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第 07 课 特殊平行四边形 解答题（难点 2-存在性问题）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图，在直角坐标系xOy中，点A（2，0）和点B（﹣2，0），直线BC与y轴正半轴交于点C（0，
b），过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OD．
(1)求OD的长；
(2)当∠ODA＝30°时，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点E在直角坐标平面内，如果以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
请直接写出点E的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交
y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的函数解析式；
(2)若点C是x轴上一点，且S△AMC S△ABM，求点C的坐标；
(3)点P在直线AB上，在坐标平面内是否存在点Q，使四边形BPMQ是菱形？若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
3．如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点
D，连接AM，则AM+MD的最小值为 △ ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝ ，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S ABC＝2S PBC，点
Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若△存在，请△求出此时
PQ的长度，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中
点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．
设点B坐标是（t，0）
(1)当t＝6时，点M的坐标是______；
(2)求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
(3)是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
5．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的一点，∠AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线
CP 于点 P．
(1)求∠ECP 的度数；
(2)求证：∠BAE=∠CEP；(3)求证：AE=EP；
(4)在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明； 若
不存在，请说明理由．
6．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的
动点，设PC＝m．
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代
数式表示为 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x＋b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角
形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．把正方形纸片放在直角坐标系中，如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在BC、CD
上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知3BE＝BC．
（1）请直接写出D、E两点的坐标，并求出直线EF的解析式；
（2）在直线EF上是否存在点M，使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半，若存在，请求出点M的坐
标，若不存在，请说明理由．
（3）若点P、Q分别是线段AG、AF上的动点，则EP＋PQ的最小值是多少？并求出此时点Q的坐标．
8．如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上， ， ，点P是射线
CA上的动点，点Q是x轴上的动点， ，分别以AQ和AP为边作平行四边形APEQ，设Q点的坐
标是 ．（1）求矩形OABC的对角线AC的长；
（2）如图2，当点Q在线段OA上，且点E恰好在y轴上时，求t的值；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使 是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的
值；若不存在，请说明理由．
9．已知如图，平面直角坐标系内的矩形OABC，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为（ ），
D为AB边上一点，将△BCD沿直线CD折叠，得到△ECD，点B的对应点E落在线段OA上．
（1）求OE的长；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD方向运动，设运动时间为t，△PBD的面积
为S，求S关于t的关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q为直线DE上一点，是否存在t，使得以点A、B、Q、P为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，请求出t的值，并直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，直线y＝﹣ x+11分别交x轴y轴于A，B两点，点D以每秒2个单位的速度从点A出发沿射
线AD方向运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点B出发沿边BA方向运动，当E到达点A时，点D，
E同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求点A的坐标及线段AB的长．
（2）如图1，当t＝4 ﹣2时，求∠AED的度数．
（3）如图2，以DE为对角线作正方形DFEG，在运动过程中，是否存在正方形DFEG的一边恰好落在
ADB的一边上？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
11．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为
△
PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填
“无”．最大值为 ；最小值为 ．
12．已知：在矩形ABCD中， ， ．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上， ．
①连接BG，若 ，求AF的长；
②设 ， GFB的面积为S，且S满足函数关系式 ．在自变量m的取值范围内，是否存在
△m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
培优第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．把正方形纸片放在直角坐标系中，如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在BC、CD
上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知3BE＝BC．
（1）请直接写出D、E两点的坐标，并求出直线EF的解析式；
（2）在直线EF上是否存在点M，使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半，若存在，请求出点M的坐
标，若不存在，请说明理由．
（3）若点P、Q分别是线段AG、AF上的动点，则EP＋PQ的最小值是多少？并求出此时点Q的坐标．
2．已知如图，平面直角坐标系内的矩形OABC，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为（ ），
D为AB边上一点，将△BCD沿直线CD折叠，得到△ECD，点B的对应点E落在线段OA上．
