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培优 01 各种统计量的计算与决策（5 大题型）
题型1 平均数与加权平均数的计算
区分算术平均数（各数据和÷个数）与加权平均数（各数据×其权数后求和，再除以权数和）。
关键是识别“权”的含义（如频数、比例），确保计算中每个数据与对应权数相乘，最后验证
结果合理性。
1．在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结
果多（ ）
A．9 B．10 C．19 D．2
2．张先生计划端午节假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五
朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民宿三个
方面进行评分（10分制）,四个景区的评分如下表所示：
特色美
景区 自然风光 乡村民俗
食
五朵山 10 7 7
宝天曼 9 7 8
石头村 6 8 9百尺潭 8 6 6
张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照 、 、 的比重计算总评分数以确定要去
的景区，则他最终选择的景区是（ ）
A．五朵山 B．石头村 C．宝天曼 D．百尺潭
3．某班有50名学生，其中30名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班50名
学生的平均身高为 厘米．
4．某车间工人日加工零件数的情况如图所示，则这些工人日加工零件数的平均数是 个．
5．某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：则这批灯
泡的平均使用寿命是 h．
使用寿命
灯泡只数 30 30 40
6．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占 ，现场展示占 计算选手
的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计 分，现场展示 分，则他的综合
成绩是 分．
题型2 求众数与中位数
众数：出现次数最多的数据（可能多个）。中位数：先排序，奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平
均数。注意：中位数不受极端值影响，但需确保数据已完整排序。
7．眼睛是心灵的窗户，为了保护学生视力，某校定期给学生检查视力，下表是该校某班40名学生右眼视
力的检查结果，这组数据的中位数是（ ）
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0人数 1 3 6 2 4 3 3 2 3 8 5
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.9
8．教育部新闻办指出：给孩子好的教育，从培养学习习惯开始．为此，学校开展“优化数学学习习惯”
的主题活动，要求学生30分钟内完成当天的数学作业．小敏记录了她所在小组各成员某天完成数学作业的
时长（单位：分）．具体数据如下表：
成员 A B C D E F G H
2 2 2 1
完成作业时长（单位：分） 24 17 21 23
3 6 1 8
该小组成员完成数学作业时长的中位数是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
9．某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是
（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．为了解八（1）班学生的睡眠状况，小明调查了全班50名学生每天的睡眠时间，绘成如图所示的睡眠
时间统计图，则所调查学生睡眠时间的众数是（ ）
A． B． C． D．
11．人体其实自带一些“尺子”，古人就常用身体的“尺子”测量长度，“拃长”就是其中一种．“一
拃”的长度是手指用力张开后，大拇指指尖到中指指尖之间的距离．了解到这个知识后，帆帆产生了浓厚的兴趣，于是测量了自己的“拃长” 单位： ，测量 次的结果为： ， ， ，19.7， ，
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A． ， B．19.7，19.7 C． ，19.7 D． ，
12．为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了 户家庭的月用水量，结果如下表：则这 户家庭的月用
水量的众数与中位数分别为（ ）
月用水量 吨
户数
A． 、 B． 、 C． 、 D． 、
13．五峰某月连续 天的最低气温（单位： ）分别是： ， ， ， ， ， ， ， ， 这组
数据的众数是 ．
14．运动不息，健康常在．学校鼓励和督促学生积极参加体育锻炼，小明对自己一周的体育锻炼时长进行
了记录．已知他每天体育锻炼的时长分别为 单位：小时 ：1， ，2， ， ， ， ，则这组数
据的众数是 ．
题型3 方差的计算
方差衡量数据波动性。常用公式： 。步骤：①求平均数；②各数据减
平均数的平方；③求平方和的平均数。简化计算可先求各数据平方的平均数减平均数的平方。
15．某班学生数学成绩的平均分为80分，方差为100，若将每位学生的成绩都加10分，则新成绩的（
）
A．平均分变为90，方差不变 B．平均分不变，方差加10
C．平均分和方差都加10 D．平均分和方差都不变
16．若一组数据 的平均数为18，方差为3，则数据 ，
的平均数和方差分别是（ ）
A．18，3 B．18，5 C．19，5 D．19，3
17．一组数据的方差计算如下： ，则这组数据的方差．
18．数据 、 、 、 、 的方差是 ．
19．物理老师想了解比较哪个班的物理优生成绩更稳定，学校组织了一场物理竞赛，九年级一班的六位参
赛选手，其中五位选手的成绩分别是 分、 分、 分、 分、 分，第六位选手的成绩不小心被删除，
只知道没有改变他们的平均分，则一班这六位选手的物理成绩的方差是 ．
20．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求 的平均
数和方差．
题型4 由未知特征数求其余特征数
当某个数据未知时，利用平均数、方差等公式反推。例如，已知平均数和一个未知数，可列方程求解；
已知方差和大部分数据，可通过方差公式解出未知数。注意方程合理性。
21．一组数据 ， ， ， ， ， ， 有唯一的众数 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
22．已知一组数据：3，3，4，5， ，6有唯一的众数，则 的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
23．如果一组数据： ，4，3， ， 的众数是3，则这组数据的平均数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．若一组数据2、4、x、2、3、3、5的众数为2，则这组数据的平均数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．若一组数据6，5，8，7，x，10的平均数为7，则这组数据的众数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
