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2017年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2017的绝对值是（ ）
A．2017 B．﹣2017 C． D．﹣
2．（4分）一组数据1，3，4，2，2的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（4分）单项式2xy3的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（4分）如图，已知直线a∥b，c∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．61°
5．（4分）世界文化遗产长城总长约670000米，将数670000用科学记数法可表示为（ ）
A．6.7×104 B．6.7×105 C．6.7×106 D．67×104
6．（4分）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，
若△ABC，△PB′C′的面积分别为S ，S ，则下列关系正确的是（ ）
1 2
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．S ＝2S
1 2 1 2 1 2 1 2
7．（4分）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（4分）把不等式组 的解集表示在数轴上如图，正确的是（ ）
第1页（共25页）A． B．
C． D．
9．（4分）如图，已知点A在反比例函数y＝ 上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为
4，则此反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣
10．（4分）观察下列关于自然数的式子：
4×12﹣12
4×22﹣32
①
4×32﹣52
②
… ③
根据上述规律，则第2017个式子的值是（ ）
A．8064 B．8065 C．8066 D．8067
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）5的相反数是 ．
12．（4分）一组数据2，3，2，5，4的中位数是 ．
13．（4分）方程 ﹣ ＝0的解为x＝ ．
14．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
15．（4分）已知菱形的两条对角线的长分别是5cm，6cm，则菱形的面积是 cm2．
16．（4分）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端
的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝2米，BC＝18米，则旗杆CD的高度是
米．
第2页（共25页）17．（4分）从﹣1，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在第一象限
的概率为 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A
＝ ，且tan ＝ ，则tan2 ＝ ．
α α α
三、解答题
19．（10分）（1）计算：（ ）﹣1﹣4sin60°﹣（ ﹣1.732）0+
（2）先化简，再求值： • ，其中x＝2．
20．（10分）如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
第3页（共25页）21．（10分）某校为了了解九年级九年级学生体育测试情况，随机抽查了部分学生的体育测试
成绩的样本，按A，B，C（A等：成绩大于或等于80分；B等：成绩大于或等于60分且小于
80分；C等：成绩小于60分）三个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请
你结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中A等所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）若九年级有1000名学生，请你用此样本估计体育测试众60分以上（包括60分）的学生
人数．
22．（10分）如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点，连接
AE，CF，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明．
第4页（共25页）四、解答题
23．（12分）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y
（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
五、解答题
24．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的 O与AC交于点D，点
E是BC的中点，连接BD，DE． ⊙
（1）若 ＝ ，求sinC；
（2）求证：DE是 O的切线．
⊙
第5页（共25页）六、解答题
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M
是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在抛物线上找出两点P ，P ，使得△MP P 与△MCB全等，并求出点P ，P 的坐标；
1 2 1 2 1 2
（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作
图痕迹），并求出点Q的坐标．
第6页（共25页）2017 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2017的绝对值是（ ）
A．2017 B．﹣2017 C． D．﹣
【考点】15：绝对值．
【分析】根据绝对值定义去掉这个数的负号．
【解答】解：﹣2017的绝对值是2017．
故选：A．
【点评】此题考查了绝对值，解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一
个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（4分）一组数据1，3，4，2，2的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】W5：众数．
【分析】根据众数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵在数据1，3，4，2，2中，
2出现的次数最多，
∴这组数据1，3，4，2，2的众数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了众数的定义，熟记众数的定义是解题的关键．
3．（4分）单项式2xy3的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】42：单项式．
【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案．
【解答】解：单项式2xy3的次数是1+3＝4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式次数的计算方法．
4．（4分）如图，已知直线a∥b，c∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
第7页（共25页）A．30° B．60° C．120° D．61°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】由直线a∥b，c∥b，得出a∥c，∠1＝60°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2
的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，c∥b，
∴a∥c，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝∠1＝60°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应
用．
5．（4分）世界文化遗产长城总长约670000米，将数670000用科学记数法可表示为（ ）
A．6.7×104 B．6.7×105 C．6.7×106 D．67×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】17：推理填空题．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判
断即可．
【解答】解：670000＝6.7×105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
6．（4分）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，
若△ABC，△PB′C′的面积分别为S ，S ，则下列关系正确的是（ ）
1 2
第8页（共25页）A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．S ＝2S
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】JC：平行线之间的距离；Q2：平移的性质．
【分析】根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形
