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专题 11 图形的变化（50 题）
一、单选题
1．（2025·江西·中考真题）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取
AC，BC，AB的中点得到△A B C ；再分别取A C，B C，A B 的中点得到
1 1 1 1 1 1 1
△A B C ；…依此类推，则△A B C 的面积为（ ）
2 2 2 n n n
(1) n+1 (1) n (1) n (1) n−1
A． B． C． D．
2 3 4 4
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线
1 (1) 2 1
定理得到△A B C ∽△ABC，相似比= ，△A B C 的面积= = ，△A B C 的面
1 1 1 2 1 1 1 2 4 2 2 2
(1) 2
积= ，总结规律，根据规律解答即可．
4
【详解】解：∵点A 、B 、C 分别为等边△ABC的边AC，BC，AB的中点，
1 1 1
1 1 1
∴B C = AC，A C = BC，A B = AB，
1 1 2 1 1 2 1 1 2
1
∴ △A B C ∽△ABC，相似比= ，
1 1 1 2
∵ △ABC的面积为1，
(1) 2 1
∴ △A B C 的面积= = ，
1 1 1 2 4
(1) 2
同理，△A B C 的面积= ，
2 2 2 4
……
1(1) n
则△A B C 的面积= ，
n n n 4
故选：C．
2．（2025·江西·中考真题）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称
图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后
的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条
直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：A．
3．（2024·江西·中考真题）如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图
形．
【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的，
故选：B．
4．（2023·江西·中考真题）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点
D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，
则∠OBD的度数为（ ）
2A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】根据题意可得∠AOC=∠BOD，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，∠AOC=∠BOD，∠AOC=35°
∴∠BOD=35°，
∵PD⊥CD，
∴∠OBD=90°−∠BOD=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
5．（2023·江西·中考真题）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原
来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心
3对称图形；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
6．（2022·江西·中考真题）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一
个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．
【详解】俯视图如图所示．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．.
注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．
7．（2021·江西·中考真题）如图，几何体的主视图是（ ）
4A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主视图：从正面看到的平面图形，注意能看到的边都要用实线体现在视图中，根
据定义可得答案．
【详解】解：长方体的主视图是长方形，圆柱的主视图也是长方形，中间的边可以看到，
用实线表示，
从而这个组合体的主视图是两个长方形，中间是实线，
故选：C.
【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握主视图的含义是解题的关键．
二、填空题
8．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过
点C的弦DE⊥AB，将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段
FB的长为 ．
【答案】2−√3或2+√3或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DE≤AB，可得DE=1或
2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵AB为直径，DE为弦，
∴ DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE=1或2，
5当DE=2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB
∴将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB=2；
当DE=1时，且在点C在线段OB之间，
如图，连接OD，
1
此时OD= AB=1，
2
∵DE⊥AB
，
1 1
∴DC= DE= ，
2 2
√3
∴OC=√OD2−DC2=
，
2
2−√3
∴BC=OB−OC= ，
2
∴BF=2BC=2−√3；
当DE=1时，且点C在线段OA之间，连接OD，
2+√3
同理可得BC= ，
2
∴BF=2BC=2+√3，
综上，可得线段FB的长为2−√3或2+√3或2，
故答案为：2−√3或2+√3或2．
9．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(1,1)向右平移2个单位长度，再
