 3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题........................................................................................22 4.等效模型二:蹦极运动问题....................................................................................................................22 5.功能变化及图像.....................................................................................................................................22 【模型二】“f=kv”运动模型...........................................................................................................................27 1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”：...........................................................................................27 2.“另类匀变速运动”的动量特征............................................................................................................28 3.流体的变加速运动问题.........................................................................................................................28 【模型三】“F随x均匀变化与F随t均匀变化”运动模型.......................................................................33 【模型四】 机车启动模型..............................................................................................................................36 1.以恒定功率启动.....................................................................................................................................36 2.以恒定加速度启动.................................................................................................................................36 3.三个重要关系式.....................................................................................................................................36 4． 倾斜、竖直机车启动问题................................................................................................................37 专题03 斜面模型 【模型一】 斜面上物体静摩擦力突变模型..................................................................................................43 【模型二】斜面体静摩擦力有无模型............................................................................................................45 【模型三】 物体在斜面上自由运动的性质..................................................................................................49 【模型四】斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型.....................................................................................52 1.“光滑斜面”模型常用结论....................................................................................................................52 2.“等时圆”模型及其等时性的证明........................................................................................................52 【模型五】功能关系中的斜面模型................................................................................................................56 11.物体在斜面上摩擦力做功的特点.........................................................................................................56 2.动能变化量与机械能变化量的区别....................................................................................................57 专题04 连接体模型 【模型一】平衡中的连接体模型....................................................................................................................61 1.轻杆连接体问题.....................................................................................................................................61 2． 轻环穿杆问题....................................................................................................................................62 【模型二】绳杆弹簧加速度问题模型............................................................................................................65 1． 悬绳加速度问题................................................................................................................................65 2． 类悬绳加速度问题............................................................................................................................65 【模型三】 轻绳相连加速度相同的连接体..................................................................................................71 【模型四】板块加速度相同的连接体模型....................................................................................................73 【模型五】轻绳绕滑轮加速度相等----“阿特伍德机”模型.........................................................................78 【模型六】弹簧木块分离问题模型................................................................................................................81 【模型七】“关联速度与机械能守恒”连接体模型....................................................................................85 1.绳、杆末端速度分解四步.....................................................................................................................85 2.绳杆末端速度分解的三种方法.............................................................................................................85 3.轻绳相连的物体系统机械能守恒模型.................................................................................................87 4.轻杆相连的系统机械能守恒模型.........................................................................................................87 专题 05 滑块木板模型 【模型归纳】............................................................................................................................................................93 模型一 光滑面上外力拉板..............................................................................................................................93 模型二 光滑面上外力拉块..............................................................................................................................93 模型三 粗糙面上外力拉板..............................................................................................................................93 模型四 粗糙面上外力拉块..............................................................................................................................94 模型五 粗糙面上刹车减速..............................................................................................................................94 【常见问题分析】....................................................................................................................................................94 问题1． 板块模型中的运动学单过程问题...................................................................................................94 问题2． 板块模型中的运动学多过程问题1——至少作用时间问题.........................................................95 问题3． 板块模型中的运动学多过程问题2——抽桌布问题.....................................................................95 问题4． 板块模型中的运动学粗糙水平面减速问题...................................................................................96 【模型例析】............................................................................................................................................................97 【模型演练】............................................................................................................................................................99 专题06 传送带模型 【解决传送带问题的几个关键点】..............................................................................................................106 【模型一】水平传动带模型上物体的常见运动..........................................................................................106 【模型二】倾斜传送带模型上物体的常见运动..........................................................................................111 1.倾斜传送带——上传模型...................................................................................................................112 2.倾斜传送带——下载...........................................................................................................................116 专题07 抛体运动模型 2【平抛运动模型的构建及规律】..................................................................................................................121 【三类常见的斜面平抛模型】......................................................................................................................124 【半圆模型的平抛运动】..............................................................................................................................130 【平抛与圆相切模型】..................................................................................................................................132 【台阶平抛运动模型】..................................................................................................................................133 【体育生活中平抛运动的临界模型】..........................................................................................................135 【对着竖直墙壁的平抛模型】......................................................................................................................137 【斜抛运动模型】..........................................................................................................................................142 专题08 水平面内的圆周运动模型 【模型一】圆锥摆、圆锥斗、圆碗模型......................................................................................................147 【模型二】火车转弯模型..............................................................................................................................153 【模型三】水平路面转弯模型......................................................................................................................156 【模型四】圆盘模型......................................................................................................................................159 专题09 竖直面内的圆周运动模型 一．一般圆周运动的动力学分析..................................................................................................................164 二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析..........................................................................164 三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论..............................................................................................165 三.过拱凹形桥模型.........................................................................................................................................175 专题10 碰撞与类碰撞模型 【模型一】弹性碰撞模型..............................................................................................................................178 【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型..........................................................................................182 【模型三】碰撞模型三原则..........................................................................................................................185 【模型四】 小球—曲面模型........................................................................................................................186 【模型五】 小球—弹簧模型........................................................................................................................189 【模型六】 子弹打木块模型........................................................................................................................193 【模型七】 滑块木板模型............................................................................................................................196 专题11 爆炸与类爆炸模型 【模型一】爆炸模型......................................................................................................................................199 【模型二】弹簧的“爆炸”模型..................................................................................................................201 【模型三】人船模型与类人船模型..............................................................................................................203 【模型四】 类爆炸（人船）模型和类碰撞模型的比较............................................................................206 3专题01 常见的匀变速直线运动模型 【模型一】 刹车模型 【概述】指匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间 【模型要点】 (1)刹车问题在实际生活中，汽车刹车停止后，不会做反向加速运动，而是保持静止。 (2)题目给出的时间比刹车时间长还是短?若比刹车时间长，汽车速度为零．若比刹车时间短，可利用公式 v=v +at 0 直接计算，因此解题前先求出刹车时间 。 v=v +at 0 (3)刹车时间 的求法．由 ，令 ，求出 便为刹车时间，即 。 v=v +at 0 (4)比较 与 ,若 ，则 ；若 ，则 。 (5)若 ，则 ，车已经停止，求刹车距离的方法有三种： ①根据位移公式x=v t＋at2，注意式中 只能取 ； 0 [来源:学科网ZXXK] ②根据速度位移公式－v＝2ax； [来源:学*科*网Z*X*X*K] ③根据平均速度位移公式 . 【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）一辆汽车以10 m/s的初速度沿平直公路匀速行驶，因故紧急 4刹车并最终停止运动，已知从开始刹车时计时，经过3 s汽车的位移为10 m，则汽车刹车时的加速度大小 和第3 s末的速度大小分别为（刹车过程可视为匀变速运动过程）（ ） A．5 m/s2，0 B．2.5 m/s2，5 m/s C．2.5 m/s2，0 D．5 m/s2，5 m/s 【模型演练2】（2023春·云南·高三专题练习）某汽车在路面上刹车做直线运动，刹车后的位移满足 ， 的单位为m， 的单位为s，以下说法正确的是（ ） A．该汽车的初速度大小为12m/s B．刹车的加速度大小为1m/s2 C．该车经过6s刹车停止 D．刹车后的总位移是9m 【模型演练3】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）一辆汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行 驶过程中，司机忽然发现前方100m处有一警示牌，立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的 变化如图所示。图中， 时间段为司机从发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力 未画出，汽车仍保持匀速行驶）， ； 时间段为刹车系统的启动时间， ；从 时刻开 始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从 时刻开始，汽车第1s内的位移为24m，第4s内的 位移为1m。 （1）求 时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小； （2）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小。 【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬季奥运会冰壶比赛的水平场地如图所示，运 动员推动冰壶从发球区松手后，冰壶沿中线做匀减速直线运动，最终恰好停在了营垒中心．若在冰壶中心 到达前掷线时开始计时，则冰壶在第 末的速度大小 ，在第 内运动了 ，取重力 5加速度大小 。求： （1）冰壶与冰面间的动摩擦因数 ； （2）营垒中心到前掷线的距离 。 【模型二】“0—v—0”运动模型 【概述】多过程问题是匀变速直线运动中的常见问题，一般处理时需要列多个方程，综合求解。但有一类 多过程问题，由于特点比较鲜明，常常可以利用结论快速求解，那就是0-v-0模型。所谓0-v-0模型是指， 一物体从静止开始，先做匀加速直线运动，速度达到最大值后，再匀减速至速度为 0。这类问题除了可以 列基本方程求解外，利用v-t图像去解答会更快速。因为0-v-0模型的v-t图像非常简洁。 【模型要点】 1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式： ①速度公式 推导可得： ②速度位移公式 推导可得： ③平均速度位移公式 推导可得： 位移三个公式： ； ； 2. 3.v-t图像 6v v 0 a 1 a 2 O t 1 t 2 t 【模型演练1】（2021·全国·高考真题）水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开始 运动，物体通过的路程等于 时，速度的大小为 ，此时撤去F，物体继续滑行 的路程后停止运动，重 力加速度大小为g，则（ ） A．在此过程中F所做的功为 B．在此过中F的冲量大小等于 C．