文档内容
专题 11.2 与三角形有关角的几何综合
【典例1】【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．
【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①若∠ABC=28°，∠ADC=20°，求∠P的度数；
②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．
【问题探究】
（3）如图3，直线BP平分∠ABC的邻补角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，
①若∠A=30°，∠C=18°，则∠P的度数为___________；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．
【拓展延伸】
1 1
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B= y，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、
4 4
∠B之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示∠P）
（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠C、∠A的关系，
直接写出结论___________．【思路点拨】
（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；
（2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②由①的结论即可得到数量关系；
（3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②与（3）中①相同；
（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可
解决问题；
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可
解决问题．
【解题过程】
（1）解：如图1中，
∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）解：①如图2中，
设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD= y，
{x+∠B= y+∠P)
则有 ，
x+∠P= y+∠D
∴∠B−∠P=∠P−∠D，
∴2∠P=∠B+∠D，1 1
∴∠P= (∠B+∠D)= (28°+20°)=24°；
2 2
②由①得：2∠P=∠B+∠D；
（3）解：①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE= y，
{ ∠P+x=∠A+ y )
则有，
∠A+180°−2x=∠C+180°−2y
∴2∠P=∠A+∠C，
1
∴∠P= ×(30°+18°)=24°；
2
故答案为：24° ；
②设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE= y
{ ∠P+x=∠A+ y )
则有 ，
∠A+180−2x=∠C+180−2y
∴2∠P=∠A+∠C；
（4）解：如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，
{ ∠P+β=∠C+α )
则有 ，
∠P+3α=∠B+3β
∴4∠P=3∠C+∠B ，
1
∴∠P= (3x+ y)，
4
1
故答案为∠P= (3x+ y)；
4
（5）解：如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE= y则有∠A+2x=∠C+180°−2y，
1
∴x+ y=90°+ （∠C−∠A），
2
∵∠P+x+∠A+ y=180°，
∴x+ y=180°−∠P−∠A，
1 1
∴∠P=90°− ∠C− ∠A；
2 2
1 1
故答案为∠P=90°− ∠C− ∠A．
2 2
1．（2023春·全国·七年级专题练习）探究：
1
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+ ∠A．
2
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明
你的结论．
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．
【思路点拨】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：
（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据
补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.
【解题过程】
证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
1
∴∠PBC＝ ∠ABC，
2
1
∠PCB＝ ∠ACB，
2
1
∴∠PBC+∠PCB＝ （180°﹣∠A），
2
1 1
根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A；
2 2
1
（2） ∠A＝∠P，理由如下：
2
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
1 1
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCE＝ ∠ACE．
2 2
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，
∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，
1 1 1
∴ ∠ACP＝ ∠ABC+ ∠A，
2 2 2
1 1
∴ ∠ABC+ ∠A＝∠PBC+∠P，
2 2
1
∴ ∠A＝∠P．
2
1
（3）∠P＝90°﹣ ∠A，理由如下：
2
∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
1
＝180°﹣ （∠FBC+∠ECB）
2
1
＝180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
2
1
＝180°﹣ （∠A+180°）
21
＝90°﹣ ∠A．
2
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图（1）△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上
的两点，
研究（1）：如果沿直线DE折叠，写出∠BDA′与∠A的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论
∠BDA′=2∠A；
（2）根据图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′
+∠CEA′=2∠A；
（3）根据图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．
【解题过程】
解：（1）∠BDA′=2∠A；
根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，
∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，
∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，
理由：如图3，DA′交AC于点F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点.
（1）若∠A=40°，则∠BOC= °；
（2）若∠A=n°，则∠BOC= °；
（3）若∠A=n°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点，∠ABO的平分线与∠ACO的平分线交于点
O ，⋯⋯，∠O BD的平分线与∠O CE的平分线交于点O ，则∠O = °.
1 2016 2016 2017 2017
【思路点拨】
（1）根据角平分线的性质，结合三角形的内角和定理可得到角之间的关系，然后求解即可；
（2）根据BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，用n°的代数式表示出∠OBC与∠OCB的和，再根据三角形的内角和定理求出∠BOC的度数；
（3）根据规律直接计算即可.