向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【答案】(3,4)
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加
2，纵坐标加3即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵点A(1,1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
6∴点B的坐标为(1+2,1+3)，即(3,4)．
故答案为：(3,4)．
10．（2023·江西·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点
A逆时针旋转角α（0°<α<360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，
旋转角α的度数为 ．
【答案】90°或270°或180°
【分析】连接AC，根据已知条件可得∠BAC=90°，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接AC，取BC的中点E，连接AE，如图所示，
∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，
1
∴BE=CE= BC=AB，
2
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE，
∴AE=EC
1
∴∠EAC=∠ECA= ∠AEB=30°，
2
∴∠BAC=90°
∴AC⊥CD，
如图所示，当点P在AC上时，此时∠BAP=∠BAC=90°，则旋转角α的度数为90°，
当点P在CA的延长线上时，如图所示，则α=360°−90°=270°
7当P在BA的延长线上时，则旋转角α的度数为180°，如图所示，
∵PA=PB=CD，PB∥CD，
∴四边形PACD是平行四边形，
∵AC⊥AB
∴四边形PACD是矩形，
∴∠PDC=90°
即△PDC是直角三角形，
综上所述，旋转角α的度数为90°或270°或180°
故答案为：90°或270°或180°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与
判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．（2023·江西·中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古
代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，
可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP
与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ= m．
【答案】6
【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角
∴BD∥PQ，
8∴△ABD∽△AQP，
BD AB
∴ =
PQ AQ
∵AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，
AQ×BD 12×20
∴PQ= = =6m,
AB 40
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题
k
12．（2022·江西·中考真题）如图，点A(m,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B
x
在y轴上，OB=2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的
图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD=1．
(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含
m的式子表示）；
(2)求k的值和直线AC的表达式．
【答案】(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）
(2)4；y＝-2x＋6
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由
平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直
线AC的解析式．
【详解】（1）∵点B在y轴上，OB=2，
∴B（0，2），
∵点D落在x轴正半轴上，且OD=1
∴D（1，0），
∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，
∵点A（m，4），
9∴C（m＋1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
k
（2）∵点A和点C在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y=sx+t，
∴¿ 解得¿，
∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．
【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和
OD的长得出平移的规律是解题关键．
13．（2022·江西·中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，
∠ACD=∠ABE．
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB=6,AC=4时，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=9
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出CD∥AB，AB=CB，根据平行线的性质
和等边对等角，结合∠ACD=∠ABE，得出∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB，即可
证明结论；
AB AC
（2）根据ΔABC∽ΔAEB，得出 = ，代入数据进行计算，即可得出AE的值．
AE AB
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥AB，AB=CB，
∴∠ACD=∠CAB，∠CAB=∠ACB，
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB，
