文档内容
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为
120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
1
锥体的体积V = Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
1．已知集合A={0,1,2,8}，B={-1,1,6,8}，那么A
I
B= ▲ ．
2．若复数z满足i×z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 ▲ ．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平
均数为 ▲ ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ▲ ．
第1页 | 共16页5．函数 f(x)= log x-1的定义域为 ▲ ．
2
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生
的概率为
▲ ．
p p p
7．已知函数y=sin(2x+j)(- 0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐
a2 b2
3
近线的距离为 c，则其离心率的值是 ▲ ．
2
ì px
cos ,012a 成立
n n n n n+1
的n的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体ABCD-ABCD 中，AA = AB,AB ^BC ．
1 1 1 1 1 1 1 1
求证：（1）AB∥平面ABC；
1 1
（2）平面ABB A ^平面ABC．
1 1 1
16．（本小题满分14分）
4 5
已知a,b为锐角，tana= ，cos(a+b)=- ．
3 5
（1）求cos2a的值；
（2）求tan(a-b)的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点
）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田
上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为
△CDP，要求A,B均在线段MN 上，C,D均在圆弧上．设OC
与MN所成的角为q．
（1）用q分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinq
第3页 | 共16页的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面
积年产值之比为4:3．求当q为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16分）
1
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点( 3, )，焦点
2
F(- 3,0),F ( 3,0)，圆O的直径为FF ．
1 2 1 2
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
2 6
②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为 ，
7
求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记 f¢(x),g¢(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数．若存在x ÎR，满足 f(x )=g(x )且
0 0 0
f¢(x )=g¢(x )，则称x 为函数 f(x)与g(x)的一个“S点”．
0 0 0
（1）证明：函数 f(x)=x与g(x)=x2 +2x-2不存在“S点”；
（2）若函数 f(x)=ax2 -1与g(x)=lnx存在“S点”，求实数a的值；
bex
（3）已知函数 f(x)=-x2 +a，g(x)= ．对任意a>0，判断是否存在b>0，使函
x
数 f(x)与g(x)在区间(0,+¥)内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设{a }是首项为a ，公差为d的等差数列，{b }是首项为b ，公比为q的等比数列．
n 1 n 1
（1）设a =0,b =1,q=2，若|a -b |£b 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
1 1 n n 1
（2）若a =b >0,mÎN*,qÎ(1,m2]，证明：存在dÎR，使得|a -b |£b 对
1 1 n n 1
n=2,3, ,m+1均成立，并求d的取值范围（用b,m,q表示）．
L 1
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
第4页 | 共16页1．{1，8} 2．2 3．90 4．8
3 π
5．[2，+∞） 6． 7．- 8．2
10 6
2 4
9． 10． 11．–3 12．3
2 3
13．9 14．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象
能力和推理论证能力．满分14分．
证明：（1）在平行六面体ABCD-A B C D 中，AB∥A B ．
1 1 1 1 1 1
因为ABË平面A B C，A B Ì平面A B C，
1 1 1 1 1 1
所以AB∥平面A B C．
1 1
（2）在平行六面体ABCD-A B C D 中，四边形ABB A 为平行四边形．