【解题过程】
解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵点O是∠AB故答案为：110°；C与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=70°，
∴∠BOC=110°．
（2）∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，
∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB
2 2
1
＝ （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝ （180°﹣n°）
2
1
＝90°﹣ n°，
2
1
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ n°．
2
1
故答案为：（90+ n）；
2
1
（3）由（2）得∠O＝90°+ n°，
2
∵∠ABO的平分线与∠ACO的平分线交于点O，
1
3 3
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
1 4 1 4
3 3 1 3
∴∠O＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝ ×180°+ n°，
1 4 4 4 4
1 7
同理，∠O＝ ×180°+ n°，
2 8 8
1 2n+1−1
∴∠On＝ ×180°+ n°，
2n+1 2n+11 22018−1
∴∠O ＝ ×180°+ n°，
2017 22018 22018
1 22018−1
故答案为： ×90°+ n°．
22017 22018
4．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【思路点拨】
（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理
得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结
论．
【解题过程】
解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋
∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋
∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°
＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角
和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）在锐角ΔABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直
线的交点为P，∠BPC=110°，求∠A的度数．
（2）如图，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，
∠APC=100°，则∠B=_________．
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如下图：∠ADC=130°，∠APC=100°，求∠B的度
数．
【思路点拨】
（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；
（2）法一：根据∠APC=100°以及AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，算出∠BAD和∠BCD,从而算
出∠B；
法二：根据三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解；
（3）法一：连接AC，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出∠2+∠4=30°，
∠BAC+∠BCA=110°，故可求解；
法二：连接BD并延长到G根据三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故
可求解．
【解题过程】
解：（1）如图AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P∴∠BDA=∠CEA=90°
又∵∠BPC=110°
∴∠EPD=∠BPC=110°
∵在四边形AEPD中，内角和为360°
∴∠A=360°-110°-90°-90°=70°．
（2）法一：∵AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD
∴∠BAP=∠FAC,∠BCE=∠ACE
又∵∠APC=100°
∴∠FAC+∠ACE=180°−100°=80°
∴∠BAC+∠BCA=160°
∴∠B=180°-160°=20°．
法二：连接BD，
∵B、P、D三点共线
∴BD、AF、CE交于P点
∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB
∵AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，
∵∠APC＝100°，
∴∠PAC＋∠PCA＝180°−100°＝80°，
∴∠PAB＋∠PCB＝80°，
∴∠B＝∠APC −（∠PAB＋∠PCB）＝100°−80°＝20°．
（3）法一：如图：连接AC
∵∠ADC=130°，∠APC=100°
∴∠DAC+∠DCA=180°−130°=50°,∠PAC+∠PCA=180°−100°=80°
∴∠2+∠4=30°
又∵AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD
∴∠1+∠3=∠2+∠4=30°
∴∠BAC+∠BCA=110°
∴∠B=180°-110°=70°．
法二：如图，连接BD并延长到G，
∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，
∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30°
同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°
∴∠B＝70°．
6．（2023春·七年级单元测试）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，
∠ADC=16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
{∠P+∠3=∠1+∠B)
由（1）的结论得：