物体与桌面间的动摩擦因数等于 D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍 【模型演练2】【多选】（2023·青海·统考二模）两带电的平行板A、B水平放置，上极板A的中央有一小 孔．如图甲所示，一带电油滴从小孔的正上方的O点处自由下落，穿过上极板A中央的小孔后，刚好不与 下极板B相碰，在此过程中，油滴的速度v随时间t变化的关系如图乙所示．重力加速度为g，不计空气阻 力，可知（ ） A．在 时，油滴刚好穿过A板的小孔 B．在 时，油滴刚好返回到O点 C．油滴受到的重力与电场力之比为2∶3 7D．O点到下极板B的距离为 【模型演练3】．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图是某运动员做低空跳伞表演的 图像，从该运动员离开悬停的飞机开始计时，运动员先做自由落体运动， 时刻打开降落伞， 时刻 落到地面，打开降落伞后运动员获得的加速度大小为5m/s2。 ，下列说法正确的是（ ） A．运动员离开飞机10s后打开降落伞 B．运动员在空中下落过程用时9s C．运动员距离地面247.5m时打开降落伞 D．飞机距离地面375m 【模型演练4】．（2023·海南海口·统考模拟预测）如图是公园内游乐场的一项娱乐设备。一环形座舱套装 在竖直柱子上，由升降机送上几十米高处，然后让座舱自由落下，落到一定位置时，制动系统启动，到地 面时刚好停下。已知座舱开始下落时离地面的高度为H，当落到离地面h的位置时开始制动，座舱做匀减 速运动直到停止。不计座舱与柱子间的摩擦力及空气阻力。以下说法正确的是（ ） A．质量m的乘客制动过程对座舱的压力为mg B．下落过程最大速度为 C．加速过程的时间为 D．制动过程的加速度为 【模型演练5】．（2023·河北·模拟预测）如图所示的自由落锤式强夯机将8~30 t的重锤从6~30m高处自 8由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为 、从自由下 落到运动至最低点经历的时间为 ，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力 加速度为g，则该次夯土作业（ ） A．重锤下落时离地高度为 B．重锤接触地面后下降的距离为 C．重锤接触地面后的加速度大小为 D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度 【模型演练6】图(a)为自动感应门，门框上沿中央安装有传感器，当人与传感器的水平距离小于或等于某 个设定值(可称为水平感应距离)时，中间两扇门分别向左右平移，当人与传感器的距离大于设定值时，门 将自动关闭。图(b)为感应门的俯视图，A为传感器位置，虚线圆是传感器的感应范围，已知每扇门的宽度 为d，最大移动速度为v ，若门开启时先匀加速运动而后立即以大小相等的加速度匀减速运动，每扇门完 0 全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。 (1)求门开启时做加速和减速运动的加速度大小； (2)若人以v 的速度沿图中虚线s走向感应门，要求人到达门框时左右门同时各自移动的距离，那么设定的 0 传感器水平感应距离l应为多少？ (3)若以(2)的感应距离设计感应门，欲搬运宽为的物体(厚度不计)，并使物体中间沿虚线s垂直地匀速通过 该门，如图(c)所示，物体的移动速度不能超过多少？ 9【模型三】 反应时间与限速模型 【概述】 1.先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 v v 0 a x 1 x 2 O t 1 t 总位移 【模型演练1】（2023春·山西·高三统考阶段练习）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持一定的距 离。假设某人驾驶一辆汽车在平直公路上以速度 匀速行驶，突然前方汽车停止，司机从发现这一情况到 踩下刹车所经历的时间（即司机的反应时间）为 。在干燥和湿润两种路况下，汽车轮胎与路面的动摩擦 因数分别为 和 ，且 ，对应的安全距离分别为x、x，重力加速度为g，则下列选项正确的是（ 1 2 ） A． B． C． D． 【模型演练2】（2023秋·宁夏银川·高三六盘山高级中学校考期末）根据《机动车驾驶证申领和使用规 定》，司机闯红灯要扣6分，并处罚金200元。某小轿车驾驶员看到绿灯开始闪时，经短暂时间思考后开 始刹车，小轿车在红灯刚亮时恰停在停车线上， 图像如图所示。若绿灯开始闪烁时小轿车距停车线距 离 ，则（ ） A．小轿车刹车的加速度大小为2m/s2 10B．小轿车的刹车距离为7m C．绿灯开始闪烁到红灯刚亮的时间为3s D．绿灯开始闪烁到红灯刚亮的时间为2.5s 【模型演练3】（2023·江苏徐州·高三专题练习）当车辆在公路上出现故障不能移动时，为保证安全，需要 在事故车辆后面一定距离放置如图所示的警示标志。通常情况下，司机看到警示标志后会有大约 的反应时间。某省道限速 （约为 ），假设某后方司机即将撞到警示标志时才看到 该标志，为避免后方车辆与故障车相撞，警示标志应放在故障车尾后面的距离不小于（汽车在此公路刹车 过程最大加速度大小为 ）（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】（2023·云南昆明·统考一模）无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆 安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾 驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速 度大小为 。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ） A．24m B．26m C．28m D．30m 2.先加速后匀速运动模型----限速问题 v v 0 a O t t 11加速时间 ；加速距离 匀速时间 ；匀速距离 总位移 【模型演练】（2023·浙江·校联考模拟预测）下表是《国家学生体质健康标准》中高三年级男生50m跑评 分表（单位：s）。该测试简化为先匀加速起跑，达到最大速度后再匀速直线到达终点。现在有甲和乙两位 同学参加测试，他们两人匀加速起跑时间均为2s，最终成绩分别为90分和66分，则甲和乙最大速度的比 值为（ ） 等级 优秀 良好 合格 单项得 100 95 90 85 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 分 成绩 6.8 6.9 7.0 7.1 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 A． B． C． D． 3.先加速后匀速在减速运动模型----最短时间问题 【模型演练1】（2023·云南曲靖·校考二模）一种比飞机还要快的旅行工具即将诞生，称为“第五类交通方 式”，它就是“Hyperloop（超级高铁）”。速度高达一千多公里每小时。如果乘坐Hyerloop从A地到B 地，600 公里的路程需要42分钟，Hyperloop 先匀加速，达到最大速度1200 km/h后匀速运动，快进站时 再匀减速运动，且加速与减速的加速度大小相等，则下列关于Hyperloop 的说法正确的是（ ） A．加速与减速的时间不一定相等 B．加速时间为10分钟 C．加速过程中发生的位移为150公里 D．加速时加速度大小约为0.46 m/s2 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）为有效管控机动车通过一长度为 的直隧道时的车速，以 预防和减少交通事故，在此隧道入口和出口处各装有一个测速监控（测速区间）。一辆汽车车尾通过隧道 入口时的速率为 ，汽车匀加速行驶 ，速率达到 ，接着匀速行驶 ，然后匀减速行驶。 要使该汽车通过此隧道的平均速率不超过 ，则该汽车车尾通过隧道出口时的最高速率为 12（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023·陕西西安·统考模拟预测）哈利法塔高 ，是目前世界最高的建筑，游客乘坐世 界最快观光电梯经历加速、匀速、减速的过程能够到达观景台，在台上可以鸟瞰整个迪拜全景，颇为壮观。 已知某次运行过程中，电梯加速、减速的加速度大小均为 ，通往观景台只用了 ，电梯运行高度为 。则（ ） A．电梯匀速运行的时间为 B．电梯匀速运行的时间为 C．电梯运行的最大速度为 D．电梯运行的最大速度为 【模型演练4】如图所示为赛车某一赛段示意图，该赛段路面水平，直道AB段长700m，弯道BC段为半 圆形轨道，其路面中心线半径R=50m。一辆赛车从A点由静止开始沿路面中心线运动到C点，赛车在BC 段路面行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的0.8倍，若赛车加速阶段最大能保持以10m/s2的 加速度做匀加速运动，减速阶段最大能保持以10m/s2的加速度做匀减速运动，直道上汽车的最大速度为 v =80m/s。取重力加速度g=10m/s2， =3.14，为保证运动过程中赛车不侧滑，求 m (1)BC段汽车的最大速度v； (2)汽车从A到C所需的最短时间。 134.多过程运动之“耽误时间（先减后加）”模型 v v 0 a a 2 1 O t t v t Δx= 0t Δt= 耽误距离 2 ，耽误时间 2 v v 0 a a 2 1 O t 1 t 2 t 3 t t +t t +t Δx=v （ 1 3 +t ） Δt= 1 3 +t 耽误距离 0 2 2 ，耽误时间 2 2 【模型演练1】（2022·全国·统考高考真题）长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v，要通过 0 前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v < v）。已知列车加 0 速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v 所用时间至少为（ 0 ） A． B． C． D． 【模型演练2】（2023·山东潍坊·统考三模）如图所示， 是高速公路上不停车电子收费系统的简称。 一汽车在平直公路上以 的速度行驶，汽车通过 通道前，以 的加速度减速，当速度减至 后，匀速通过长为 的匀速行驶区间。当车头到达收费站中心线后，再以 的加速度匀加速 至 ，汽车从开始减速至回到原行驶速度的过程，下列判断正确的是（ ） 14A．通过的最短距离为 B．通过的最短距离为 C．所用的最短时间为 D．所用的最短时间为 【模型演练3】．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）一小汽车以速度 在平直轨道上正常行 驶，要通过前方一隧道，需提前减速，以速度 匀速通过隧道后，立即加速到原来的速度 ，小汽车的v-t 图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．加速阶段与减速阶段的加速度大小之比为1：2 B．加速阶段与减速阶段的位移大小之比为2：1 C．加速阶段与匀速阶段的位移大小之比为1：2 D．小汽车从 开始减速直至再恢复到 的过程中通过的路程为 【模型四】 双向可逆类运动模型【概述】：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高 点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时 可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义 【模型特点】(1)常见情景 ①沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后返回。 ②竖直上抛运动等。 15(2)特点：以原加速度匀加速返回，全过程加速度大小、方向都不变。 【模型演练1】如图所示，一物块(可视为质点)以一定的初速度从一足够长的光滑固定斜面的底端开始上滑， 在上滑过程中的最初5 s内和最后5 s内经过的位移之比为11∶5.忽略空气阻力，则此物块从底端开始上滑到 返回斜面底端一共经历的时间是( ) A．8 s B．10 s C．16 s D．20 s 【模型演练2】(多选)在塔顶边缘将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计 空气阻力，g取10 m/s2，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体运动的时间可能为( ) A．(2－) s B．(2＋) s C．(2＋) s D． s 【模型演练3】(多选)一物体以5 m/s的初速度在光滑斜面上向上运动，其加速度大小为 2 m/s2，设斜面足 够长，经过t时间物体位移的大小为4 m，则时间t可能为 ( ) A．1 s B．3 s C．4 s D. s 【模型演练4】一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大小变为2v，加速度 大小为a，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确的是( ) A．这段时间内质点运动方向不变 B．这段时间为 C．这段时间的路程为 D．再经过相同时间质点速度大小为3v 【模型五】 等位移折返模型 如沿粗糙斜面上滑 【概述】： 的小球，到最高点后仍能下滑，上下过程加速度大小不同但位移大小相同，求 解时可拆解为两个初速度为0的匀加速直线运动进行简化。 【模型特点】(1)特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。 (2)位移三个公式：位移公式 ；速度位移公式 ； 平均速度位移公式 16(3)三个比例式：① ；② ③ ； (4)v-t图像 v v 1 a 1 O t 1 t 2 t a v 2 2 【模型演练1】【多选】（2021·全国·高考真题）一质量为m的物体自倾角为 的固定斜面底端沿斜面向 上滑动。该物体开始滑动时的动能为 ，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜 面底端时动能为 。已知 ，重力加速度大小为g。则（ ） A．物体向上滑动的距离为 B．物体向下滑动时的加速度大小为 C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5 D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长 【模型演练2】（2023·北京东城·统考一模）如图甲所示，一物块以一定的初速度冲上倾角为30°的固定斜 面，物块在斜面上运动的过程中，其动能 与运动路程s的关系如图乙所示。已知物块所受的摩擦力大小 恒定，g取10 。下列说法正确的是（ ） 17A．物块质量为0.7 B．物块所受摩擦力大小为0.4N C．0~20m过程中，物块克服摩擦力做功为40J D．0~10m过程中与10m~20m过程中物块所受合力之比为3∶4 【变式训练3】．（2023春·全国·高三专题练习）海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度 从手 中竖直抛出，从抛出开始计时， 时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小 球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度 大小为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4】．【多选】（2022·福建·高考真题）一物块以初速度 自固定斜面底端沿斜面向上运动， 一段时间后回到斜面底端。该物体的动能 随位移x的变化关系如图所示，图中 、 、 均已知。根 据图中信息可以求出的物理量有（ ） A．重力加速度大小 B．物体所受滑动摩擦力的大小 C．斜面的倾角 D．沿斜面上滑的时间 【变式训练5】【多选】（2023春·陕西延安·高三校考期末）有一物体由某一固定的长斜面的底端以初速 18度v 沿斜面上滑，斜面与物体间的动摩擦因数μ=0.5，其动能E 随离开斜面底端的距离s变化的图线如图 0 k 所示，g取10m/s2，不计空气阻力，则以下说法正确的是（ ） A．物体在斜面上运动的过程机械能减小了30J B．斜面与物体间的摩擦力大小f=4N C．物体的质量为m=2kg D．斜面的倾角θ=37° 【模型六】 等时间折返模型 【概述】：物体由静止出发，先经过一段时间匀加速直线运动，速 度达到v，然后立即做匀减速直线运动，如果经过相等的时间物体回到了原出发点。 1 【模型特点】 如图所示，设物体由A点出发做匀加速直线运动，加速度大小为 ，运动到B点时速度大小为 ，这时 立即以大小为 的加速度做匀减速直线运动，由题意可知，物体速度应先减速到0再返回出发点A，速度 为 从A点运动到B点的时间等于由B回到A点的时间，设为 ， 取向右为正方向： 物体从A到B，由运动学公式得： 2 -------------------(1) -------------------(2) 从B返回A的整个过程： ---------------------(3) -------------------------(4) 由(1)、(2)、(3)、(4)解得： ---------------------------(5) 19----------------------------(6) 由以上结论可进一步得出该定理的推论： 深入思考发现推论：设从A到B（匀加速过程）受到的合外力大小为 ，合力做的功为 ，物体受到的冲 量为 ；从B返回A（匀减速过程）受到的合力为 ，合力做的功为 ，物体受到的冲量为 ，则： ∵ ∴由 得 ------------------(7) ∵ ∴ ------------------(8) ∵ ∴ -------------------(9) 【模型演练1】【多选】（2023·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）如图所示，倾角 为θ的光滑斜面足够长，一质量为m的小物体，在沿斜面向上的恒力F作用下，由静止从斜面底端沿斜面 向上做匀加速直线运动，经过时间t，力F做功为60J，此后撤去力F，物体又经过相同的时间t回到斜面 底端，若以地面为零势能参考面，则下列说法中正确的是（ ） A．物体回到斜面底端的动能小于60J B．恒力F=2mgsinθ C．撤去力F时，物体的重力势能是45J D．动能与势能相等的时刻一定出现在撤去力F之后 【模型演练2】（2023·浙江台州·高三统考）如图所示，静置于光滑斜面（倾角为 ）的质量为m的物块， 受到沿斜面方向的恒力F的作用，作用时间t后撤去F，再经时间 后刚好返回起点，则（ ） A．F与 的比应该为3比7 20B．F与 的比应该为9比5 C．F与 的比应该为7比3 D．F与 的比应该为2比3 【模型演练3】（2023春·山东威海·高三阶段练习）如图甲所示，两平行金属板A、B水平放在真空中，板 间距为d，金属板长2d，OO＇为板间中线，AB板间的电势差U随时间t的变化情况如图乙所示。有一个 质量为m，电荷量为q的带电小球，t＝0时刻从O点以v 的速度水平沿OO＇射入。T时刻小球恰好从O＇ 0 点射出，小球运动过程中恰好未B与极板相碰。已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ） A．小球所受的电场力大小等于重力大小 B．板间电压 C． 时，小球速度大小为 v 0 D． 时，小球速度大小为v 0 【模型演练4】．【多选】（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，在足够长光滑绝缘水平面的 上方，存在着方向水平向右、场强大小为 的匀强电场。一带正电小物块（可视为质点）从水平面上A点 由静止释放，经时间t到达B点，小物块速度大小为v。此时水平面上方突然撤去原来电场，改加方向水平 向左、场强大小为 的匀强电场，小物块又经时间2t恰好返回A点。下列说法正确的是（ ） 21A．小物块返回A点时速度大小为 B．小物块返回A点时速度大小为2v C．电场强度的大小关系是 D．电场强度的大小关系是 【模型演练5】如图所示，平行板电容器与电源相连，开始时极板不带电，质量为m、电荷量为 的油滴 开始自由下落，一段时间后合上开关 ，油滴经过相同时间回到出发点。忽略电容器充电时间，极板间距 足够大，已知充电后的电场强度大小为 ，下列判断正确的是 A．油滴带负电 B． C．油滴回到出发点的速度为0 D．油滴向下运动的过程中，机械能先不变后减小 【模型演练6】物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F ，经t秒后物体的速率为v 时 1 1 撤去F ，立即再对它施一水平向左的水平恒力F ，又经2t秒后物体回到出发点，此时速率为v ，则v 、v 1 2 2 1 2 间的关系是 （ ） v v 2v v 3v 2v 5v 3v A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 【模型演练7】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）一质点从A点做初速度为零、加速度 的匀加速 直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为 ，又经过同样的时间到达C点。 已知 、 的距离为 、 的距离的一半，则 与 的大小之比 可能为（ ） A． B． C． D． 【模型演练8】(2020·河南非凡吉创联盟调研)如图所示，较大的平行金属板正对水平放置，P板在上、Q板 在下，距离为d.质量为m，电荷量为＋q的带电小球自距P板d处的O点静止释放，运动时间t，在PQ两 板间加未知电压U，又经过2t小球返回出发点，该过程中小球未与下板Q接触．已知重力加速度为g，小 球运动过程中电荷量保持不变，忽略空气阻力．求： (1)PQ两板电势差； (2)欲使小球不与下板Q接触，t的最大值； 22(3)当t取(2)最大值，为使小球不与P板接触，当小球返回O点时，改变PQ两板电势差，求PQ两板电势 差U′满足的条件． 专题 02 常见的非匀变速直线运动模型 【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型 【模型构建】如图所示，地面上竖立着一轻质弹簧，小球从其正上方某一高度处自由下落到弹簧上．从小 球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短的过程中（在弹簧的弹性限度内），的运动问题、能量转换问题、动量 变化问题。 【模型要点】 1.力与运动-----下落的“三段四点”： [来源:学科网] 232.四个图像 v-t图 a-t图 F-t图 a-x图 3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题 F P Q v 恢复原长 Q P P 速度相等， 压缩量最大 Q 0 t 加速度相等，速度差最大 4.等效模型二:蹦极运动问题 如图所示是蹦极运动的简化示意图，弹性绳一端固定在O点，另一端系住运动员，运动员从O点自由下落， A点处弹性绳自然伸直．B点是运动员受到的重力与弹性绳对运动员拉力相等的点，C点是蹦极运动员到达 的最低点，运动员从O点到C点的运动过程中忽略空气阻力。 5.功能变化及图像 竖直小球砸弹簧 倾斜小球砸弹簧 水平弹簧推小球 24E E E E Q - E P弹 - E - E - P重 - P重 E P弹 - P弹 - - E K - - E K Q - - E K O A B C x O A B C x O A B C x 【模型演练1】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）如图所示，竖直平面内固定一倾斜的光滑绝缘杆，轻质绝 缘弹簧上端固定，下端系带正电的球A，球A套在杆上，杆下端固定带正电的球B。现将球A从O点由静 止释放，此时弹簧弹力为零，球A运动到P点返回。关于球A说法正确的是（ ） A．向下运动时，加速度随位移变化越来越快 B．向下运动到OP中点时速度最大 C．向下运动过程中机械能一直增大 D．在OP间做简谐运动 【模型演练2】．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图甲，倾角为 的光滑斜面上，轻弹簧平行斜 面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑 至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度 大小为g，下列说法正确的是（ ） A．弹簧的劲度系数为 B．下滑过程中，在 处，滑块的机械能最大 C．在 和 两段过程中， 图线斜率的绝对值均等于 25D．在 和 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等 【模型演练3】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物块，置于粗糙 的水平面上。开始时弹簧处于原长，现用一恒力F将物块由静止向右拉动直至弹簧弹性势能第一次达到最 大。在此过程中，关于物块的速度v、物块的动能 、弹簧的弹性势能 、物块和弹簧的机械能E随时间t 或位移x变化的图像，其中可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】．（2023·北京·高三专题练习）“蹦极”运动中，将一根有弹性的绳系在蹦极者身上，另一 端固定在跳台上，人从几十米高处跳下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。不计空气阻力的影响。 从绳刚好伸直时，到人第一次下降至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ） A．人先处于超重状态，后处于失重状态 B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能先增大后减小 C．绳对人的冲量始终向上，人的动量先减小后增大 D．人的动能的减少量等于绳的弹性势能的增加量 【模型演练5】（2023·北京·高三专题练习）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，质量为m的小球 从A点自由下落，至B点时开始压缩弹簧，小球下落的最低位置为C点。以B点为坐标原点O，沿竖直向 下建立x轴，小球从B到C过程中的加速度一位移图像如图乙所示，重力加速度为g。在小球从B运动到 C的过程中，下列说法正确的是（ ） 26A．小球在B点时的速度最大 B．小球在C点时所受的弹力大于 C．图像与x轴所包围的两部分面积大小相等 D．小球的动能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大 【模型演练6】（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）如图所示，光滑固定斜面底 端固定一轻质弹簧，一滑块P从O点静止释放，向下滑动过程经a点接触弹簧，最低到达b点处。以O为 原点、平行斜面向下为x轴正方向建立一维坐标系，a、b处坐标分别为x、x。设滑块在b处重力势能为 1 2 0，下滑过程中，滑块的动能E、重力势能E、机械能E、加速度a随位移x的变化图像符合实际的是（ k p ） A． B． C． D． 【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一轻质弹簧固定在斜面底端，t=0时刻，一物块 27从斜面顶端由静止释放，直至运动到最低点的过程中，物块的速度v和加速度a随时间t、动能E 和机械能 k E随位移x变化的关系图像可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练8】．（2023·高三课时练习）如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方 某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过 程中，下列说法中正确的是（ ） A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大 B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上 C．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小 D．从小球接触弹簧到到达最低点，小球受到的弹力先减小后增大 【模型演练9】（2023·江苏·模拟预测）如图甲所示，航天员在半径为R的某星球表面将一轻弹簧竖直固定 在水平面上，把质量为m的小球P（可看作质点）从弹簧上端h处（h不为0）由静止释放，小球落到弹簧 上后继续向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，其 中a、h和x 为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ） 0 0 28A．星球的第一宇宙速度 B．该弹簧劲度系数k的大小 C．小球在最低点处加速度大于a D．弹簧的最大弹性势能为 0 【模型二】“f=kv”运动模型 【概述】高中物理中有这样一类问题：物体受到一个与物体的运动速度 v成正比变化的外力而做复杂的变 速运动我们不妨称之为“f= kv”问题。。 【模型要点】 1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”： 若物体所受合力为f= kv，则产生的加速度为 等式两边同乘以 并求和得到等式 ，可得 ，也就是说物体在任意相等的位移内速度的变化量是相等的。这与匀 变直线运动的定义：物体在任意相等时间内速度速度的变化量都相等极为相似。