面积相等即可得到答案．
【解答】解：
∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AA′∥BC′，
∵点P是直线AA′上任意一点，
∴△ABC，△PB′C′的高相等，
∴S ＝S ，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查平移的基本性质： 平移不改变图形的形状和大小； 经过平移，对应点所
连的线段平行且相等，对应线段①平行且相等，对应角相等． ②
7．（4分）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷外角的度数计算即可．
【解答】解：180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
则这个多边形的边数是10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
8．（4分）把不等式组 的解集表示在数轴上如图，正确的是（ ）
A．
B．
第9页（共25页）C．
D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+3＞1，得：x＞﹣1，
解不等式3x+4≥5x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
9．（4分）如图，已知点A在反比例函数y＝ 上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为
4，则此反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G7：待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】由S△AOC ＝ xy＝4，设反比例函数的解析式y＝ ，则k＝xy＝8．
【解答】解：∵S△AOC ＝4，
∴k＝2S△AOC ＝8；
∴y＝ ；
故选：C．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k的几何意义．属于基
础题，难度不大．
第10页（共25页）10．（4分）观察下列关于自然数的式子：
4×12﹣12
4×22﹣32
①
4×32﹣52
②
… ③
根据上述规律，则第2017个式子的值是（ ）
A．8064 B．8065 C．8066 D．8067
【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类．
【分析】由 三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续
自然数的①平②方③的4倍，由此规律得出答案即可．
【解答】解：4×12﹣12
4×22﹣32
①
4×32﹣52
②
… ③
4n2﹣（2n﹣1）2＝4n﹣1，
所以第2017个式子的值是：4×2017﹣1＝8067．
故选：D．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）5的相反数是 ﹣ 5 ．
【考点】14：相反数．
【专题】11：计算题．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
12．（4分）一组数据2，3，2，5，4的中位数是 3 ．
【考点】W4：中位数．
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：数据2，3，2，5，4的中位数是3；
第11页（共25页）故答案为：3
【点评】此题考查中位数问题，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据
的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（4分）方程 ﹣ ＝0的解为x＝ 2 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】利用： 去分母； 求出整式方程的解； 检验； 得出结论解出方程．
① ② ③ ④
【解答】解： ﹣ ＝0
方程两边同乘x（x﹣1），得x﹣2（x﹣1）＝0
x﹣2x+2＝0，
解得，x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，
则x＝2是分式方程的解，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤： 去分母； 求出整式方程的解；
检验； 得出结论． ① ②
③ ④
14．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可
得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4k＝9﹣4k＝0，
解得：k＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关
键．
15．（4分）已知菱形的两条对角线的长分别是5cm，6cm，则菱形的面积是 1 5 cm2．
第12页（共25页）【考点】L8：菱形的性质．
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S＝ ab＝ ×5cm×6cm＝15cm2，
故答案为 15．
【点评】本题考查了根据对角线计算菱形的面积的方法，记住菱形的面积等于对角线乘积的
一半是解题的关键．
16．（4分）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端
的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝2米，BC＝18米，则旗杆CD的高度是
18 米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】根据相似三角形的判定推出△ABE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：CD＝18．
故答案为：18．
第13页（共25页）【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能根据相似三角形的判定定理推出两
三角形相似是解此题的关键．
17．（4分）从﹣1，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在第一象限
的概率为 ．
【考点】D1：点的坐标；X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与点落在第一
象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点P落在第一象限的可能是（1，2），（2，1）两种情形，
∴则该点在第一象限的概率为 ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的
事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A
＝ ，且tan ＝ ，则tan2 ＝ ．
α α α
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；T7：解直角三角形．
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得tan2 的值，本题得以解决．
【解答】解：连接BE， α
∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A＝ ，
第α14页（共25页）∴ED是AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝ ，
∴∠BEC＝2 ， α
α
∵tan ＝ ，设DE＝a，
α
∴AD＝3a，AE＝ ，
∴AB＝6a，
∴BC＝ ，AC＝
∴CE＝AC﹣AE＝ ，
∴tan2 ＝ ，
α
故答案为： ．
【点评】本题考查解直角三角形、线段垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．
三、解答题
19．（10分）（1）计算：（ ）﹣1﹣4sin60°﹣（ ﹣1.732）0+
（2）先化简，再求值： • ，其中x＝2．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角
的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂意义，立方根的意义，绝对值的意义即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
第15页（共25页）【解答】解：（1）原式＝2﹣4× ﹣1+2
＝1
（2）当x＝2时，
原式＝ •
＝
＝2
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
20．（10分）如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】先证得 ＝ ，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
【解答】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
∴ ＝ ＝1.2， ＝ ＝1.2，
∴ ＝ ，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【点评】本题重点考查了相似三角形的判定定理，本题比较简单，注要找准相似的两个三角形
就可以了．
21．（10分）某校为了了解九年级九年级学生体育测试情况，随机抽查了部分学生的体育测试