∠P+∠2=∠4+∠D
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
1
∴∠P = (∠B+∠D)=26°．
2
①【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
请猜想∠P的度数，并说明理由．
②【拓展延伸】
1 1
在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关
3 3
系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．
【思路点拨】
（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）【问题探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题．
【拓展延伸】由（1）的结论易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再将已知条件代入化
简即可求解∠P．
【解题过程】
（1）证明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，
∠C+∠D+∠CED=180°，
∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）①解∶如图3，
∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∠P+∠PAB=∠B+∠4，
又∠1=∠PAB，
∴∠P+∠1=∠B+∠4，
又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，
又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D
1
∴∠P = (∠B+∠D)=26°
2
2 1
②解：∠P= α+ β．
3 31 1
理由：∵∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，
3 3
2 2
∴∠BAP= ∠CAB，∠BDP= ∠CDB，
3 3
由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，
1 1
∴∠P+ ∠CDB =∠C+ ∠CAB，①
3 3
2 2
∠P+ ∠CAB=∠B+ ∠CDB，②
3 3
2 2 2 2
①×2+②，得2∠P+ ∠CDB+∠P+ ∠CAB=2∠C+ ∠CAB+∠B+ ∠CDB，
3 3 3 3
∴3∠P=2∠C+∠B
2 1 2 1
∴∠P= ∠C+ ∠B= α+ β．
3 3 3 3
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；
（2）若∠A=α，直线MN经过点D．
①如图2，若MN∥AB，求∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC−∠MDB的度数
是否会发生改变？若不变，求出∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理
由；
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与
∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．
【思路点拨】
（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．
（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合．
②与 ①结合起来求解即可．
③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．【解题过程】
解：（1）∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
1 1
∴∠CBD= ∠ABC，∠BCD= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠CBD+∠BCD= ∠ACB+ ∠ABC= (∠ABC+∠ACB)，
2 2 2
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
1
∴180°-∠BDC=
(180∘−∠A)，
2
∠A
∴∠BDC=90∘+ ，
2
∵∠A=60°，
∴∠BDC=90∘+30∘=120°，
故答案为：120°．
（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
∠A
=180°-（90∘+ ）
2
α
=90∘− ．
2
α
②∠NDC−∠MDB保持不变，恒等于90°- ．理由如下：
2
∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC∠A
=180°-（90∘+ ）
2
α
=90∘− ．
2
α
故保持不变，且为90∘−
．
2
α
③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘− ．理由如下：
2
∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，
α
∵∠BDC=90∘+ ，
2
α α
∴∠NDC+∠MDB=180°-（90∘+ ）=90∘− ．
2 2
8．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为射线CB上一点，过点D作
DE⊥AC于点E．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系；
（2）如图②，当点D在CB的延长线上时，DE⊥AC交CA的延长线于点E，探究∠BAC与∠EDC的数
量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且
∠AFG=∠CFG，∠BAF=∠BFA，延长ED，AB交于点K，求∠EKA的度数．
【思路点拨】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质，等角的余角相等解决问题即可；（2）作AM⊥BC于M，由（1）同理可证∠BAC=2∠EDC；
（3）如图2中，设∠C=∠FAC=∠ABC=x，则∠BAF=∠BFA=2x，构建方程求出x即可解决问题．
【解题过程】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴∠BAC=2∠CAH．
∵DE⊥AC，
∴∠AHC=∠DEC=90°，