唯一的区别就是一个对空 间均匀变化。一个对时间均匀变化。我们把满足 的运动定义为“另类匀变速运动”定义 为“另类匀变速运动”的“另类加速度”二者的区别展示如下： 正常加速度 另类加速度 二者关系： 即a=A·v (1).当A>0且恒定时，a随v增大而变大； (2).当A<0且恒定时，a随v减小而变小； (3)图像 292.“另类匀变速运动”的动量特征 物体在变力作用下做复杂的变速运动，可以把物体的运动分割成若干小段，在每一小段内，可认为力 f不 变，这样，在△t 时间内，力f的冲量： 1 同理， 时间内，力f的冲量 ，…… 所以整个过程力f的冲量为： 即变力的冲量大小与物体的位移大小成正比。 这个结论的几何解释如图所示（仅仅是示意性地画出，并不真正表示物体就做图示形式的运动）。对于 v —t图象，图象与t轴所围的面积表示物体的位移x。由于f=kv，力f随时间t变化的f—t图象与v—t图象相 似（纵轴相差k倍）。对f—t图象来说，图象与t轴所围的面积就是力f的冲量I，显然I= kx 。此结论在 解答“f=kv”问题中有很重要的作用。 3.流体的变加速运动问题 (1)注意阻力的三种可能情况：①阻力不计；②阻力大小恒定；③阻力跟速度（或速度的二次方）大小成正 比即f=kv或f=kv2。 (2)上升加速度a=g+f/m=g+kv/m随速度减小而减小 ； [来源:学科网ZXXK] 下降加速度a=g-f/m =g-kv/m随速度增大而减小 。 30v v 0 v=0，a=g f 0 t -v mg m f mg=kv 或mg=kv 2 mg m m 【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）一质点由静止开始沿直线运动，速度随位移变化的图像如图所 示，关于质点的运动，下列说法正确的是（ ） A．质点做匀速直线运动 B．质点做匀加速直线运动 C．质点做加速度逐渐增大的加速运动 D．质点做加速度逐渐减小的加速运动 【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）从地面上以大小为 的初速度竖直上抛一质量为 的小球， 若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，小球运动的速度大小随时间变化的规律如图所示， 时刻 到达最高点，再落回地面时速度大小为 ，且落地前小球已经做匀速运动，在小球的整过运动过程中，则 下列说法中错误的是（ ） A．小球加速度在上升过程中逐渐减小，在下降过程中也逐渐减小 B．小球抛出瞬间的加速度大小为 31C．小球被抛出时的加速度值最大，到达最高点的加速度值最小 D．小球上升过程的平均速度小于 【模型演练3】．（2023·山东·高三统考阶段练习）新型冠状病毒引发的肺炎疫情牵动着亿万国人的心，一 方有难，八方支援，当武汉各种物品告急时，全国人民纷纷慷慨解囊，捐款捐物，支援武汉。1月28日下 午，山东寿光首批援助武汉的350多吨20余种新鲜优质蔬菜装载完毕，如图甲所示，满载蔬菜的大卡车沿 一段平直公路缓缓驶出，其速度v随位移x的变化关系如图乙所示。则卡车（ ） A．做匀加速直线运动 B．相同时间内速度变化量相同 C．相同时间内速度变化量越来越大 D．相同位移内所受合外力做功相同 【模型演练4】．（2023·山西晋中·高三祁县中学阶段练习）某一物理兴趣研究小组让一个玩具电动飞机由 静止开始沿直线运动，得到速度随位移变化的图线关系，如图所示，可将该玩具电动飞机视为质点，关于 该玩具电动飞机的运动下列说法正确的是（ ） A．质点做匀加速直线运动 B．质点做加速度逐渐减小的加速运动 C．质点运动S 过程中的平均速度小于 0 D．质点运动S 过程中的平均速度大于 0 【模型演练5】（2023春·湖南怀化·高三怀化市铁路第一中学校考阶段练习）物体在粘滞流体中运动时所 受的阻力叫做粘滞阻力，球形物体在流体中运动时受到的粘滞阻力的表达式为 ，其中η为流体的 粘滞系数， 为球形物体的半径， 为球形物体运动的速率。小球在蓖麻油中从液面下某处由静止开始下 32落，经过一段时间达到最大速度。已知蓖麻油足够深，小球的密度为 ，蓖麻油的密度为 ，重力加速度 为 ，则下列说法正确的是（ ） A．在国际单位制中粘滞系数的单位为 B．仅改变小球半径，小球达到最大速度所需时间不变 C．仅改变小球密度，小球达到最大速度所需时间不变 D．小球运动过程中加速度的最大值为 【模型演练6】（2023春·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考阶段练习）一个质量为100 g的空心小球，从地面以 的速度竖直向上弹射出去，在空中受到的空气阻力大小与速度 成正比（即 ），它在空中运 动的 图像如图所示，2s后的图线是平行于横轴的直线。取 ，下列说法正确的是（ ） A．小球拋出瞬间的加速度大小为 B．小球上升过程中空气阻力的冲量大小为 C．空气的阻力系数 D．小球从抛出到落地瞬间克服空气阻力做的功为 【模型演练7】．（2023·山东·济南一中统考二模）小木块在外力F的作用下由静止开始沿粗糙水平面运动， 运动过程中木块的速度v随位移x变化的图像如图所示，下列速度v随时间t、外力F随速度v变化的图像 可能正确的是（ ） 33A． B． C． D． 【模型演练8】．（2023·全国·高三专题练习）一质量为m的小球用细线悬挂静止在空中（图甲），某时 刻剪断细线，小球开始在空中下降，已知小球所受空气阻力与速度的大小成正比，通过传感器得到小球的 加速度随下降速度变化的图像如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．小球刚开始运动时的加速度a2W B．W<2W C．t>t D．t0）。 1 2 2 设斜面倾角为θ，斜面对物块的静摩擦力为f。 (1) .当 时斜面对物块无静摩擦力 (2) .当 时物块有相对于斜面向上运动的趋势静摩擦力方向向下平衡方程为： 随着 F 的增大静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力 F 取最大值 F 时，由平衡条件可得： 1 F=f+mgsinθ---------------------(1)； 1 (3).当 时物块有相对于斜面向下运动的趋势静摩擦力方向向上平衡方程为： 随着F的增大静摩擦力减小当静摩擦力减小为0时突变为(2)中的情形，随着F的减小静摩擦力增大，当静 47摩擦力达到最大值时外力F取最小值F 时，由平衡条件可得：f+F= mgsinθ------------------------(2)； 2 2 联立(1)(2)解得物块与斜面的最大静摩擦力f=( F-F)/2. 2 1 【模型演练1】(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细 绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N.另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力 缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中( ) A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 【模型演练2】（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图甲所示，倾角为 的斜面体C置于水平地面 上，物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物块A连接，连接B的一段细绳与斜面平行，整个 装置处于静止状态。现在B上再轻放一小物块D，整个系统仍处于静止状态，如图乙所示。则放上D之后 与没放D时相比（ ） A．B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C的摩擦力大小和方向都没改变 B．B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C的摩擦力大小一定变大 C．B对C的摩擦力大小一定发生改变，地面对C的摩擦力大小和方向都没改变 D．B对C的摩擦力大小一定发生改变，地面对C的摩擦力大小一定变大 【模型演练3】（2023·北京丰台·统考一模）如图所示，一个质量为m的物块，在平行于斜面的拉力F的 作用下，沿倾角为θ的斜面匀速上滑，已知物块与斜面间的动摩擦因数为 。下列说法正确的是（ ） A．拉力F大小等于 B．物块受到的摩擦力大小为 C．物块受到的摩擦力的方向沿斜面向下 D．物块受到的重力和拉力的合力垂直斜面向下 48【模型演练4】（2023·山东德州·高三校考阶段练习）如图所示，质量为 的小球A和质量为 的物块B 用跨过光滑定滑轮的细线连接，物块B放在倾角为 的斜面体C上，刚开始都处于静止状态，现用水 平外力F将A小球缓慢拉至细绳与竖直方向夹角 ，该过程物块B和斜面C始终静止不动，最大静 摩擦力等于滑动摩擦力（已知 ， ）。则下列说法正确的是（ ） A．水平外力F逐渐减小 B．物块B和斜面C之间的摩擦力先减小后增大 C．斜面C对地面之间压力保持不变 D．物块B和斜面C之间的摩擦因数一定小于等于0.5 【模型二】斜面体静摩擦力有无模型 【模型要点】1.质点系牛顿定律 加速度不同时整体法的应用，大多数情况下，当两物体加速度相同时才考虑整体法，加速度不同时，考虑 隔离法。实际上加速度不同时，也可以用整体法，只是此时整体法的含义有所改变。当两个或两个以上物 体以不同形式连接，构成一个系统，且系统内各物体加速度不相同时，牛顿第二定律照样能应用于整体。 若质量为m，m，…，m 的物体组成系统，它们的加速度分别为a，a，…，a，牛顿第二定律可写为 1 2 n 1 2 n 或 其意义为系统受的合外力等于系统内的每一个物体受的合外力的矢量和，或某个方向上，系统受的合外力 等于系统内的每一个物体在这个方向上受的合外力的矢量和。 2.自由释放的滑块能在斜面上匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝gtan θ． 3．自由释放的滑块在斜面上： (1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零； (2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右； (3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左． 494．自由释放的滑块在斜面上匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何 方向的作用力，(在m停止前)M对水平地面的静摩擦力依然为零． 【模型演练1】（2023·湖北·模拟预测）如图所示，足够长的斜面体静止在粗糙水平地面上，质量为m的 物体正以速度 沿斜面向下做匀速直线运动，某时刻若对物体施加一垂直斜面向下的力F后，下列说法正 确的是（ ） A．物体仍将沿斜面向下匀速运动 B．物体沿斜面下滑的过程中，斜面体可能运动 C．物体沿斜面下滑的过程中，斜面体受到地面的摩擦力为零 D．物体沿斜面下滑的过程中，斜面体受到地面的摩擦力向左 【模型演练2】（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）如图所示，足够长的斜面倾角为 ，一质 量为m的物块恰好能沿斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑过程中，在竖直平面内给物块一任意方向 （α角任意）的外力F，斜面始终处于静止状态。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零 B．当α=90°-θ时，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面摩擦力向左 C．若F竖直向下，则物体会加速下滑 D．若F拉着物块沿斜面匀速上滑，则F的最小值为mgsinθ 【模型演练3】（2023春·上海长宁·高三专题练习）如图所示，斜面位于光滑的水平面上，放在斜面上的 物块以初速度 沿斜面匀速下滑。若在下滑过程中再对物块施加一竖直向下的恒力 ，则（ ） 50A．物块仍沿斜面匀速下滑 B．物块将沿斜面加速下滑 C．物块将沿斜面减速下滑 D．斜面将沿水平面向右运动 【模型演练4】．（2021·湖南省长郡中学师大附中长沙一中联合体高三上学期12月月考）如图所示，斜劈 A静止放置在水平地面上。质量为 的物体B以一定的初速度 沿斜面减速下滑。现突然对B施加一水平 向左的力 ，斜劈A始终静止，则对B施加力 后，下列说法中正确的是（ ） A. 物体B的加速度变大 B. 地面対A的摩擦力变大，方向水平向左 C. 地面对A的摩擦力减小，方向水平向左 D. 地面对A无摩擦力 【模型演练5】（2023·全国·模拟预测）如图所示，质量为 ，倾角 的粗糙斜面置于水平面上，质 量为 的物块在水平向右的推力 作用下，沿斜面向上匀速运动，物块上滑过程中斜面体始终静止。下列 结论正确的是（ ） A．物块一定不受摩擦力作用 B．由于不知道 的大小，所以物块可能受到沿斜面向上的摩擦力 C．水平面对斜面体的摩擦力大小为 D．水平面对斜面体的支持力大小为 【模型演练6】（2023·江西九江·统考三模）如图甲所示，表面粗糙程度不同的三个物块a、b、c质量均为 m，放在三个完全相同的斜面体上，斜面体质量为M底部倾角为θ。物块a、b、c以相同初速度v 下滑， 0 其v-t图像如图乙所示，斜面体始终保持静止。a、b、c与斜面之间的动摩擦因数分别为μ、μ、μ，地面对 斜面体的支持力分别为F a、F b、F c，地面对斜面体的摩擦力分别为f、f、f，则（ ） N N N 51A． ， 且方向水平向左 B． ，f=0 C． ， 且方向水平向左 D．μ>μ>μ 【模型演练7】（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，斜面体放置在水平地面上， 粗糙的小物块放在斜面上。甲图中给小物块施加一个沿斜面向上的力 ，使它沿斜面向上匀速运动；乙图 中给小物块施加一水平向右的力 ，小物块静止在斜面上。甲、乙图中斜面体始终保持静止。下列判断正 确的是（ ） A． 增大，斜面对小物块的摩擦力一定增大 B． 增大，地面对斜面体的摩擦力不变 C． 增大，斜面对物块的摩擦力一定增大 D． 增大，物块最终一定能沿斜面向上滑动 52【模型三】 物体在斜面上自由运动的性质 斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固 定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以 细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用 力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。 y x FN f θ m g 对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力 、支持力 、动摩擦力 ，由于支持力 F =mgcosθ f=μF =μmgcosθ mgsinθ N ，则动摩擦力 N ，而重力平行斜面向下的分力为 ，所以当 mgsinθ=μmgcosθ sinθ=μcosθ μ=tanθ 时，物体沿斜面匀速下滑，由此得 ，亦即 。 1.所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。 μtanθ 当 时，物体若无初速度将静止于斜面上； 2.对于光滑斜面无论物体下滑还是上滑加速度大小均为： a=g(sinθ−μcosθ) 对于粗糙斜面物体下滑过程加速度大小为： 3. a=g(sinθ+μcosθ) 上冲过程加速度大小为： 【模型演练1】（2023·湖南·校联考模拟预测）当今物流业相当发达，货车货运功不可没。如图所示，司机 为方便卸货，在距水平地面的高度为 的车厢底部与地面之间用长度为 的木板搭建了一个斜面。若 货物恰好能沿木板匀速下滑，则货物与木板间的动摩擦因数为（ ） A． B． C． D． 【模型演练2】．（2023·湖南株洲·统考三模）如图是码头利用可升降传动装置在水平地面由高处向下堆砌 而成的沙堆，该公司为了得知沙堆的具体信息，测出沙堆的周长为s，查资料测得砂砾间的动摩擦因数为 μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） 53A．地面对沙堆的摩擦力不为零 B．由已知条件可估算沙堆的高度 C．由已知条件可估算沙堆的质量 D．若相同质量的沙堆靠墙堆放，则占地面积会增大 【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示为某幼儿园的一个滑梯，一名质量为m的儿童正 沿滑梯匀速下滑。若滑梯与水平方向的夹角为 ，儿童与滑梯之间的动摩擦因数为 ，则（ ） A．儿童受到滑梯的支持力为 B．儿童受到的支持力为 ，这个力就是她对滑梯的压力 C．儿童受到沿滑梯向下的摩擦力，所以她下滑 D．儿童受到滑梯的作用力的大小等于她受到的重力大小 【模型演练4】(多选)如图(a)，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v t图线如图(b)所示．若重力 加速度及图中的v、v、t 均为已知量，则可求出 ( ) 0 1 1 A．斜面的倾角 B．物块的质量 C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度 【模型演练5】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）某同学设计了一种测物块与斜面间动摩擦 因数的方法，如图所示，调整斜面的倾角为 ，让物块从斜面底端以一定的初速度冲上斜面，物块到达最 54高点后又滑回原处。测出物块下滑的时间是上滑时间的k倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为（ ） A． B． C． D． 【模型演练6】一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑 的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为 ( ) A．tanθ B．tanθ C．tanθ D．tanθ 【模型演练7】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考二模）如图甲所示，倾角为 的斜面固定在水平地面 上，一木块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，取斜面底端为重力势能的零势点，已知 上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则下列说法正确的是（ ） A．木块上滑过程中，重力势能增加了 B．木块受到的摩擦力大小为 C．木块的重力大小为 D．木块与斜面间的动摩擦因数为 【模型演练8】．如图a所示，一可视为质点的物块在t＝0时刻以v ＝8 m/s的速度滑上一固定斜面，斜面 0 足够长，斜面的倾角θ＝30°，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝。经过一段时间后物块返回斜面底端，取重 55力加速度g＝10 m/s2。求： (1)物块向上和向下滑动过程中，物块的加速度大小； (2)物块从斜面底端出发到再次返回斜面底端所用的总时间； (3)求出物块再次返回斜面底端的速度大小，并在图b中画出物块在斜面上运动的整个过程中的速度—时间 图象，取沿斜面向上为正方向。 【模型四】斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型 1.“光滑斜面”模型常用结论 如图所示，质量为m的物体从倾角为θ、高度为h的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律： (1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ与斜面的高度h共同决定，与物体的质量无关。 关系式为t＝ 。 (2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无 关。 关系式为v＝。 2.“等时圆”模型及其等时性的证明 1．三种模型(如图) 2．等时性的证明 56设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图)。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直 线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝dsin α，所以运动时间为t＝＝＝。 0 即沿同一起点(圆的最高点)或终点(圆的最低点)的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短 无关。 【模型演练1】(2023年重庆模拟)春秋末年，齐国著作《考工记：轮人》篇中记载：“轮人为盖”，“上 欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远。”意思是车盖中央高而四周低，形成一个斜面，泄水很 快，而且水流的更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑轴竖直向上，伞底圆面水平。过 支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形，底面半径恒定为r，底角为 。 取不同的值时，自车盖 顶端A由静止下滑的水滴（可视为质点）沿斜面运动的时间不同。已知重力加速度为g，不计水滴与伞面 间的摩擦力和空气阻力。 （1）倾角 为多大时，水滴下滑时间最短，并求出最短时间 ； （2）满足（1）问条件，在车盖底面下方 的水平面内有一长为L＝r的水平横梁（可看成细杆），横 梁位于支撑轴正前方，其俯视图如图丙所示，横梁的垂直平分线过支撑轴。现保持车辆静止，大量水滴沿 车盖顶端由静止向各方向滑下，整个横梁恰好“被保护”不被淋湿。求水平面内横梁中点到支撑轴的距离 d。 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面 从顶端运动到底端，其运动时间分别为 ，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在 57水平面上的斜面水平底端的长度为 ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】．（2023·新疆·统考二模）如图所示，两条光滑的轨道下端固定在P点，上端分别固定在竖 直墙面上的A、B两点，A、B离地面的高度分别为 。现使两个小滑块从轨道上端同时由静止开始释 放，由A、B滑到P的时间均为t， 间的距离为L，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】（2023·湖南岳阳·高三阶段练习）如图所示，AC、BC为位于竖直平面内的两根光滑细杆， A、B、C三点恰好位于同一圆周上，C为该圆周的最低点，a、b为套在细杆上的两个小环．两小环同时分 别从A、B点由静止下滑，则（ ） 58A．a、b环同时到达C点 B．a环先到达C点 C．b环先到达C点 D．a到达C点的速度比b到达C点的速度大 【模型演练5】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，竖直墙与水平地面交点为O，从竖直墙上的A、B 两点分别搭两条光滑直轨道到M点，M点正上方与A等高处有一C点。现同时将完全相同的a、b、c三球 分别从A、B、C三点由静止开始释放。则从开始释放至小球运动到M点的过程（ ） A．a球的加速度小于b球的加速度 B．c球最先到达M点 C．a、c两球所受重力的冲量相同 D．a球到达M点的速度比c球的大 【模型演练6】．（2023·陕西安康·统考三模）如图所示，光滑直杆 处在竖直面内，杆的端点A、 B、C均在同一竖直圆周上，A点为圆周的最低点，直杆 与水平面之间的夹角分别为 ；现 将P、Q两个完全相同的滑块（滑块均看成质点）分别从B点和C点由静止释放，则滑块P、Q从杆顶端到 达杆底端A点过程中，有（ ） A．P、Q加速度大小之比为 B．P、Q运动时间相等 C．P、Q所受支持力的冲量大小相等 D．P、Q所受合外力的冲量大小相等 59【模型演练7】．（2023·全国·统考模拟预测）如图所示，竖直的圆环置于水平向左的匀强电场中，三个完 全相同的带正电的绝缘小球（未画出）分别套在固定于AB、AC、AD的三根光滑细杆上，其中AB与竖直 方向夹角为60°，AC经过圆心，AD竖直。现将小球无初速度地从A端释放，小球分别沿AB、AC、AD下 滑到B、C、D三点。已知小球所受电场力大小与重力大小之比为 ，则小球在三根细杆上运动的时间关 系为（ ） A． B． C． D．无法确定 【模型演练8】．（2023·河北张家口·统考二模）如图所示，竖直平面内半径 的圆弧AO与半径 的圆弧BO在最低点C相切。两段光滑的直轨道的一端在O点平滑连接，另一端分别在两圆弧上 且等高。一个小球从左侧直轨道的最高点A由静止开始沿直轨道下滑，经过O点后沿右侧直轨道上滑至最 高点B，不考虑小球在O点的机械能损失，重力加速度g取10m/s。则在此过程中小球运动的时间为（ ） A．1.5 s B．2.0 s C．3.0 s D．3.5 s 【模型演练9】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，甲、乙两个材料和粗糙程度均相同的斜面固定在 水平面上，甲、乙两斜面的高度与长度的比值分别为 、 。一小木块分别沿甲、乙两斜面下滑 的加速度大小之比为1∶2，该小木块与斜面间的动摩擦因数为（ ） 60A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【模型五】功能关系中的斜面模型 1.物体在斜面上摩擦力做功的特点 如图所示，斜面长 ，倾角 ．一个质量为 的物体沿斜面由顶端向底端滑动，动摩擦因数为 ．则物体克服摩擦力所做 的功为 ．式中 为物体所受的重力， 为物体在水平方向上的位移（即位移的 水平分量 ）．可见，当物体只受重力、弹力和摩擦力作用沿斜面运动时，克服摩擦力所做的功等于动摩擦因 数、重力的大小和水平位移的大小三者的乘积． 由推导过程易知，如果物体在摩擦力方向上还受其它力，公式仍成立；若在重力方向上还受其它力，则式中的 为等效重 力．公式不仅适用于平面，而且在相对速度较小的情况下还适用于曲面（可用微元法化曲为直证明）． 结论 若滑动物体对接触面的弹力只由重力（或等效重力）引起， 则物体克服摩擦力所做的功相当于物体沿水平的投影面运 动克服其摩擦力所做的功，即 ． 2.动能变化量与机械能变化量的区别 (1).动能变化量等于合外力做的功，即：△E=W = F x， k 总 合 (2).机械能变化量等于除重力以外的力做的功，即：△E= W = F x 除G 除G (3).在匀变速直线运动中，动能变化量与机械能变化量之比等于的比值合外力与除重力以外的力之比，即： 61ΔE F K 合 = ΔE F 除G。 例如，物体沿粗糙斜面上滑x的过程中， 动能变化量△E=-mg(sinθ+μcosθ)·x; k 机械能变化量△E=-μmgcosθ·x; ΔE mg(sinθ+μcosθ) K = ΔE μmgcosθ 二者比值 ，为一定值。 【模型演练1】如图所示，固定斜面，AB倾角θ=30°，物块从斜面底端以沿斜面向上的初速度v冲上斜面 （未离开斜面），若能到达的最大高度为h= ，则下列说法中正确的是（ ） A. 斜面光滑 B. 斜面动摩擦数μ=0.25 C. 重力与摩擦力力之比为4：1 D. 重力做功与摩擦力做功之比为4：1 的 【模型演练2】如图所示，物体在平行于斜面向上 拉力作用下，分别沿倾角不同的斜面由底端匀速运动 到高度相同的顶端，物体与各斜面间的动摩擦因数相同，则（ ） A. 无论沿哪个斜面拉，克服重力做的功相同 B. 无论沿哪个斜面拉，克服摩擦力做的功相同 C. 无论沿哪个斜面拉，拉力做的功均相同 D. 沿倾角较小的斜面拉，拉力做的功较小 【模型演练3】（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）如图，三个斜面1、2、3，斜面1与2底边 相同，2和3高度相同，同一物体与三个斜面的动摩擦因数相同。若物体分别沿三个斜面从顶端由静止下 滑到底端，则物体（ ） 62A．到达斜面底端时的速度v>v=v B．到达斜面底端时重力的瞬时功率P>P>P 1 2 3 1 2 3 C．克服摩擦力做功W>W>W D．损失的机械能 3 1 2 【模型演练4】（2023·四川遂宁·统考三模）“太阳落到大门西, 爬上山坡打滑梯。你也争来他也抢, 回家 都是满身泥”。滑梯始小朋友们最喜爱的娱乐项目之一。某幼儿园在空地上做了一个滑梯，如图甲所示， 可简化为图乙所示模型。其主要结构由倾斜部分AB和水平部分BC组成，中间平滑连接，根据空地的大小， 滑梯的倾斜部分水平跨度为2.4m，高1.8m。滑梯和儿童裤料之间的动摩擦因数为0.4，一质量为20kg的小 孩（可看成质点）从滑梯顶部A由静止开始无助力滑下，g取10m/s2，则（ ） A．小孩在斜面上下滑的加速度大小为 B．小孩滑到B点的速度 C．为了使小孩不滑出滑梯，水平部分BC长度至少为 D．保持A点不变，减小倾斜滑梯的长度而增大滑梯的倾角（如图中虚线AB'所示），则下滑过程中小孩所 受重力做功的平均功率不变 【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，固定斜面倾角为 ，质量为2kg的小物块自斜 面底端以一定初速度沿斜面向上运动，加速度大小为 ，物块沿斜面向上运动的最大距离为0.8m。斜 面足够长，g取 ，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。