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第 08 讲 整式的加减（5 个知识点+4 种题型+过关检测）
知识点1．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
知识点2．合并同类项
1
学科网（北京）股份有限公司（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字
母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式
的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
知识点3．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数
是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项
不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要
变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号
里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
知识点4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
2
学科网（北京）股份有限公司1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后
括号内的各项都要改变符号．
知识点5．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值
直接代入整式中计算．
题型一、整式加减运算
1．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）一个多项式与 的和是 ，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题主要考查了整式的加减，根据题意可知多项式为 ，再根据运算法则计算即可．
【详解】解：这个多项式为
．
故选：C．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先求出 ，再代值A、B，利用整式的加减计算法则求解
即可．
【详解】解；∵ ，
3
学科网（北京）股份有限公司∴
，
故答案为： ．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）马虎同学在计算一个多项式 减去另一个多项式 时，错将减号抄成
了加号，于是他得到的结果是 ，请问如果不抄错，正确答案该是多少？
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可求出多项式 ，再正确列出算式计算即可求解，掌握整式的加减运
算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴正确答案为： ．
题型二、整式加减应用
4．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知某个长方形相邻的两边长为 和 ，那么这个长方形的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式加减的应用
【分析】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并
同类项．
4
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得：
故选：C
5．（24-25七年级上·全国·单元测试）一列火车原有 人，中途有一半人下车，又有若干人上车，现在车上有
人，则上车的人数是 ．
【答案】 人
【知识点】整式加减的应用
【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减化简计算解答即
可．
【详解】解：根据题意，得
，
故答案为： 人．
6．（24-25七年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．
(1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
(2)设中间数为a，如何用代数式表示十字框中五个数之和？
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？
(4)十字框中的五个数之和能为2018吗？ 能为2025吗？
【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍
(2)
(3)这五个数之和还是中间数的5倍
5
学科网（北京）股份有限公司(4)十字框中五个数之和不能为2018，十字框中五个数之和能为2025
【知识点】整式加减的应用、用代数式表示式、数字类规律探索
【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律．
（1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论即可得；
（3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得；
（4）用2018除以5，得2018不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2018，用2025除以5，得2025是5的倍
数，则可得十字框中的五数之和能为2025．
【详解】（1）解： ，
则十字框中的五个数之和与中间数15的5倍；
（2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为 ， ， ， ，
由题意，得 ，
因此十字框中的五个数之和为 ．
（3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为 ， ， ， ，
由题意，得 ，
因此这五个数之和还是中间数的5倍.
（4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍，
，
因为 是小数，
所以十字框中五个数之和不能为2018，
，
因为405是整数，且405在第三列，
所以十字框中五个数之和能为2025．
题型三、整式的加减中的化简求值
