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第 6 章概率初步（易错 30 题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•汉阳区模拟）下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上的一面是6点
B．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．购买一张彩票，中奖
D．如果a、b都是实数，那么a•b＝b•a
【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件，可得答案．
【解答】解：A、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，故A不符合题意；
B、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；
C、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故C不符合题意；
D、如果a、b都是实数，那么a•b＝b•a是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发
生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2021秋•宁津县期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．海底捞月
D．13个人中，至少有两个人出生的月份相同
【分析】根据必然事件的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面朝上，是随机事件，因
此选项A不符合题意；
B．车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能不是，是随机事件，因此选项B不符合题
意；
C．海底捞月是不可能事件，所以选项C不符合题意；
D．一年有12个月，13个人中，至少有2个人出生的月份相同是必然事件，因此选项D符合
题意；
故选：D．
【点评】本题考查随机事件，理解必然事件的定义是正确判断的前提．
3．（2021秋•郧阳区期末）下列事件中属于随机事件的是（ ）A．抛掷一石头，石头终将落地
B．从装有黑球、白球的袋里摸出红球
C．地球绕着太阳转
D．买1张彩票，中500万大奖
【分析】根据必然事件的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．抛掷一石头，石头终将落地，是必然事件，因此选项A不符合题意；
B．从装有黑球、白球的袋里摸出红球，是不可能事件，因此选项B不符合题意；
C．地球绕着太阳转是必然事件，所以选项C不符合题意；
D．买1张彩票，中500万大奖，是随机事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查随机事件，理解必然事件的定义是正确判断的前提．
4．（2022•福州模拟）下列事作中，必然事件是（ ）
A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
B．射市运动员射击一次，命中靶心
C．汽车累积行驶5000公里，从未出现故障
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【分析】根据事件发生的可能性大小依次判断即可．
【解答】解：温度降到0摄氏度以下，纯净的水一定会结冰，是必然事件，
故A符合题意．
射击运动员射击一次，命中靶心可能会发生，也有可能不发生，是随机事件，
故B不合题意．
汽车累计行驶5000公里，从未出现故障，可能会发生，也有可能不发生，是随机事件，
故C不合题意．
经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，可能会发生，也有可能不发生，是随机事件．
故D不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查必然事件，理解各事件的含义，判断它们发生的可能性大小是求解本题的
关键．
5．（2021秋•泸西县期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．心想事成 B．旭日东升 C．水滴石穿 D．水中捞月
【分析】根据事件发生的可能性分别对每一项进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、心想事成是随机事件，故本选项符合题意；
B、旭日东升是必然事件，故本选项不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故本选项不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查事件的分类，理解事件性质，判断其发生的可能性是求解本题的关键．6．（2021秋•越城区期末）小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币
时，出现正面朝上的概率是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】根据概率的意义判断即可．
【解答】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正
面朝上的概率是： ，
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
7．（2021秋•舟山期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
B．a为实数，|a|＜0
C．打开电视，正在播放动画片
D．任选三角形的两边，其差小于第三边
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意；
B、a为实数，|a|＜0，是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视，正在播放动画片是随机事件，不符合题意；
D、任选三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不
可能事件的特点是解题的关键．
8．（2021秋•长乐区期末）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．随机翻开课本，恰好翻到奇数页码
B．明天太阳从东方升起
C．买一张福利彩票，不会中奖
