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第 07 讲 解题技巧专题：利用勾股定理解决面积问题
(5 类热点题型讲练)
目录
【考点一 利用等积法求三角形中某边上的高】....................................................................................................1
【考点二 利用等积法证明勾股定理】....................................................................................................................5
【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】..........................................................................................................11
【考点四 利用割补法求不规则图形的面积】......................................................................................................15
【考点五 “勾股树”及其拓展类型求面积】......................................................................................................18
【考点一 利用等积法求三角形中某边上的高】
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________．
【答案】 ##7.2##
【解析】
【分析】
设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： ，
设点C到斜边AB的距离是h，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．
【详解】
解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：
c2=62+82 ，
则 c=10 ，
直角三角形面积 S= ×6×8= ×c×h ，
可得 h=4.8 ，
故选：C．
2．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD
的长为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
】解：由勾股定理得：AC= ，
∵S ABC=3×4- ×1×2- ×3×2- ×2×4=4，
△
∴ AC•BD=4，
∴ ×2 BD=4，
∴BD= ，
故答案为： ．
3．如图，在 中， ， ， 是 的边 上的高，且 ， ， ，求 的边 上的高．
【答案】 ．
【分析】先根据勾股定理求出AE和BE，求出AB，再根据勾股定理的逆定理推出△ABC是直角三角形，
并求出△ABC面积，进一步得到△ABC的边AB上的高即可．
【详解】解：∵DE是 的AB边上的高
∴
∵在Rt△ADE中， ，
∴由勾股定理得：
同理：在Rt△BDE中，由勾股定理得：
∴
∴在△ABC中，由AB=10，AC=6，BC=8得：
∴△ABC是直角三角形
设△ABC的AB边上的高为h
∵
∴
∴
∴ 的边 上的高为： ．
4．如图，在 中， ， ，在 中， 是 边上的高， ， ．
(1)求 的长．
(2)求斜边 边上的高．
【答案】(1)(2)斜边AB边上的高是4.8
【分析】（1）根据在 中， 是 边上的高， ， ，可以计算出 的长，然后
根据勾股定理即可得到 的长；
（2）根据等面积法，可以求得斜边 边上的高．
【详解】（1）解：（1）∵在 中， 是 边上的高， ， ，
∴ ，即 ，解得 ，
∵在 中， ， ，
∴ ；
（2）解：作 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，即斜边AB边上的高是4.8．
5．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形
为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求
线段AD的长度．
（2）深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD
与AB的数量关系，并给予证明．
【答案】（1） ；（2）CD＝AB，证明见解析
【分析】（1）根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，CA2＝AD2+1，于是AD2＝（AD2+9）﹣（AD2+1）＝8，即可解决问题；
（2）由CA2﹣AB2＝AD2可得：CA2﹣AD2＝AB2，而CA2﹣AD2＝CD2，即可推出CD2＝AB2．
【详解】解：（1）如图1，根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，AC2＝AD2+1，
∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，
∴AB2﹣CA2＝AD2，
∴AD2＝（AD2+9）﹣（AD2﹣1）＝8，
∴AD＝2 ；
（2）CD＝AB，
如图2，∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，且AC＞AB，
∴AC2﹣AB2＝AD2，即AC2﹣AD2＝AB2，
∵AC2﹣AD2＝CD2，
∴CD2＝AB2，
即CD＝AB．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点二 利用等积法证明勾股定理】
例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形
都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： .
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：已知： 中， ， ， ， .
求证： .
证明：由图可知 ，
， ______，
正方形 边长为______，
，
即 ．
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E
（2）求证： ， ；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1） ， （2）见解析 （3）见解析 （4）
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图 所示图形,然后用两种方法
表示正方形 的面积，即可解题；
（2）依据题意,通过证明 即可判断得解；
（3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形 和
，再列式变形即可得解；
（4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为 ，可得
又设 故 又在 中, 则，求出 后可列式
计算得解.
【详解】(1)证明：由图可知 ，
， ，
正方形 边长为 ，，
即 ．
故答案为： ， ；
（2）证明: ∵ ,
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
又 , ,
∴ .