6
学科网（北京）股份有限公司7．（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式 的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得 ，移项得
，将 化简为 ，再将 代入计算，即得答案．
【详解】 是方程 的解，
，
，
．
故选B．
8．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知 ， ，则代数式 的值是 ．
【答案】
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了整式的加减 化简求值，先对整式进行化简，再把已知条件代入计算即可求解，掌握整式的运算
法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
9．（24-25七年级上·全国·课后作业）我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，
则 ．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项
式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)把 看成一个整体，化简： ；
7
学科网（北京）股份有限公司(2)已知 ，求（1）中整式的值；
(3)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)
(2)
(3) ，4
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了合并同类项，整体思想的运用是解答本题的关键．
（1）把 看成一个整体合并同类项即可；
（2）把 代入（1）化简的结果计算即可；
（3）把 看成一个整体合并同类项化简，再把 代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当 时，
原式 ；
（3）解：
，
8
学科网（北京）股份有限公司当 时，
原式 ．
题型四、整式加减中的无关问题
10．（24-25七年级上·全国·单元测试）多项式 与 的差中不含 项，则m的值为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
【答案】D
【知识点】整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将多项式进行合并后，令含有 项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：
∵多项式 与 的差中不含 项，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
11．（24-25七年级上·全国·课后作业）当关于x的多项式 中不含二次项和一次项时，
， ．
【答案】 /
9
学科网（北京）股份有限公司【知识点】整式加减中的无关型问题
【分析】本题主要考查了多项式中不含某项，熟知不含哪一项，则哪一项的系数为0是解题的关键．根据不含哪一项，
则哪一项的系数为0建立等式求解，即可解题．
【详解】解： 关于x的多项式 中不含二次项和一次项，
、 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式： ，其中 、 为常数，且表示为
系数，然后让同学们给 、 赋予不同的数值进行计算．
(1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为 ，则甲同学给出 、 的值分别是 ， ；
(2)乙同学给出了 ， ，请按照乙同学给出的数值化简整式；
(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
【答案】(1)4，2
(2)
(3)
【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解决本题的关键．
先算出整式 的结果．
（1）根据甲同学的计算结果，算出 、 的值即可；
（2）根据 ， ，代入化简整式即可；
（3）根绝最后的结果与 取值无关，计算出最后的结果．
【详解】（1）解：
10
学科网（北京）股份有限公司．
甲计算的结果为 ，
， ．
， ．
故答案为：4，2；
（2）解：乙同学给出了 ， ，
计算结果为
．
（3）解： 丙同学计算的最后结果与 的取值无关，
， ．
， ．
当 ， 时，丙同学的计算结果 ．
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则，字母和指数不变，系数相加．
【详解】解：A、 不能合并，故错误，不合题意；
11
学科网（北京）股份有限公司B、 ，故错误，不合题意；
C、 ，故正确，符合题意；
D、 ，故错误，不合题意；
故选：C．
2．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据合并同类项法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，此项正确，符合题意；
B、 与 不是同类项，不可合并，此项错误，不符题意；
C、 与 不是同类项，不可合并，此项错误，不符题意；
D、 ，此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．
3．对多项式 添括号，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据添括号法则：括号前面是正号，括号里面每一项的符号不变，括号前面为负号，括号里面的每一项都要
变号，进行判断即可．
【详解】解：多项式 添括号，可得： ；
故选A．
【点睛】本题考查添括号．熟练掌握添括号法则，是解题的关键．
12
学科网（北京）股份有限公司4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项逐项计算即可求得答案．
【详解】A. 和 ，不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 和 ，不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了合并同类项，正确的计算是解题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．
6．不改变代数式的值，把 的二次项放在前面带有“+”号的括号里，把一次项放在前面带有“-”号的括
