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第一章 整式的乘除
1.5 平方差公式
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式找两数和与这两数的差即可得到答案．
【详解】解：A、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题
意；
B、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、 ，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式：解题的关键是熟练掌握 ．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）为了便于直接应用平方差公式计算，应将
变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的特点 计算并判断．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】此题考查了平方差公式： ，即两个数的和乘以这两个数的差，正确
掌握平方差公式的构成特点是解题的关键．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）为了运用平方差公式计算 ，下
列变形中，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将 看作整体，利用平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
4．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式： ，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、 不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、 不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、 能用平方差公式计算，符合题意；
D、 不能用平方差公式计算，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题关键．
5．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）如图所示的分割正方形拼接成长方形的方案中，
可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】用代数式表示左图，右图阴影部分的面积即可．
【详解】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，而右图阴影
部分是长为 ,宽为 的长方形，因此面积为 ，
所以 ，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
6．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长
为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据大正方形的面积减小正方形的面积 矩形的面积，即可解答．
【详解】解：根据题意，得：
矩形一边长为 ，则另一边长为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方差公式的应用，熟记图形的面积公式是解决此题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）若 ，
则 _____， _____．
【答案】 4 8
【分析】原式根据平方差公式计算得到 ，即可求得 的值．
【详解】解：∵
∴原式=，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4，8．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征 是解题
的关键．
8．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）若 ， ，那么 的值是
_______．
【答案】2
【分析】根据平方差公式得到 ，再结合 即可得到答案．
【详解】解；∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式是解题的关键．
9．（2022秋·天津河北·八年级校考期末）计算 ______．
【答案】1
【分析】利用平方差公式进行简便计算即可．
【详解】原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平方差公式，能够将原式进行变形是解题的关键．
10．（2020秋·海南海口·八年级校联考期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b
的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证面积的等式为（用含
a、b的式子表示）_____________．
【答案】
【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为 ，新的图形
面积等于 ，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【详解】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为 ；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为 ，
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同
的几何图形的面积不变得到等量关系．
三、解答题
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)0
【分析】（1）直接利用平方差公式求解即可；
（2）直接利用平方差公式求解即可；
（3）直接利用平方差公式求解即可；
（4）先利用平方差公式计算，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）；
（4）
．
【点睛】题目主要考查平方差公式及整式的加减运算，熟练掌握平方差公式是解题关键．
12．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b
的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一
个长方形（如图2），解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ，请用含a，b的式子表示：
＝______， ＝______；（不必化简）
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______；
(3)利用（2）中得到的公式，计算： ．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形的和差关系表示出 ，根据长方形的面积公式表示出 ；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是 ；
（3）由（2）中所得公式，可得原式 ，从而简便计算出该题
结果．
【详解】（1）解：由题意得， ，
．
故答案为： ； ；（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为 ．
故答案为： ；
（3）解：由（2）中所得乘法公式 可得，
．
【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，
并能利用所验证公式解决相关问题是关键．
提升篇
一、填空题
1．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）计算：
的值为________________．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行变形运算求解即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方差公式，正确的计算是解决本题的关键．
2．（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）若 ，， ，比较a、b、c大小（用“<”连接）
___________．
【答案】
【分析】根据零指数幂，平方差公式，积的乘方逆运算，等将原式化简，比较大小即可．
【详解】解：∵ ，
，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了零指数幂，平方差公式，积的乘方逆运算，熟练掌握相关运算法则是
解本题的关键．
3．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）设 ， ，则 的值
是______．
【答案】 ##
【分析】按照积的乘方逆运算法则，结合平方差公式计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了积的乘方逆运算、平方差公式，灵活运用积的乘方运算法则是解题关
键．
4．（2022春·福建漳州·七年级校考阶段练习）计算：
______．
【答案】
【分析】先将原式变形为 ，再对括号内每项进行因式分
解，再进行计算即可．
【详解】原式．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了运用平方差分式进行计算，解决本题的关键是要熟练掌握会运用乘法
公式进行简便计算．
5．（2022秋·北京丰台·八年级期末）如图1，在边长为 的大正方形中，剪去一个边长为3
的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图
形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．
【答案】
【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即 ，
图2是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图
形中阴影部分面积．
二、解答题
6．（2022秋·八年级单元测试）简算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．【答案】(1)999999；
(2)9610；
(3)1；
(4)-2009；
(5)628．
【分析】（1）运用平方差公式简便运算即可；
（2）运用完全平方公式简便运算即可；
（3）部分运用平方差公式简便运算即可；
（4）部分运用平方差公式简便运算即可；
（5）先提取公因数，然后再运用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
＝
＝
＝1.
（4）解：
=
= .
（5）解：
=
==
=628.
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差
公式和完全平方公式是解答本题额关键．
7．（2022秋·四川内江·八年级校考阶段练习）先化简再求值：
(1) ，其中
(2) ，其中
【答案】(1) ，11
(2) ，8
【分析】（1）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，再合并同类项，把x的值代
入得出答案；
（2）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，再合并同类项，把已知等式变形代入
得出答案．
【详解】（1）解：原式
当 时，原式 ；
（2）解：原式
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形
（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A、B、
C、
(2)用你选的等式进行简便计算： ；
(3)用你选的等式进行简便计算：
．
【答案】(1)A
(2)8
(3)146927
【分析】（1）根据图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等列
出式子即可得到答案；
（2）根据（1）的结论进行求解即可；
（3）先推出 ，则可以得到所求式子
，在推出 ，进而推出
所求式子 据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积为： ，
图2中图形面积为 ，
∵图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等，
∴ ，
故选A；
（2）解：
；
（3）解：∵ ，
，
，
∴ ，∴
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
，
∴原式=146927．
【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，应用平方差公式进行简便计算，
数字类的规律探索，正确理解题意掌握平方差公式是解题的关键．