关于小物块在斜面上的运动，下列说 法中正确的是（ ） 63A．物块最终会回到斜面底端 B．物块克服重力做功的平均功率为20W C．合力对物块做功-16J D．物块机械能损失了16J 【模型演练5】如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点．轻弹簧左端固定于竖直墙面， 用质量为m 的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放滑块，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最 1 大高度，并静止在斜面上．换用相同材料、质量为m 的滑块(m>m)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过 2 2 1 程．不计滑块经过B点时的机械能损失，下列说法正确的是( ) A. 两滑块到达B点的速度相同 B. 两滑块沿斜面上升过程中的加速度相同 C. 两滑块上升到最高点的过程中克服重力做的功相同 D. 两滑块上升到最高点的过程中因摩擦产生的热量相同 【模型演练6】（2023·北京西城·统考三模）将三个木板1、2、3固定在墙角，木板与墙壁和地面构成了三 个不同的三角形，如图所示，其中1与2底边相同，2和3高度相同。现将一个可以视为质点的物块分别从 三个木板的顶端由静止释放，并沿斜面下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数 均相同。在这三个过 程中，下列说法正确的是（ ） A．沿着1和2下滑到底端时，物块的速度不同；沿着2和3下滑到底端时，物块的速度相同 B．沿着1下滑到底端时，物块的速度最大 C．物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量是最少的 64D．物块沿着1和2下滑到底端的过程，产生的热量是一样多的 【模型演练7】（2023·云南·统考二模）某幼儿园要修建一个如图甲所示的儿童滑梯，设计师画出了如图乙 所示的模型简图，若滑梯由长度为 、倾角 的斜面AB和长度为 的水平部分BC组成，AB和 BC由一小段圆弧（图中未画出且长度可忽略）平滑连接，儿童裤料与滑梯之间的动摩擦因数为 ， 取重力加速度 。 （1）儿童（可视为质点）从A点由静止开始下滑，求他到达C点时的速度大小及从A到C所需的时间； （2）考虑安全因素，应使儿童到达C点时速度尽量小，同时因场地限制，斜面顶端到滑梯末端C的水平 距离不能改变，但斜面长度、高度h和倾角 都可以调整。若设计要求儿童从斜面顶端由静止开始下滑， 滑到C点时速度恰好为零，则滑梯的高度h应为多少。 【模型演练8】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，左侧光滑曲面轨道与右侧倾角 的斜面在底部 平滑连接且均同定在水平地面上，质量为m的小滑块从斜面上离斜面底边高为H处由静止释放，滑到斜面 底端然后滑上左侧曲面轨道，再从曲面轨道滑上斜面，滑块第一次沿斜面上滑的最大高度为 ，多次往 复运动。不计空气阻力，重力加速度为g， 。求： （1）滑块与斜面间的动摩擦因数； （2）滑块第1次下滑的时间与第1次上滑的时间之比； （3）滑块从静止释放到第n次上滑到斜面最高点的过程中，系统产生的热量。 65专题 04 连接体模型 【模型一】平衡中的连接体模型 【模型构建】 1.轻杆连接体问题 【问题】如图，求m m 大小 1： 2 方法一、正弦定理法 方法二、力乘力臂法 方法三、重心法 对m 、m 受力分析，三力平衡 以整体为研究对象，以圆心为转动 以整体为研究对象，整体受重力 1 2 可构成矢量三角形，根据正弦定 轴，两圆弧的支持力的力臂均为 和两圆弧的支持力，根据三力平 理有， 零，轻杆弹力的力臂相等，力乘以 衡必共点，因此整体的重心必过 力臂等值反向。根据转动平衡知:动 圆 心 正 下 方 。 所 以 有 m 1 g = F 力乘以动力臂等于阻力乘以阻力 m 1 ·Rsinθ 1 =m 2 ·Rsinθ 2 ， ∴ m 1 ： sinθ sinα 臂，即mg·Rsinα=mg·Rsinβ。 m=sinβ：sinα 对m： 1 1 2 2 1 ∴m m=sinβ：sinα m g F 1： 2 2 = sinθ sinβ 对m： 2 2 根据等腰三角形有：θ=θ 1 2 联立解得mgsinα=mgsinβ 1 2 ∴m m=sinβ：sinα 1： 2 662． 轻环穿杆问题 F F F F N N N N f μ T 2 θ T T T T 1 轻环穿光滑杆，二力平衡， 轻环穿粗糙杆，三力平衡， 轻环穿光滑大圆环，拉力沿径向 拉力垂直杆 最大夹角tanθ=μ 【模型演练1】（2023·江苏·高三统考阶段练习）如图所示，甲、乙两个小球，通过细线悬挂在天花板上的 O点，质量分别为m、m，两个小球在弧形轻质细杆支撑下恰好位于同一水平线上，细线与竖直方向成 1 2 53°和37°，则m∶m 为（ ） 1 2 A．9∶16 B．16∶9 C．3∶4 D．4∶3 【模型演练2】（2023·全国·高三期末）如图所示，两个可视为质点的小球 和 ，用质量可忽略的刚性细 杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球 和 的质量之比为 。当两球处于平衡状态时，光滑球 面对小球 的支持力大小等于 ，对小球 的支持力大小等于 。若要求出 的比值大小，则 （ ） A．需要知道刚性细杆的长度与球面半径的关系 B．需要知道刚性细杆的长度和球面半径的大小 C．不需要其他条件，有 D．不需要其他条件，有 67【模型演练3】（2023·山西·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为 的光滑轻杆一端固定在地面上，绕 过光滑定滑轮的轻绳一端连接轻弹簧，另一端连接质量 的小球，轻弹簧的另一端连接轻质小环，小 环和小球均套在光滑杆上，系统处于静止状态，轻绳与杆的夹角为 ，轻弹簧的劲度系数为 ， 重力加速度 ，则轻弹簧的形变量为（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】（2023春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）“V”形吊车在港口等地有重要的作用.如 图所示，底座支点记为O点，OA为“V”形吊车的左臂，OA上端A处固定有定滑轮，OB为活杆且为“V” 形吊车的右臂，一根钢索连接底座与B点，另一根钢索连接B点后跨过定滑轮吊着一质量为M的重物，重 物静止.已知左臂OA与水平面的夹角为 ，左臂OA与钢索AB段的夹角为θ，且左臂OA与右臂OB相互 垂直，左臂OA、右臂OB总质量为m，钢索质量忽略不计，不计一切摩擦，重力加速度为g。则下列说法 正确的是（ ） A．定滑轮对钢索的支持力为 B．AB段钢索所受到的拉力为2Mg C．右臂OB对钢索的支持力为 D．底座对左臂OA、右臂OB、重物整体的支持力为 68【模型演练5】如图所示，竖直放置的光滑圆环，顶端D点处固定一定滑轮(大小忽略)，圆环两侧套着质 量分别为m、m 的两小球A、B，两小球用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，A、B连线过圆心O点， 1 2 且与右侧绳的夹角为θ。则A、B两小球的质量之比为( ) A．tan θ B． C． D．sin2θ 【模型演练6】如图所示，质量M＝2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量 m＝ kg的小球B 相连。今用与水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着小球带动木块一起向右匀速运动，运动中 M、m相 对位置保持不变，g取10 m/s2。求： (1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ； (2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ； (3)当α为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？ 【模型演练7】如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本 处于静止状态，现将两环距离变小后书本仍处于静止状态，则( ) A．杆对A环的支持力变大 B．B环对杆的摩擦力变小 C．杆对A环的力不变 D．与B环相连的细绳对书本的拉力变大 【模型二】绳杆弹簧加速度问题模型 【模型要点】 1． 悬绳加速度问题 水平加速中的悬绳 倾斜加速中的悬绳 注意“发飘” 多悬绳 ①绳竖直 a m θ m θ m θ m α α α m 69y y θ=0，a=0，μ=tanα y y T T T θ T ②绳垂直 F N α θ θ-α α F x x x α x α mg mg θ mg mg m θ= a=g·tanθ gsinθ α，a=gsinα，μ=0 T=mgsinθ+macosθ T=mg/cosθ a= T=mg/cosθ cos(θ−α) ③绳水平 F N =mgcosθ-masinθ F=mg·tanθ-ma 加速度大小与质量 a>g·cotα发飘: a>g·tanθ发飘: T=mgcosα/cos(θ-α) m 无关，与偏角有关 α F =0 F=0 N √ (mg) 2 +(ma) 2 T= a=g/sinα，向上减速 T= √(mg)2+(ma)2 μ=cotα 2． 类悬绳加速度问题 光滑斜面车上物体 光滑圆弧车中物体 车上死杆 车中土豆 车上人 m a m θ a m θ a m aa m a 死杆 θ y y y y y F N F N F F F N F θ θ x x x x x f mg mg mg mg mg 加速度a=g·tanθ 加速度a=g·tanθ 杆对球的弹力 其它土豆对黑土豆 车对人的作用力 的作用力 支持力F N =mg/cosθ 支持力F N =mg/cosθ F=√(ma) 2 +(mg) 2 F=√(ma) 2 +(mg) 2 F=√(ma) 2 +(mg) 2 【模型演练1】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，一辆公共汽车在水平公路上做直线运动， 小球A用细线悬挂车顶上，车厢底板上放一箱苹果，苹果箱和苹果的总质量为M，苹果箱和箱内的苹果始 终相对于车箱底板静止，苹果箱与公共汽车车厢底板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若观察到细线 偏离竖直方向夹角大小为θ并保持不变，则下列说法中正确的是（ ） A．汽车一定向右做匀减速直线运动 B．车厢底板对苹果箱的摩擦力水平向右 70C．苹果箱中间一个质量为m的苹果受到合力为 D．苹果箱中间一个质量为m的苹果受到周围其他苹果对它的作用力大小为 【模型演练2】．（2023·黑龙江七台河·高三校考期末）如图，汽车沿水平面向右做匀变速直线运动，小球 A用细线悬挂车顶上，质量为m的一位中学生手握扶杆，始终相对于汽车静止地站在车箱底板上，学生鞋 底与汽车间的动摩擦因数为μ。若某时刻观察到细线偏离竖直方向θ角，则此刻汽车对学生产生的作用力 的大小和方向为（ ） A．mg，竖直向上 B． ，斜向左上方 C．mgtanθ，水平向右 D．mgsinθ，斜向右上方 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，有一固定的倾斜长钢索，小球Q通过轻绳与环P相 连，并随P一起沿钢索下滑，下滑过程中，轻绳始终与钢索是垂直的，不计空气阻力，则（ ） A．球Q的加速度大小与重力加速度的大小相等 B．球Q所受重力的功率保持不变 C．球Q的机械能守恒 D．球Q动量变化的方向竖直向下 【模型演练4】．（2023·全国·模拟预测）如图所示，一固定杆与水平方向夹角为 ，将一质量为 的滑块 71套在杆上，通过轻绳悬挂一个质量为 的小球，杆与滑块之间的动摩擦因数为 。若滑块与小球保持相 对静止以相同的加速度a一起运动，此时绳子与竖直方向夹角为 ，且 ，则滑块的运动情况是 （ ） A．沿着杆加速下滑 B．沿着杆加速上滑 C．沿着杆减速下滑 D．沿着杆减速上滑 【模型演练5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，水平面上的小车内固定一个倾角为θ=30°的光滑 斜面，平行于斜面的细绳一端固定在车上，另一端系着一个质量为m的小球，小球和小车均处于静止状态。 如果小车在水平面上向左加速且加速度大小不超过a 时，小球仍能够和小车保持相对静止；如果小车在水 1 平面上向右加速且加速度大小不超过a 时，小球仍能够和小车保持相对静止，则a 和a 的大小之比为（ 2 1 2 ） A． ∶1 B． ∶3 C．3∶1 D．1∶3 【模型演练6】．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）一辆小车静止在水平地面上，bc是 固定在小车上的水平横杆，物块M穿在杆上，M通过线悬吊着小物体m，m在小车的水平底板上，小车未 动时，细线恰好在竖直方向上，现使车向右运动，全过程中M始终未相对杆bc移动，M、m与小车保持相 对静止，已知a∶a∶a∶a＝1∶2∶4∶8，M受到的摩擦力大小依次为F 、F 、F 、F ，则以下结论不正确的是（ 1 2 3 4 f1 f2 f3 f4 ） 72A．F ∶F ＝1∶2 B．F ∶F ＝1∶2 f1 f2 f2 f3 C．F ∶F ＝1∶2 D．tan α＝2tan θ f3 f4 【模型演练7】．（2023秋·山西运城·高三康杰中学校考期末）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一 质量为3m的小车在沿斜面向下的外力F作用下沿斜面下滑，小车支架上用细绳悬挂一质量为m的小球， 若在小车下滑的过程中，连接小球的轻绳恰好水平，则外力F的大小为（重力加速度为g）（ ） A．6mg B．5mg C．4mg D．3mg 【模型演练7】．（2023秋·上海黄浦·高三上海外国语大学附属大境中学校考期末）在静止的小车内，用 细绳a和b系住一个小球，绳a与竖直方向成 角，拉力为 ，绳b为水平状态，拉力为 ，如图所示，现 让小车从静止开始向左做匀加速运动，此时小球相对于车厢的位置仍保持不变，则两根细绳的拉力变化情 况是（ ） A． 变小， 不变 B． 不变， 变大 C． 变小， 变大 D． 不变， 变小 【模型演练8】．（2023春·上海长宁·高三专题练习）如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的 夹角为 ，在斜杆下端固定有质量为 的小球，重力加速度为 ，下列关于杆对球的作用力 的判断中， 正确的是（ ） 73A．小车静止时， ，方向沿杆向上方 B．小车静止时， ，向垂直杆向上 C．小车向左以加速度 加速运动时，则 D．小车向右以加速度 加速运动时，则 【模型演练9】．（2023·山东·高三统考期末）如图所示，一倾角为 的固定斜面上放一质量为M的木块， 木块上固定一轻质支架，支架末端用丝线悬挂一质量为m的小球，木块沿斜面稳定下滑时，小球与木块相 对静止共同运动。下面说法正确的是（ ） A．若稳定下滑时，细线竖直向下，如①所示，此时木块和斜面间无摩擦力作用 B．若稳定下滑时，细线垂直斜面，如②所示，此时木块受到沿斜面向上的摩擦力 C．若稳定下滑时，细线垂直斜面，如②所示，此时木块的加速度为 D．若在外力作用下稳定下滑时，细线是水平的，如③所示，此时木块的加速度为 【模型演练10】（2023吉林长春一模）如图所示，一辆装满石块的货车沿水平路面以加速度 a向右做匀加 速直线运动。货箱中石块B的质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是 A. 货车速度增加得越来越快 B. 货车在相邻的两个相等时间间隔内的位移之差为 C. 与B接触的物体对B的作用力大小为 D. 与B接触的物体对B的作用力方向水平向右 74【模型演练11】（2023·全国·二模）水平路面上有一货车运载着5个相同的、质量均为m的光滑均质圆柱 形工件，其中4个恰好占据车厢底部，另有一个工件D置于工件A、B之间（如图所示），重力加速度为 g。汽车以某一加速度向左运动时，工件A与D之间恰好没有作用力，此时工件C与B间的作用力大小为 （ ） A． B． C． D． 【模型演练12】（2023·天津滨海新·天津经济技术开发区第一中学校联考二模）如图所示，一位同学手持 乒乓球拍托球沿水平直线跑动，球拍与球相对静止且均相对该同学身体静止，球拍平面和水平面之间夹角 为 。设球拍和球质量分别为M、m，不计球拍和球之间摩擦，不计空气阻力，则（ ） A．该同学做匀速直线跑动 B．乒乓球处于平衡状态 C．球拍受到的合力大小为 D．球拍受到乒乓球的压力大小为 【模型三】 轻绳相连加速度相同的连接体 a F m m F a 1 2 m μ μ 2 m μ 1 μ 求m m 间作用力,将m 2、 3 1 和m 看作整体 2 75 m m 2 1 F a a F m m m 1 2 3 μ μ μa m +m F = 1 2 F m m F 23 m +m +m 1 2 1 2 3 μ μ 整体求加速度 整体求加速度 整体求加速度 a F F a= F −μg a= F −g(sinθ+μcosθ) a= F −g 1 m 1 m 2 2 m +m m 1 +m 2 m +m μ μ 1 2 1 2 隔离求内力 隔离求内力 隔离求内力T-mg=m a F −F 1 1 2 1 T-mg(sinθ-μcosθ)=m a a= −μg T-μm g=m a 1 1 m m +m 1 1 m T= 1 F 1 2 T= m 1 F T= m + 1 m F 得 m 1 +m 2 隔离T-F 1 -μm 1 g=m 1 a m +m 得 1 2 得 1 2 m F +m F 1 2 2 1 T= m +m 得 1 2 【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在倾角为 的光滑固定斜面上有两个用轻弹簧连接 的物块A和B，它们的质量分别为m和2m，弹簧的劲度系数为k，在外力F的作用下系统处于静止状态。 已知弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为 ，则（ ） A．外力F的大小为 B．弹簧的形变量为 C．若外力F的大小变为 ，当A、B相对静止时，弹簧弹力的大小为 D．若外力F的大小变为 ，当A、B相对静止时，突然撤去外力F的瞬间，物块B的加速度大小 为 【模型演练2】．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，质量均为m的三个物体（可视为质点）A、B、 C均放在粗糙水平面上，动摩擦因数均为μ，物体间用原长为L的轻弹簧连接，每根弹簧劲度系数均为k。 现用外力F拉动物体A，使三个物体一起加速运动，则A、C间的距离为（初始状态弹簧均为原长）（ ） 76A． B． C． D． 【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，倾角为 的粗糙斜面上有4个完全相同的物块， 在与斜面平行的拉力F作用下恰好沿斜面向上做匀速直线运动，运动中连接各木块间的细绳均与斜面平行， 此时第1、2物块间细绳的张力大小为 ，某时刻连接第3、4物块间的细绳突然断了，其余3个物块仍在 力F的作用下沿斜面向上运动，此时第1、2物块间细绳的张力大小为 ，则 等于（ ） A． B． C． D．1：1 【模型演练4】（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，质量分别为1kg和2kg的A、B两个物体放在光 滑水平面上，外力 、 同时作用在两个物体上，其中 （表达式中各个物理量的单位均为国际 单位）， 。下列说法中正确的是（ ） A． 时，物体A的加速度大小为 B． 后物体B的加速度最小 C． 后两个物体运动方向相反 D．若仅将A、B位置互换， 时物体A的加速度为 【模型演练5】（2023春·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，在倾角为 的光滑固定 斜面上有两个用轻弹簧连接的物块A和B，它们的质量分别为 和 ，弹簧的劲度系数为 ，在外力 的 作用下系统处于静止状态。已知弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为 ，则（ ） 77A．外力 的大小为 B．弹簧的形变量为 C．若外力 的大小为 ，则A、B相对静止向上加速时，弹簧弹力的大小为 D．若外力 的大小为 ，则A、B相对静止向上加速时，物块B的加速度大小为 【模型演练6】（2023·广东·模拟预测）如图所示，2023个完全相同的小球通过完全相同的轻质弹簧（在 弹性限度内）相连，在水平拉力F的作用下，一起沿水平面向右运动，设1和2之间弹簧的弹力为 ，2 和3之间弹簧的弹力为 ，……，2022和2023之间弹簧的弹力为 ，则下列说法正确的是 （ ） A．若水平面光滑，从左到右每根弹簧长度之比为1∶2∶3∶…∶2021∶2022 B．若水平面粗糙，撤去F的瞬间，第2000号小球的加速度不变 C．若水平面光滑， D．若水平面粗糙， 【模型四】板块加速度相同的连接体模型 a m 1 μ μ 1 a m 1 μ 1 m F m 2 光滑 a m 1 m 2 μ 2 2 μ )θ 2 )θ 整体：a=F/(m+m ) 整体：a=g(sinθ-μ cosθ) 整体：a=g(sinθ-μ cosθ) 1 2 2 2 78隔离m f=ma 方向沿斜面向下 方向沿斜面向下 1： 1 得f=m 1 F/(m 1 +m 2 ) 隔离m 1： m 1 gsinθ-f=m 1 a 隔离m 1： f=m 1 acosθ 得f=μ mgcosθ 得f=mg(sinθ-μ cosθ)cosθ 2 1 1 2 方向沿斜面向上 方向水平向左 若μ=0 则 f=0 若μ=0 则 f=mgsinθcosθ 2 2 1 【模型演练1】（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）如图甲所示，长木板B在静止在水平地面上，在 t=0时刻，可视为质点、质量为1kg的物块A在水平外力F作用下，从长木板的左端滑上从静止开始运动， 1s后撤去外力F，物块A、长木板B的速度—时间图像如图乙所示，g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ） A．长木板的最小长度为2m B．A、B间的动摩擦因数是0.1 C．长木板的质量为0.5kg D．外力F的大小为4N 【模型演练2】（2023春·重庆·高三统考阶段练习）如图用货车运输规格相同的两块水平水泥板，底层水 泥板车厢间的动摩擦因数为0.6，两块水泥板之间动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取 ，为保证底层水泥板与车厢、两块水泥板之间均不发生相对运动，货车行驶的最大加速度为（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】．（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图所示，一长木板a在水平地面上运动，在某时刻（ ）将一相对于地面静止的物块b轻放到木板上，此时a的速度水平向右，大小为2v，同时对a施加一 0 水平向右的恒力F。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间的动摩擦因数相等，物块 79与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，a、b运动的速 度一时间图像可能是下列图中的（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在光滑水平面上，A、B两物体叠放在一起， A放在B的上面，已知 ， ，A、B之间的动摩擦因数 ， 。对物体A施 加水平向右的拉力F，开始时拉力F＝20N，此后逐渐增加，在增大到50N的过程中，下列说法正确的是 （ ） A．当拉力F<30N时，两物体均保持相对静止状态 B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过30N时，两物体开始相对滑动 C．两物体间始终没有相对运动 D．两物体间从受力开始就有相对运动 【模型演练5】．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）如图甲所示，一质量为M的长木板静置于光 滑水平面上，其上放置质量为m的小滑块。木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出其 80加速度a，得到如图乙所示 图像。最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取 ，则（ ） A．滑块的质量 B．木板的质量 C．当 时滑块加速度为2 D．滑块与木板间动摩擦因数为0.4 【模型演练6】．（2023·全国·高三专题练习）一长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放质量分别为 和 的A、B两物块，A、B与木板之间的动摩擦因素都为 ，水平恒力F作用在A 物块上，如图所示（重力加速度g取10 ）。则（ ） A．若 ，则物块、木板都静止不动 B．若 ，则A物块所受摩擦力大小为1.5N C．若 ，则B物块所受摩擦力大小为2N D．若 ，则B物块的加速度为1 【模型演练7】（2023·湖北·模拟预测）如图所示，一足够长的质量为m的木板静止在水平面上，t=0时刻 质量也为m的滑块从板的左端以速度 水平向右滑行，滑块与木板，木板与地面的摩擦因数分别为 、 且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。滑块的 图像如图所示，则有（ ） 81A． = B． < C． >2 D． =2 【模型演练8】．（2023·辽宁·模拟预测）如图，质量为 的货车载有质量为 的货物，一起在水平路面 上以速度v匀速运动，因紧急情况货车突然制动，货车停下后，货物继续运动后未与车厢前壁发生碰撞。 已知货物与水平车厢底板间的动摩擦因数为 ，车轮与地面间的动摩擦因数为 ，货物到车厢前壁的距 离为L，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ） A．开始刹车时货车的加速度大小为 B．从开始刹车到货物停止运动的时间为 C．货车停止时，货物的速度大小为 D．货物到车厢前壁的距离应满足 【模型演练9】．（2023春·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）如图所示，足够长的光滑斜面体静止 在光滑水平地面上，将由同种材料制成的A、B两物体放在斜面上，由静止释放，下滑过程中A、B两物 体始终相对静止。下列关于A、B两物体下滑过程中的说法正确的是（ ） A．A物体的机械能守恒 B．斜面体与B在水平方向的加速度大小可能相等 C．斜面体的加速度逐渐减小 82D．A、B与斜面体构成的系统动量守恒 【模型演练10】（2023·全国·高三专题练习）在一块固定的倾角为θ的木板上叠放质量均为m的一本英语 词典和一本汉语词典，图甲中英语词典在上，图乙中汉语词典在上。已知图甲中两本词典一起沿木板匀速 下滑，图乙中两本词典一起沿木板匀加速下滑。已知两本词典的封面材料不同，但每本词典的上、下两面 材料都相同，近似认为滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，设英语词典和木板之间的动摩擦因数为μ，汉语 1 词典和木板之间的动摩擦因数为μ，英语词典和汉语词典之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是（ 2 3 ） A．μ 一定小于tanθ 2 B．μ 一定等于tanθ 3 C．图乙中汉语词典受到的摩擦力大小一定是μmgcosθ 1 D．