号里，正确的是（ ）
A． B．
13
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】D
【分析】先分清代数式中的二次项和一次项，再根据添括号的法则解答.
【详解】解： ；
故选：D.
【点睛】本题考查了多项式的相关概念和添括号法则，正确找出多项式中的二次项和一次项、熟知添括号的法则是关
键.
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的加减运算法则进行化简即可求出答案．
【详解】解：A、m2n与﹣2mn2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、2x与3y不是同类项，故不能合并，故B不符合题意．
C、原式＝2a﹣6b，故C不符合题意．
D、原式＝﹣6ab，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
8．设A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则 的次数是（ ）
A．7 B．4 C．3 D．4或3
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减，解题关键是合并同类项得法则．根据合并同类项得法则可得出 的次数是四次
的．
【详解】解：∵A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，
14
学科网（北京）股份有限公司∴ 的次数是4，
故选B．
9．如图，六边形是由9个等边三角形拼成的，若中间的小等边三角形的周长为 ，那么六边形的周长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减的应用；设中间的三角形边长为 ，左上角的三角形边长为 ，进而分别表示出各三
角形的边长，即可求解．
【详解】设中间的三角形边长为 ，左上角的三角形边长为 ，
如图所示，可知 ，则 ，
六边形的周长为 ．
故选：B．
10．任意写下一个两位数，用它两个数位的数字和的10倍减去这个两位数，得差．然后对差重复这一运算程序……，
以下结论正确的是（ ）
A．差是7的倍数 B．差是8的倍数 C．差是9的倍数 D．差是10的倍数
【答案】C
15
学科网（北京）股份有限公司【分析】设一个两位数为 ，根据要求进行计算，即可得出结论．
【详解】解：设一个两位数为 ，由题意，得：
，
,
∴差是9的倍数，
故选C．
【点睛】本题考查整式的加减运算．解题的关键是能够正确的表示出一个两位数．
二、填空题
11．化简： ．
【答案】
【分析】直接合并同类项，可得答案．
【详解】
．
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的加减，准确合并同类项是解答本题的关键．
12．若a＜3，则|a﹣3|﹣（1﹣a）的值是 ．
【答案】2
【分析】根据绝对值的性质去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：∵a＜3，
∴a﹣3＜0，
∴原式 ，
故答案为：2．
16
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的有关性质，正数和0的绝对值为它本身，负数的绝对值
是它的相反数．
13．若关于x的多项式 中不含二次项，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了整式加减中不含某项的问题，先合并同类项，再根据不含二次项，即二次项系数为0进行求
解即可．
【详解】解；∵关于x的多项式 中不含二次项，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
14．若两个单项式 与 的和仍然是单项式，则和的次数为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了合并同类项定义，根据题意可得出 与 是同类项，再根据同类项的定义求出m、
n的值，然后即可得出和的次数．
【详解】解：∵两个单项式 与 的和仍然是单项式，
∴ ， ，
∴和的次数为3，
故答案为：3．
15．当 的值为 时， 与 的和不含 的一次项．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是先合并同类项，根据不含 的一次项得出相应系数为0，即可求解．
【详解】解：
17
学科网（北京）股份有限公司∵和不含 的一次项，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
16．已知有理数 ， ， 对应的点在数轴上的位置如图所示，且 ，化简： 的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减、绝对值、数轴，根据数轴上点的位置可得 ，从而可得 ，
，然后根据绝对值的意义，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
17．甲、乙、丙三名同学在课间玩卡牌互动游戏：首先三名同学手上有着相同数量的卡牌（假定每名同学手中的卡牌
数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，甲同学拿出三张卡牌给乙同学；
第二步，丙同学拿出五张卡牌给乙同学；
18
学科网（北京）股份有限公司第三步，甲同学手中此时有多少张卡牌，乙同学就拿出多少张卡牌给甲同学．
请你确定，最终乙同学手中剩余的卡牌的张数为 ．
【答案】11
【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用．设开始时三名同学手上都有 张卡牌，第一步后，甲手上有 张
卡牌，乙同学手上有 张卡牌，第二步后，乙同学手上有 张卡牌，第三步后，乙同学手上还有
张卡牌，求解即可．读懂题意，正确的列出代数式，是解题的关键．
【详解】解：设开始时三名同学手上都有 张卡牌，
由题意，得：最终乙同学手中剩余的卡牌的张数为： ；
故答案为：11．
18．对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以3，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移
1个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B经过“倍移”后，得到的点分别为
A′、B′，将点A′、B′，若A′B′＝2022，则AB＝ ．
