文档内容
第一章 整式的乘除
1.5 平方差公式
第1课时 平方差公式的认识
学习目标：
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）
2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点）
自主学习
一、情境导入
绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸. 几天后还了一张宽为 (a -
4) cm，长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？
合作探究
一、要点探究
知识点一：平方差公式
合作探究
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
① (x＋2)( x－2)；
② (1＋3a)(1－3a)；
③ (x＋5y)(x－5y)；
④ (2y＋z)(2y－z).
猜想：
验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？
知识要点
平方差公式：
公式变形：
1填一填
典例精析
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
例2 利用平方差公式计算：
练一练
1. 利用平方差公式计算：
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
2想一想
回答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) = .
(2) (a－b)(b + a) = .
(3) (－a－b)(－a + b) = .
(4) (a－b)(－a－b) = .
二、课堂小结
当堂检测
1.下列式子能用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
(1) (a + b)(−a − b) ；
(2) (a − b)(b − a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) −(a − b)(a + b) ；
(5) (−2x + y)(y − 2x).
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
3. 利用平方差公式计算：
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
3参考答案
一、创设情境，导入新知
绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a -
4) cm，长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？
解：原正方形彩纸面积 a2
还的彩纸面积： (a + 4)(a − 4)= a2 − 4a + 4a − 42= a2 − 42＜a2
二、要点探究
知识点一：平方差公式
合作探究
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
① (x＋2)( x－2)； x2－4＝x2－ 22
② (1＋3a)(1－3a)； 1－9a2＝12－(3a)2
③ (x＋5y)(x－5y)； x2－25y2＝x2－(5y)2
④ (2y＋z)(2y－z). 4y2－z2＝(2y)2－z2
猜想：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？
对于任意数字 a、b 都有
(a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2= a2 − b2.
知识要点
平方差公式：(a + b)(a − b) = a2 − b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
公式变形：(a – b)(a + b) = a2 − b2
(b + a)(−b + a) = a2 − b2
填一填
典例精析
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) (5＋6x)(5－6x)＝52－(6x)2＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. (3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
4例2 利用平方差公式计算：
练一练
1. 利用平方差公式计算：
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2.
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
想一想
回答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) =_b2－a2__.
(2) (a－b)(b + a) = __a2－b2___.
(3) (－a－b)(－a + b) = _a2－b2__.
(4) (a－b)(－a－b) = ___b2－a2___.
课堂小结
5当堂检测
1.下列式子能用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
(1) (a + b)(−a − b) ；
(2) (a − b)(b − a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) −(a − b)(a + b) ；
(5) (−2x + y)(y − 2x).
答案；(1)不能；(2)不能；(3)不能；
(4)能，−(a2 − b2) = −a2 + b2；(5)不能.
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
(1) 不对.改正：x2－4.
(2) 不对.改正方法1：
原式 =－[(3a + 2)(3a－2)] =－(9a2－4)=－9a2 + 4.
改正方法2：原式 = (－2－3a)(－2 + 3a)= (－2)2－(3a)2= 4－9a2.
3. 利用平方差公式计算：
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
解：(1) 原式 = a2－(3b)2 = a2－9b2.
(2) 原式 = (2a + 3)(2a－3) = (2a)2－32= 4a2－9.
(3) 原式 = (－2x2 )2－y2= 4x4－y2.
(4) 原式 = (－5 + 6x)(－5－6x) = (－5)2－(6x)2= 25－36x2.
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