图甲中英语词典受到的摩擦力大小一定是μmgcosθ 3 【模型五】轻绳绕滑轮加速度相等----“阿特伍德机”模型 a m 1 μ a m m a 2 2 a m 1 [来源:学科网] 隔离m：T-μm g=ma 隔离m：mg-T=ma 1 1 1 1 1 1 隔离m：mg-T=ma 隔离m：T-mg=ma 2 2 2 2 2 2 m g−μm g (1+μ)m m g (m −m )g 2m m g a= 2 1 T= 1 2 a= 1 2 T= 1 2 m +m m +m m +m m +m 得 1 2 ， 1 2 得 1 2 ， 1 2 m g 若m=m，T=mg=mg T= 2 =m g 1 2 1 2 m m g m 2 T= 1 2 1+ 2 m +m m 若μ=0， 1 2 且m<a 条件：a≤a 即 F≤μg(m+m) 1 1max 2 1max 2 1max 1 2 f m μ m 加速度a=(F-μm g)/m 即F>μg(m+m) 整体加速度a=F/(m+m) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 f F m 2 内力f=mF/(m+m) 1 1 2 光滑 模型二 光滑面上外力拉块 加速度 分离 不分离 a m 最大加速度a =μm g/m 条件：a>a 条件：a≤a 2 2max 1 2 1 2max 2 1max f F m m 加速度a=(F-μm g)/m 即F>μm g(1+m/m) 即 F≤μm g(1+m/m) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 μ m 2 f 整体加速度a=F/(m+m) 1 2 光滑 内力f=mF/(m+m) 2 1 2 99模型三 粗糙面上外力拉板 不 分 离 （ 都 静 不分离（一起加速） 分离 止） a 条件： 条件：a≤a 条件：a>a =μg 2 1max 2 1max 1 f f 2 f 1 m m 1 2 μ 1 1 F F≤μ 2 (m 1 +m 2 )g 即 整 体 μ 2 加 (m 速 1 + 度 m 2 ) a g = < [F F - ≤ μ (μ (m 1 +μ + 2 m )g( ) m g) 1 ] + /( m m 2 ) +m) 即F>(μ 1 +μ 2 )g(m 1 +m 2 ) 2 1 2 1 2 μ 2 内力f=ma 1 [ 外力区间范围 都静止 一起加速 分离 F μ(m+m)g (μ+μ)g(m+m) 2 1 2 1 2 1 2 模型四 粗糙面上外力拉块 μmg>μ (m+m)g 一起静止 一起加速 分离 1 1 2 1 2 a 条件： 条件： 条件： f F 1 m F≤μ(m+m)g μ(m+m)ga =[μmg-μ (m+m)g]/m 1 μ 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2max 1 1 2 1 2 2 f 1 2 m 2 f 1 整体加速度 即F>(μ 1 -μ 2 )m 1 g(1+m 1 /m 2 ) μ 2 a=[F-μ 2 (m 1 +m 2 )g)]/(m 1 +m 2 ) 内力f=μ(m+m)g+m a 1 2 1 2 2 外力区间范围 一起静止 一起加速 分离 F μ(m+m)g (μ-μ)mg(1+m/m) 2 1 2 1 2 1 1 2 模型五 粗糙面上刹车减速 一起减速 减速分离 a v m 最大刹车加速度：a =μg 条件：a>a 即μ>μ 1 1max 1 1max 2 1 f 1 m 1 μ 整体刹车加速度a=μ 2 g m 1 刹车加速度：a 1 =μ 1 g f 1 2 m 2 f 1 条件：a≤a 即μ≤μ m 刹车加速度：a=μ(m+m)g-μ mg)]/m 1max 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 μ 2 加速度关系：av 时，可能一直减 传回右端．其中v>v和vtanθ θ v 共速 ①滑动摩擦力f=μmgcosθ θ v f'= mgsin 变 为 静 v 痕迹 传送带 ②加速度a=g(μcosθ-sinθ) mgcos f 突 a 物体 ③上传条件：μ>tanθ f=μ v O t t t ④共速摩擦力突变为静摩擦 L 1 2 力f'=mgsinθ θ 120受力分析 运动分析（一直加速） 难点问题 μx 传 θ ( O t t t 物 ，痕迹 Δx 1 =x 传 -x 物 ，共速 1 2 后，x >x ，痕迹 Δx=x -x 物 传 2 物 ，总痕迹取二者中大的那一 传 段 125【模型演练1】（2023·新疆·统考三模）如图甲所示，倾角为 的传送带以恒定的速率v沿逆时针方向运行。 时刻，质量 的小物块以初速度 从A端滑上传送带，小物块的速度随时间变化的图像如图乙 所示， 时小物块从B端滑离传送带。沿传送带向下为正方向，重力加速度g取 ，则（ ） A．传送带的倾角 B．小物块对传送带做功 C．小物块在传送带上留下的痕迹长度为 D．小物块与传送带间因摩擦而产生的热量为 【模型演练2】．（2023·重庆·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）如图甲所示，倾角为 的传送带以 恒定速率逆时针运行，现将一质量为 的煤块轻轻放在传送带的A端，煤块的速度随时间变化的关系如 图乙所示， 末煤块到达 端，取沿传送带向下为正方向， 取 ，则（ ） A．倾角 B．物体与传送带间的动摩擦因数0.4 C． 内传送带上留下的痕迹长为 D． 内物体与传送带摩擦产生的内能 【模型演练3】．（2023·贵州黔南·高三统考期中）如图所示，机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行 李。以恒定速率 运行的传送带与水平面间的夹角 ，转轴间距L＝3.95m。工作人员沿传送 126方向以速度 从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。包裹与传送带间的动摩擦因数 。重力加速度g取 ， ， 。则该小包裹（ ） A．相对传送带滑动时加速度的大小为 B．通过传送带的时间为4.5s C．在传送带上滑动的距离为2.75m D．到达传带底端时的速度为0 【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示为某建筑工地的传送装置，传送带倾斜地固定在水 平面上，以恒定的速度v=2 m/s向下运动，质量为m=1kg的工件无初速度地放在传送带的顶端P，经时间 0 t=0.2 s，工件的速度达到2m/s，此后再经过t=1.0 s时间，工件运动到传动带的底端Q，且到底端时的速 1 2 度为v=4m/s，重力加速度g=10 m/s2，工件可视为质点。则下列说法正确的是（ ） A．传送带的长度为x=2.4 m B．传送带与工件间的动摩擦因数为μ=0.5 C．工件由P运动到Q的过程中，传送带对工件所做的功为W=−11.2 J D．工件由P运动到Q的过程中，因摩擦而产生的热量为Q=4.8 J 【模型演练5】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，传送带与水平方向成 角，顺时针匀速转动的 速度大小 ，传送带长 ，水平面上有一块足够长的木板。质量为 的物块（可视 为质点）以初速度 ，自A端沿AB方向滑上传送带，在底端B滑上紧靠传送带上表面的静止木板， 127木板质量为 ，不考虑物块冲上木板时碰撞带来的机械能损失。已知物块与传送带间的动摩擦因数 为 ，物块与木板间的动摩擦因数为 ，木板与地面间的动摩擦因数为 。取重力加速 度 ，求： （1）物块从A运动到B点经历的时间t； （2）物块停止运动时与B点的距离x。 【模型演练6】．（2023·全国·高三专题练习）某物流公司用如图所示的传送带将货物从高处传送到低处。 传送带与水平地面夹角 =37°，顺时针转动的速率为v=2m/s。将质量为m=25kg的物体无初速地放在传送 0 带的顶端A，物体到达底端B后能无碰撞地滑上质量为M=50kg的木板左端。已知物体与传送带、木板间 的动摩擦因数分别为 =0.5， =0.25，AB的距离为s=8.20m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加 1 2 速度g=10m/s2（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求： （1）物体滑上木板左端时的速度大小； （2）若地面光滑，要使物体不会从木板上掉下，木板长度L至少应是多少； （2）若木板与地面的摩擦因数为μ，且物体不会从木板上掉下，求木板的最小长度L与μ的关系式。 【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，传送带与地面倾角 ，从A到B长度为 16m，传送带以10m/s的速度逆时针转动。在传送带上端A无初速地放一个质量为m＝0.5kg的黑色煤块， 它与传送带之间的动摩擦因数为 ，煤块在传送带上经过会留下黑色划痕。已知（sin37°＝0.6， 128cos37°＝0.8）， 。求： （1）煤块从A到B运动的时间； （2）若传送带逆时针运转的速度可以调节，物体从A点到达B点的最短时间； （3）煤块从A到B的过程中传送带上形成划痕的长度。 【模型演练8】．（2023·江西·高三校联考阶段练习）2022年7月16日消息，全国邮政快递业运行平稳， 投递量环比增长6.1%。防疫期间人们利用电子商务购物变得十分便捷。如图所示的是分拣快件的传送带模 型，相距 的两斜面A、B之间用传送带平滑相接，斜面倾角为 （ ）。传送带沿逆时针 方向匀速运动，其速度的大小可以由驱动系统根据需要设定。质量 的载物箱（可视为质点），以 初速度 从斜面A滑上传送带，载物箱与传送带间的动摩擦因数 ，重力加速度大小 。求： （1）若传送带速度的大小为3.0m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；（计算结果保留两位有效数字） （2）若传送带速度的大小可以由驱动系统根据需要设定，求载物箱到达下侧斜面时，所能达到的最大速 度和最小速度；（计算结果保留根式） （3）若传送带速度的大小为6.0m/s，载物箱滑上传送带 后，传送带速度突然变为零。求载物箱 从斜面A经传送带运动到斜面B的过程中受到传送带的冲量大小。 129【模型演练9】．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校联考开学考试）甲、乙两传送带倾斜放置，与 水平方向夹角均为37°，传送带乙长为4m，传送带甲比乙长0.45m，两传送带均以3m/s的速度逆时针匀速 转动，可视为质点的物块A从传送带甲的顶端由静止释放，可视为质点的物块B由传送带乙的顶端以3m/s 的初速度沿传送带下滑，两物块质量均为2kg，与传送带间的动摩擦因数均为0.5，取g=10m/s2， sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间： （2）物块A、B传送带上的划痕长度之比。 专题 07 抛体运动模型 【平抛运动模型的构建及规律】 1、平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度 。 （2）性质：加速度恒定 ，竖直向下，是匀变速曲线运动。 1302、平抛运动的规律 规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） 水平方向：不受外力，以v 为速度的匀速直线运动， 0 竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， g y= x2 2v2 平抛运动的轨迹：是一条抛物线 0 v= √v2 +v2 合速度：大小： x y即 ， 方向：v与水平方向夹角为 ，即 S= √x 2 +y 2 合位移：大小： 即 ， 方向：S与水平方向夹角为 ，即 tanα=2tanθ 一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相 同，速度的方向要陡一些。如图所示: 3、对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 √2 y 1 y= gt2 t= 2 g 由竖直方向上的自由落体运动 可以得到时间 可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或 者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 131（2）平抛运动的射程 g √2y y= x2 x=v 2v2 0 g 由平抛运动的轨迹方程 0 可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速 度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 【模型演练1】（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用 质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为 。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面 上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞 前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为 h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求 （1）小球离开桌面时的速度大小； （2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。 【模型演练2】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前 进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E ，它会落到坑 1 内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于 2 ( ) A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 【模型演练3】（2023·山西·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳 地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水 面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的 最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 132【模型演练4】（2023·江苏南通·模拟预测）一辆货车以速度 在平直的公路上匀速行驶，某时刻 车上的石子从车尾 高处掉落，假设石子与地面碰撞反弹时的速率为撞击地面时速率的 ，反弹前 后速度方向与地面的夹角相等。重力加速度 ，忽略空气阻力。求 （1）石子第一次落地时的速度大小v； （2）石子第二次落地时距车尾的水平距离L。 【模型演练5】(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪 每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。 图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s 1 和s 之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 2 【三类常见的斜面平抛模型】 类型一：沿着斜面平抛 1.斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝vt ， 0 v 0 y＝gt2， tan θ＝， )α )α 可求得t＝。 θ( 2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相 133同。 3.与斜面的最大距离问题 两种分解方法： v x y 0 v 0 d )θ )θ m d )θ v m v y θ θ( g θ( x 【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v 水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B 0 点，不计空气阻力． 法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 v＝vcos θ，v＝vsin θ， x 0 y 0 a＝gsin θ，a＝gcos θ. x y 物体沿斜面方向做初速度为v、加速度为a 的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为v、加速度为 x x y a 的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． y 令v′＝vsin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. y 0 (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝vcos θ·T＋gsin θ·T2＝. 0 法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v 交点为此时横坐 0 标的中点P， 则tan θ＝＝， t＝. 134(2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B间距离s＝＝. 法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成v 和v，如图(c)所示，则由tan θ＝ x y ＝，得t＝. (2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得 tan θ＝，y＝xtan θ ① y＝gt′2 ② x＝vt′ ③ 0 由①②③式得：t′＝ 而x＝vt′＝， 0 因此A、B间的距离s＝＝. 类型二：垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． v＝v， x 0 v＝gt， y tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 v 0 H H-y )θ x 类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题 135v 0 θ )θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝vt 0 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v＝ sin θ，t＝cos θ. 0 【模型演练1】（2023·浙江·校联考模拟预测）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板， 在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳 台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处时为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为 ，斜坡 与水平方向的夹角为 ，不计空气阻力。计算运动员在a处的速度大小① ，在空中飞行的 时间② ，运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻③ ，运动员在空中离坡面的最大距离 ④ 。以上四个计算结果正确的（ ） A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．有①②③④ 【模型演练2】．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图，小球甲从O点以10m/s的初速度 水平抛出，同时小球乙从P点竖直向上抛出，当小球甲垂直打在倾角为45°的水平固定斜面上时，小球乙 136刚好回到P点，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则小球乙被抛出时的初速度大小为（ ） A．0.5m/s B．5m/s C．10m/s D．20m/s 【模型演练3】．（2023·贵州毕节·统考三模）如图，在斜面顶端P点处，沿竖直面内将一小球以初动能 水平向右抛出，经一段时间后落在斜面上的A点，若在P点处以初动能 水平向右抛出同一小球， 经一段时间后落在斜面上的B点。下列物理量的关系正确的是（ ） A．时间为 B．速度为 C．动能为 D．动量为 【模型演练4】．（2023·浙江金华·模拟预测）如图所示，一可视作质点的小球在斜面上的某点以水平速度 从斜面上抛出，飞行一段时间后落回在斜面上，水平向左方向上有恒定的风力作用，不计空气阻力，下列 说法不正确的一项是（ ） A．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量大小不变 B．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量方向不变 C．小球在空中的运动轨迹是一条抛物线 D．小球在空中的运动性质是变加速曲线运动 137【模型演练5】．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别 从斜面底端O点正上方A、B两点向右水平抛出，B是AO连线上靠近O的三等分点，最后两球都垂直落在 斜面上，A、B两球击中斜面位置到O点的距离之比为（ ） A． B． C． D． 【模型演练6】（2023·陕西安康·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为37°的斜面体 固定放置在水 平面上，斜面的高度为 ， 点是A点正上方与 点等高的点，让一小球（视为质点）从 点水平向左抛 出，落在斜面的 点，已知 、 两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g， 、 ， 下列说法正确的是（ ） A．小球在 点的速度为 B．小球从 点到 点的运动时间为 C．小球在 点的速度大小为 D．小球在 点的速度与水平方向夹角的正切值为2 【模型演练7】．（2023·广东·高三统考阶段练习）如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度 抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球 做平抛运动的时间 为（ ） 138A． B． C． D． 【模型演练8】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以 初速度 正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的 是（ ） A．若小球以最小位移到达斜面，则 B．若小球垂直击中斜面，则 C．若小球能击中斜面中点，则 D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为 【半圆模型的平抛运动】 （1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝vt，联立两方程可求t。 0 （2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=vt，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v。 0 0 139【模型演练1】（2023·云南·校联考一模）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为 圆弧bc，半径为 R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v 沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略， 0 重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v 大小无关 0 D．无论调整v 大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 0 【模型演练2】（2023·安徽六安·高三六安一中阶段练习）如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上， O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v 平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点； 1 若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v 向左平抛另一个小球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不 2 计空气阻力，则（ ） A．两小球同时落到D点 B．两小球初速度大小之比为 C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等 D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为 140【模型演练3】（2023·山东滨州·高三校考阶段练习）如图所示， 是半圆弧的一条水平直径， 是圆弧 的圆心， 是圆弧上一点， ，在 、 两点分别以一定的初速度 、 水平抛出两个小球， 结果都落在 C点，则两个球抛出的初速度 、 的大小之比为（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）如图所示，半径为R的半球形碗固定 于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为球心．小球从AO连线上的C点沿CO方向以水平速度抛出， 经时间 小球与碗内壁垂直碰撞，重力加速度为g，则C、O两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【平抛与圆相切模型】 141【模型演练1】（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考开学考试）如图所示为某节目中一个环节的示意图。选 手会遇到一个人造山谷 ， 是竖直峭壁， 是以 点为圆心的弧形坡， 点右侧是一段水平跑道。 选手助跑后从 点水平向右跳出，跃上 点右侧的跑道上。选手可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正 确的是（ ） A．初速度越大，选手从 跳出至落在 右侧跑道上的时间越长 B．初速度越大，选手从 跳出至落在 右侧跑道上的时间越短 C．只要选手落在 平台上，下落时间为一定值与速度无关 D．若落在 圆弧上，初速度越大，选手在空中运动时间越长 【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点 将一小球以水平速度v 沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线 0 飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，一个半径 的半 圆柱体放下水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），恰好从C 点切线方向进入，已知O为半圆柱体圆心， 与水平方向夹角为53°，重力加速度为 ，则（ 142） A．小球从B点运动到C点所用时间为 B．小球从B点运动到C点所用时间为 C．小球做平抛运动的初速度为 D．小球做平抛运动的初速度为 【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R， 在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为 ，则C 点到B点的距离为（ ） A． B． C． D．R 【台阶平抛运动模型】 方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法 v v 0 )θ 0 h s h s 示意图 θ( 【模型演练1】（2023·全国·高三学业考试）甲、乙两个小孩坐在一平台上玩抛皮球的游戏，分别向下面台 阶抛球，如图所示。每级台阶的高度和宽度都相同均为L，抛球点在平台边缘上方L处，两人分别沿水平 方向抛出皮球，甲小孩的皮球恰好落在第1级台阶的边缘，乙小孩的皮球恰好落在第7级台阶的边缘，不 计空气阻力，皮球可看成质点，重力加速度g = 10m/s2，则（ ） 143A．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为1：2 B．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为 C．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为 D．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为2：7 【模型演练2】（2023·湖南·模拟预测）小兰和小亮周末去爬山，在一个倾角为 的山坡上玩抛石块。 如图所示，小兰爬上紧挨山坡底端的一棵树，从树上 点朝着山坡水平抛出一个石块甲，石块甲正好垂直 打在山坡中点 ；小亮在山坡顶端的 点水平抛出一个石块乙，石块乙也落在 点。已知山坡长度 ，重力加速度为 ， ，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ） A．石块甲的抛出点Q一定比A点高 B．石块甲的初速度大小为 C．石块甲、乙的运动时间之比为 D．若两石块同时抛出，则他们一定同时击中P点 【模型演练3】（2023·重庆·高三统考阶段练习）如图所示，有足够多级台阶构成的阶梯，每级台阶高度为 h=16cm，长度L=40cm。将小球（可视为质点）从平台上以v=9m/s的速度水平抛出，不计空气阻力，重 0 力加速度为g=10m/s2，小球抛出后首先落到的台阶是（ ） 144A．第15级台阶 B．第16级台阶 C．第17级台阶 D．第18级台阶 【模型演练4】（2023·广东·模拟预测）某同学想研究篮球弹跳的规律，假设有两个连续台阶高度同为h， 该同学从第一个台阶的顶部边缘以某一速度 将质量为m的篮球水平向右抛出，篮球恰好落在第一个台阶 边缘的A点处弹起后刚好落在第二个台阶的边沿B处，假设小球与台阶发生的是弹性碰撞（碰撞前后速度 的水平分量方向不变，竖直分量反向），不计空气阻力。下列说法正确的是（ ） A．篮球在A点处发生碰撞时合力对它的冲量大小为 B．在A点处台阶弹力对篮球所做的功为0 C．两台阶的宽度之比是 D．如果直接将篮球水平抛出至B点，则抛出的初速度应该为 【体育生活中平抛运动的临界模型】 1． 平抛运动中的临界速度问题 √ g v 1 v v =s 2 1 1 2(h −h ) h 1 从网上擦过的临界速度 1 2 h 2 √ g s 1 s 2 v =(s +s ) 2 1 2 2h 出界的临界速度 1 2． 