∴ΔABC∽ΔAEB．
10（2）∵ΔABC∽ΔAEB，
AB AC
∴ = ，
AE AB
6 4
即 = ，
AE 6
解得：AE=9．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的
判定和性质，根据题意得出∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB，是解题关键．
14．（2021·江西·中考真题）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，
其中与∠A相等的角是______；
类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这
对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF
于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是_________；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD两边垂直平分
线的交点，连接OA，∠OAC=∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC=90°；
AB
②连接BD，如图4，已知AD=m，DC=n， =2，求BD的长（用含m，n的式子表
AC
11示）．
【答案】（1）∠DCE'；（2）AD2+DE2=AE2；（3）①见解析；②BD=√5m2+4n2．
【分析】（1）根据拼图可求得∠A=∠DCE'；
（2）根据∠ABC与∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠ABC=90°，利用勾股定理即可求解；
（3）①由点O是△ACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OD=OC，推出
2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°，得到∠OAC+∠ADC =90°，即可求解；
②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，求得AC：AB：BC= 1：2：√5
，同理可得CE：DE：DC= 1：2：√5，证明 ACE~ BCD，利用相似三角形的性质以及勾
股定理即可求解． △ △
【详解】（1）根据拼图可得：∠A=∠DCE'；
故答案为：∠DCE'；
（2）作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，如图，
∵∠ABC与∠ADC互余，即∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90°，
∴AD2+DE2=AE2；
故答案为：AD2+DE2=AE2；
（3）①证明：连接OD、OC，
∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点，
∴OA=OD=OC，
∴∠OAC=∠OCA，∠ODC=∠OCD，∠OAD=∠ODA，
∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°，
12即2∠OAC+2∠ADC =180°，
∴∠OAC+∠ADC =90°，
∵∠OAC=∠ABC，
∴∠ABC +∠ADC =90°；
②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，
∵∠ABC +∠ADC=90°，
∴∠ADC +∠CDF=90°，
∴AD2+DE2=AE2，即m2+DE2=AE2，
AB
∵∠BAC=90°， =2
AC
∴AC：AB：BC= 1：2：√5，
同理可得CE：DE：DC= 1：2：√5，
AC CE
∴ = ，
BC CD
∵∠CDF=∠ABC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴ ACE~ BCD，
AE AC 1
∴ △ = △ = ，
BD BC √5
BD
∴AE= ，
√5
DE 2
在Rt CDE中， = ，
DC √5
△
2
∴DE= n，
√5
2 BD 4 BD2
∴m2+( n)2=( )2，即m2+ n2= ，
√5 √5 5 5
∴BD2=5m2+4n2，
∴BD=√5m2+4n2．
13【点睛】本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利
用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
四、单选题
15．（2025·江西萍乡·二模）小贤向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度ℎ（单位：cm
）与注水时间t（单位：s）的函数关系图象如图所示，选项中是各种水壶的主视图，则小
贤使用的水壶的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的图象，三视图，通过函数图象获取信息并解决问题的能力，
能够读懂图象是解题的关键．
根据函数图象得到水壶内水上升的速度不变，即可根据选项作出判断．
【详解】解：∵容器内水的高度（h）随着注水时间（t）的增大而增大，成正比例关系，
是一条线段，
∴水壶内水上升的速度不变，则容器应为类似于圆柱的物体，
故选：D．
16．（2025·江西·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
14C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，准确掌握其定义是解题的关键．根据轴
对称图形和中心对称图形的定义即可得到答案．
【详解】解：A选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题
意；
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
17．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，这是一款品茗杯，关于它的三视图，下列说法正
确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．三视图都相同
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：根据三视图的定义可得：