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．随机翻开课本，恰好翻到奇数页码，是随机事件，故A不符合题意；
B．明天太阳从东方升起，是必然事件，故B符合题意；
C．买一张福利彩票，不会中奖，是随机事件，故C不符合题意；
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的
关键．
9．（2021秋•峨眉山市期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）A．一名运动员跳高的最好成绩是20.1米
B．通常加热到100℃时，水沸腾
C．一人买一张火车票，座位刚好靠窗口
D．购买一张彩票，中奖
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．一名运动员跳高的最好成绩是20.1米，这是不可能事件，故A不符合题意；
B．通常加热到100℃时，水沸腾，这是必然事件，故B符合题意；
C．一人买一张火车票，座位刚好靠窗口，这是随机事件，故C不符合题意；
D．购买一张彩票，中奖，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的
关键．
10．（2021秋•合川区期末）下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．随机翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C．在平面内任意画一个三角形，其内角和是180°
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．明天太阳从西边升起，这是不可能事件，故A符合题意；
B．随机翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，这是随机事件，故B不符合题意；
C．在平面内任意画一个三角形，其内角和是180°，这是必然事件，故C不符合题意；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的
关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2019秋•吉林月考）事件“从地面发射1核导弹，击中空中目标”是 随机 事件（填
“确定”或“随机”）．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【解答】解：事件“从地面发射1核导弹，击中空中目标”是随机事件，
故答案为：随机．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下
一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事
件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．（2021秋•钦北区期末）随机投掷一枚质地均匀的硬币9次，9次都是正面朝上，则第10次
投掷这枚硬币正面朝上的概率是 ．【分析】投掷一枚硬币，是一个随机事件，可能出现的情况有两种：正面朝上或者正面朝下，
而且机会相同．
【解答】解：第10次掷硬币，出现正面朝上的机会和朝下的机会相同，都为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
13．（2020春•顺德区月考）从一副拿掉大、小王的扑克牌中，抽取一张，这张牌是红桃的概率
是 ．
【分析】由一副拿掉大、小王的扑克牌共有52张，红桃的有13张，直接利用概率公式求解即
可求得答案．
【解答】解：∵一副拿掉大、小王的扑克牌共有52张，红桃的有13张，
∴抽取一张，这张牌是红桃的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2018春•无锡期中）下列说法中：①在367人中至少有两个人的生日相同；②一次摸奖
活动的中奖率是1%，那么摸100次必然会中一次奖；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃
K，这是随机事件；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出
一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性；以上说法中正确的有 ① 、 ③ （填序
号）．
【分析】根据概率的意义和随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①在367人中至少有两个人的生日相同，正确；
②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次不一定会中一次奖，错误；
③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，正确；
④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球
的可能性小于于摸到白球的可能性，错误；
故答案为：①、③．
【点评】本题考查概率的意义、随机事件，解题的关键是明确题意，说法正确的说明理由，
错误的说明理由或者举出反例．
15．（2019•湘西州）从﹣3．﹣1， ，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是
π
．
【分析】五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：∵在﹣3．﹣1， ，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1这2个，
π
∴抽取一个数，恰好为负数的概率为 ，故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（2018秋•丰台区期末）随着北京申办冬奥会的成功，愈来愈多的同学开始关注我国的冰雪
体育项目．小健从新闻中了解到：在2018年平昌冬奥会的短道速滑男子500米决赛中，中国
选手武大靖以39秒584的成绩打破世界纪录，收获中国男子短道速滑队在冬奥会上的首枚金
牌．同年11月12日，武大靖又以39秒505的成绩再破世界纪录．于是小健对同学们说：
“2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌的可能性大小是100%．”你认为小健的说法 不合理
（填“合理”或“不合理”），理由是 202 2 年北京冬奥会上武大靖再获金牌属于随机事件
．