既擦网又压线的双临界问题 h 1 h 2 s s 145 1 2h= 1 g ( s ) 2 h 1 −h 2 s 1 2 2 v = 根据 0 ，可得比值： h 1 (s 1 +s 2 ) 2 【模型演练1】（2023·河北·校联考三模）如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出， 第一只球落在本方场地A处弹起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B 处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空气阻力不计。若O点离地面的高度为h，则网的高度为（ ） A． B． C． D． 【模型演练2】（2023·海南·统考模拟预测）如图，在某闯关娱乐节目中，小红从轨道 上的不同位置由 静止自由滑下，从c处水平飞出，都能落到直径为l的圆形浮板上，轨道、直径在同一竖直面内。c点离水 面的高度为h，浮板左端离c点的水平距离为l。运动过程中，小红视为质点并忽略空气阻力，重力加速度 为g，则小红离开c时速度v的范围为（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023·山东·高三专题练习）从高 处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与 地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的 速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为 （ ） 146A． B． C． D． 【模型演练4】（2023·广东惠州·统考一模）“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈（可视为质 点）从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面 圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（ ） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量不相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若小面圈刚被抛出时初速度为 ，则 【模型演练5】（2023·山东·高三专题练习）如图所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中点正前方距 离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点），球员顶球点O距地面的高度为h。足 球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ） A．足球位移 的大小为 147B．足球位移 的大小为 C．足球刚落到P点的速度大小为 D．足球刚落到P点的速度大小为 【对着竖直墙壁的平抛模型】 1.如图所示，水平初速度v 不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 0 2.撞墙平抛运动的时间的计算 x v 0 若已知x和v ，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v ，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2. 0。 0。 3.撞墙平抛运动的推论 撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。 x v 0 x/2 【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖 抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度 垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O 点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ） 148A．飞镖击中P点所需的时间为 B．圆盘的半径为 C．圆盘转动角速度的最小值为 D．P点随圆盘转动的线速度可能为 【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板 将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为 、 ，不计空气阻力，小球打在挡板上 的位置分别是B、C，且AB=BC，则 为（ ） A．2∶1 B． C． D． 【模型演练3】（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，竖直墙MN、PQ间距为 ，竖直线OA到两边墙面 等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度 水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C点各发生一次 弹性碰撞后恰好落在地面上的A点。设B点距地面高度为 ，C点距地面高度为 ，所有摩擦和阻力均不 计。下列说法正确的是（ ） 149A．下落 和 所用时间 B． C．仅将间距 加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点 D．仅将初速度 增为 （ 为正整数），小球一定落在A点 【模型演练4】(2023·福建福州月考)某人在O点将质量为m的飞镖以不同大小的初速度沿OA方向水平投 出，A为靶心且与O在同一高度，如图所示，飞镖水平初速度分别是v 、v 时打在靶上的位置分别是B、 1 2 C，且AB∶BC＝1∶3。忽略空气阻力，则( ) A．两次飞镖飞行时间之比t∶t＝1∶3 1 2 B．两次飞镖投出的初速度大小之比v∶v＝2∶1 1 2 C．两次飞镖的速度变化量大小之比Δv∶Δv＝3∶1 1 2 D．适当减小质量可使飞镖投中靶心 【平抛的相遇模型】 平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速 x:l=vt; x:s=v t; 球1比球2先抛 球3、4同时抛 x:l=(v-t )t; 1 1 2 √2h y:½gt2+v 2 t-½gt2=H, t 1 >t 2 、v 1 v 4； √2H y:空中相遇t< g t=H/v 2 g y:t= 联立得H/v=s/t 2 150 v1 v2 v3 v4l √2h < v g 联立得 【模型演练1】（2023春·湖北·高三统考开学考试）如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h，现 将A向右水平抛出的同时，B自由下落，重力加速度为g。不计空气阻力，在与地面发生第一次碰撞前要 想A、B能够相碰，A水平抛出的速度v应该满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【模型演练2】（2023·高三课时练习）在同一水平直线上的两位置分别沿相同方向水平抛出两小球A和B 其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中相遇，则下列说法中正确的是（ ） A．相遇时B球竖直分速度较大 B．相遇时A球速度与水平方向夹角较大 C．应该同时抛出两小球 D．A球的初动能一定大于B球的初动能 【模型演练3】．（2023·河南洛阳·高三统考阶段练习）甲、乙、丙三个小球分别位于如图所示的竖直平面 内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，P、Q点为甲、丙水平距离的三等分点，在同 一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平速度 向右做平抛运动，乙以水平速度 沿光滑水平面向右做匀速 直线运动，丙以水平速度 向左做平抛运动，则（ ） 151A．无论速度 大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在Р点相遇 B．若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P、Q中间 C．若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球一定落在Р点左侧 D．若只有甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在Р点 【模型演练4】．（2023·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考阶段练习）如图所示，A、B两小球从 相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的 ，不计空气阻力，则 两球从抛出到相遇的过程中，下列说法正确的是（ ） A．相遇时间变为 B．相遇时间变为 C．相遇点的高度下降了 D．相遇点的位置在原来的左下方 【模型演练5】（2023·安徽·模拟预测）如图，可视为质点的 两个小球从同一高度向右水平同时拋出， 两球下落 高度时发生相碰。已知 球抛出的初速度大小为 球抛出的初速度大小为 ，重力加速度为 ，两球距地面足够高，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．两球初始时之间的距离为 152B．从抛出到两球相碰，两球的位移大小之差为 C．若将两球抛出的初速度均加倍，从抛出到相碰的时间为 D．若将两球抛出的初速度均减小一半，两球可能不会发生相碰 【模型演练6】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机在M点的正 上方离地高H处以水平速度v=0.9km/s发射炮弹1，经20s击中地面目标P，若地面拦截系统在战斗机发射 1 炮弹1的同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点以竖直向上的速度v 发射拦截炮弹2，若不计 2 空气阻力，重力加速度g=10m/s2，下列说法正确的是（ ） A．战斗机在M点的正上方离地2000m处 B．M点到P点的距离大于18000m C．若拦截成功，则两炮弹从发射到相遇所需的时间为 D．若拦截成功，则发射拦截炮弹2的速度大小为1.2km/s 【斜抛运动模型】 1、运动规律 v =v cosα 水平方向：不受外力，以 x 0 为初速度做匀速直线运动 x=v t=v cosαt 水平位移 x 0 ； v =v sinα 竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为 0y 0 ，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 1 v =v −gt y=v 0y t− 2 gt2 任意时刻的速度和位移分别是 y 0y 2、轨迹方程 153，是一条抛物线如图所示： Y V V 0y 0 α o V X 0x 3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 2v sinα 0 v =−v =−v sinα v =v −gt t= g 当物体落地时 y 0y 0 ，由 y 0y 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 v2sin2α x= 0 g 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 两条结论： ①当抛射角α=450 时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下 射程是相等的。 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时 =0，此时 1541 v2sin2α y=v t− gt2 y = 0 0y 2 max 2g 代入 即得到抛体所能达到的最大高度 v2 H= 0 可以看出，当α=900 时，射高最大 2g 【模型演练1】（2023·甘肃·统考三模）在某次运动会上篮球项目比赛中某运动员大秀三分球，使运动场上 的观众激情高涨。设篮球以与水平面成 夹角斜向上抛出，篮球落入篮筐时速度方向与水平方向夹角 为 ，且 与 互余（已知 ， ）。若抛出时篮球离篮筐中心的水平距离 为 ，不计空气阻力，篮球可视为质点。则抛出时篮球与篮筐中心的高度差h为（ ） A． B． C． D． 【模型演练2】．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）如图所示，小球以 的 瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是 ，不计空气阻力，下列说法正确 的是（ ）（取 ， ， ） A．小球到达最高点时的瞬时速度为零 B．小球在空中的运动时间是0.8s C．小球离地面的最大高度是6.4m D．小球落地时水平位移大小为9.6m 【模型演练3】．（2023·北京·高三专题练习）如图所示，把质量为m的石块从距地面高h处以初速度 155斜向上抛出， 与水平方向夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为g。若只改变抛射角 ，下列物理量一 定不变的是（ ） A．石块在空中的飞行时间 B．石块落地的水平距离 C．石块落地时的动能 D．石块落地时的动量 【模型演练4】（2023·广东湛江·统考二模）如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水 平地面的高度h=1.8m。篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m，水平分速度大小v=10m/s，要使篮球到 达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加 速度大小g=10 m/s2。篮筐离地面的高度为（ ） A．2.85m B．3.05m C．3.25m D．3.5m 【模型演练5】．（2023·辽宁沈阳·统考三模）某篮球运动员正在进行投篮训练，若将篮球视为质点，忽略 空气阻力，篮球的运动轨迹可简化如图，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投 入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为45°，在C点的速度大小为v 且与水平方向夹角为30°， 0 重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ） A．篮球在B点的速度为零 B．从B点到C点，篮球的运动时间为 156C．A、B两点的高度差为 D．A、C两点的水平距离为 【模型演练6】（2023·湖南·统考高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播 种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 ，且 轨迹交于 点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为 和 ，其中 方向水平， 方向斜向上。忽略空 气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ） A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于 C．两谷粒从 到 的运动时间相等 D．两谷粒从 到 的平均速度相等 【模型演练7】（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）春秋末年，齐国著作《考工记：轮人》 篇中记载：“轮人为盖”，“上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远。”意思是车盖中央高而 四周低，形成一个斜面，泄水很快，而且水流的更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑 轴竖直向上，伞底圆面水平。过支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形，底面半径恒定为r，底 角为 。 取不同的值时，自车盖顶端A由静止下滑的水滴（可视为质点）沿斜面运动的时间不同。已知 重力加速度为g，不计水滴与伞面间的摩擦力和空气阻力。 （1）倾角 为多大时，水滴下滑时间最短，并求出最短时间 ； （2）满足（1）问条件，在车盖底面下方 的水平面内有一长为L＝r的水平横梁（可看成细杆），横 梁位于支撑轴正前方，其俯视图如图丙所示，横梁的垂直平分线过支撑轴。现保持车辆静止，大量水滴沿 157车盖顶端由静止向各方向滑下，整个横梁恰好“被保护”不被淋湿。求水平面内横梁中点到支撑轴的距离 d。 专题 08 水平面内的圆周运动模型 【模型一】圆锥摆、圆锥斗、圆碗模型 一．圆锥摆模型 1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面 内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。 2．受力特点：摆球质量为m，只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力 。两个力的合力， 就是摆球做圆周运动的向心力 ，如图所示（也可以理解为拉力 的竖直分力与摆球的重力平衡， 的 水平分力提供向心力）。 l θ 4．运动特点：摆长为 ，摆线与竖直方向的夹角为 的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的 158r=lsinθ 轨道半径是 F =mgtanθ=ma=mω2lsinθ=mv2 /(lsinθ) 向心力 合 n F =mg/cosθ 摆线的拉力 T 【讨论】：(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据 可知，若角速度ω越大，则 θ 越大，摆线拉力 F T =mg/cosθ 也越大，向心加速度 a =gtanθ √glsinθtanθ n 也越大，线速度v=ωr= 也越大。 θ 结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若 越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转 动的越快，运动的也越快，。 (2)当 为定值时（ lcosθ=h 为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、 F =mg/cosθ 摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则 摆线拉力 T ，向心力 F =mgtanθ a =gtanθ ω=√g/h v=ωr=√ghtanθ 合 ，向心加速度 n ，角速度 ，线速度 。 θ 结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但 角大的 圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。 4.多绳圆锥摆问题 随角速度增大，两绳的拉力如何变化？ 二．圆锥斗 1591.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在 图中所示的水平面内做匀速圆周运动。 2.受力特点：小球质量为m，受两个力即竖直向下的重力mg和垂直内壁沿斜向上方向的支持力 。两个 力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力 ，如图所示 θ h 3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角 ，小球的轨道面距地面高度 ，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是 r=htanθ , 则有 · F =mg/tanθ=ma=mω2htanθ=mv2 /(htanθ) n n 向心力 . F =mg/sinθ N 支持力 . θ √ g ω= a =g/tanθ h(tanθ) 2 v=√gh 由此得 n ， ， 。 结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等， 向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。 三．圆碗 受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律 y x:F sinθ=mω2r N NF NF y:F cosθ=mg N R A θ r=Rsinθ θ B C x √ g ①同角同向心加速度（B和C） ω= a=gtanθ Rcosθ; gm gm n ②同高同角速度（A和C） mg F = =mω2R N cosθ 【模型演练1】.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。 如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简 化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为 ，绳长为 ，悬挂点 到腰带中心点 的距离为 。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角 为 ，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度 取 ， ，下列说法正确的是（ ） 160A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变 B．若增大转速，腰带受到的合力不变 C．当 稳定在 时，配重的角速度为 D．当 由 缓慢增加到 的过程中，绳子对配重做正功 【模型演练2】．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图所示，水平地面上固定着三个内壁光滑的容器甲、 乙、丙，它们的中心轴线均和水平地面垂直．其中甲的内表面为圆锥面，乙的内表面为半球面，丙的内表 面为旋转抛物面（将抛物线绕其对称轴旋转一周所得到的曲面），三个容器中均有两个小球贴着内壁在水 平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点．下列说法正确的是（ ） A．甲容器中A球的线速度比B球大 B．乙容器中A球的角速度比B球大 C．丙容器中两球角速度大小相等 D．丙容器中A球的角速度比B球小 【模型演练3】．（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）如图，有一竖直放置在水平 地面上光滑圆锥形漏斗，圆锥中轴线与母线的夹角为 ，可视为质点的小球A、B在不同高度的水平 面内沿漏斗内壁做同方向的匀速圆周运动，两个小球的质量 ， ，若A、B两球轨道平面距 圆锥顶点O的高度分别为 和h，图示时刻两球刚好在同一条母线上，下列说法正确的是（ ） 161A．球A和球B的向心加速度大小分别为2g和g B．两球所受漏斗支持力大小之比与其所受向心力大小之比相等 C．球A和球B的线速度大小之比为 D．从图示时刻开始，球B旋转两周与球A在同一根母线上相遇一次 【模型演练4】．（2023·湖南益阳·高三统考阶段练习）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕 竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动， 一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受 到的摩擦力恰好为0，它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ。则（ ） A．向心力大小为mRω2 B．θ越小则ω越小 C．在保持物块位置不变的情况下增大ω，则小物块将受到摩擦力作用 D．在保持物块位置不变的情况下增大ω，陶罐对小物块的弹力不变 【模型演练5】(多选)如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上， 同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时( ) A．细绳对小球的拉力可能为零 162B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等 C．细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等 D．当ω＝时，金属圆环对小球的作用力为零 【模型演练6】(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与 水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀 速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A．a绳的张力不可能为零 B．a绳的张力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳将出现弹力 D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 【模型演练7】(2020·海南海口一中高三月考)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动， 一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( ) A.绳的张力可能为零 B.桶对物块的弹力不可能为零 C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变 D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大 【模型演练8】如图所示，两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m的小球，另一端固定在等高的两点 O、O，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v，小球恰能在竖直面内做圆周运动， 1 2 0 重力加速度为g，则（ ） 163A．小球运动到最高点的速度 B．小球运动到最高点的速度 C．小球在最低点时每段绳子的拉力 D．小球在最低点时每段绳子的拉力 【模型演练9】．（2023·北京·高三专题练习）图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化 为图2所示的模型。长 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径 的水平转盘边缘。转盘可绕 穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一 竖直平面内，与竖直方向的夹角 。将游客和座椅看作一个质点，质量 。不计钢绳重力和空 气阻力，重力加速度 。（ ， ） （1）当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动 a．向心力的大小 ； b．线速度的大小v。 （2）求游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。 【模型演练10】．（2023春·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，a、b两小球在内壁光滑的半球形碗内 做水平匀速圆周运动，碗的质量为M，碗底粗糙且始终静止在水平地面上，碗的球心为O、半径为R， Oa、Ob与竖直方向间的夹角分别为53°、37°，a球的质量为m，两球稳定运动过程中，碗对地面会周期性 的出现无摩擦力时刻。已知 ，重力加速度为g。求： 164（1）出现无摩擦力的周期； （2）为使碗在地面始终不会滑动，碗底与地面间的动摩擦因数至少为多大；（已知最大静摩擦力等于滑 动摩擦力）； （3）若小球运动过程中受极微弱的摩擦阻力作用导致其圆周运动的轨道平面缓慢下降。求球a从最初始高 度下降到b球开始所在平面的过程中摩擦阻力所做的功。 【模型二】火车转弯模型 特别注意： 转弯的向心 力是水平的 在倾斜轨道上转弯： ①设计时速v：mgtanθ=mv2/R得： 。因为θ角很小，所以tanθ=sinθ=h/l，则 ②若火车经过弯道时的速度 ，外轨将受到挤压。 ③若火车经过弯道时的速度 ，内轨将受到挤压。 【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的。已知内外轨道平面对 水平面倾角为 ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于 ，则 （ ） 165A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C．这时铁轨对火车的支持力小于 D．这时铁轨对火车的支持力等于 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示。