这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同．
故选：C．
18．（2025·江西九江·三模）如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B．
15C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看
所得到的图形即可．
【详解】解：根据题意得，
该几何体的主视图是：
故选：D．
19．（2025·江西南昌·二模）如图是由长方体与三棱柱组成的几何体，它的左视图为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了左视图的定义，熟练掌握左视图的定义是解答本题的关键．
根据左视图的定义解答即可．
【详解】解：从左面看，下面长方体的左视图是一个长方形，上面三棱柱的左视图是一个
正方形，且正方形位于长方形的正上方，
故选：C．
20．（2025·江西新余·三模）如图，这是某舞台阶梯架，则它的俯视图为（ ）
A． B．
16C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征
即可作出判断，掌握三视图是解题的关键．
【详解】解：它的俯视图为，
故选：C．
21．（2025·江西萍乡·二模）在以下立体图形中，左视图和俯视图相同的是（ ）
A． 正方体 B． 圆锥
C． 圆柱 D． 四棱锥
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的三种视图，左视图、俯视图是分别从物体左面和上面看，所
得到的图形，据此分析各选项即可．
【详解】解：A、正方体的左视图和俯视图都是正方形，故本选项符合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，俯视图是有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C、圆柱的左视图是长方形，俯视图是没有圆心的圆，故本选项不符合题意；
D、四棱锥的左视图是三角形，俯视图是四边形，四边形内部有一点分别与各个顶点相连
接，故本选项不符合题意．
故选：A．
22．（2025·江西抚州·二模）数学中的对称类，令人赏心悦目，英文字母中同样有对称美，
对称的英文为symmetry，下列选项分别是s，y，m，e艺术字的图案，其中属于中心对称图
形的是（ ）
A． B． C． D．
17【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果
旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的
对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，故A符合题意；
B．不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
23．（2025·江西新余·一模）如图，这是一个积木的示意图，这个几何体的俯视图为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题关键．
找到从上面看到的图形即可，注意所有的看到的棱都在俯视图中．
【详解】
解：从下往下看，得到的图形是
故选：C．
24．（2025·江西新余·三模）在下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，数形结合，找出对称轴
是关键．
轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线
就叫做对称轴，根据定义，结合图形，找出对称轴即可求解．
【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B、有对称轴，是轴对称图形，符合题意；
18C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B ．
25．（2025·江西宜春·二模）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若再添加1个相
同的小正方体后，所得新几何体的俯视图和左视图与原几何体相同，则不同的添加方法共
有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】本题考查简单组合体的三视图．根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形，
在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．
【详解】解：如图所示：
要新几何体的俯视图和左视图与原几何体相同，则不同的添加方法共有2种方法，
故选：B．
26．（2025·江西赣州·二模）如图是一个正四面体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得到的
棱画实线，看不到的画虚线．根据从上面看得到的图形式俯视图，可得答案．
【详解】
19解：其俯视图是
故选：B．
27．（2025·江西·模拟预测）图1是某校运动会颁奖时的场景，图2是领奖台的示意图，则
此领奖台的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．结合几何体的
形状，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左边看时，可得选项A的图形．
故选：A．
28．（2025·江西新余·二模）如图，该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是明确左视图是从几何体的左边观
察得到的图形．根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图．
【详解】解：从左边看几何体，分为上下两个矩形且中间是虚线，
故C选项符合题意；
故选：C．
29．（2025·江西抚州·二模）下图是江西省部分大学的校徽，忽略各个图案中的文字，其
中图案部分是轴对称图形的是（ ）
20A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．解题的关
键是找到对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
30．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图
中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心，（ ）
