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第 01 讲 用表格表示变量之间的关系
课程标准 学习目标
1.从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量
①变量、自变量、应变量
随自变量的变化情况.（重点）
②用表格表示变量之间的关系
2.对表格所表达的两个变量关系的理解.（难点）
知识点01 常量与变量
一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·河北邢台·期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，
则常量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是
（ ）
A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y
知识点02 自变量与因变量
如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量
是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量．
区别自变量和因变量有以下三种方法：
(1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因
变量是后发生变化的量；
(2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变
量是一个被动变化的量；
(3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果．
【即学即练2】
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）在冬天，人们会选择较厚的冰层进行冰钓，这是因为冰层越厚，所
能承受的压力就越大，则在冰层厚度与其所能承受的压力的关系中，自变量是 ，因变量是
．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他描绘了离家的
距离与时间的变化情况，如下图所示．
图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
知识点03 用表格表示的变量间关系
把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示
变量之间关系的方法叫做表格法．
观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对
应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。
【即学即练3】
5．（23-24七年级下·江西吉安·期中）下表记录的是某橘农去年橘子的销售额（元）随橘子销量（千克）
变化的有关数据，请根据表中数据回答下列问题：
销量（千克） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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学科网（北京）股份有限公司销售额（元） 2 4 6 8 10 12 14 16 18
(1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当销量是5千克时，销售额是多少？
(3)估计当销量是50千克时，销售额是多少？
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段
距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过 ），
对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
(1)自变量是_____________，因变量是_____________；
(2)当刹车时车速为 时，刹车距离是_____________m；
(3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加 时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距
离为 ，推测刹车时的车速是多少？
题型01 常量与变量
例题：（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的
数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于圆的面积S与半径r的关系式 ，下列说法正确的是（ ）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．S是常量
2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知半径是R的圆，周长 ，下列说法正确的是（ ）
A．C， ，R是变量，2是常量 B．C是变量，2， ，R是常量
C．R是变量， ，C是常量 D．C，R是变量，2， 是常量
3 / 9
学科网（北京）股份有限公司3．（24-25七年级上·山东聊城·期中）球的体积是 ，球的半径为 ，则 ，在这个公式中，变量
是（ ）
A． ， ， B． 和 C． 和 D． 和
题型02 自变量与因变量
例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）圆的周长C与半径r之间的关系式是 ，其中自变量是
（ ）
A．C B．2 C． D．r
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位： ），
满足公式 其中（单位： ）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（ ）
A．300 B．v C．s D．s与v
2．在一定高度，一个物体自由下落的距离 与下落时间 之间的变化关系式是 （ 为重力加
速度， ），在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量．
3．在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量
是 ，因变量是
题型03 用表格表示的变量间关系
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试） 受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的
变化情况如表：
1
时间 0 4 8 12 20 24
6
水位 2 2.5 3 4 5 6 8
(1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是
_____________；
(2) 时，水位是_____________m；
(3)_____________h至_____________h水位上升最快．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱
加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程S（ ） 0 10 200 300 40 …
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学科网（北京）股份有限公司0 0
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
(1)该轿车油箱的容量为 ，行驶150 时，油箱中的剩余油量为 ；
(2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？
(3)用含S的代数式来表示 ．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）心理学家发现，学生对概念的接受能力 与提出概念所用时间 （单
位： ）之间有如下关系：（其中 ）
提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？
(2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？
(3)从表中可知，当时间 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间 在什么范围内，学生的接受
能力逐步降低？
3．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品
牌一盘蚊香的燃烧时间 与蚊香长度 的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据：
蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2
蚊香长度 105 100 95 90 85
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当蚊香的燃烧时间为 时，蚊香长度为多少？
一、单选题
1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、
单价三个量中，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．金额、单价是变量，数量是常量
B．数量、单价是变量，金额是常量
C．金额、数量是变量，单价是常量
D．金额、数量、单价都是变量
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两根木条 和 的一端A用螺栓固定在一起，木条 自
由转动至 位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）
A． 的度数 B． 的长度
C． 的面积 D． 的长度
3．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并
上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数/度 100 200 250 300 400
镜片与光斑的距离/m 1
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离
B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为
C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小
D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1
4．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度
（ ）与所挂物体的质量 （ ）之间有下表所示的关系，下列不正确的说法是（ ）
…
…
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是因变量
B．弹簧不挂物体的长度为
C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大
D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加 ，弹簧长度增加
5．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度
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学科网（北京）股份有限公司关系的一些数据如下：
温度（℃） 0 10 20 30
声速（ ） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高 时，声速增加
D．当空气温度为 时，声音 可以传播
二、填空题
6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三
个量，则这三个量中的变量是 ．
7．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）一个蓄水池有水 ，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量
和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完．
放水时间（ ） 1 2 3 4 …
4 4
水池中水量（ ） 46 44 …
8 2
8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，
他们得到如下数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 90
小车下滑的时间
4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41
估计当支撑物的高度为 时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由
．
9．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为人类了
解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导
热率K（ ）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为 ，
则温度为 ．
25
温度T（℃） 100 150 200 300
0
导热率K（ ） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
7 / 9
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，
火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率 与温度 的关系如表：
25
温度 100 150 200 300 350 400
0
导热率
根据表格中两者的对应关系，若导热率为 ，则温度为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）某牛奶公司要对一批牛奶进行罐装，每瓶容量（升）与需要的
瓶数（个）之间的关系如表所示：
每瓶容量（升） 0.2 0.25 0.4 0.5 …
需要的瓶数（个） 1000 800 500 400 …
(1)这批牛奶共有多少升？
(2)需要的瓶数是怎样随着每瓶容量的变化而变化的？
12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原
价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量
y(件)之间的关系如下表：
降价金额x/元 10 20 30 40 50 60
日销量y/件 155 160 165 170 175 180
(1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？
(2)可以估计降价前的日销量是 件．
(3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件．
13．（23-24七年级下·河南周口·期中）2024年春节档电影《热辣滚烫》激励和鼓舞了不少人，甚至带动了
一波拳击和健身热潮．小伟每天在健身房的跑步机上跑步，他跑步的时间和路程的变化情况如下表：
时间 4
10 20 30 50 60
0
路程 3.6 5.4 9
(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；
(2)请将上述表格补充完整；
(3)根据表中的数据，请你简单说一说小伟跑步的路程是怎样随着时间的变化而变化的．
14．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘
坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据：
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学科网（北京）股份有限公司x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
100
y/元 2000 ____ 4000 5000 6000 …
0
(1)表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)请将表格补充完整；
(3)若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路
公交车要达到多少人次？（利润＝收入－支出费用）
15．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格：
距离地面高度/千米
温度/℃
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用 表示距离地面的高度，用 表示温度，那么随着 逐渐变大， 的变化趋势是什么？
(3)你知道距离地面 千米的高空温度是多少摄氏度吗？
(4)你能预测出距离地面 千米的高空温度是多少摄氏度吗？
16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长为 ，宽为 的长方形四个角上，分别剪去四个
全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化．
设剪去的每个三角形的直角边长为 ，阴影部分的面积为 ．如下表：
三角形的直角边长
1 2 3.2 4.5 …
阴影部分的面积 318 299.52 279.5 …
(1)表中的数据 ；
(2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ．
(3)写出 与 的关系式： ．
(4)阴影部分面积可以达到 吗？请说明理由．
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