1 1 1 1 1 1
又因为AA =AB，所以四边形ABB A 为菱形，
1 1 1
因此AB ⊥A B．
1 1
又因为AB ⊥B C ，BC∥B C ，
1 1 1 1 1
所以AB ⊥BC．
1
又因为A B∩BC=B，A BÌ平面A BC，BCÌ平面A BC，
1 1 1 1
所以AB ⊥平面A BC．
1 1
因为AB Ì平面ABB A ，
1 1 1
所以平面ABB A ⊥平面A BC．
1 1 1
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求
解能力．满分14分．
4 sina 4
解：（1）因为tana= ，tana= ，所以sina= cosa．
3 cosa 3
9
因为sin2a+cos2a=1，所以cos2a= ，
25
7
因此，cos2a=2cos2a-1=- ．
25
（2）因为a,b为锐角，所以a+bÎ(0,π)．
5 2 5
又因为cos(a+b)=- ，所以sin(a+b)= 1-cos2(a+b) = ，
5 5
因此tan(a+b)= -2．
第5页 | 共16页4 2tana 24
因为tana= ，所以tan2a= =- ，
3 1-tan2a 7
tan2a-tan(a+b) 2
因此，tan(a-b)= tan[2a-(a+b)]= =- ．
1+tan2atan(a+b) 11
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建
模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
1
△CDP的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
2
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
1 π
令∠GOK=θ ，则sinθ = ，θ ∈（0， ）．
0 0 0
4 6
π
当θ∈[θ ， ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
0
2
1
所以sinθ的取值范围是[ ，1）．
4
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[ ，1）．
4
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
π
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ ， ）．
0
2
π
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ ， ），
0
2
则 f′(q)=cos2q-sin2q-sinq=-(2sin2q+sinq-1)=-(2sinq-1)(sinq+1)．
π
令 f′(q)=0，得θ= ，
6
π
当θ∈（θ ， ）时， f′(q)>0，所以f（θ）为增函数；
0
6
π π
当θ∈（ ， ）时， f′(q)<0，所以f（θ）为减函数，
6 2
π
因此，当θ= 时，f（θ）取到最大值．
6
第6页 | 共16页π
答：当θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、
直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为F(- 3,0),F ( 3,0)，
1 2
x2 y2 1
可设椭圆C的方程为 + =1(a>b>0)．又点( 3, )在椭圆C上，
a2 b2 2
ì 3 1
ï + =1, ìïa2 =4,
所以ía2 4b2 ，解得í
ï îa2 -b2 =3, ïîb2 =1,
x2
因此，椭圆C的方程为 + y2 =1．
4
因为圆O的直径为FF ，所以其方程为x2 + y2 =3．
1 2
（2）①设直线l与圆O相切于P(x ,y )(x >0,y >0)，则x 2 + y 2 =3，
0 0 0 0 0 0
x x 3
所以直线l的方程为y=- 0 (x-x )+ y ，即y=- 0 x+ ．
y 0 0 y y
0 0 0
ìx2
ï + y2 =1,
ï 4
由í ，消去y，得
x 3
ïy=- 0 x+ ,
ï î y y
0 0
(4x 2 + y 2)x2 -24x x+36-4y 2 =0．（*）
0 0 0 0
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以D= (-24x )2 -4(4x 2 + y 2)(36-4y 2)=48y 2(x 2 -2)=0．
0 0 0 0 0 0
因为x ,y >0，所以x = 2,y =1．
0 0 0 0
因此，点P的坐标为( 2,1)．
2 6 1 2 6 4 2
②因为三角形OAB的面积为 ，所以 AB×OP= ，从而AB= ．
7 2 7 7
设A(x,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
24x ± 48y 2(x 2 -2)
由（*）得x = 0 0 0 ，
1,2 2(4x 2 + y 2)
0 0
所以AB2 =(x -x )2 +(y - y )2
1 2 1 2
第7页 | 共16页x 2 48y 2(x 2 -2)
=(1+ 0 )× 0 0 ．
y 2 (4x 2 + y 2)2
0 0 0
因为x 2 + y 2 =3，
0 0
16(x 2 -2) 32
所以AB2 = 0 = ，即2x 4 -45x 2 +100=0，
(x 2 +1)2 49 0 0
0
5 1 10 2
解得x 2 = (x 2 =20舍去），则y 2 = ，因此P的坐标为( , )．
0 2 0 0 2 2 2