成绩的样本，按A，B，C（A等：成绩大于或等于80分；B等：成绩大于或等于60分且小于
80分；C等：成绩小于60分）三个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请
你结合图中所给的信息解答下列问题：
第16页（共25页）（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中A等所在的扇形的圆心角等于 10 8 度；
（3）若九年级有1000名学生，请你用此样本估计体育测试众60分以上（包括60分）的学生
人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据百分比＝ ，计算即可解决问题；
（2）求出A组人数即可解决问题；
（3）用样本估计总体的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）抽查了部分学生的总人数为25÷50%＝50（人），
A组人数＝50﹣25﹣10＝15（人），
条形图如图所示：
（2）扇形统计图中A等所在的扇形的圆心角为360°×（1﹣20%﹣50%）＝108°，
故答案为108．
（3）1000× ＝800（人），
答：估计体育测试众60分以上（包括60分）的学生人数有800人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所
第17页（共25页）学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点，连接
AE，CF，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明．
【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形性质推出AB＝CD，AB∥CD，得出∠EBA＝∠FDC，根据SAS证两三
角形全等即可．
【解答】解：添加的条件是DE＝BF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EBA＝∠FDC，
∵DE＝BF，
∴BE＝DF，
∵在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
也可以添加CF∥AE或∠F＝∠E，证明方法类似．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生
的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放
性的题目，答案不唯一
第18页（共25页）四、解答题
23．（12分）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y
（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）当20≤x≤80时，利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；
（2）根据销售利润达到800元，可得方程（x﹣20）（﹣x+80）＝800，解方程即可得到销售单价．
【解答】解：（1）当0＜x＜20时，y＝60；
当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把（20，60），（80，0）代入，可得
，
解得 ，
∴y＝﹣x+80，
∴y与x的函数表达式为y＝ ；
（2）若销售利润达到800元，则
（x﹣20）（﹣x+80）＝800，
解得x ＝40，x ＝60，
1 2
∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的
一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
五、解答题
第19页（共25页）24．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的 O与AC交于点D，点
E是BC的中点，连接BD，DE． ⊙
（1）若 ＝ ，求sinC；
（2）求证：DE是 O的切线．
⊙
【考点】MD：切线的判定；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，再利用同角的余角相等证明∠C＝∠ABD，进
而可得答案．
（2）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE
＝BE，推出∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，即可求出∠ODE＝90°，根据切线的判定推
出即可．
【解答】（1）解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵ ＝ ，
∴sin∠ABD＝ ，
∴sinC＝ ；
（2）证明：连接OD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠BDC＝90°，
第20页（共25页）∵E为BC的中点，
∴DE＝BE＝CE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EDO＝∠EDB+∠ODB＝∠EBD+∠OBD＝∠ABC＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是 O的切线．
⊙
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理的应用和三角函数，解此题
的关键是求出∠ODE＝90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线．
六、解答题
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M
是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在抛物线上找出两点P ，P ，使得△MP P 与△MCB全等，并求出点P ，P 的坐标；
1 2 1 2 1 2
（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作
图痕迹），并求出点Q的坐标．
第21页（共25页）【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）分三种情况：
当△P MP ≌△CMB时，取对称点可得点P ，P 的坐标；
1 2 1 2
①当△BMC≌△P
2
P
1
M时，构建 P
2
MBC可得点P
1
，P
2
的坐标；
②△P
1
MP
2
≌△CBM，构建 MP▱1 P
2
C，根据平移规律可得P
1
，P
2
的坐标；
（③3）如图4，先根据直径所对▱的圆周角是直角，以BC为直径画圆，与对称轴的交点即为点Q，
这样的点Q有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明△BDQ ∽△Q EC，列比例式，可得
1 1
点Q的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：
，
解得： ，
∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）如图1，P 与A重合，P 与B关于l对称，
1 2
∴MB＝P M，P M＝CM，P P ＝BC，
2 1 1 2
∴△P MP ≌△CMB，
1 2
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣ ）2﹣ ，
此时P （﹣1，0），
1
∵B（0，﹣2），对称轴：直线x＝ ，
第22页（共25页）∴P （1，﹣2）；
2
如图2，MP ∥BC，且MP ＝BC，
2 2
此时，P 与C重合，
1
∵MP ＝BC，MC＝MC，∠P MC＝∠BP M，
2 2 1
∴△BMC≌△P P M，
2 1
∴P （2，0），
1
由点B向右平移 个单位到M，可知：点C向右平移 个单位到P ，
2
当x＝ 时，y＝（ ﹣ ）2﹣ ＝ ，
∴P （ ， ）；
2
如图3，构建 MP P C，可得△P MP ≌△CBM，此时P 与B重合，
1 2 1 2 2
由点C向左平▱移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P
1
，
∴点P 的横坐标为﹣ ，
1
当x＝﹣ 时，y＝（﹣ ﹣ ）2﹣ ＝4﹣ ＝ ，
∴P （﹣ ， ），P （0，﹣2）；
1 2
（3）如图4，存在，
作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q 、Q ，
1 2
则∠BQ C＝∠BQ C＝90°；
1 2
过Q 作DE⊥y轴于D，过C作CE⊥DE于E，
1
设Q （ ，y）（y＞0），
1
易得△BDQ ∽△Q EC，
1 1
∴ ，
第23页（共25页）∴ ＝ ，
y2+2y﹣ ＝0，
解得：y ＝ （舍），y ＝ ，
1 2
∴Q （ ， ），
1
同理可得：Q （ ， ）；
2
综上所述，点Q的坐标是：（ ， ）或（ ， ）．
第24页（共25页）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性
质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出
函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问题；（3）分类讨论．本题属于中
档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解
决问题是关键．
第25页（共25页）