∴ ；
(3)证明： 由题意，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
(4)由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为 ,，
设 则 ，
在 中,
，
将 代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形
也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验
证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理
（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在 和 中， ，（点 ， ， 在一条直线上），
， ， ．
证明： ；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出 的结果．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
（ ）利用面积法证明即可；
（ ）利用面积法计算即可．
【详解】（1）证明：梯形 的面积 ，
梯形 的面积 ，∴ ，
化简可得： ；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积 ；
大正方形的面积 ，
∴ ．
2．（23-24八年级下·广西玉林·期中）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一
个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定
理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、
复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以
下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中 ，求
证：
证明：连接 ，过点D作 交 延长线于点F，则
又∵∴
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接 ，过点B作 边上的高 ，则 ，仿照已知材
料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】证明：连接 ，过点B作 边上的高 ，则 ．
∵
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该
定理．(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明．
【答案】(1)任选一个即可，证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
（1）根据图中面积关系即可得证；
（2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证．
【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 ，化简得： ；
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即
，化简得： ；
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即 ，化简得：
；
（2）解： ， ， 满足的关系是 ，
， ，
，
．
【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】
例题：已知在 中， 所对的边分别为a，b，c，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知， 的面积为 ，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可
【详解】
解： 中， 所对的边分别为a，b，c，
∵∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方
形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ．若大正方形的面积为16，
小正方形的面积是3，则 是（ ）
A．19 B．13 C．42 D．29
【答案】D
【分析】本题考查“赵爽弦图”为背景的代数式求值，涉及勾股定理、三角形面积及正方形面积等知识，
熟练掌握“赵爽弦图”图形构成，数形结合，掌握代数式求值方法是解决问题的关键．
根据题意，求出大正方形边长、直角三角形面积、大正方形面积，进而得到 ， ，利用
完全平方和公式展开后，代入求值即可得到答案．
【详解】解： 设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，
，且直角三角形的斜边长为 ，
大正方形的边长为 ，则 ，
大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，
，即 ，则 ，
，
故选：D．
2．（23-24八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的
“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记
图中正方形 、正方形 、正方形 的面积分别为 、 、 ，若 ，则正
方形 的边长为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，设出八个全等的直角三角形的两直角边长是解题的关键．
设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，由图形可得出 ， ，
再由 即可得出结果．
【详解】解：设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，则
， ， ，
，
，
，
，
即正方形 的面积为12，
正方形 的边长为 ，
故答案为： ．
3．（2023·贵州·模拟预测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提
出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角
形和三个正方形组成的图形，若 的面积为6， ， ，则阴影部分的周长为
．
【答案】28
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
先根据勾股定理和正方形的性质可得 ，再根据勾股弦图可得 ，再结合
的面积为6可得 ，再运用完全平方公式可得 ，最后再求周长即可．【详解】解：根据勾股定理得： ，
，
正方形 的面积是25，
，
的面积为6，即 ，
，
， 即 ，
阴影部分的周长为 ．
故答案为：28．
4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国
周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们
称之为“赵爽弦图”．如图， ， ， ．
(1)请根据赵爽弦图，用面积法证明： ．
(2)若正方形 面积为49，正方形 的面积为25，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方式的应用：
（1）根据面积公式证明勾股定理即可；
（2）根据面积公式和勾股定理解得即可．
【详解】（1）证明： 大正方形的面积为 ，一个直角三角形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
；
（2）解： 正方形 面积为49，正方形 的面积为25，， ，
一个直角三角形的面积为： ，
，
，
．
【考点四 利用割补法求不规则图形的面积】
例题：如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．
【答案】216平方米
【解析】
【分析】
连接AC，根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根据面积公式计
算即可．
【详解】
连接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，
∴AC= =15，
∵AB＝39，BC＝36，AC=15
∴ ，
∴∠ACB=90°，
∴这块空地的面积为： = =216（平方米），
故这块草坪的面积216平方米．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．【变式训练】
1．（22-23八年级下·湖北荆州·阶段练习）我市某中学有一块四边形的空地 ，如图所示，为了绿化