【分析】必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P
（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1，据此可得结
论．
【解答】解：因为2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌的可能性大小不一定是100%，
所以小健的说法不合理，理由：2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌属于随机事件，
故答案为：不合理，2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌属于随机事件．
【点评】本题主要考查了可能性的大小，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事
先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
17．（2018春•闵行区期末）一个不透明的布袋中放有大小、质地都相同四个红球和五个白球，
小敏第一次从布袋中摸出一个红球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，那么小敏第二
次还是摸出红球的可能性为 ．
【分析】小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为 ，第一次从布袋中摸出一个红球后放
回布袋中，则第二次从布袋中摸出一个红球的概率不变．
【解答】解：∵小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为 ，第一次从布袋中摸出一个红
球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，
∴第二次从布袋中摸出一个红球的概率仍旧为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了概率的计算，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（2018春•青羊区期末）新定义运算“◎”，对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣
1，例如：3◎5＝32﹣3×5+5﹣1＝﹣2，若任意投掷一枚印有数字1～6的质地均匀的骰子，将
朝上的点数作为x的值，则代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率是 ．
【分析】对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣1，即可得到（x﹣3）◎（3+x）＝（x
﹣3）2﹣（x﹣3）（3+x）+3+x﹣1＝﹣5x+20，进而得出代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率．
【解答】解：∵对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣1，
∴（x﹣3）◎（3+x）＝（x﹣3）2﹣（x﹣3）（3+x）+3+x﹣1＝﹣5x+20，
当x＝1时，﹣5x+20＝15；
当x＝2时，﹣5x+20＝10；
当x＝3时，﹣5x+20＝5；
当x＝4时，﹣5x+20＝0；
当x＝5时，﹣5x+20＝﹣5；
当x＝6时，﹣5x+20＝﹣10；
∴代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除
以所有可能出现的结果数．
19．（2018•涪城区校级自主招生）在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，
b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个
人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为 ．
【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以
直接应用求概率的公式．
【解答】解：从0，1，2，3四个数中任取两个则|a﹣b|≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；
0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；共10种情况，甲乙出现的结果共有4×4＝16，故出
他们”心有灵犀”的概率为 ＝ ．
【点评】P（A）＝ ，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含
的试验基本结果数．
20．（2018春•东台市期中）“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是 必然事件 （填“必然事
件”“不可能事件”“随机事件”）．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是必然事件，
故答案为：必然事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事
件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
三．解答题（共10小题）
21．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相等，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案：
（1）“摸到三个球都是红球”是不可能事件；
（2）“摸到红球”是必然事件；
（3）“摸到两个黄球”是随机事件；
（4）“摸到两个黄球”是确定事件．
【分析】分别根据不可能事件、必然事件、随机事件及确定事件的定义进行解答即可（答案
不唯一）．
【解答】解：（1）盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件；
（2）盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件；
（3）盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件；
（4）盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件．
【点评】本题主要考查了随机事件、必然事件以及不可能事件，解答此题要注意：不可能事