A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质、旋转变换，确定旋转中心和旋转角度是解题的关键．
根据边三角形的性质可得∠BAE=∠DAG=120°，确定旋转中心和旋转角度即可．
【详解】解：∵图中的小三角形均是全等的等边三角形，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAG=60°，
∴∠BAE=∠DAG=120°，
∴菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心，逆时针旋转120°得到．
故选：D．
31．（2025·江西·模拟预测）如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能为（ ）
21A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力，
由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图再与
题目图形进行比较即可．
【详解】解： A选项的俯视图是一个圆，故A选项不符合题意；
B选项的俯视图是一个圆，且有圆心，故B选项不符合题意；
C选项的俯视图是一个圆，故C选项不符合题意；
D选项的俯视图是一个圆，且圆内有一个虚线圆，故D选项符合题意；
故选∶D．
32．（2025·江西吉安·一模）如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法
和形状是正确解答的关键．
根据从正面看到的图形叫主视图，可得出答案．
【详解】
解：从正面看到的图形是 ．
故选：B．
33．（2025·江西·二模）如图，在3×3的方格纸中有一个以格点（网格线的交点）为顶点
的△ABC，在图中可画出以格点为顶点且与△ABC成轴对称的三角形个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
22【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称图形．利用轴对称图形的性质即可解答．
【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有
△ABD、△EFC、△DCB、△IBJ、△AKG、△KIF共6个，
如图：
故选：C．
34．（2025·江西·模拟预测）如图，这是一个由三个全等的等边三角形拼成的图形．若再
将一个这样的等边三角形与已知图形拼接在一起（图形不重叠，但所拼三角形的一边需与
原图形的边重合），并使所得到的图形为轴对称图形，则拼接方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称图形的概念，解题的关键是通过实际拼接
尝试，找出能使新图形成为轴对称图形的拼接方式。
根据轴对称图形的定义，即沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，对原
图形的每条边进行分析，看以该边为拼接边添加一个等边三角形后能否得到轴对称图形。
【详解】拼接方法如下：
35．（2025·江西吉安·一模）下列是AI软件的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
23【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
36．（2025·江西·二模）如图，这是由6个相同的小正方体叠放组成的几何体，它的主视
图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找
到从几何体的正面看所得到的图形即可．
【详解】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1，
故选：B．
37．（2025·江西·模拟预测）将正方体截去一个角后得到如图所示的几何体，则该几何体
的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关
键．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：将正方体截去一个角后得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图为：
，
24故选：A．
38．（2025·江西·模拟预测）如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面
看到的图形．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】
解：从正面看到的图形为 ，故选：C．
39．（2025·江西·模拟预测）下列交通标志牌中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
熟练掌握根据中心对称图形的定义进行判断是解题的关键．
根据中心对称图形的概念即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
五、填空题
2540．（2025·江西九江·模拟预测）主持人现站在舞台AB的一端A处，在主持节目时，站在
舞台的黄金分割点点C处方可获得最佳美学效果（AC>BC），若舞台AB长20米，则
BC= 米．（别忽视括号内的条件哟！）
【答案】(30−10√5)
【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用，熟记黄金分割比
是解题关键．由黄金分割比列方程解答即可．
【详解】解：∵点C是舞台AB的黄金分割点（AC>BC），AB=20米，
20−BC √5−1
∴依题意得， = ，
20 2
解得BC=30−10√5．
故答案为：(30−10√5)．
41．（2025·江西抚州·模拟预测）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋
檐下（如图1）．如图2，这是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形
ABCDEF．若G是AB的中点，连接AD，DG，则cos∠ADG的值为 ．
7√13 7
【答案】 / √13
26 26
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正六边形的性质，先根据正六边形的
性质得到∠BCD=∠ABC=120°，则可求出∠CDA=∠BAD=60°，进一步可证明
∠ACD=90°；设正六边形ABCDEF的边长为2m，解Rt△ADC得到AD=4m；解
1 √3 7