【答案】674
【分析】设点A表示的数为e，点B表示的数为f，则点A′表示的数为3e+1，点B′表示的数为3f+1，根据题意得到
3f+1-(3e+1)=2022，进而即可求解得到AB=674．
【详解】解：设点A表示的数为e，点B表示的数为f，则点A′表示的数为3e+1，点B′表示的数为3f+1，
根据题意得：3f+1-(3e+1)=2022，即3(f-e)= 2022，
∴AB=f-e=2022 3=674．
故答案为：674．
【点睛】本题考查了新概念“倍移”、数轴上两点间的距离等知识；熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．
三、解答题
19．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸有
三种剪裁方法，其中 种裁法：裁成4个侧面； 种裁法：裁成3个侧面与2个底面； 种裁法：裁成2个侧
面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按 种方法剪裁的白板纸有 张，按 种方法剪裁
的白板纸有 张．
19
学科网（北京）股份有限公司(1)按 种方法剪裁的白板纸有______张．（用含 的式子表示）
(2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含 的式子表示，结果要化简）
【答案】(1)
(2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出 个侧面与 个底面
【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减的应用，理解题目中的数量关系，是解题的关键．
（1）用50减去A、B种裁法，即可得到答案；
（2）根据侧面数 种裁法 种裁法 种裁法，底面数 种裁法 种裁法，即可求解．
【详解】（1）由题意得：按C种方法剪裁的有 张白板纸
故答案是： ；
（2）由题意得：可以裁出的侧面： （个）．
可以裁出的底面： （个）．
20．小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．
(1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果
保留π）
20
学科网（北京）股份有限公司(2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进
阳光的面积：________；（结果保留π）
(3)当 米， 米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（π
取3）
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积．
（1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积；
（2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积；
（3）将（2）（1）的结论作差，再将 米， 米代入，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为 ，
∴装饰物的面积为： ，
∴窗户能射进阳光的面积为： ；
（2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为 ，
∴装饰物的面积为： ，
∴图2窗户能射进阳光的面积为： ；
（3）解：
21
学科网（北京）股份有限公司，
将 代入，可得：
原式 ，
答：两图中窗户能射进阳光的面积相差 ．
21．整式加减：
(1)整式化简： ．
(2)先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】(1)
(2) ，4
【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式去括号合并即可得到结果；
（2）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）原式
（2）原式
，
当 ， 时，
原式 ．
22．有一个三位数，其百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ．若这个三位数百位数字的4倍加上十位数字的2
倍，再加上个位数字的和能被8整除，则称这个三位数是“航天数”．如：232， ，故232是
22
学科网（北京）股份有限公司“航天数”．
（1）请你写出最小的三位“航天数”______；并判断448是否是“航天数”；
（2）请证明任何一个三位“航天数”能被8整除，
【答案】（1）104，448是“航天数”；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据 能被8整除确定使“航天数”最小时 的值即可；再根据“航天数”的定义判断448
即可得；
（2）先将三位数用十位制表示出来，再结合“ 能被8整除”进行判断即可得．
【详解】（1）设一个三位“航天数”的百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，
则 能被8整除，
要使“航天数”最小，则 的值应该最小，
若 ，则当 时， 正好能被8整除，
故最小的三位“航天数”为 ；
因为 ，
所以448是“航天数”；
（2）设一个三位“航天数”的百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，
则 能被8整除，
这个三位“航天数”用十位制表示出来为 ，
，
，
故任何一个三位“航天数”能被8整除．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，正确理解“航天数”的定义是解题关键．
23．我校七年级有象棋、足球、演讲、美术共四个社团，参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的
人数的两倍少y人，参加演讲社团的人数比足球社团人数的一半多1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有
人．
23
学科网（北京）股份有限公司(1)足球社团有________人，演讲社团有________人．（用含x，y的式子表示）
(2)若 ， ，求美术社团的人数．
【答案】(1) ，
(2)美术社团有67人
【分析】本题考查了整式的加减与实际问题，正确合并同类项是解题的关键．