∴∠C+∠CAH=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠CAH=∠CDE，
∴∠BAC=2∠EDC．
（2）结论：∠BAC=2∠EDC．理由如下：
如图2中，作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，
∴∠BAC=2∠CAM．
∵DE⊥AC，
∴∠AMC=∠DEC=90°，
∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠CAM=∠CDE，
∴∠BAC=2∠EDC．
（3）∵∠AFG=∠CFG，FG⊥AC，
∴∠FAC=∠C．
设∠C=∠FAC=∠ABC=x，∴∠BAF=∠BFA=2x．
在△BAF中，∠BAF+∠BFA+∠ABC=180°，
∴2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠EAK=∠ABC+∠C=36°+36°=72°．
∵KE⊥EC，
∴∠E=90°，
∴∠EKA=90°−∠EAK=18°．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将
△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
（1）如图1，当点G与点H重合时，请说明∠BAC=∠EHD；
（2）当点G落在△ABC外，且HE ∥ AD，∠GAB:∠CAD＝1:3
①如图2，请说明∠EHD＝4∠GAB；
②如图3，若∠B=30°，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度α (0<α<180∘)，则在这个旋转过程
中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角α的度数
【思路点拨】
（1）利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①由∠GAB:∠CAD=1:3，可以假设∠GAB=x，∠CAD=∠DAG=3x，证明∠DHE=4x即
可；
②分四种情形：如图3−1中，当FH∥AG时．如图3−2中，当EH∥AG时．如图3−3中，当
EF∥AB时．如图3−4中，当EF∥AG时，分别求解即可．
【解题过程】
（1）证明：如图1中，由翻折变换的性质可知，∠AHD=∠C，∠B=∠EHB，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠EHB+∠EHD+∠AHD=180°，
∴∠EHD=∠BAC；
（2）①证明：如图2中，
∵∠GAB:∠CAD=1:3，
∴设∠GAB=x，∠CAD=∠DAG=3x，
∴∠DAH=∠DAG−∠GAB=2x，
∵EH ∥ AD，
∴∠EHB=∠DAH=2x，∠EHD=∠ADH=∠ADC，
∴∠B=∠EHB=2x，
∵∠ADC=∠B+∠DAB=4x，
∴∠DHE=4∠GAB；
②解：由题意，∠B=30°，
∴∠B=∠DAB=30°，
∴∠GAB=15°，
∴∠DAG−∠DAC=45°，
∴∠C=∠BAC=75°，
∴∠ADC=∠ADG=∠BDG=60°，
∴∠DHB=90°，
如图3−1中，当FH∥AG时，旋转角∠FHB=∠GAB=15°．如图3−2中，当EH∥AG时，旋转角∠FHB=15°+30°=45°．
如图3−3中，当EF∥AB时，旋转角∠FHB=90°．
如图3−4中，当EF∥AG时，旋转角∠FHB=90°+15°=105°，
综上所述，满足条件的旋转角α为15°或45°或90°或105°．
10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所
成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画
个．（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l
上，这样的等腰三角形能画 个．
想一想：如图2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50° ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这
样的直线最多可以画 条．
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC=10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三
角形，试求∠B的度数．
【思路点拨】
（1）根据等腰三角形的定义，两条边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论；
（2）同（1）原理，理论上可以画4个，但是P 、P 、P 重合，由此即可得到答案；
2 3 4
想一想：分五种情况：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD=CD，⑤CH=BH时，于
是得到结论；
算一算：如图3，当AD=CD，分三种情况：①当CD=BD时；②当CD=BC时；③当BD=BC时；如图
4，当AC=AE，CE=BE时；如图5，当AC=CE，CE=BE时，根据等腰三角形的性质即可得到结
论．
【解题过程】
解：（1）如图1，①AO=OP ，②AO=AP ；③AO=OP ，④AP =OP ，这样的等腰三角形能画4
1 2 3 4 4
个．
故答案为：4；
（2）同（1）可知满足题意的点有4个，
∵OA与直线l所成的锐角为60°，
∴△AOP 、△AOP 、△AOP 都是等边三角形，
2 3 4∴P 、P 、P 三点重合，
2 3 4
∴满足题意的点只有2个，
故答案为：2；
想一想：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD=CD，⑤CH=BH时，过顶点C作一
条直线，能分割出一个等腰三角形，
∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条，
故答案为：5；
算一算：如图3，当AD=CD时，
∴∠ACD=∠A=10°，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=20°，
180°−∠CDB
∴①当CD=BD时，∠B=∠BCD= =80°；
2
②当CD=BC时，∠B=∠CDB=20°；
③当BD=BC时，∠B=180°−20°−20°=140°；
如图4，①当AC=AE，CE=BE时，
∵∠A=10°，
180°−∠A
∴∠ACE=∠AEC= =85°，
2
1
∴∠B=∠BCE= ∠AEC=42.5°，
2如图5所示，当AC=CE，CE=BE时，
∴∠CEA=∠A=10°，
1
∴∠B=∠BCE= ∠AEC=5°
2
