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第一章真题训练
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )
A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，17
【答案】D
3．下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|
【答案】C
【解析】：A项的逆命题：若a＋b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B项的逆命题：相
等的角是直角，是假命题；C项的逆命题：同位角相等，两直线平行，是真命题；D项的逆
命题：若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题．故选C.
4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全
等．以下给出的条件适合的是( )
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
【答案】A
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD∶AD的值
为( )
A. B. C. D.
【答案】C6．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝
∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
【答案】D
7．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社
区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )
A．△ABC三条角平分线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条高的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【答案】D
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点
M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( )
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
【答案】C
9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，
则AD等于( )
A．10 B．12 C．24 D．48
【答案】A
10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，
DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC
＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】：由题意得BD＝CD，DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴①正确；易知AE＝AF，BF＝CE，∴CA－AB＝AE＋CE－(BF－AF)＝AE＋AF＝2AE，∴②正
确；∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，∠FBD＝∠ECD，∴∠BDC＋
∠FAE＝180°－∠DBC－∠DCB＋(∠FBD＋∠DBC)＋(∠DCB－∠ECD)＝180°，∴③正确；
∵∠DAF＝∠FAE，∠CBD＝(180°－∠BDC)＝(∠FAE＋∠BDC－∠BDC)＝∠FAE，∴∠DAF＝
∠CBD，无法判断∠DAF＋∠CBD＝90°，∴④错误．故正确的结论有①②③，故选A.
二、填空题(每题3分，共24分)
11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中
____________________ ． “ 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 ” 的 逆 命 题 是
______________________．
【答案】有两个角是直角；内错角相等，两直线平行
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分
∠BAC，点E是AC的中点，则DE的长为________．
【答案】2
13．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．
【答案】2
14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．【答案】45°
【解析】：如图，∵CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∴∠AEC＝90°，∠5＝∠6＝
90°.∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4.
在△ABD和△CHD中，
∴△ABD≌△CHD(AAS)．
∴AD＝CD.∴△ADC为等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°.
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面
积为________．
【答案】15
16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，
且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋
PE的最小值是________．
【答案】 4
【解析】：如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此
时PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC.因为点E是AB的中点，
所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋
PE的最小值为4.
17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直
平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．
【答案】100°
18. 如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，B ，…在射
1 2 3 1 2 3
线OM上，△ABA ，△ABA ，△ABA ，…均为等边三角形，若OA ＝1，则△ABA 的边长
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
为________．【答案】32
【解析】：∵△ABA 是等边三角形，∴AB ＝AB ，∠ABA ＝∠BAA ＝∠AAB ＝
1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1
60°.∴∠OAB ＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OBA ＝180°－120°－30°＝30°.∴OA ＝
1 1 1 1 1
AB＝AB＝1.
1 1 2 1
又∵∠ABA＝60°，
1 1 2
∴∠ABB＝180°－60°－30°＝90°.∵△ABA 是等边三角形，
2 1 2 2 2 3
∴∠BAA ＝60°.∴∠BAB ＝60°.∴∠BBA ＝90°－∠BAB ＝30°.∴AB ＝
2 2 3 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2
2BA＝2.同理得出BA＝2BA，∴AB＝4BA＝4.以此类推，AB＝32BA＝32.
1 2 3 3 2 3 3 3 1 2 6 6 1 2
三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)
19．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.
(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；
(2)求△ABE的周长．
【答案】解：(1)作图如图所示．
(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，
∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.
∵AB＝5，BC＝7，
∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.
20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝
125°.求∠ACB和∠BAC的度数．【答案】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．
∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.
又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
21．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，
求证：BF＝CD.
【答案】证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.
∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.∴∠EFB＋∠CFD＝90°.
∵∠EFB＋∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)．
∴BF＝CD.
22．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
∴∠BCE＋∠ABC＝∠DBC＋∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．
理由：在△EOB和△DOC中，OB＝OC，∠BEO＝∠CDO，∠EOB＝∠DOC，
∴△EOB≌△DOC，∴OE＝OD.
又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，
∴OE⊥AE，OD⊥AD.∴点O在∠BAC的平分线上．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别为点E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD.
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【答案】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD.
在△BED与△CFD中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)．
(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.
又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.
∴在Rt△BED中，BD＝2BE＝2.
∴BC＝2BD＝4.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝3BC＝12.
24．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于
点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.
【答案】证明：连接PA，PB，PC，如图．
∵AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，
∴S ＝×BC×AD，S ＝×AB×PE，S ＝×AC×PF，S ＝×BC×PG.
△ABC △PAB △PAC △PBC∵S ＝S ＋S ＋S ，
△ABC △PAB △PAC △PBC
∴×BC×AD＝(AB×PE＋AC×PF＋BC×PG)．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴BC×AD＝BC×(PE＋PF＋PG)，
∴AD＝PE＋PF＋PG.
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上
一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.
(1)求点B的坐标．
(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，
请说明理由．
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．
【答案】解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C.
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2.
∴∠BOC＝30°.
又∵∠OCB＝90°，
∴BC＝OB＝1，OC＝.
∴点B的坐标为(，1)．
(2)∠ABQ的大小始终不变．
∵△APQ，△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°.
∴∠PAO＝∠QAB.
在△APO与△AQB中，
∴△APO≌△AQB(SAS)．
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.
(3)如图②，当OQ∥AB时点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，
∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.
∴∠OBQ＝30°.又OB＝OA＝2，∴OQ＝OB＝1，可求得BQ＝，由(2)可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝.
∴此时点P的坐标为(－，0)．