环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ， ， ， ， ．
(1)求出空地 的面积；
(2)若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
【答案】(1)
(2) 元
【分析】（1）直接利用勾股定理 ，再用勾股定理的逆定理得出 ，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出所需费用．
【详解】（1）解：连接
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
；
即空地 的面积为 ．
（2）解： 元，即总共需投入50400元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，将四边形化为三角形后，正确用勾股定理及其逆定
理是解题关键．
2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1
（1）线段BC＝ ，线段CD＝ ；
（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）
【答案】（1） ， ；（2）14.5
【解析】
【分析】
（1）在网格中利用勾股定理进行求解即可；
（2）如图所示， 由此求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ， ，
故答案为： ， ；
（2）如图所示，
．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，以及四边形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；
（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；
（3）根据三角形的面积公式计算．
【详解】
解：（1） ，
，
；
（2）△ABC的面积 ；
（3）点C到AB边的距离为h，
则 ，即 ，
解得， ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，
斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【考点五 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）A．20 B．26 C．30 D．52
【答案】B
【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形
的面积即可．
【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：
=
=
=26
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广西柳州·校考一模）如图， ，正方形 和正方形 的面积分别是289和
225，则以 为直径的半圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出 ，再求半圆的面积即可．
【详解】解：∵正方形 和正方形 的面积分别是289和225，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴以 为直径的半圆的面积为： ；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
2．（2023春·新疆阿克苏·八年级校考期中）如图，三个正方形中的两个的面积 ， ，则另一
个的正方形的面积 为_____________
【答案】119
【分析】根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现： 从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为25和144，
根据勾股定理，另一条直角边的平方为 ，
∴ ．
故答案为：119．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形面积，掌握直角三角形中斜边平方=两直角边的平方和是解题
关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 且
，则 ___________；以 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 ，则
三者之间的关系为___________．【答案】 12； s+s=s
1 2 3
【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到
Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S 的值；第二空同理根据正三
3
角形面积公式与勾股定理，得到S，S，S 三者之间的关系，完成解答．
1 2 3
【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，
∴S=AC2，S=BC2，S=AB2，
1 2 3
又∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S=4+8=12，
3
又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S，S，S，
1 2 3
∴S= = ×AC2，
1
同理可得：S= ×BC2，S= ×AB2，
2 3
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S+S =S ．
1 2 3
故答案是：12，S+S=S．
1 2 3
【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．
4．（2023春·八年级课时练习）已知：在 中， ， 、 、 所对的边分别记作
a、b、c．如图1，分别以 的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作 、 、
，则有 ，(1)如图2，分别以 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分 、 、 ，请问
与 有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据
（2）中的探索，直接回答 与 有怎样的数量关系；
(3)若 中， ， ，求出图4中阴影部分的面积．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）由扇形的面积公式可知 ， ， ，在Rt△ABC中，由勾股
定理得AC2＋BC2＝AB2，即S＋S＝S；
1 2 3
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
【详解】（1）解：① ，
根据勾股定理可知： ，
；
（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理： ，从而可得 ；
（3）解：由（2）知 ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
5．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西
方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为 ， ， ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
， ，直角三角形面积为 ，也满足 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 ， ，
的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 __________．
【答案】(1)①3；②满足，证明见解析
(2)
【分析】（1）设两直角边分别为 ， ，斜边为 ，用 ， ， 分别表示正方形、圆、等边三角形的面
积，根据 ，求解 之间的关系，进而可得结果；②根据 ，
， ，可得 ；
（2）由题意知， ， ， ， ， ，代入求解即可．
【详解】（1）①解：设两直角边分别为 ， ，斜边为 ，
则图2中， ，
∵ ，
∴ ，故图2符合题意；
图3中， ， ， ，
∵ ，∴ ，故图3符合题意；
图4中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足 的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知 ， ， ，
∴ ；
（2）解：由题意知， ， ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