综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为5°或20°或80°或
140°或42.5°．
11．（2023秋·福建南平·八年级校考阶段练习）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的
三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角
形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A=40°，∠B=60°．求证：CD为△ABC的
“等角分割线”；
（3）在△ABC中，若∠A=50°，CD是△ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的∠ACB的度数．
【思路点拨】
（1）先根据直角三角形的性质可得∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
再根据“等角三角形”的定义即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理可得∠ACB=80°，从而可得∠ACD=∠DCB=40°，根据等腰三角形
的判定可得△ACD是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得∠BDC=∠ACB=80°，从而可得
△BCD与△ABC是“等角三角形”，然后根据等角分割线的定义即可得证；
（3）分①当△ACD是等腰三角形，DA=DC时；②当△ACD是等腰三角形，DA=AC时；③当△BCD是等腰三角形，DC=BD时；④当△BCD是等腰三角形，DB=BC时四种情况，利用等腰三角形的性
质、三角形的外角性质求解即可得．
【解题过程】
（1）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，
∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∴△ABC与△ACD；△ABC与△BCD；△ACD与△BCD是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角
形”即可）
（2）证明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，
∵CD为角平分线，
1
∴∠ACD=∠DCB= ∠ACB=40°，
2
∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，
∴CD=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，
∴∠BDC=180°−∠DCB−∠B=80°，
∴∠BDC=∠ACB，
∴△BCD与△ABC是“等角三角形”，
∴CD为△ABC的等角分割线．
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当△ACD是等腰三角形，DA=DC时，∠ACD=∠A=50°，
∴∠ACB=∠BDC=50°+50°=100°；
②当△ACD是等腰三角形，DA=AC时，∠ACD=∠ADC=65°，∠BCD=∠A=50°，
∴∠ACB=65°+50°=115°；180°−50° 130°
③当△BCD是等腰三角形，DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B= = ，
3 3
130° 130° 260°
∴∠ACB= + = ；
3 3 3
④当△BCD是等腰三角形，DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，则∠B=180°−2x，
∴∠ACD=∠B=180°−2x，
由三角形的外角性质得：∠A+∠ACD=∠BDC，即50°+180°−2x=x，
230°
解得x= ，
3
310°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=180°−2x+x= ；
3
260° 310°
综上，∠ACB的度数为100°或115°或 或 ．
3 3
12．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）探究题
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是______；
（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P=______；
（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=70°时，试求∠M+∠N的度数（提
醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
1 1
（4）如图4，如果∠MCD= ∠BCD，∠NDE= ∠ADE，当∠A+∠B=n°时，则∠M+∠N的度
4 4
数为______．
【思路点拨】
（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，设∠PCD=x，∠ADP= y，根据外角的性质得：∠P= y−x，∠COD=2y−2x，所以
∠COD=2∠P，最后由三角形内角和定理可得结论；
(3)如图3，延长CM、DN交于点P，根据（2）的结论，并将∠A+∠B=70°，代入可得
结论；
（4）如图4，同理计算可得结论．
【解题过程】
（1）在△AOB中，
∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，
∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D
故答案为：∠A+∠B=∠C+∠D
（2）设∠PCD=x，∠ADP= y，
∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE，
∴∠BCD=2x，∠ADE=2y，
∵∠P=∠PDE−∠PCD= y−x，
∴∠COD=∠ODE−∠BCD=2y−2x，
∴∠COD=2∠P，
∵∠A+∠B+∠COD=180°，
∴2∠P+∠A+∠B=180°，
1
∴∠P=90°− (∠A+∠B)，
21
故答案为：∠P=90°− (∠A+∠B)
2
（3）如图3，
1
由（2）可知：∠P=90°− (∠A+∠B)，
2
∵∠A+∠B=70°，
∴∠P=55°，
∴∠PMN+∠PNM=125°，
∴∠CMN+∠DNM=360°−125°=235°，
（4）如图4，延长CM、DN交于点P，
设∠PCD=x，∠NDE= y，
∴∠P=∠PDE−∠PCD= y−x，∠COD=4 y−4x，
∴∠COD=4∠P，