摆式列车可以解决转弯半径过小造成的离心问题， 摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会 自动倾斜，使得车厢受到的弹力 与车厢底板垂直。 与车厢重力的合力恰好提供向心力，车厢没有离 心侧翻的趋势，当列车行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。它的优点是能够在 现有线路上运行，无需对线路等设施进行较大的改造。运行实践表明：摆式列车通过弯道的速度可提高 20%~40%，最高可达50%，摆式列车不愧为“曲线冲刺能手”。假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶， 以 的速度转弯，转弯半径为 ，则质量为 的乘客在转弯过程中所受到的列车给 他的作用力约为（ ） A． B． C． D．0 【模型演练3】．（2023秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考期末）赣深高铁于2021年12月10日 正式开通运营，设计速度为350 km/h。在修筑高速铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨（用于减小外轨的 损耗）。某铁路模型的某段弯道可视为半径7 km的圆上的最高点的一小段圆弧，两根铁轨间的距离为 143.5 mm，若圆弧的圆心与两根铁轨共面，模型车通过该段弯道的线速度为252 km/h时，模型车（可视为 质点）对铁轨恰无沿轨道半径方向的作用力。g取 。则该圆弧位置两根铁轨间的高度差约为 （ ） A．0.8 cm B．1 cm C．1.2 cm D．1.4 cm 166【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）2020年新冠疫情突然来袭，无人机成战“疫”利器。无人 机在某次作业过程中在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为m，以恒定速率v在空中水 平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，关于空气对无人机的作用 力方向和大小的说法正确的是（ ） A．竖直向上，F＝mg B．竖直向上，F＝m C．斜向右上方，F＝m D．斜向右上方，F＝m 【模型演练5】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，途中火车要进入某半径为 的弯道，火车在 轨道上的的截面图如图乙所示。已知两轨间宽度为 ，弯道内外轨高度差是 ，重力加速度为 。若火车 转弯时轮缘与铁轨间恰好无作用，则此时火车的速度为（ ） A． B． C． D． 【模型演练6】．（2023·高三课时练习）列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R， 两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为 （ 很小，可近似认为 ），下列说法正确的是（ ） 167A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度 时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度 时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小 角，可提高列车安全过转弯处的速度 【模型三】水平路面转弯模型 (1).汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。它所需要的向心力只能来自轮 胎与路面之间的侧向摩擦力。 (2).最大安全转弯速度v ：最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，根据μmg=mv 2/r，得 m m √μgr v = 。 m (3).当速度小于v 时：侧向静摩擦力提供向心力，f=mv 2/r。 m m 【模型演练1】（2023·浙江金华·统考三模）汽车的车厢地面上水平放着一个内装圆柱形工件的木箱，工件 截面和车的行驶方向垂直如图乙所示，当汽车匀速通过三个半径依次变小的圆形弯道时木箱及箱内工件均 保持相对静止。从汽车行驶方向上看下列分析判断正确的是（ ） A．Q和M对P的支持力大小始终相等 B．汽车过A、B、C三点时工件P受到的合外力大小相等 C．汽车过A点时，汽车重心的角速度最大 168D．汽车过A、C两点时，M对P的支持力大于Q对P的支持力 【模型演练2】．（2023·山东·高三专题练习）如图，高速公路上一辆速度为90km/h的汽车紧贴超车道的 路基行驶。驾驶员在A点发现刹车失灵，短暂反应后，控制汽车通过图中两段弧长相等的圆弧从B点紧贴 避险车道左侧驶入。已知汽车速率不变，A、B两点沿道路方向距离为105m，超车道和行车道宽度均为 3.75m，应急车道宽度为2.5m，路面提供的最大静摩擦力是车重的0.5倍，汽车转弯时恰好不与路面发生相 对滑动，重力加速度 ，估算驾驶员反应时间为（ ） A．1.6s B．1.4s C．1.2s D．1.0s 【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中 国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、 、 在同一直线上， 为 中点，运动员由直线 经弯 道到达直线 ，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线①中的半圆以O为圆心，半径为 ，路 线②是以 为圆心，半径为 的半圆．若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向 作用力的最大值相等，运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不 变），则下列说法正确的是（ ） A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等 B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等 C．选择路线①，路程最短，运动员所用时间较短 D．选择路线②，路程不是最短，但运动员所用时间较短 【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）匈牙利物理学家厄缶在19世纪指出：“沿水平地面向东运 动的物体，其重量（即：列车的视重或列车对水平轨道的压力）一定会减轻”。后来，人们常把这类物理 169现象称之为“厄缶效应”。一静止在赤道某处的列车，随地球自转的线速度为 ，已知列车的质量为 ， 地球的半径为 。若列车相对地面以速率 沿水平轨道向东行驶，由于列车向东行驶而引起列车对轨道的 压力减少的数值为（ ） A． B． C． D． 【模型演练5】．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）摩托车转弯时容易发生侧滑或侧翻，所以除了控制速 度外，车手要将车身倾斜一个适当角度，使车轮受到路面的径向静摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身 （过重心）。如图所示，某摩托车沿水平路面以恒定速率转弯过程中车身与路面间的夹角为37°，转弯半 径为30m，估算摩托车的转弯速度为（ ） A．15m/s B．20m/s C．27m/s D．30m/s 【模型演练6】（2023·江西南昌·统考三模）港珠澳大桥是建筑史上里程最长、投资最多、施工难度最大的 跨海大桥。如图所示的水平路段由一段半径为 的圆弧形弯道和直道组成。现有一总质量为 、 额定功率为 的测试汽车通过该路段，汽车可视为质点，取重力加速度 。 (1)若汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力是车重的0.675倍，求该汽车安全 通过此弯道的最大速度； (2)若汽车由静止开始沿直道做加速度大小为 的匀加速运动，在该路段行驶时受到的阻力为车重的0.1 倍，求该汽车运动 末的瞬时功率。 170【模型演练7】．（2023·全国·模拟预测）我国自主研发的“人体高速弹射装置”在3秒钟就能将一名质量 的运动员从静止状态匀加速到速度 ，此后，运动员自己稍加施力便可保持该速度不变， 匀速通过长度为45m的变道段，再进入半径 的水平弯道做匀速圆周运动，已知加速段克服阻力做 功为 ，运动员可视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取 ，已知 ， 。求： （1）运动员加速段运动所受的阻力大小和弹射装置给运动员的作用力大小； （2）过水平弯道时，运动员受到地面作用力F的大小和方向； （3）运动员从P运动到Q的时间和位移大小（计算结果可以带根号）。 【模型演练8】．（2023·重庆·高三统考学业考试）2022年5月14日，在场地自行车世界杯男子1公里个 人计时赛中，我国运动员薛晨曦以1分00秒754的成绩获得冠军。取重力加速度 ，在比赛中， （1）他先沿直道由静止开始加速，前24m用时4s，此过程可视为匀加速直线运动，求他在4s末时的速度 大小； （2）若他在倾斜赛道上转弯过程可视为半径12m的水平匀速圆周运动，速度大小为16m/s，已知他（包括 自行车）的质量为90kg，求此过程他（包括自行车）所需的向心力大小； （3）在（2）问中，自行车车身垂直赛道，此时自行车不受侧向摩擦力，赛道的支持力通过薛晨曦和自行 车的重心，实现匀速平稳转弯，如图，求转弯处赛道与水平面的夹角的正切值。 171【模型四】圆盘模型 A A A A B A B A B B B B f 静 =mω2r √μg ①μ A ≥μ B , ①ω min = r ω 临 = 轻绳出现拉力临界ω 1 = B ; AB离心的临界： √μ g √m g-μm g B B A √μg 隔离A:T=μm g；隔离B:T+μm g=m ω2r ； A B B 2 B r r ω = r 隔离A:μm g-T=m ω2r ；隔离B:T+μm g=m ω2r ； 临1 源:学&科&网] [来 A A 2 A B B 2 B 与质量无关 隔离A:T-μm A g=m A ω 2 2r A ；隔离B:T+μm B g=m B ω 2 2r B ； √ μg m r +m r r = A A B B r 质心 m +m 整体：AB滑动ω 临2 = 质心（ A B ） f μmg T 滑动 f B μ μ m m Bg g f B μm B g ②μ A <μ B , ②ω max = A √m g+μm g 出现T √μ g B A A A A ω2 r O O ω2O O ω2 r ω2 ω 临2 = μm g A 【模型演练1】（2023·广东汕头·统考三模）如图甲是技术娴熟的服务员整理餐具的情景，服务员先把餐具 摆在圆形玻璃转盘上，然后转动转盘，使餐具甩出后停在圆形桌面上。已知圆形转盘的半径 ，圆 形桌面的半径 ，玻璃转盘与圆形桌面中心重合，二者的高度差 。可看作质点的质量为m 的餐具放在转盘的边沿，餐具与转盘的动摩擦因数 ，缓缓增大转盘的转速，其俯视图如图乙，不 计空气阻力，重力加速度g取 。求： （1）餐具刚好被甩出去时转盘的角速度 。 （2）若餐具落到圆形桌面上时不跳跃，且水平方向上的速度保持不变，为保证餐具不会滑落到地面上， 求餐具与圆形桌面的动摩擦因数 的取值范围（计算结果保留两位有效数字）。 【模型演练2】．（2023·北京丰台·统考一模）如图所示，一圆盘在水平面内绕过圆盘中心的轴匀速转动， 172角速度是 。盘面上距圆盘中心 的位置有一个质量为 的小物体随圆盘一起做匀速圆周运 动。小物体与圆盘之间的动摩擦因数 ，两者之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 取 。求： （1）小物体随圆盘匀速转动时所需向心力的大小 ； （2）要使小物体在圆盘上不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值 ； （3）若圆盘由静止开始转动，逐渐增大圆盘的角速度，小物体从圆盘的边缘飞出，经过 落地，落地点 距飞出点在地面投影点的距离为 。在此过程中，摩擦力对小物体所做的功W。 【模型演练3】（2023·江西九江·统考三模）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着质量相 等的两个物体A和B，通过细线相连，B放在转轴的圆心上，它们与圆盘间的动摩擦因数相同（最大静摩 擦力等于滑动摩擦力）。现逐渐增大圆盘的转速，当圆盘转速增加到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则 （ ） A．物体A沿半径方向滑离圆盘 B．物体A沿切线方向滑离圆盘 C．物体A仍随圆盘一起做圆周运动 D．物体A受到的摩擦力大小不变 【模型演练4】．（2023·新疆·统考三模）如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细 线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为 和 ，两物体与盘间的动 摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让 转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与 的大小关系 173图像如图乙所示，下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练5】．（2023·河北邯郸·高三校联考阶段练习）如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆 盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动且无相对滑动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为 ，两圆盘和小物 体A、B之间的动摩擦因数相同，A、B的质量分别为m、m，A距O点为2r，B距O′点为r，当甲缓慢转 1 2 动起来且转速慢慢增加时（ ） A．A与B都没有相对圆盘滑动时，角速度之比ω:ω=3:1 1 2 B．A与B都没有相对圆盘滑动时，向心加速度之比a:a=1:3 1 2 C．随转速慢慢增加，A先开始滑动 D．随转速慢慢增加，B先开始滑动 【模型演练6】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接， 放置在水平转台上， ， ，绳长l=1.5m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加 速转动（任意一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取 。以下分析正确的是（ ） 174A．当 时，绳子张力等于0.9N B．当 时，A、B开始在转台上滑动 C．当 时，A受到摩擦力为0 D．当 时，绳子张力为1N 【模型演练7】．（2023·河南郑州·统考二模）原长为L，劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定一质量为m 的小铁块，另一端连接在竖直轴 上，小铁块放在水平圆盘上。若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放 在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为 。现将弹簧拉长到 后，使小铁块随圆盘绕中心 轴 以不同角速度转动。下列会使铁块相对圆盘发生滑动的角速度是（ ） A． B． C． D． 【模型演练8】．（2023春·安徽宣城·高三安徽省宣城市第二中学校考阶段练习）如图甲所示，质量相等 的物块A、B放在水平圆盘上，A、B和圆盘圆心O在同一直线上，让圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动， 当A刚要滑动时，转动的角速度为 ，当B刚要滑动时，转动的角速度为 ，若A、B在圆盘上的位置不 变，用细线将A、B连接，细线刚好伸直，如图乙所示，让圆盘匀速转动，当A、B一起刚要滑动时，转 动的角速度为 ，两物块与盘面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列关系正确的 是（ ） 175A． > > B． < < C． < D． < 【模型演练9】．（2023·山东·高三专题练习）如图，质量分别为m、2m、3m的物块a、b、c，放置在水 平圆盘上随圆盘一起以角速度 匀速转动，其中物块a、b叠放在一起。图中各接触面间的动摩擦因数均 为 ，a、b和c与转轴的距离分别为r和1.5r。下列说法正确的是（ ） A．b对a的摩擦力为 B．圆盘对b的摩擦力为 C．圆盘的角速度满足 D．圆盘的角速度满足 专题 09 竖直面内的圆周运动模型 一．一般圆周运动的动力学分析 如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则 由牛顿第二定律，有： 176F τ F n v F ，a 改变速度v的大小 τ ，a 改变速度v的方向， n 作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分 作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。 F τ F n v F ，a 改变速度v的大小 τ ，a 改变速度v的方向， ，ρ为曲率圆半径。 n 二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析 轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑） 常见 类型 由mg＝m得v ＝ 由小球能运动即可得v ＝0 临 临 过最高点的临 界条件 √5gr √4gr 对应最低点速度v ≥ 对应最低点速度v ≥ 低 低 绳不松不脱轨 √5gr √2gr 不脱轨 条件 v 低 ≥ 或v 低 ≤ F -mg =mv 2/r F -mg =mv 2/r 低 低 低 低 最低点弹力 F =mg+mv 2/r，向上拉力 F =mg+mv 2/r，向上拉力 低 低 低 低 (1)当v＝0时，F ＝mg，F 为向上支持力 N N (2)当0＜v＜时，－F ＋mg＝m，F 向上支持 过最高点时，v≥，F ＋mg＝m，绳、轨 N N N 力，随v的增大而减小 最高点弹力 道对球产生弹力F N ＝m-mg (3)当v＝时，F ＝0 向下压力 N (4)当v＞时，F ＋mg＝m，F 为向下压力并随 N N v的增大而增大 在最高 点的F N 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 177三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点 记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为 要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由 可得 ① 对应C点的速度有机械能守恒 得 ② 当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒 得 ③ 小结：(1).当 时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力 由牛顿第二定律 ④ (2).当 时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0 由牛顿第二定律 。⑤ (3).当 时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛 运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0 在DA段射重力与半径方向的夹角为 则 、 (4).当 时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上 升的最高点为C永不脱离轨道 【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力 178(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得 ⑥ (2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得 ⑦ (3)从A点以初速度 释放小球到达最低点 由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得 ⑧ 【模型演练1】（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a 轨道由金属凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端 的正上方分别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用 和 表示，两小球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ） A．若 ，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点 B．若 ，两小球沿轨道上升的最大高度均为R 179C．适当调整 和 ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出， 的最小值为 ，B小球在 的任何高度释放均可 【模型演练2】．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，另一端 系有质量为 的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为 的 点由静止释放，运动到 点的 正下方时绳断开，小球做平抛运动，已知 点离地高度为 ，绳长为 ，重力加速度大小为 ，不计空气 阻力，下列说法正确的是（ ） A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态 C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为 D．若夹角 不变，当 时，落点距起点的水平距离最远 【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、 静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B 点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出， 脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ） A．可以到达半圆轨道最高点D B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s 【模型演练4】．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图甲所示，若有人在某星球上用一轻质绳拴 180着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时速度大小为v， 绳对小球的拉力为T，其 图像如图乙所示，则下列选项正确的是（ ） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当 时，轻质绳的拉力大小为 D．只要 ，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a 【模型演练5】．（2023春·山东济南·高三统考阶段练习）如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另 一端固定一小球（可看成质点），现使小球在最低点获得 的水平初速度，取重力加速度为g，在 此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ） A．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为 B．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为 C．小球第一次运动到最高点时与O点的高度差为 D．小球第一次运动到最高点时与O点的高度差为 【模型演练6】．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动， 181管道半径为R，小球直径略小于管径（管径远小于R），则下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过最高点时的最小速度v ＝0 min C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一轻绳系一小球竖直悬挂在O点，现保持绳处 于拉直状态，将小球拉至与O等高的A点，由静止自由释放小球。球运动过程中经过C点时，绳与竖直方 向的夹角为 ，以下判断正确的是（ ） A．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0 B．小球运动至C点时，其加速度大小为 C．小球运动至C点时，轻绳对小球的拉力大小 D．若小球经过C点时重力功率最大，则 【模型演练8】．（2023·高三课时练习）如图所示，轻绳的上端系于天花板上的O点，下端系有一只小球。 将小球拉离平衡位置一个角度后无初速释放。当绳摆到竖直位置时，与钉在O点正下方P的钉子相碰。在 绳与钉子相碰瞬间，以下判断正确的是（ ） 182A．小球的线速度突然增大 B．小球的角速度突然增大 C．小球的向心加速度突然减小 D．小球所受拉力突然增大 【模型演练9】．（2023·湖北·模拟预测）有一种被称为“魔力陀螺”的玩具如图甲所示，陀螺可在圆轨道 外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所 示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为 ，A、 两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道 外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心 且大小恒为 ，当质点以速率 通 过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为 ，重力加速度为 ，则 （） A．强磁性引力的大小 B．质点在 点对轨道的压力小于在 点对轨道的压力 C．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、 两点的压力差恒为 D．若强磁性引力大小为 ,为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过 点的最大速率为 【模型演练10】．（2023·湖南·模拟预测）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动， 如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为 ，小球的速度大小为v，其 图像如 图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ） 183A．小球的质量为 B．圆形管道内侧壁半径为 C．当 时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为 D．小球在最低点的最小速度为 【模型演练11】（2023·福建·模拟预测）如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道 ，半径为 ，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到 的过程中， 其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点 受到轨道的作用力为 ，空气阻力不计， 点为 轨道中点，重力加速度 取 ，下列说法错误的是（ ） A．最高点时小球所受的合外力竖直向下 B．图2中 C．小球在B点受到轨道作用力为 D．小球质量为 【模型演练12】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 的小球，在竖直 184平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为 ，小球在最高点的速度大 小为 ，其 图像如图乙所示，则（ ） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当 时，轻质绳的拉力大小为 D．只要 ，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为 【模型演练13】．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静 止。现在给小球一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为 g，则下列判断正确的是（ ） A．小球在最高点的速度可以等于0 B．