Rt△AGM得到AM= m，MG= m，则DM=AD−AM= m，由勾股定理得到
2 2 2
DM 7√13
DG=√DM2+MG2=√13m，则cos∠ADG= = ．
DG 26
【详解】解：如图所示，连接AC，过点G作GM⊥AD于M，
26∵六边形ABCDEF是正六边形，
180°×(6−2)
∴∠BCD=∠ABC= =120°，
6
360°−∠BCD−∠ABC
∴由对称性可得∠CDA=∠BAD= =60°，
2
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=90°；
设正六边形ABCDEF的边长为2m，
CD
在Rt△ADC中，AD= =4m；
cos∠ADC
∵G是AB的中点，
1
∴AG= AB=m，
2
1 √3
在Rt△AGM中，AM=AG⋅cos∠MAG= m，MG=AG⋅sin∠MAG= m，
2 2
7
∴DM=AD−AM= m，
2
∴DG=√DM2+MG2=√13m，
DM 7√13
∴cos∠ADG= = ，
DG 26
7√13
故答案为： ．
26
42．（2025·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，
OA=8，OC=6，连接AC，D为AC的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的
三角形与△ABC相似，则点P的坐标为 ．
(7 ) ( 7)
【答案】(4,0)或 ,0 或 0,−
4 3
【分析】本题考查了相似三角形的性质，分情况讨论，即点P在x轴上和在y轴上的情况，
利用相似三角形的性质分别求解即可，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】解：∵四边形OABC为矩形，
∴∠B=90°,AB=CO=6,BC=OA=8，
27∴AC=√AB2+BC2=10，
如图，当点P在x轴上，且∠DPA=90°时，
此时△DPA∽△ABC,
AP AD
∴ = ，
BC AC
∵D为AC的中点，
AP AD 1
∴ = = ，
BC AC 2
∴AP=4,OP=AO−AP=4,
∴P(4,0)；
如图，当点P在x轴上，且∠PDA=90°时，
此时△DPA∽△BAC,
AP AD
∴ = ，
AC BC
∵D为AC的中点，
∴AD=5，
AP AD 5
∴ = = ，
AC BC 8
25 7
∴AP= ,OP=AO−AP= ,
4 4
(7 )
∴P ,0 ；
4
如图，当点P在y轴上，且∠PDA=90°时，
28∵∠DCP=∠BAC
，
∴△ABC∽△CDP，
∵CD=AD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴∠DCP=∠DAP，
∴△ABC∽△ADP,
CD CP
∴ = ，
AB AC
25
∴CP= ，
3
7
∴OP=CP−CO= ，
3
( 7)
∴P 0, ；
3
当点P在y轴上，且∠DAP=90°时，不成立，
(7 ) ( 7)
综上，点P的坐标为（4，0）或 ,0 或 0,− ，
4 3
(7 ) ( 7)
故答案为：（4，0）或 ,0 或 0,− ．
4 3
43．（2025·江西新余·二模）在平面直角坐标系中，点A(a,3)先向右平移3个单位长度，
再向下平移5个单位长度得到点B(2,b)，则点C(b,a)的坐标为 ．
【答案】(−2,−1)
【分析】本题主要考查的知识点是图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左
减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加是解题的关键．
利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加 3 ，纵坐标减5即可得到点B的坐标，求出
a,b，即可解答．
【详解】解：∵点A(a,3)先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点B，
∴B(a+3,3−5)，即B(a+3,−2)，
∵点B(2,b)，
∴a+3=2,b=−2，
29解得：a=−1,b=−2，
∴C(−2,−1)，
故答案为：(−2,−1)．
44．（2025·江西吉安·一模）如图，Rt△ABC与Rt△DCE中， ∠ACB=∠CDE=90°，
AC=BC=4，CD=DE=2√2，△DCE可以绕点C自由转动，连接AD,DB，则
√2
BD+ AD的最小值为 ．
2
【答案】2√5
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质，
√2
取AC中点F，连接DF,BF，证明△CDF∽△CAD，得出DF= AD，则
2
√2
BD+ AD=BD+DF≥BF，根据勾股定理求出结论即可．
2
【详解】解：如下图：
∵CD=2√2
，
∴点D在以C为圆心2√2为半径的圆上运动，
取AC中点F，连接DF,BF，
CD CF √2
∵∠ACD=∠DCF, = = ，
AC CD 2
∴△CDF∽△CAD，
DF CD √2
∴ = = ，
AD AC 2
√2
∴DF= AD，
2
√2
∴BD+ AD=BD+DF≥BF，
2
30√2
∴当B,D,F共线时，BD+ AD最小，
2
∵BF=√BC2+CF2=√42+22=2√5，
√2
∴BD+ AD的最小值为2√5，
2
故答案为：2√5．
45．（2025·江西·模拟预测）下图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果
物体AB的高度为27cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度为 cm．
【答案】12
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对
应高的比等于相似比是解题的关键．
AB 45
根据题意可得△ABO∽△CDO再利用相似三角形的性质可得 = 从而可得答案．
CD 20
【详解】∵AB∥CD，△AOB中AB上的高为45cm，△COD中CD上的高为20cm，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC
∵△ABO∽△CDO，
AB 45
∴ = ．
CD 20
又∵AB=27cm，
∴CD=12cm．
故答案为：12．
46．（2025·江西·二模）将图1所示的七巧板排成图2所示的矩形，则sin∠CAB的值为
．
√5
【答案】
5
31【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，求正弦值，设七巧板
排中小正方形的边长为x，则小等腰直角三角形的直角边长为x，进而求出