∴4∠P+∠A+∠B=180°，
180°−(∠A+∠B)
∴∠P= ，
4
180°−n°
∴∠P= ，
4
∴∠PMN+∠PNM=180°−∠P，
1
=180°−45°+ n°，
4
1
=135°+ n°，
4∴∠CMN+∠DNM=360°−(∠PMN+∠PNM)
1
=360°−(135°+ n°)，
4
1
=225°− n°
4
1
故答案为：225°− n°
4
13．（2023秋·山东青岛·八年级青岛超银中学校考期末）△ABC中，∠C=70°，点D，E分别是△ABC
边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
初探：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为______；
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为______．
再探：
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系______；说明理由．
（5）若点P运动到△ABC的外部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系______．
【思路点拨】
（1）如图1所示，连接CP，证明∠1+∠2=∠ACB+∠DPE即可得到答案；
（2）只需要证明∠1+∠2=∠C+∠DPE即可得到答案；
（3）利用三角形外角的性质求解即可；
（4）利用三角形外角的性质求解即可；
（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．
【解题过程】（1）解：如图1所示，连接CP，
∵∠1=∠DCP+∠CPD，∠2=∠CPE+∠ECP，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠CPD+∠CPE+∠ECP=∠ACB+∠DPE，
∵∠ACB=70°，∠DPE=60°，
∴∠1+∠2=130°，
故答案为：130；
（2）∵∠1+∠CDP=180°，∠2+∠CEP=180°，
∴∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，
∵∠C=70°，∠DPE=∠α，∠CDP+∠CEP+∠C+∠DPE=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠DPE=70°+α
故答案为：∠1+∠2=70°+∠α；
（3）设DP与BC交于F，
∵∠C+∠CFD=∠1，∠CFD=∠2+∠α，
∴∠1=∠2+∠α+70°，
故答案为：∠1=∠2+∠α+70°；
（4）如图所示，连接CP，∵∠1=∠DCP+∠CPD，∠2=∠CPE+∠ECP，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠CPE=∠ACB+360°−∠DPE，
∴∠1+∠2=430°−∠α；
（5）解：如图5-1所示，
∵∠1=∠C+∠COD，∠2=∠P+∠POE，∠COD=∠POE，
∴∠1−∠2=∠C−∠P=70°−∠α
如图5-2所示，
∵∠1=∠P+∠POD，∠2=∠C+∠COE，∠POD=∠COE，
∴∠2−∠1=∠P−∠C=∠α−70°
综上可得：∠1−∠2=70°−∠α，
故答案为：∠1−∠2=70°−∠α．
14．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，
∠C=60°．（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B=30°，∠C=60°，则∠EAD=__________°．
当∠B=50°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．
当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．
当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．
（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出
你发现的结论．
【思路点拨】
（1）先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出∠EAC和
∠DAC的度数，进而可求∠AEC和∠EAD的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出∠EAC和
∠DAC的度数，则前三问利用∠EAD=∠EAC−∠DAC即可得出答案，第4问利用
∠EAD=∠DAC−∠EAC即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）∵∠B=20°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100° ．
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠EAC= ∠BAC=50°．
2
∵AD是高，
∴∠ADC=∠ADE=90° ，
∴∠CAD=90°−∠C=30° ，
∴∠EAD=∠EAC−∠CAD=20° ，
∴∠AEC=90°−∠EAD=70° ．
（2）当∠B=30°，∠C=60°时，
∵∠B=30°，∠C=60°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=90°．
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠EAC= ∠BAC=45°．
2
∵AD是高，
∴∠ADC=90° ，
∴∠CAD=90°−∠C=30° ，
∴∠EAD=∠EAC−∠CAD=15° ；
当∠B=50°，∠C=60°时，
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70° ．
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠EAC= ∠BAC=35°．
2
∵AD是高，
∴∠ADC=90° ，
∴∠CAD=90°−∠C=30° ，
∴∠EAD=∠EAC−∠CAD=5° ；
当∠B=60°，∠C=60°时，
∵∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=60°．
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠EAC= ∠BAC=30°．
2
∵AD是高，
∴∠ADC=90° ，
∴∠CAD=90°−∠C=30° ，
∴∠EAD=∠EAC−∠CAD=0° ；