件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在0和1之间．
22．（2020秋•鼓楼区校级期中）一鲜花店根据一个月（30天）某种鲜花的日销售量与销售天数
统计如表，将日销售量落入各组的频率视为概率．
日销售量x（枝） 0≤x＜50 50≤x＜100 100≤x＜150 150≤x＜200 200≤x＜250
销售天数 2天 3天 13天 8天 4天
（1）试求这30天中日销售量低于100枝的概率；
（2）若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动，求这2天恰好是在日销售
量低于50枝时的概率．
【分析】（1）设日销量为x，分别出0≤x＜50和50≤x＜100的概率，由此能求出这30天中
日销售量低于100枝的概率．
（2）日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天促销共有n＝28种情况，日销售量低于50
枝共有3天，从中任选两天促销共有m＝3种情况．由古典概型公式能求出这2天恰好是在日
销售量低于50枝时的概率．
【解答】解：（1）设日销量为x，
则P（0≤x＜50）＝ ＝ ，
P（50≤x＜100）＝ ＝ ，
∴这30天中日销售量低于100枝的概率P＝ + ＝ ．
（2）日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天促销共有n＝28种情况，
日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天促销共有m＝3种情况．
由古典概型公式得这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率：P＝ ．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查互斥事件概率计算公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．
23．（2020春•揭阳期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3个
蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事件是不确定事件、不可能事件，
还是必然事件．
（1）从口袋中任意取出一个球，是一个白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．
【分析】（1）（2）（3）根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：（1）从口袋中任意取出一个球，可能是一个白球、一个红球也可能是一个蓝球，
∴从口袋中任意取出一个球，是一个白球是随机事件，即不确定事件；
（2）口袋中只有3个蓝球，
∴从口袋中一次任取5个球，全是蓝球是不可能事件；
（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了是必然事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事
件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
24．（2018春•济南期末）一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除
颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？
（2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是 ，求袋子内有几个白球？
【分析】（1）依据有3个红球，3个绿球和4个白球，即可得到任意摸出一个球是绿球的概
率；
（2）设袋子内有n个白球，依据概率公式列出方程，即可得到白球的数量．
【解答】解：（1）任意摸出一个球是绿球的概率是 ；
（2）设袋子内有n个白球，则
＝ ，
解得n＝6，
∴袋子内有6个白球．
【点评】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
25．（2019•宽城区一模）在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些
小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随
机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出小球上的数字的和为正数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中和为正数的结果有6种，
∴两次摸出的小球上数字之和是正数的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再
从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
26．（2019秋•丰泽区校级期末）电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到
下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1
注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（1）已知第三类电影获得好评的有45部，则m＝ 0.1 5 ；
（2）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是获得好评的第四类电
影的概率；
（3）在（1）的条件下电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电
影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好
评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？
（4）设一到六类电影的票价依次为60元，50元，40元，30元，20元，10元，未获好评的
电影的上座率均相同．获好评的六类电影的上座率依次会加120%，100%，70%，50%，20%，
20%，在（3）的条件下，试说明总票房是否增加？
【分析】（1）根据所有好评率d的定义计算．
（2）根据古典概率公式计算．
（3）只需使好评电影部数增加最大即可．
（4）分别计算改变投资前后的的票房即可．
【解答】解：（1）m＝ ＝0.15．