（1）求OE的长；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD方向运动，设运动时间为t，△PBD的面积
为S，求S关于t的关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q为直线DE上一点，是否存在t，使得以点A、B、Q、P为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，请求出t的值，并直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线y＝﹣ x+11分别交x轴y轴于A，B两点，点D以每秒2个单位的速度从点A出发沿射线
AD方向运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点B出发沿边BA方向运动，当E到达点A时，点D，E
同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求点A的坐标及线段AB的长．
（2）如图1，当t＝4 ﹣2时，求∠AED的度数．
（3）如图2，以DE为对角线作正方形DFEG，在运动过程中，是否存在正方形DFEG的一边恰好落在
ADB的一边上？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
△4．如图1，在平面直角坐标系中，过点 的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐
标分别是一元二次方程 的两个根．
（1）判断直线AC与直线AB的位置关系？并说明理由；
（2）如图2，若点D在直线AC上，且△BCD为等边三角形，动点E在直线AC上（不与点D、C重
合），做 直线BD，垂足为点F，设点EF的长为d，点E的横坐标是x，请求出d与x的函数关系
式：
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q四点为顶点的
四边形是菱形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知：在矩形ABCD中， ， ．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上， ．
①连接BG，若 ，求AF的长；
②设 ， GFB的面积为S，且S满足函数关系式 ．在自变量m的取值范围内，是否存在
m，使菱形EPG△H面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
6．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ax+2a（a＞0）的图象经过A、B两点，点C的坐标是（1，0）．
(1)如图1，当S ABC＝6时，求直线AB的解析式；
(2)如图2，以B△C、AB为边分别在第一二象限作正方形BCGF和正方形ABDE，连接DF，交y轴于点H，
当a的值发生变化时，试判断BH的长度是否发生变化？若没有变化，请求出这个值并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，在a的值发生变化过程中，当直线y＝ax+2a（a＞0）的图象经过点F时，将
直线AF向左平移，平移后的直线为A′F′，当直线A′F′经过点D时停止平移，此时在直线A′F′上有一动点
P，当PC+PG最小时，在y轴左侧的平面内是否存在一动点Q使得以P、Q、A、C为顶点的四边形是平行
四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．在锐角△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上的一点，连接AD，将AD绕着点A顺时针旋转至AE，使得
∠EAD＝2∠BAC，连接DE交AB于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠DAC＝15°，BD＝4，求AB的长；
（2）如图2，点G是线段AC的一点，连接DG，FG，若DA平分∠EDG，求证：FE＝DG+FG；
（3）在（1）的条件下，将△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，直线B'F'交AB于点
M，交AC于点N．在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度；若
不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋3m交x轴，y轴于A，E两点，m＞0，过点E的直线l 交x轴
1 2
正半轴于点B（4m，0），如图1所示．
（1）求直线l 的函数解析式；
2（2）△AEB按角的大小分类为 ；
（3）以点A，B为基础，在x轴上方构建矩形ABCD，点E在边CD上，过原点的直线l3：y＝mx交直线
CD于点P交直线AE，BE于点G，H．
①若直线l 把矩形ABCD的周长平分，求m的值；
3
②是否存在一个合适的m，使S BOH＝S AOG，若存在，求m的值；若不存在，则说明理由．
△ △
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2020·山东济宁·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，
BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．
(1)求证:△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12，BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四
边形的面积比为1:3．若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 经过点
，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段 平行于x轴，交直线 于点D，连接 ， ．（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形 是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q
同时从点D出发，沿对角线 以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动
时间均为t秒．
①当 时， 的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形 为矩形时，请直接写出此时t的值．
3．（2017·山东德州·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落
在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
4．（2017·江苏连云港·中考真题）如图1，点 、 、 、 分别在矩形 的边 、 、 、
上， .
求证： .( 表示面积)
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中 ，点 在 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 、
作 边的平行线，再分别过点 、 作 边的平行线，四条平行线分别相交于点 、 、 、
，得到矩形 .
如图2，当 时，若将点 向点 靠近( )，经过探索，发现：
.
如图3，当 时，若将点 向点 靠近( ，请探索 、 与 之间的
数量关系，并说明理由.
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题.
(1)如图4，点 、 、 、 分别是面积为25的正方形 各边上的点，已知 ， ，
， ，求 的长.
(2)如图5，在矩形 中， ， ，点 、 分别在边 、 上， ， ，点
、 分别是边 、 上的动点，且 ，连接 、 ，请直接写出四边形 面积的最
大值.
5．（2017·江西·中考真题）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜
180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是
△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中
心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2 ，DA=6．在四边形内部是否存在
点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存
在，说明理由．
