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实验六 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
目标要求 1.会用控制变量法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系.2.体会用作图
法处理数据及化曲为直的思想．
实验技能储备
1．实验思路
本实验探究了向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了控制变量法，如图1
所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆
周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内的(指向圆周运动圆心)的弹力作
为小球做匀速圆周运动的向心力，而该弹力大小可以通过标尺上刻度读出，该读数显示了
向心力大小．
图1
在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：
(1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系．
(2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系．
(3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系．
2．实验器材
向心力演示器、质量不等的小球．
3．实验过程
(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相
同即圆周运动半径相同．将皮带放置适当位置使两转盘转动，记录不同角速度下的向心力
大小．
(2)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置适当位
置使两转盘转动角速度相等、小球到转轴(即圆心)距离不同即圆周运动半径不等，记录不
同半径的向心力大小．
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相等，将皮带放置适当位置使两转盘转动角速度相等，记录不同质量
下的向心力大小．
4．数据处理
分别作出F － ω 2、F －r、F －m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系，
n n n
并得出结论．
5．注意事项
摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．达到预定格数时，即保持转
速恒定，观察并记录其余读数．
考点一 教材原型实验
例1 (2020·北京市海淀中关村中学高三三模)在探究小球做圆周运动所需向心力的大小F
与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验中．
(1)在探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，要保持________相同．
A．ω和r B．ω和m
C．m和r D．m和F
(2)本实验采用的实验方法是________．
A．累积法 B．控制变量法
C．微元法 D．放大法
(3)甲同学在进行如图2甲所示的实验，他是在探究向心力的大小 F与________的关系．可
以得到的正确结果是________．
图2
(4)乙同学把两小球都换为钢球，且质量相等，如图乙所示，实验中观察到标尺上黑白相间
的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4.由圆周运动知识可以判断与皮带连接的
变速塔轮相对应的半径之比为________．
答案 (1)C (2)B (3)质量 在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比(4)2∶1
解析 (1)在探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制其
他物理量不变，探究另外两个物理量的关系．所以在探究向心力的大小 F与角速度ω的关
系时，要保持小球的质量与运动的半径相同．故选C.
(2)在实验时需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法，故
选B.
(3)甲同学在进行如题图甲所示的实验，由题图可知，转动半径相同，皮带系在相同半径的
变速塔轮上，根据线速度相同，可知角速度也相同，所以他是在探究向心力的大小F与质
量的关系；故得到正确的结果是：在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成
正比．
(4)根据F＝mω2r，两球的向心力之比为1∶4，球的转动半径和质量相等，则转动的角速度
n
之比为1∶2，因为靠皮带传动，变速塔轮的线速度大小相等，根据v＝r′ω，知与皮带连
接的变速塔轮相对应的半径之比为2∶1.
1．(2019·山东潍坊市高三一模)向心力演示器如图3所示，匀速转动手柄1可以使变速塔轮
2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀
速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供．球对挡板的反作用力，通过横臂
的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8.已知测力套筒的弹簧相同，根据标尺8
上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．若将变速塔轮
2、3上的皮带共同往下移动一级，则长槽和短槽的角速度之比会________(填“变大”“不
变”“变小”或者“无法确定”)；如图所示，放在长短槽内的三个小球的质量相等，皮带
所在左右塔轮的半径也相等，则在加速转动过程中，左右标尺漏出的红白等分标记会
________(填“变长”“不变”“变短”或者“无法确定”)，两边红白等分标记之比会
________(填“变大”“不变”“变小”或者“无法确定”)，在匀速转动的过程中，左右
标尺红白等分标记之比为________．
图3
答案 变小 变长 不变 3∶1
解析 将变速塔轮2、3上的皮带共同往下移动一级，轮子边缘的线速度相等，根据 ω＝
可知，2轮半径大，长槽角速度变小，而短槽角速度变大，所以长槽和短槽的角速度之比
会变小．放在长短槽内的三个小球的质量相等，皮带所在左右塔轮的半径也相等，则在加速转动过程中，小球所需向心力变大，则小球对挡板作用力变大，所以漏出的红白等分标
记会变长．因为皮带所在左右塔轮的半径相等，转动角速度相等，根据牛顿第二定律可知
左侧对挡板作用力F＝mrω2＋m·2rω2，右侧对挡板作用力F′＝mrω2，所以作用力之比始
终为3∶1，故左右标尺红白等分标记之比不变，始终为3∶1.
2．(2020·重庆市育才中学高三月考)一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物
体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系．
(1)首先，他们让一砝码做半径r为0.08 m的圆周运动，数字实验系统通过测量和计算得到
若干组向心力F和对应的角速度ω，如下表．请你根据表中的数据在图4上绘出F－ω的关
系图像．
实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8
F/N 2.42 1.90 1.43 0.97 0.76 0.50 0.23 0.06
ω/(rad·s－1) 28.8 25.7 22.0 18.0 15.9 13.0 8.5 4.3
图4
(2)通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比．你认为，可以通过进一步的转
换，通过绘出________关系图像来确定他们的猜测是否正确．
(3)在证实了F∝ω2之后，他们将砝码做圆周运动的半径 r再分别调整为0.04 m、0.12 m，
又得到了两条F－ω图像，他们将三次实验得到的图像放在一个坐标系中，如图5所示．
通过对三条图像的比较、分析、讨论，他们得出 F∝ r的结论，你认为他们的依据是
________________．
图5
(4)通过上述实验，他们得出：做圆周运动的物体受到的向心力 F与角速度ω、半径r的数
学关系式是F＝kω2r，其中比例系数k的大小为________，单位是________．
答案 (1)见解析图 (2)F与ω2 (3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图像的交点中力的数值之比是否为1∶2∶3 (4)0.037 5 kg
解析 (1)描点绘图时尽量让所描的点落到同一条曲线上，不能落到曲线上的点应均匀分布
在曲线两侧，如图所示：
(2)通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比．可以通过进一步的转换，通过
绘出F与ω2关系图像来确定他们的猜测是否正确，如果猜测正确，作出的F与ω2的关系
图像应当为一条倾斜直线．
(3)他们的依据是：作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图像的交点中力的数值之比是否为
1∶2∶3，如果比例成立则说明向心力与物体做圆周运动的半径成正比．
(4)做圆周运动的物体受到的向心力F与角速度ω、半径r的数学关系式是F＝kω2r，代入题
图甲中任意一点的坐标数值，比如：(20,1.2)，此时半径为 0.08 m，可得：1.2 N＝
k×202(rad/s)2×0.08 m，解得：k＝0.037 5 kg.