小球获得的初速度大小为 C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心 D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg 【模型演练14】（2023春·重庆·高三统考阶段练习）如图所示，半径为R的光滑细圆管用轻杆固定在竖直 平面内。某时刻，质量为1kg、直径略小于细圆管内径的小球A（可视为质点）从细管最高点静止释放， 当小球A和细圆管轨道圆心连线与竖直方向夹角为37°时，小球对轨道的压力大小为（ ）（ ） 185A．38N B．40N C．42N D．44N 【模型演练15】．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形 轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、 D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时物体M保持静止，关于物体M对地面的压力N和地面对物体 的摩擦力，下列说法正确的是（ ） A．滑块运动到A点时， ，M与地面无摩擦力 B．滑块运动到B点时， ，物体所受摩擦力方向向右 C．滑块运动到C点时， ，M与地面无摩擦力 D．滑块运动到D点时， ，物体所受摩擦力方向向左 【模型演练16】（2023·四川成都·统考三模）某同学用图（a）所示装置探究竖直面内的圆周运动。固定在 同一竖直面的轨道由三部分构成，直轨道 与圆轨道 在 端相切，最低点 处有压力传感器，圆 轨道 的 端与 等高且两端的切线均竖直， ，两圆轨道的半径相同、圆心等高。将 一小球从轨道 上不同位置静止释放，测出各次压力传感器的示数 ，得到 与释放点到 点的高度 的关系图像如图（b）。小球可视为质点且恰好能自由通过D、E端口，不计摩擦力和空气阻力，重力加速 度 。 （1）求小球的质量 和两圆轨道的半径 ； 186（2）要让小球沿圆轨道通过 点，求释放点的高度 满足的条件。 【模型演练17】（2023·河北·校联考三模）如图所示，半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，一小球 （可看成质点）静止在轨道的最低点，现使小球在最低点获得 的水平初速度，重力加速度为g， 在此后的运动过程中，求： （1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直向上方向夹角的余弦值； （2）小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差。 【模型演练18】．（2023·上海·高三专题练习）如图所示，AB段是长s=2.5m 的粗糙水平轨道，BC段是半 径R=0.5m的光滑半圆弧轨道，半圆弧轨道在B处与AB相切，且处于竖直面内。质量m=0.1kg的小滑块， 受水平恒力F的作用由A点从静止开始运动，到达B点时撤去力F。已知小滑块与AB间的动摩擦因数为 0.25，设小滑块在AB上所受最大静摩力的大小即为滑动摩擦力的大小，g取10m/s2。 （1）为使小滑块能到达C点，小滑块在B点时的速度至少为多大？ （2）为使小滑块能做沿圆弧轨道返回的运动，F的取值范围是什么？ （3）第（2）问的条件下，小滑块是否有可能返回到A点？试分析说明理由。 187【模型演练19】．（2022·全国·高三专题练习）物体做圆周运动时所需的向心力F 由物体运动情况决定， 需 合力提供的向心力F 由物体受力情况决定。若某时刻F ＝F ，则物体能做圆周运动；若F >F ，物体 供 需 供 需 供 将做离心运动；若F mg，且速度v越大，F 越 N N （3）当0≤v≤ 时，0≤F ≤mg，且速度v越大，F 越小； 大。 N N （4）当v> 时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运 动，即所谓的“飞车”。 【模型演练21】（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧 段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等 于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是 0 （ ） A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 189B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变 C．小球的初速度 D．若小球初速度v 增大，小球有可能从B点脱离轨道 0 【模型演练22】（2023·全国·高三专题练习）在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点） 以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半 径为 ，重力加速度为 ，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ） A．小球从A点出发的速度大小 B．小球经过B点时的速度大小 C．小球经过B点时速度变化率大小为 D．小球落在C点时的速度方向竖直向下 【模型演练23】．（2023秋·辽宁盘锦·高三辽河油田第二高级中学校考期末）如图所示，上表面光滑，半 径为 的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度 ，重 力加速度 取 ，下列说法正确的是（ ） A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来 B．小物块落地时水平位移大小为 C．小物块落地速度大小为 D．小物块落地时速度方向与水平地面成 角 【模型演练24】(2023·湖北荆州市高三上学期质量检测)一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又 190以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力 F 为车重 N1 的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F ，则F 与F 之比为( ) N2 N1 N2 A．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2 【模型演练25】(2023·安徽合肥市第二次质检)如图，在一固定在水平地面上A点的半径为R的球体顶端放 一质量为m的物块，现给物块一水平初速度v，则( ) 0 A．若v＝，则物块落地点距离A点为 R 0 B．若球面是粗糙的，当v<时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面 0 C．若v<，则物块落地点离A点为R 0 D．若v≥，则物块落地点离A点至少为2R 0 专题 10 碰撞与类碰撞模型 191【模型一】弹性碰撞模型 1． 弹性碰撞 发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m 和m，碰前速度为v， 1 2 1 v，碰后速度分别为vˊ，vˊ，则有： 2 1 2 mv+m v=m vˊ+m vˊ (1) 1 1 2 2 1 1 2 2 v 1 v 2 v 1 ˊ v 2 ˊ     m m 1 2     mv2+ mv2= mvˊ2+ mvˊ 2 (2) 1 1 2 2 1 1 2 2 联立（1）、（2）解得： m v +m v m v +m v 2 1 1 2 2 −v 2 1 1 2 2 −v m +m 1 m +m 2 1 2 1 2 vˊ= ，vˊ= . 1 2 特殊情况： 若m=m ，vˊ= v ，vˊ= v . 1 2 1 2 2 1 2． “动静相碰型”弹性碰撞的结论 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m 、速度为v 的小球与质量为m 的静止小 1 1 2 球发生正面弹性碰撞为例，则有 mv＝mv′＋mv′ 1 1 1 1 2 2 mv＝mv′2＋mv′2 1 1 1 2 2 解得：v′＝，v′＝ 1 2 结论：(1)当m＝m 时，v′＝0，v′＝v(质量相等，速度交换) 1 2 1 2 1 (2)当m＞m 时，v′＞0，v′＞0，且v′＞v′(大碰小，一起跑) 1 2 1 2 2 1 (3)当m＜m 时，v′＜0，v′＞0(小碰大，要反弹) 1 2 1 2 (4)当m≫m 时，v′＝v，v′＝2v(极大碰极小，大不变，小加倍) 1 2 1 0 2 1 (5)当m≪m 时，v′＝－v，v′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变) 1 2 1 1 2 【模型演练1】.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，用不可伸长的轻绳将质量为 的小球悬挂在O点， 绳长 ，轻绳处于水平拉直状态。现将小球由静止释放，下摆至最低点与静止在A点的小物块发生 碰撞，碰后小球向左摆的最大高度 ，小物块沿水平地面滑到B点停止运动。已知小物块质量为 ，小物块与水平地面间的动摩擦因数 ，A点到B点的距离 ，重力加速度 ， 192则下列说法正确的是（ ） A．小球与小物块质量之比 B．小球与小物块碰后小物块速率 C．小球与小物块碰撞是弹性碰撞 D．小球与小物块碰撞过程中有机械能损失 【模型演练2】（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）如图为“子母球”表演的示意图，弹性小 球A和B叠放在一起，从距地面高度为h处自由落下，h远大于两小球直径，小球B的质量是A质量的3 倍。假设所有的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖直方向，不考虑空气阻力，则下列判断中错误的是（ ） A．下落过程中两个小球之间没有相互作用力 B．A与B第一次碰后小球B的速度为零 C．A与B第一次碰后小球A弹起的最大高度是2h D．A与B第一次碰后小球A弹起的最大高度是4h 【模型演练3】（2023·天津·模拟预测）保龄球运动既可以锻炼身体，又可以缓解心理压力，而且老少咸宜， 广受大众的喜爱。某同学设想了如下过程来模拟一次保龄球的投掷、运行、撞击的训练过程．如图所示， 将一质量为 的保龄球从A点开始由静止向前掷出，球沿曲线运动，脱手后，在B点以 的速度切入水平球道。球做直线运动经 时间后在C点与质量为 的球瓶发生正碰。已知在A点 193时保龄球的下沿距离球道表面的高度为 ，保龄球在球道上运动时受到的阻力恒为重力的 倍， g取 ，忽略空气阻力，忽略保龄球的滚动，球与球瓶的碰撞时间极短，碰撞中没有能量损失，球与 球瓶均可看成质点。求： （1）运动员在掷球过程中对保龄球做的功 ； （2）在撞上球瓶前的瞬间，保龄球的速度 的大小； （3）碰撞后，球瓶的速度 的大小。 【模型演练4】．（2023春·北京海淀·高三统考阶段练习）质量为m 的A球从高度为H处由静止开始沿曲 1 面下滑，与静止在水平面上质量为m 的B球发生正碰，两球大小相同，碰撞时间极短，碰撞过程中没有动 2 能损失。不计一切摩擦，重力加速度为g。 （1）根据动能定理和重力做功与重力势能的关系，证明A球沿曲面下滑过程机械能守恒； （2）两球发生第一次碰撞后各自的速度大小v 、v ； A B （3）为了能发生第二次碰撞，两球质量m、m 间应满足什么条件？ 1 2 【模型演练5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，半径为 的光滑半圆弧轨道固定在竖直面 内，水平面与圆弧轨道最低点A相切，AB垂直水平面。质量为 的物块a放在水平面上的P点，质量 为 的物块b放在水平面上的Q点， ， ，C为PQ的中点，给物块b一个水平向右的恒 定推力，当物块通过C点后的某位置撤去恒力，此后物块b与a发生弹性碰撞，a进入圆弧轨道后从B点 飞出，恰好落在Q点，两物块大小不计，与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取 ，求（结 果可带分式或根号）： （1）b与a碰撞后一瞬间，物块a的速度大小； （2）作用在物块b上推力的大小范围。 194【模型演练6】．（2023·四川·模拟预测）如图，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小 滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速度释放，A与B发生弹性碰撞。已知A 的质量m =2kg，B的质量m =1kg，圆弧轨道的半径R=0.8m，圆弧轨道光滑，A和B与桌面之间的动摩擦 A B 因数均为μ=0.4，取重力加速度g=10m/s2。求： （1） A滑到圆弧轨道正中间位置时对轨道的压力大小； （2）碰撞后瞬间A和B的速度大小； （3）最终A和B静止时的距离L。 【模型演练7】．（2023·黑龙江大庆·高三铁人中学阶段练习）如图所示，一足够长的光滑斜面固定在水平 地面上，斜面倾角为 ，斜面底端固定一垂直于斜面的挡板P，将小物块A、B（可视为质点）从斜面上距 离挡板P为 和 （ ）的位置同时由静止释放，已知小物块A、B的质量分别为m、2m，重力加速度 大小为g，所有碰撞均为弹性碰撞，忽略碰撞时间和空气阻力。求： （1）B第一次与挡板碰撞时A的速度大小； （2）B在第一次上升过程中就能与A相碰，求 的取值范围； （3）在（2）情形下，要使A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求 应满足的条件。 【模型演练8】．（2023·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）如图所示，可视为质点的小球 A、B在同一竖直线上间距 ，小球B距地面的高度 ，两小球在外力的作用下处于静止状态。 195现同时由静止释放小球A、B，小球B与地面发生碰撞后反弹，之后小球A与B发生碰撞。已知小球A的 质量 ，小球B的质量 ，重力加速度 ，所有的碰撞均无机械能损失，不计 碰撞时间。求： （1）从释放小球A、B到两球第一次相撞所经过的时间； （2）小球A第一次上升到最大高度时到地面的距离。 【模型演练9】．（2023·辽宁丹东·高三东港市第一中学阶段练习）如图所示，质量分别为m 、m 的两个 A B 弹性小球A、B静止在地面上方，B球距地面的高度h=1.8 m，A球在B球的正上方，距地面的高度H=4.2 m。同时将两球释放，经过一段时间后两球发生第一次弹性正撞。所有碰撞时间忽略不计，已知m =3m ， B A 重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力和球的大小及所有碰撞中的动能损失。求： （1）第一次碰撞点距地面的高度； （2）第一次碰后A球上升的最大距离。 【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型 1.非弹性碰撞 介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。 根据动量守恒定律可得：mv+m v=m vˊ+m vˊ (1) 1 1 2 2 1 1 2 2 196    损失动能ΔE 根据机械能守恒定律可得： ½mv2+ ½ mv2= mvˊ2+ mvˊ 2 + ΔE. (2) k， 1 1 2 2 1 1 2 2 k 2． 完全非弹性碰撞 碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得： v 1 v 2 v 共 m 1 v 1 +m 2 v 2 =(m 1 +m 2 )v 共 （1） m 1 m 2 完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能： ΔE= ½mv2+ ½ mv2- ½(m +m )v 2. （2） k 1 1 2 2 1 2 共 m v +m v 1 m m 1 1 2 2 1 2 (v −v ) 2 m +m 2 m +m 1 2 1 2 1 2 联立（1）、（2）解得：v = ；ΔE= 共 k 【模型演练1】(2020·全国三卷15题)甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与 乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为1 kg，则碰撞过程两 物块损失的机械能为( ) A．3 J B．4 J C．5 J D．6 J 【模型演练2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）一般情况下，竖直下落的球形雨滴其收尾速度与雨滴的半 径成正比。某下雨天，无风时，半径分别为 、 的球形雨滴在同一竖直线上匀速下落，下落过程 中两雨滴迅速融合为一雨滴。已知半径为 的雨滴匀速下落时的速度大小为v，动能为 ，设两雨滴刚 融合为一雨滴时的速度大小为 ，两雨滴融合过程中损失的动能为 ，则（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023·江苏南京·高三金陵中学阶段练习）a、b两个物体以相同的动能E沿光滑水平面上 的同一条直线相向运动，a物体质量是b物体质量的4倍。它们发生碰撞过程中，a、b两个物体组成的系 统的动能损失不可能是（ ） 197A．1.85E B．1.65E C．1.25E D．0 【模型演练4】．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校阶段练习）冰壶比赛是2022年北京冬 奥会的比赛项目。蓝壶（实心圆）以动能 碰撞静止的红壶（与蓝壶材料相同，质量相等）（空心圆）， 某兴趣小组将碰撞前后两壶的位置标记如图所示，A、B分别为碰前瞬间蓝壶、红壶所在位置，C、D分别 为碰撞后蓝壶、红壶停止的位置。则由图可得碰撞过程中损失的动能约为（ ） A．0 B． C． D． 【模型演练5】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在距水平地面高h=0. 80m的水平桌面右端的边缘 放置一个质量m=1.60kg的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0kg的木块A，以v=4.0m/s的初速度向木块 0 B滑动，经过时间t=0.80s与B发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B离开桌面后落到水平地面 上的D点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D点到桌面边缘的水平距离x=0.60m，木 块A与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度g取10m/s2，求： （1）两木块碰撞前瞬间木块A的速度大小v ； A （2）木块B离开桌面时的速度大小v ； B （3）碰撞过程中损失的机械能ΔE。 【模型演练6】．（2023·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）如图所示，动摩擦因数为μ 的粗糙的水平轨道AC右端与一光滑竖直半圆轨道相连，半圆轨道半径为R，半圆轨道最低点为C，最高点 为D。在半圆轨道最低点放置小物块N，在水平轨道左端A点放置小物块M，两物块的质量均为m，AC间 距离为L。现对物块M施加水平外力使其向右运动，拉力的功率恒为P，拉力作用一段时间撤掉（此时物 块还没到C点），M、N两物块碰撞后合为一个整体，沿圆弧运动到D点时对轨道的压力恰好等于整体重 力。M、N都视为质点。重力加速度为g，求： （1）两物块碰撞前后损失的机械能 。 198（2）拉力作用的时间t。 【模型演练7】（2023·广东茂名·统考模拟预测）在交通事故现场勘查中，刹车痕迹是事故责任认定的一项 重要依据。在平直的公路上，一辆汽车正以108km/h的速度匀速行驶，司机突然发现正前方不远处一辆货 车正以36km/h的速度匀速行驶，汽车司机立即刹车以8 的加速度做匀减速运动，结果还是撞上了货车， 撞后瞬间两车速度相等。撞后汽车立即以7.5 的加速度做减速运动直至停下来，汽车从开始刹车到最 终停止运动，整个过程在地上留下的刹车痕迹长46.25m；撞后货车也立即以2.5 的加速度向前减速运 动，滑行45m后停下。已知货车质量为1.6t，两车碰撞时间极短可忽略不计，求： （1）碰撞后瞬间货车的速度大小； （2）汽车的司机发现货车时，两车之间的距离； （3）两车碰撞过程中损失的机械能。 【模型三】碰撞模型三原则 (1)动量守恒：即p＋p＝p′＋p′. 1 2 1 2 (2)动能不增加：即E ＋E ≥E ′＋E ′或＋≥＋. k1 k2 k1 k2 (3)速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v >v ，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动， 后 前 则应有v ′≥v ′。 前 后 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 【其它方法①】临界法 弹性碰撞没有动能损失，完全非弹性碰撞动能损失最多，计算出这两种情况下的临界速度，那么其他碰撞 应该介于二者之间。 [来源:学科网ZXXK] 【模型演练1】（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图所示，质量为m的A球以速度v 在光滑水 0 199平面上运动，与原来静止的质量为4m的B球碰撞，碰撞后A球以v=av （待定系数a<1）的速率弹回，并 0 与挡板P发生完全弹性碰撞，若要使A球能追上B球再次相撞，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． >m 一般情况下 ，所以s<Q （若内壁光滑Q =Q=0） 1 2 1 2 【模型演练1】（2023·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期中）光滑半圆形曲面B静止于光滑地面 上，物块C固定于地面，现将小球A从曲面最右端由静止释放，当小球A滑至曲面最底端时，曲面B恰好 与C粘连。已知A与B的质量都为m，B曲面半径为R，重力加速度为g，则（ ） A．最初时B右侧与C的间距为R B．B与C粘连时A的速度大小为 C．此后A能运动到的最高点距离地面 D．此后A运动到最高点时，B受到A的压力大小为0 【模型演练2】．（2023·高三课时练习）如图所示，小车静止在光滑水平面上， 是小车内半圆弧轨道 的水平直径，现将一质量为 的小球从距A点正上方R处由静止释放，小球由A点沿切线方向进入半圆轨 道，已知半圆弧半径为 ，小车质量是小球质量的k倍，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（ ） 223A．小球运动到小车的 点位置时，车与小球的速度相同 B．小球从小车A位置运动到B位置过程中，小车对小球先做负功后做正功 C．小球从小车的B点冲出后可上升到释放的初始高度，并能从小车A点冲出到达释放的初始位置（相对 于地） D．小球从开始下落至到达圆弧轨道的最低点过程，小车的位移大小为 【模型演练3】(2023·四川遂宁市三诊)如图所示，质量为 的工件带有半径 的光滑 圆 弧轨道，静止在光滑水平地面上，B为轨道的最低点，B点距地面高度 。质量为 的物 块（可视为质点）从圆弧最高点A由静止释放，经B点后滑离工件，取 。求： (1)物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力； (2)物块落地时距工件初始静止时右端位置的水平距离。 【模型演练4】（2023·广东省华附省实广雅深中四校高三上学期1月期末）如图所示，将一光滑的质量为 4m半径为 R 的半圆槽置于光滑水平面上，在槽的左侧紧挨有一个质量为m的物块，今让一质量也为 m 的小球自左侧槽口A 的正上方高 R 处从静止开始落下，与半圆槽相切自 A 点进入槽内，则以下结论中 正确的是（ ） 224A．小球在半圆槽内第一次到最低点 B 的运动过程中，槽的支持力对小球不做功 B．小球第一次运动到半圆槽的最低点 B 时，小球与槽的速度大小之比为 4:1 C．小球第一次从C点滑出后将做竖直上抛运动 D．物块最终的动能为 【模型演练5】（2023春·江苏镇江·高三校考阶段练习）如图，一质量为2m、半径为R的四分之一光滑圆 弧槽，放在光滑的水平面上，底端B点切线水平，有一质量为m、可视为质点的小球由槽顶端A点静止释 放．不计空气阻力，在小球下滑至槽底端B点的过程中，下列说法正确的是（ ） A．若圆弧槽不固定，小球和槽组成的系统动量守恒 B．若圆弧槽不固定，小球水平方向的位移大小为 C．圆弧槽固定和不固定两种情形下，小球滑到B点时的速度之比为 D．圆弧槽固定和不固定两种情形下，圆弧槽对地面的最大压力之比为 【模型演练6】（2023秋·山东聊城·高三校考期末）如图所示，在光滑水平面上放置一个质量为m的滑块， 滑块的一侧是一个 弧形槽，槽半径为R，A点切线水平，B为最高点，C是AB间某位置。另有一个质量 也为m的小球以速度v 从A点冲上滑块，重力加速度大小为g，不计摩擦和阻力，下列说法中正确的是（ 0 ） 225A．当 时，小球刚好到达B点 B．当 时，小球在弧形凹槽上运动的过程中，滑块的动能先增大再减小 C．小球回到斜槽底部离开A点后做自由落体运动 D．小球回到斜槽底部离开A点后可能做平抛运动 【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图质量为 的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上， 其水平直径 长度为 ，现将质量也为 的小球从距A点正上方 高处由静止释放，然后由A点经过半 圆轨道后从B点冲出，在空中能上升到距 点所在水平线的最大高度为 处（不计空气阻力，小球可视 为质点），则（ ） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小球离开小车后做斜上抛运动 C．小车向左运动的最大距离为 D．小球第二次在空中能上升到距B点所在水平线的最大高度大于 【模型演练8】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图所示，质量为M、半径为R的光滑 半圆形曲面放置在光滑水平地面上，其直径AB水平。某时刻一质量为m的小球从距曲面最左端A点的正 上方高h处自由下落，不计空气阻力，重力加速度为g。求： 226（1）小球第一次运动到最低点时速度的大小； （2）半圆形曲面在水平面上的最大位移。 【模型演练9】．（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，在水平地面上方固定一足够长水平直 杆，质量为M=3m的滑块套在直杆上，长为H的轻绳一端固定在滑块底部O点，另一端连接质量为m的小 球。O点到地面的高度为2H。现将小球拉至与O点等高处，轻绳伸直后由静止释放。不计小球与滑块所 受到的空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）若滑块固定，求轻绳转动30°时重力的瞬时功率P： （2）若滑块与杆之间无摩擦，小球摆到最低点时，剪断轻绳，求小球落地时与滑块的距离s； （3）若滑块不固定，小球运动的过程中，滑块始终静止，求滑块与杆之间的动摩擦因数的最小值μ。 【模型演练10】．（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在光滑水平面上有一个质量为m = 5kg带有 A 光滑半圆凹槽的物块A，凹槽的半径R = 1m，凹槽底部到平台的厚度忽略不计，在凹槽A的右侧有一质 量为m = 3kg的物块B。开始时，A、B紧靠在一起（未粘连）处于静止状态。若锁定凹槽A，将质量为 B m = 2kg的小球C从高h = 4m处由静止释放，小球C从圆弧面的D点沿切线进入凹槽。若解除凹槽A的 C 锁定，从同一位置释放小球C，小球C在凹槽中运动一段时间后物块B与凹槽A分离，然后物块B向右运 动一段距离与右侧竖直墙发生弹性碰撞，返回时刚好在小球第9次经过凹槽A最低点F时与凹槽A发生弹 性碰撞，重力加速度取g = 10m/s2，不计空气阻力，小球C可看成质点。 （1）求凹槽A锁定时，小球C运动到F点时，对凹槽A的压力大小； （2）在解除凹槽A的锁定情况下，求： ①物块B与凹槽A第一次分离时，小球C的速度大小； 227②小球C第一次冲出凹槽A后直到最高点过程的水平位移大小； ③通过计算判断凹槽A与物块B发生弹性碰撞后，小球C还能否冲出凹槽。 【模型演练11】．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）如图所示，质量均为m的木块A和 B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为l的细线，细线另一端系一质 量也为m的球C。现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球。 （1）若木块B固定在水平面上，求球C上升阶段能达到的最大高度； （2）若木块B固定在水平面上，求木块A能达到的最大速度大小； （3）若木块B不固定，求球C上升阶段能达到的最大高度。 【模型演练12】．（2023春·陕西宝鸡·高三校联考阶段练习）如图所示，两个完全相同的四分之一圆弧槽 A、B并排放在水平面上，圆弧槽半径均为R，内外表面均光滑，质量均为m，a、b两点分别为A、B槽的 最高点，c、d两点分别为A、B槽的最低点，A槽的左端紧靠着竖直墙壁，一个质量也为m的小球P（可 视为质点）从a点由静止释放，重力加速度为g。求： （1）小球P在B槽内运动的最大高度； （2）B槽具有的最大速度。 228229