26． 的平均数为m， 的平均数为 ，则 的平均数为（ ）
A． B． C． D．
27．已知一组数据3，4，5，6， 的众数为5，则这组数据的平均数为 ．
28．若一组数据的平均数为 ，则数据总和为 ，则这组数据的个数为 ．
29．已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是 ．
30．小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个
最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相差 米．
31．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：
，分析算式中的信息， ，
．
32．已知一组数据 的平均数是10，方差是2，数据 的方差是 .
33．已知一组数据的方差 ，则 ．
题型5 利用特征数决策
根据问题需求选择合适统计量：比较平均水平用平均数；比较集中趋势用众数或中位数（尤其有极端值
时）；比较稳定性用方差（方差小更稳定）。需结合语境解释统计量的实际意义。
34．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：
鞋的尺 2
22 23 25
码/cm 4
销售量
2 3 12 17 9 5 2
（双）
若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为 的鞋，你认为他做这个决定是重
点关注了下列统计量中的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
35．学校运动会开幕式上，某班级计划在走方阵时从以下四个角色中选择一个作为领队进行扮演，经班级
学生投票后，决定选择哪吒作为领队角色．这样决定依据的统计量是（ ）
角色 孙悟空 哪吒 唐僧 杨戬
投票人数 10 20 12 6
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
36．数学文化的学习有利于激发学生学习数学的兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握情况，以班级
为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动，其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为突出，
部分数据如下表：
甲 乙 丙 丁
87 87 82 850.12 0.67 0.16 0.85
根据表中数据，成绩较好且较为稳定的班级是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
37．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投篮技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然
后再按控球技能占 ，投篮技能占 计算选手的综合成绩（百分制）．选手小林的控球技能得90分，
投篮技能得80分．小林的综合成绩是（ ）
A．170分 B．85分 C．84分 D．83分
38．粮食生产是河南的一张王牌，今天的河南，用全国 的耕地，生产了全国 的小麦、 的粮食，每
年调出原粮和制成品600亿斤以上．河南某县随机从甲、乙、丙、丁四个品种的小麦中各称量了10亩，每
亩产量的平均数 （单位：千克）及方差 （单位：千克 ）如下表所示．明年准备从四个品种中选出一
种产量既高又稳定的小麦品种进行种植，应选的品种是（ ）
甲 乙 丙 丁
49
500 470 495
5
1.1 2.8 1.5 1.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
39．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是 ．
40．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数 单位：环 和方差
如下表：
甲 乙 丙 丁
环
根据表中数据，你认为应该推荐运动员 去参赛，更有把握赢得比赛．41．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且
状态稳定的同学参加全国数学竞赛，那么应选 同学．
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方差 4.2 4.2 5.4 5.8
42．如图，农科院将甲、乙两种甜玉米种子在自然条件相同的试验田进行试验，将得到的每公顷产量描成
如图所示的统计图．由统计图观察可知，农科院应该选 种甜玉米种子使得产量更稳定．
43．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、
丙各方面得分如下表：
序号项目 甲 乙 丙
笔试成绩/分 82 81 84
面试成绩/分 79 90 80
体能成绩/分 91 72 76
(1)根据三方面得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按 的比例计入
总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用．
44．某市对参加2024年中考的50000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数直
方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：频数 频
视力
（人） 率
20 0.1
40 0.2
70 0.35
a 0.3
10 b
(1)在频数分布表中，a的值为________，b的值为________，并将频数直方图补充完整；
(2)甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况应在什么范围内？
45．某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能
测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组（ ），B
组（ ），C组（ ），D组（ ）．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图：【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求A组人数，并补全条形统计图；
(2)估计该校八年级参加测试的800名男生中成绩不低于10个的人数；
(3)从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
培优综合练
46．如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差 ．当他得知期