考点二 拓展创新实验
例2 (2020·安徽涡阳县第九中学高一期末)某同学用如图6甲所示装置做探究向心力大小
与线速度大小的关系．装置中光滑水平直杆随竖直转轴一起转动，一个滑块套在水平光滑
杆上，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，当滑块随水平杆一起转动时，
细线的拉力就是滑块做圆周运动需要的向心力．拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块
转动的线速度可以通过速度传感器测得．图6
(1)要探究向心力大小与线速度大小的关系，采用的方法是________．
A．控制变量法 B．等效替代法
C．微元法 D．放大法
(2)实验中，要测量滑块做圆周运动时的半径，应测量滑块到________(选填“力传感器”或
“竖直转轴”)的距离．若仅多次改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及
速度传感器的示数v，将测得的多组F、v值，在图乙F－v2坐标系中描点，请将描出的点
进行作图．若测得滑块做圆周运动的半径为r＝0.2 m，由作出的F－v2图线可得滑块与速
度传感器的总质量m＝________ kg(结果保留两位有效数字)．
答案 (1)A (2)竖直转轴 见解析图 0.18
解析 (1)要探究向心力大小与线速度大小的关系，保持滑块与速度传感器的总质量和运动
半径不变，采用的实验方法是控制变量法，故A正确；
(2)实验中，因为滑块在水平方向上做圆周运动，故要测量滑块做圆周运动的半径时，应测
量滑块到竖直转轴的距离；
作出F－v2图线，如图所示：
根据F＝m知图线的斜率为k＝
则有＝
代入数据解得m＝0.18 kg.
3.(2019·福建泉州市5月第二次质检)某同学做验证向心力与线速度关系的实验．装置如图7
所示，一轻质细线上端固定在力传感器上，下端悬挂一小钢球．钢球静止时刚好位于光电
门中央．主要实验步骤如下：图7
①用游标卡尺测出钢球直径d；
②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F，用米尺量出线长L;
1
③将钢球拉到适当的高度处静止释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示
数的最大值为F；
2
已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)钢球经过光电门时的线速度表达式v＝________，向心力表达式F
向
＝m＝________；
(2)钢球经过光电门时所受合力的表达式F ＝______；
合
(3)若在实验误差允许的范围内F ＝F ，则验证了向心力与线速度的关系．该实验可能的
向 合
误差有：_______________________________________________________________.
(写出一条即可)
答案 (1) (2)F－F (3)摆线的长度测量有误差
2 1
解析 (1)钢球的直径为d，遮光时间为t，所以钢球通过光电门的速度：v＝，根据题意知，
钢球做圆周运动的半径为：R＝L＋，钢球质量：m＝，则向心力表达式：
F ＝m＝.
向
(2)钢球经过光电门时只受重力和细线的拉力，由分析可知，钢球通过光电门时，细线的拉
力最大，大小为F，故所受合力为F ＝F－F.
2 合 2 1
(3)根据向心力表达式知，可能在测量摆线长度时存在误差．
4．(2020·山东临沂市高三二模)如图8甲所示，某探究小组用能够显示并调节转动频率的小
电动机验证匀速圆周运动的向心力关系式F＝mω2r.
图8
①把转动频率可调的小电动机固定在支架上，转轴竖直向下，将摇臂平台置于小电动机正
下方的水平桌面上；
②在转动轴正下方固定一不可伸长的细线，小电动机转轴与细线连接点记为O.细线另一端
穿过小铁球的球心并固定；
③启动电动机，记录电动机的转动频率f，当小球转动稳定时，将摇臂平台向上移动，无限接近转动的小球；
④关闭电动机，测量O点到摇臂平台的高度h；
⑤改变电动机的转动频率，重复上述实验．
(1)探究小组的同学除了测量以上数据，还用游标卡尺测量了小球的直径 D，如图乙所示，
读数为________ mm；本实验________(填“需要”或“不需要”)测量小球的质量．
(2)实验中测得了O点到摇臂平台的高度h、小球的直径D和电动机的转动频率f，已知当
地的重力加速度为g，若所测物理量满足g＝________(用所测物理量符号表示)，则F＝
mω2r成立．
答案 (1)10.52 不需要 (2)4π2f2(h－)
解析 (1)主尺读数为10 mm，游标尺第26个刻度和主尺刻度对齐，精确度为0.02 mm，故
游标尺读数为0.52 mm，故小铁球的直径为10.52 mm；
设细线与竖直方向的夹角为θ，从O到球心的距离为L，小球受力分析如图所示
根据牛顿第二定律可得
mgtan θ＝mω2Lsin θ
m可以约去，则得g＝＝4π2f2Lcos θ
其中Lcos θ＝h－
则有g＝4π2f2(h－)
所以本实验不需要测量小球的质量；
(2)通过上述分析可知所测物理量满足
g＝4π2f2(h－)．