综上，直线l的方程为y=- 5x+3 2．
19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解
决问题以及逻辑推理能力．满分16分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
ìx=x2 +2x-2
í ，此方程组无解，
î1=2x+2
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数 （f x）=ax2 -1，g(x)=lnx，
1
则 f（¢ x）=2ax，g（¢ x）= ．
x
设x 为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x ）=g（x ）且f′（x ）=g′（x ），得
0 0 0 0 0
ìax2 -1=lnx
ï 0 0 ìïax2 -1=lnx
í 1 ，即í 0 0 ，（*）
ï î 2ax 0 = x ïî2ax 0 2 =1
0
1 - 1 1 e
得lnx =- ，即x =e 2，则a= = ．
0 2 0 - 1 2
2(e 2)2
第8页 | 共16页e - 1
当a= 时，x =e 2满足方程组（*），即x 为f（x）与g（x）的“S”点．
2 0 0
e
因此，a的值为 ．
2
（3）对任意a>0，设h(x)=x3 -3x2 -ax+a．
因为h(0)=a>0，h(1)=1-3-a+a=-2<0，且h（x）的图象是不间断的，
2x3
所以存在x ∈（0，1），使得h(x )=0，令b= 0 ，则b>0．
0 0 ex0(1-x )
0
bex
函数 f(x)=-x2 +a ，g(x)= ，
x
bex(x-1)
则 f′(x)=-2x ，g′(x)= ．
x2
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
ì ï ï -x2 +a = be x x ì ï ï -x2 +a = ex0( 2 1 x - 0 3 x ) × e x x
í ，即í 0 （**）
ï
bex(x-1)
ï
2x3 ex(x-1)
-2x = -2x = 0 ×
ïî x2 ï î ex0(1-x ) x2
0
此时，x 满足方程组（**），即x 是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S
0 0
点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”
．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理
、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）由条件知：a = (n-1)d,b = 2n-1．
n n
因为|a -b |£b 对n=1，2，3，4均成立，
n n 1
即|(n - 1)d - 2n-1 |£1对n=1，2，3，4均成立，
7 5
即1 £ 1，1 £ d £ 3，3 £ 2d £ 5，7 £ 3d £ 9，得 £d£ ．
3 2
7 5
因此，d的取值范围为[ , ]．
3 2
（2）由条件知：a = b + (n -1)d,b = b qn-1．
n 1 n 1
若存在d，使得|a -b |£b （n=2，3，···，m+1）成立，
n n 1
第9页 | 共16页即 |b + (n-1)d -bqn-1 |£ b (n = 2,3, ,m +1)，
1 1 1 L
qn-1-2 qn-1
即当n=2,3,
L
,m+1时，d满足
n-1
b
1
£d £
n-1
b
1
．
因为qÎ(1,m2]，则1< qn-1 £ qm £ 2，
qn-1-2 qn-1
从而 b £0， b >0，对n=2,3, ,m+1均成立．
n-1 1 n-1 1 L
因此，取d=0时，|a
n
-b
n
|£b
1
对n=2,3,
L
,m+1均成立．
qn-1-2 qn-1
下面讨论数列{ }的最大值和数列{ }的最小值（n=2,3, ,m+1）．
L
n-1 n-1
qn -2 qn-1 -2 nqn -qn -nqn-1 +2 n(qn -qn-1)-qn +2
①当2£n£m时， - = = ，
n n-1 n(n-1) n(n-1)
1
当1 0．
qn-1-2
因此，当2£n£m+1时，数列{ }单调递增，
n-1
qn-1-2 qm-2
故数列{ }的最大值为 ．
n-1 m
②设 f (x) = 2x(1- x)，当x>0时， f¢(x) = (ln2-1- xln2)2x < 0 ，
所以 f(x)单调递减，从而 f(x)i ，则称(i ,i)是排列ii i 的一个逆序，排列ii i 的所有逆序的总个数称为其
s t s t 12L n 12L n
第11页 | 共16页逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231
的逆序数为2．记 f (k)为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
n
（1）求 f (2), f (2)的值；
3 4
（2）求 f (2)(n³5)的表达式(用n表示)．
n
第12页 | 共16页数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．
又因为PC=2 3，OC=2，
所以OP= PC2 +OC2 =4．
又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
é2 3ù
解：（1）因为A=
ê ú
，det(A)=2´2-1´3=1¹0，所以A可逆，
ë1 2û
é2 -3ù
从而A-1 = ．