（1）利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）利用整式的加减运算法则化简整式，再代入数值计算得出答案．
【详解】（1）解：∵参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的人数的两倍少y人，
∴参加足球社团的有 人，
∵参加演讲社团的人数比足球社团人数的一半多1人，
∴参加演讲社团的有 人，
故答案为： ， ；
（2）解: ∵参加社团的学生共有 人，
∴美术社团的人数为
，
当 ， 时，
原式 ，
即美术社团有67人．
24
学科网（北京）股份有限公司24．“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和从右往左读，结果完全相同．文学上把这样的现象称
为“回文”，数学上也有类似的“回文数”，比如252，7887，34143．小明在计算两位数减法的过程中意外地发现有
些等式从左往右读的结果和从右往左读的结果一样，如： ； ； ．数学
上把这类等式叫做“减法回文等式”．
(1)观察以上等式，请你再写出一个“减法回文等式”；
(2)请归纳“减法回文等式”的被减数 （十位数字为 ，个位数字为 ）与减数 应满足的条件，并证明．
【答案】(1) （答案不唯一）；
(2) ，证明见解析．
【分析】本题考查整式的运算，读懂题意，正确计算整式的加减是解题的关键．
（1）根据观察发现“减法回文等式”的被减数中所有数字之和等于减数中所有数字之和，据此规律即可得到答案；
（2）根据 即可证明结论．
【详解】（1） （答案不唯一）；
（2）归纳“减法回文等式”的被减数 （十位数字为 ，个位数字为 ）与减数 应满足的条件是 ，
证明： ，
，
，
．
25．如图：
(1)在数轴上标出数 、 、 、 所对应的点 、 、 、 ；
(2) 、 两点间距离=______； 、 两点间距离=______； 、 两点间距离 ______；
(3)设数轴上两点 、 ，点 对应的数为 、 点对应的数为 ，（点 在点 的左侧），那么 、 两点之
间的距离 ______；
25
学科网（北京）股份有限公司(4)若动点 、 分别从点 、 同时出发，沿数轴负方向运动；已知点 的速度是每秒 个单位长度，点 的速度是
每秒 个单位长度，则 秒后 、 两点之间的距离是______．
(5)有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，试简化： ．
【答案】(1)见解析
(2) ； ；
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）在数轴上找出 、 、 、 即可；
（2）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值；
（3）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值；
（4）根据题意求出 与 在 秒后所表示的数，即可求出 、 之间的距离；
（5）根据数轴比较 、 、 、 与 的大小关系，然后化简即可．
【详解】（1）如图所示：
（2） ，
，
，
故答案为： ， ， ；
（3） ；
26
学科网（北京）股份有限公司（4）由题意可知： 秒后，点 所走的路程为： ，点 所走的路程为： ，
点 、 所表示的数分别为： ， ，
此时 ；
（5）由数轴可知： ，
∴ ， ， ， ，
∴
原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值、两点之间的距离公式．解题的关键是理解题意，数形结合．
26．某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为 （ ）的正方形纸板制作出
两种不同方案的长方体盒子（图 为无盖的长方体纸盒，图 为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证制作的可行
性并解答问题．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
【动手操作一】根据图 方式制作一个无盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 （ ）
的小正方形，再沿虚线折合起来．
(1)该长方体纸盒的底面面积为 ；（用含 ， 的代数式表示）
(2)若 ， ，则长方体纸盒的底面积为 ，体积为 ．
【动手操作二】根据图 方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 （ ）的
小正方形和两个同样大小的边长适当的小长方形，再沿虚线折合起来．
(3)该长方体纸盒的底面积为 ；（用含 ， 的代数式表示）
(4)长方体纸盒的体积为 ．（用含 ， 的代数式表示）
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学科网（北京）股份有限公司【问题解决】
(5)现有两张边长均为 的正方形纸板，分别按图 、图 的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，那么无盖盒子的
体积是有盖盒子体积的多少倍？
【答案】(1)
(2) ；
(3)
(4)
(5) 倍
【分析】（1）先判定底面是正方形，再计算正方形的边长为 ，最后计算面积即可．
（2）根据底面面积为 ，代入求值即可；利用 计算即可．
（3）设底面长方形的长为x，宽为y，根据拼剪的示意图，得到 ，计算出 利用
计算即可．
（4）利用 计算即可．
（5）根据 ，分别计算出盒子的体积，在计算商即可．
【详解】（1）根据题意，得到底面四边形的各边相等，且都为 ，故该四边形是一个正方形，
故其面积为 ．
故答案为： ．
（2）根据（1）得底面面积为 ，
当 ， 时，
，
28
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ； ．
（3）设底面长方形的长为x，宽为y，根据拼剪的示意图，得到 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（4）根据 ，
故答案为： ．
（5）根据 ，
则无盖子的盒子的体积为 ，
．
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
【点睛】本题考查了剪图的意义，长方体的体积计算，熟练掌握拼图的几何意义，几何体的体积计算公式是解题的关
键．
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