末数学成绩时，计算出六次成绩的方差 ，发现 ，小雨的期末数学成绩可能是（ ）
A．82 B．88 C．90 D．93
47．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每
人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位： ）的数据后，计算每
片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：
根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A．核桃树叶长宽比为 出现的次数最多B．枇杷树叶的长宽比最大为
C．小明测量一片枇杷叶的长为 ，小明断定它的宽一定为
D．小亮收集到一片长 、宽 的树叶，判断它是一片核桃树叶
48．一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
49．长沙市抽样调查了 位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是 元．由于将这个数据
输入错了，所以计算机显示的这 位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了 元，则输入计算机
的那个错误数据是 ．
50．定义：一组数据 ， ，…， 的平均数为 ，那么称这 个数据与平均数 的差的平方和叫做这
个数据的离差平方和，记作 ．那么 ， ， ， ， 的离差平
方和是 ．
51．某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将
这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布．若按照以下分组方式：第一组 ，
第二组 ，则组内离差平方和为 ．
52．2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要
求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取甲、乙、丙三名学生参加为期5
天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）：
学
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
生
甲 64 58 60 60 59
乙 60 63 60 60 57
丙 62 60 58 59 p
对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方
差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是
，表中p（p为整数）的值为 ．
53．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演
讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）．
(1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩；
学生 众
1 2 3 4 5 6 平均分 中位数
项目 数
C x 6 7 8 8 9 a b c
D 6 8 8 8 9 9 8 d 8
① ______；
②如果 ，且x不是这组中成绩最高的，求x的值：
(2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率．
C D E
C （C、C） （C、D） （C、E）
D （D、C） （D、D） （D、E）
E （E、C） （E、D） （E、E）
54．暑假来临，小明一家计划去泰山旅游，为了选择一个合适的酒店，小明对甲、乙两个酒店进行了调查
与评估．他依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．两
个酒店的得分如表所示：
安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 8 6 9
乙 8 7 6 8
(1)若通过平均分来确定最终评分，请通过计算回答：小明会选择哪家酒店？
(2)但小明一家认为各项都有不同的“重要程度”．小明爸爸认为应该按 确定最终评分，小明则认
为应该按 确定最终评分．请你从小明爸爸和小明两人中挑选一个方案，推荐更合适的酒店，并通
过计算说明．
55．为了鼓励学生养成良好的消费习惯，提升理财意识，某校在课后社团活动中开设了《理财小能手》特
色课程．课程结束后，同学们为了解全校 名学生每天使用零花钱的状况．随机抽取部分学生进行调查，
并绘制了如下统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并求出扇形统计图中 的值；
(2)求抽取的该部分学生使用零花钱的众数；
(3)根据以上数据，估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过 元的学生人数．
56．某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间简称“作业时间”情况，在本校随机调查了40
名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表：
“作业时间” 组内老师的平均“作业时
组别 频数
/分钟 间”/分钟
A 8 50
B 14 75
C 100
D 8 135
根据上述信息，解答下列问题：
(1) __________；
(2)这40名老师的“作业时间”的中位数落在__________组；
(3)求这40名老师的平均“作业时间”．
57．宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的
试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是
___________．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如
下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最大值．
根据以上信息，解答问题：
（1）甲样本中 组的频率是_________；
（2）补全乙样本的频数分布直方图．
【分析与应用】
（1）填表：
样 平均数 方
中位数出现的组别
本 （kg） 差
甲 5.73
乙 15.74 4.85
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如 的中间值为 ）
（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于 的株数；
（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．样 平均数 方
中位数出现的组别
本 （kg） 差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 4.85