BC=x,AC=2x，由勾股定理求出AB=√5x，再利用正弦的定义即可求解．
【详解】解：设七巧板排中小正方形的边长为x，则小等腰直角三角形的直角边长为x，
∴BC=x,AC=2x，
∵ ∠ACB=90°，
∴AB=√BC2+AC2=√5x，
BC x √5
∴sin∠CAB= = = ，
AB √5x 5
√5
故答案为： ．
5
47．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，点B(4,0)，点
P在坐标轴上运动，连接AB，AP，BP．当△PAB是直角三角形时，点P的坐标是 ．
( 9 ) ( 16)
【答案】 − ,0 ，(0,0)或 0,−
4 3
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据条件分类讨论是解题的关键．
分三种情况讨论：当点P在x轴上，在原点，在y轴上，根据相似三角形列出比例式即可求
解．
【详解】解：①当点P在x轴上运动，∠P AB=90°时，连接P A．
1 1
∵A(0,3)，B(4,0)，
∴OA=3，OB=4，
∵∠P AB=90°，
1
32∴∠P AO+∠OAB=90°，
1
∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠P AO=∠OBA，
1
∵∠P OA=∠AOB=90°，
1
∴△AP O∽△BAO，
1
P O AO
∴ 1 = ．
AO BO
AO2 9
∴P O= = ．
1 BO 4
( 9 )
∴点P 的坐标是 − ,0 ；
1 4
②当点P在原点时，∠AP B=90°，
2
∴点P 的坐标为(0,0)；
2
③当点P在y轴上运动，∠ABP =90°时，连接P B，
3 3
同理可证，△BOP ∽△AOB，
3
P O BO
∴ 3 = ．
BO AO
BO2 16
∴P O= = ．
3 AO 3
( 16)
∴点P 的坐标是 0,− ．
3 3
( 9 ) ( 16)
故答案为： − ,0 ，(0,0)或 0,− ．
4 3
48．（2025·江西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，连接BD，AD=4cm．将△BCD沿
射线BC的方向平移3cm，得到△EFG．若EG与DC相交于点H，则HC:HD= ．
【答案】1:3
【分析】本题主要考查了平移、平行线分线段成比例，熟练掌握方法是解答本题的关键．
根据平移的性质得到BE=CF=3cm，BD∥EG，然后根据平行线分线段成比例得到
HC EC
= ，即可求解．
HD EB
【详解】解：由平移可知，BE=CF=3cm，BD∥EG，
33HC EC
∴ = ，
HD EB
在矩形ABCD中，AD=4cm，
∴ BC=AD=4cm，
∴ EC=BC−BE=1cm，
HC EC 1
∴ = = ，
HD EB 3
故答案为：1:3．
六、解答题
49．（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆AB，
CD垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子BE，DF
恰好在一条直线上．
(1)请在图中画出路灯灯泡P的位置；
(2)哥哥和弟弟测得如下数据：AB=CD=1.6米，BE=1米，DF=2米，两根标杆的距离为
3.6米．请你根据以上信息：
①求△PAC与四边形AEFC的面积比．
②求灯泡P距离地面的高度．
【答案】(1)作图见解析
(2)①36:85；②3.52米
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练
掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键．
（1）连接FC、EA并延长，相交于点P，则点P即是灯泡的位置；
（2）①先证明四边形ABDC是矩形，得出AC∥EF，AC=BD=3.6，证明
△PAC∽△PEB，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解；
②过P作PH⊥EF，则PH即是灯泡P距离地面的高度，利用△PAC∽△PEB，得出
EA 5
= ，再证明△EAB∽△EPH，利用相似三角形的性质即可求解．
PE 11
【详解】（1）解：如图所示，连接FC、EA并延长，相交于点P，
34则点P即是灯泡的位置；
（2）解：①∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD=1.6米，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AB⊥EF，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC∥EF，AC=BD=3.6，
∴△PAC∽△PEF，
∵EF=BE+BD+DF=1+3.6+2=6.6（米），
∴相似比为AC:EF=3.6:6.6=6:11，
∴S :S =36:121，
△PAC △PEF
∴S :S =36:85；
△PAC 四边形AEFC
②如图，过P作PH⊥EF，则PH即是灯泡P距离地面的高度，
∵△PAC∽△PEF，
PA AC 6
∴ = = ，
PE EF 11
EA 5
∴ = ，
PE 11
∵PH⊥EF，AB⊥EF，
∴AB∥PH，
∴△EAB∽△EPH，
EA AB 5
∴ = = ，
EP PH 11
1.6 5
∴ = ，
PH 11
解得：PH=3.52（米），
35答：灯泡P距离地面的高度是3.52米．
50．（2025·江西新余·三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，将△ABC绕点
A顺时针旋转120°得到 △AED．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕
迹）．
(1)如图1，作线段AE绕点A顺时针旋转120°的得到的线段AF．
(2)如图2，作△ADE关于直线CE的对称图形△AEP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画旋转图形和画轴对称图形，熟知相关知识是解题的关键．
（1）如图所示，延长DA，BC交于点F，则线段AF即为所求；可证明
∠FAE=∠CAD=120°，再证明△ACB≌△ACF可得AB=AF=AE；
（2）延长DA，BC交于点F，延长BA交EF于P，则△AEP即为所求；可证明
∠DEA=∠PEA=30°，∠D=∠APE=90°，则可证明△ADE≌△APE．
【详解】（1）解：如图所示，线段AF即为所求；
（2）解：如图所示，△AEP即为所求．
36