ê ú
ë-1 2û
é2 3ùéxù é3ù éxù é3ù é3 ù
（2）设P(x，y)，则
ê úê ú
=
ê ú
，所以
ê ú
= A-1
ê ú
=
ê ú
，
ë1 2ûëyû ë1û ëyû ë1û ë-1û
因此，点P的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线C的极坐标方程为r=4cosq，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
π
因为直线l的极坐标方程为rsin( -q)=2，
6
π
则直线l过A（4，0），倾斜角为 ，
6
所以A为直线l与圆C的一个交点．
π
设另一个交点为B，则∠OAB= ．
6
π
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA= ，
2
第13页 | 共16页π
所以AB=4cos =2 3．
6
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2 3．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：由柯西不等式，得(x2 + y2 +z2)(12 +22 +22)³(x+2y+2z)2．
因为x+2y+2z=6，所以x2 + y2 +z2 ³4，
x y z 2 4 4
当且仅当 = = 时，不等式取等号，此时x= ，y= ，z= ，
1 2 2 3 3 3
所以x2 + y2 +z2的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运
用空间向量解决问题的能力．满分10分．
解：如图，在正三棱柱ABC−A B C 中，设AC，A C 的中点分别为O，O ，则OB⊥OC
1 1 1 1 1 1
uuur uuur uuuur
，OO ⊥OC，OO ⊥OB，以{OB,OC,OO}为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．
1 1 1
因为AB=AA =2，
1
所以A(0,-1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,2),B( 3,0,2),C (0,1,2)．
1 1 1
3 1
（1）因为P为A B 的中点，所以P( ,- ,2)，
1 1
2 2
uuur 3 1 uuuur
从而BP=(- ,- ,2),AC =(0,2,2)，
2 2 1
uuur uuuur
uuur uuuur |BP×AC | |-1+4| 3 10
故|cos BP,AC |= 1 = = ．
1 | u B u P ur |×| u A u C uur | 5´2 2 20
1
第14页 | 共16页3 10
因此，异面直线BP与AC 所成角的余弦值为 ．
1
20
3 1
（2）因为Q为BC的中点，所以Q( , ,0)，
2 2
uuur 3 3 uuuur uuuur
因此AQ=( , ,0)，AC =(0,2,2),CC =(0,0,2)．
2 2 1 1
设n=（x，y，z）为平面AQC 的一个法向量，
1
uuur ì 3 3
ì ïAQ×n=0, ï x+ y=0,
则íuuuur 即í 2 2
ïîAC
1
×n=0, ï
î2y+2z=0.
不妨取n=( 3,-1,1)，
设直线CC 与平面AQC 所成角为q，
1 1
uuuur
uuuur |CC ×n| 2 5
则sinq=|cos CC ,n |= 1 = = ，
1 |C uu C uur |×|n| 5´2 5
1
5
所以直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值为 ．
1 1
5
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论
证能力．满分10分．
解：（1）记t(abc)为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
t(123)=0，t(132)=1，t(213)=1，t(231)=2，t(312)=2，t(321)=3，
所以 f (0)=1，f (1)= f (2)=2．
3 3 3
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中
的位置只能是最后三个位置．
因此， f (2)= f (2)+ f (1)+ f (0)=5．
4 3 3 3
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以 f (0)=1 ．
n
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所
以 f (1)=n-1 ．
n
为计算 f (2)，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在
n+1
新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此， f (2)= f (2)+ f (1)+ f (0)= f (2)+n．
n+1 n n n n
第15页 | 共16页当n≥5时，
f (2)=[f (2)- f (2)]+[f (2)- f (2)]+… +[f (2)- f (2)]+ f (2)
n n n-1 n-1 n-2 5 4 4
n2 -n-2
=(n-1)+(n-2)+¼+4+ f (2)= ，
4 2
n2 -n-2
因此，n≥5时， f (2)= ．
n 2
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