当∠B=70°，∠C=60°时，
∵∠B=70°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=50°．
∵AE平分∠BAC，1
∴∠EAC= ∠BAC=25°．
2
∵AD是高，
∴∠ADC=90° ，
∴∠CAD=90°−∠C=30° ，
∴∠EAD=∠DAC−∠EAC=5° ．
（3）当∠B<∠C 时，即α<β时，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β ．
∵AE平分∠BAC，
1 1 1 1
∴∠EAC= ∠BAC= (180°−α−β)=90− α− β．
2 2 2 2
∵AD是高，
∴∠ADC=90° ，
∴∠CAD=90°−∠C=90°−β ，
1
∴∠EAD=∠EAC−∠CAD= (β−α) ；
2
当∠B>∠C 时，即α>β时，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β ．
∵AE平分∠BAC，
1 1 1 1
∴∠EAC= ∠BAC= (180°−α−β)=90− α− β．
2 2 2 2
∵AD是高，
∴∠ADC=90° ，
∴∠CAD=90°−∠C=90°−β ，
1
∴∠EAD=∠DAC−∠EAC= (α−β) ；
2
1 1
综上所述，当α<β时，∠EAD= (β−α)；当α>β时，∠EAD= (α−β)．
2 2
15．（2023春·八年级课时练习）在△ABC中AD⊥BC于点D．（1）如图1，若∠BAC的角平分线交BC于点E，∠B=35°，∠EAD=5°，求∠C的度数；
（2）如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点E处，折痕
分别为DM和DN，点E、F均在直线AD上，若∠B+∠C=60°，试猜想∠AMF与∠ANE之间的数量
关系，并简要说明理由；
（3）在（2）小题的条件下，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度a(0°∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D，猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关
系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到
下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
上表中a=＿＿＿＿，于是得到∠EAD与∠B、∠C的数量关系为＿＿＿＿．
【变式应用】
（2）小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F
是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B、∠C的数量关系：
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 AB上”改为
“点F是EA延长线上一点”，其余条件不变，当∠ABC=88°，∠C=24°时，∠F度数为＿＿＿＿°．
【能力提升】（4）在图4中，若点F在AE 的延长线上，FD⊥BC于D，∠B=x，∠C= y，其余条件不变，从别作
出∠CAE 和∠EDF的角平分线，交于点P，试用 x、y表示∠P=＿＿＿＿．
【思路点拨】
（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，
再由∠EAD=∠BAD−∠BAE即可得出答案，，
（2）如图，过点A作AG⊥BC于G，证明∠EFD=∠EAG，再分别求解∠BAG=55°，
1
∠BAE= ∠BAC=35°，再结合（1）可得出三者的关系，
2
（3）如图，过A作AG⊥BC于G，而FD⊥BC，证明∠EAG=∠EFD，由（1）同理可得：
1
∠EAG= (∠ABC−∠C)，从而可得答案；
2
（4）如图，记AF，DP的交点为Q，证明∠QAP+∠QPA=∠QDF+∠QFD，再分别利用含x，y的代
1 1 1 1
数式表示∠QAP= ∠CAF= (180°−x−y)，∠F=90°−∠≝= y− x，从而可得答案．
2 4 2 2
【解题过程】
（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，
∴Rt△ABD中，∠BAD=90°−∠B=60°，
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠BAE= ∠BAC=40°，
2
∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=20°，
∴a=20；
1
∵∠BAC=180°−∠B−∠C，∠BAE= ∠BAC，∠BAD=90°−∠B，
2
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE，
1
=90°−∠B− (180°−∠B−∠C)
2
1 1
=90°−∠B−90°+ ∠B+ ∠C
2 2
1
= (∠C−∠B)，
21
∴∠EAD= (∠C−∠B)
2
（2）如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵FD⊥BC，AG⊥BC，
∴FD∥AG，
∴∠EFD=∠EAG，
∵∠B=35°，∠C=75°，
1 1
由（1）同理可得：∠BAG=90°−35°=55°，∠BAE= ∠BAC= (180°−35°−75°)=35°，
2 2
∴∠EAG=∠BAG−∠BAE=55°−35°=20°，
1
由（1）同理可得：∠EAG= (∠C−∠B)
2
1
∴∠DFE= (∠C−∠B)．
2
（3）如图，过A作AG⊥BC于G，而FD⊥BC，
∴AG∥FD，
∴∠EAG=∠EFD，
1
由（1）同理可得：∠EAG= (∠ABC−∠C)，
2
1
∴∠EFD= (∠ABC−∠C)，
2
∵∠ABC=88°，∠C=24°，1 1
∴∠EFD= (∠ABC−∠C)= (88−24)=32°．
2 2
（4）如图，记AF，DP的交点为Q，
∵∠AQP=∠DQF，
∴∠QAP+∠QPA=∠QDF+∠QFD，
∵FD⊥BC，DP平分∠EDF，
∴∠QDF=45°，
∵∠B=x，∠C= y，AF平分∠BAC，
1 1
∴∠BAF=∠CAF= ∠BAC= (180°−x−y)，
2 2
1 1
∴∠QAP= ∠CAF= (180°−x−y)，
2 4
1 1 1
∵∠≝=∠B+∠BAF=x+ (180°−x−y)=90°+ x− y，
2 2 2
1 1
∴∠F=90°−∠≝= y− x，
2 2
由∠QAP+∠QPA=∠QDF+∠QFD可得：
1 1 1
45°+ y− x=∠P+ (180°−x−y)，
2 2 4
1
整理得：∠P= (3 y−x)．
4