故答案为：0.15．
（2）由题意，如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，抽到的这部电影是获得好评的第
四类电影的概率为： ＝ ．
∴如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率为： ．
（3）只需部数最多的那类好评率增加0.1，部数最少的那类好评率减少0.1，就可以使总的好
评率达到最大．
∴第五类好评率增加0.1，第二类好评率减少0.1，就可以使总的好评率得到最大．
（4）因为未获好评电影的上座率相同，故只需计算或好评的电影票房即可．
未改变投资策略前，获好评电影票房为：60×140×0.4×（1+120%）+50×50×0.2×（1+100%）
+40×300×0.15×（1+70%）+30×200×0.25×（1+50%）+20×800×0.2×（1+20%）+10×510×0.1×
（1+20%）＝18154（元）．
改变投资策略后，或好评电影票房为：获好评电影票房为：60×140×0.4×（1+120%）+50×50×
（0.2﹣0.1）×（1+100%）+40×300×0.15×（1+70%）+30×200×0.25×（1+50%）+20×800×（0.
2+0.1）×（1+20%）+10×510×0.1×（1+20%）＝19574（元）．
∵19574＞18154．
∴票房增加．
【点评】本题考查概率的计算，理解题意，正确使用概率计算公式是求解本题的关键．
27．（2017秋•天心区校级月考）甲乙两人玩一种游戏：共20张牌，牌面上分别写有﹣10，﹣9，
﹣8，…，﹣1，1，2，…，10，洗好牌后，将背面朝上，每人从中任意抽取3张，然后将牌
面上的三个数相乘，结果较大者为胜．
（1）你认为抽取到哪三张牌时，不管对方抽到其他怎样的三张，你都会赢？
（2）你认为抽取到哪三张牌时，不管对方抽到其他怎样的三张，你都会输？
（3）结果等于6的可能性有几种？把每一种都写出来．
【分析】（1）依据牌面上的三个数相乘，结果较大者为胜，即可得出结论；
（2）依据牌面上的三个数相乘，结果较小者为输，即可得出结论；
（3）依据有理数的乘法，即可得到结果等于6的可能性有5种：1×2×3；﹣1×（﹣2）×3；﹣
1×2×（﹣3）；1×（﹣2）×（﹣3）；1×（﹣1）×（﹣6）．
【解答】解：（1）当抽到﹣10，﹣9，10时，乘积为900，不管对方抽到其他怎样的三张，
都会赢；
抽到10，﹣9，﹣8时，乘积为720，不管对方抽到其他怎样的三张，都会赢；
抽到﹣10，﹣8，10时，乘积等于800，不管对方抽到其他怎样的三张，都会赢；
抽到﹣10，﹣7，10，乘积等于700，不管对方抽到其他怎样的三张，都会赢；
（2）当抽到10，9，﹣10时，乘积为﹣900，不管对方抽到其他怎样的三张，都会输；
抽到﹣10，9，8时，乘积为﹣720，不管对方抽到其他怎样的三张，都会输；
抽到10，8，﹣10时，乘积等于﹣800，不管对方抽到其他怎样的三张，都会输；
抽到﹣10，7，10，乘积等于﹣700，不管对方抽到其他怎样的三张，都会输；
（3）结果等于6的可能性有5种：
1×2×3；
﹣1×（﹣2）×3；﹣1×2×（﹣3）；
1×（﹣2）×（﹣3）；
1×（﹣1）×（﹣6）．
【点评】本题主要考查了可能性的大小以及有理数的乘法，几个不等于0的数相乘，积的符
号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
28．现在发行的体育彩票，购买时号码允许重复，开奖时通过摇号得出特等奖号码．若与该号码
相同的奖券只有一张，则独得特等奖奖金总额；若与该号码相同的奖券有几张，则每张券平
分特等奖奖金总额．
小李和老王各买了两张奖券，小李的两张号码完全相同，老王的两张则号码不同，试问：
（1）谁中特等奖的可能性大一些，为什么？
（2）若小李或老王中了特等奖，在奖金总额相同的情况下，谁得的奖金多一些？能说明理由
吗？
【分析】（1）中特等奖的可能性＝特等奖这组号码与所有可能出现的号码数的比，那么组数
较多的可能性较大；
（2）特等奖奖金多少应从得特等奖的人数进行分析．
【解答】解：（1）小李选择了1组号码，老王选择了2组号码，总的号码组数一定，那么老
王中特等奖的可能性大；
（2）当只有一人中特等奖时，两人中奖后所得奖金数额相同；当不止一人中特等奖时，小李
得到的奖金多一些．
【点评】解决本题的关键是理解中奖概率与选择号码组数有关；奖金金额与中奖人数有关．
29．某沿海城市将进行旧城改造，该市地区面积约占40%，其余为郊区，计划将城区面积的40%
建成“公寓式”住宅，面积占城区30%的工厂迁至北部郊区的荒废地带，其余均为商业区，
而郊区的北部已有工厂占郊区面积的20%，南部沿海一带将被开发为别墅区占20%，原占地
40%农田不变．当电脑把该市新城郊规划图显示在屏幕上时，任意点击一下鼠标，则被点击点
是下列位置的概率是多少？
（1）别墅区（2）居住区（3）商业区（4）工业区
【分析】别墅区面积的概率等于郊区面积的百分比与它所占的总面积的百分比之积；
居住区面积的概率等于公寓面积的概率+别墅面积的概率；
商业区面积的概率等于城市面积的概率与60%的积；
工业区的面积的概率等于原有工业区的概率与新移过去的概率之和．
【解答】解：别墅区面积占城市总面积（1﹣40%）×20%＝12%；
居住区，也就是公寓+别墅，面积占城市总面积40%×40%+12%＝28%；
商业区面积占城市总面积40%×（1﹣40%）＝24%；
工业区面积占城市总面积40%×30%+（1﹣40%）×20%＝24%；
剩下的是：农田，面积占城市总面积24%；
∴1．别墅区的概率为：12%；2．居住区的概率为：28%；3．商业区的概率为：24%；4．工
业区被点击的概率：24%．
【点评】部分所占的概率等于总体与相应概率之积．30．（易错题）生物科学家通过大量的调查估计得出，某种树木生长高10m以上的概率为0.9，
生长高15m以上的概率为0.4，生长高18m以上的概率为0.1，现高10m的这种树长到15m的
概率为多少？现高15m的这种树长到18m的概率为多少？
【分析】先设所有被调查的总数为n，再根据这种树各生长阶段的概率计算即可．
【解答】解：设所有被调查的总数为n，其中长到10m，15m和18m的树的数目分别为m ，
1
m ，m ，
2 3
则由题意，有 ＝0.9， ＝0.4， ＝0.1，即m ＝0.9n，m ＝0.4n，m ＝0.1n．
1 2 3
则现高10m的树长到15m的概率为 ＝ ；
现高15m的树长到18m的概率为 ＝ ．
【点评】解答此题关键是设出所有被调查的总数为n，再根据题目中已知数据得出各生长阶段
树木的棵树，再计算符合条件的树木的概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比．
