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2019 年上海市春季高考数学试卷
2019.01
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合A={1,2,3,4,5}，B={3,5,6}，则A B=
I
2n2 -3n+1
2. 计算：lim =
n®¥ n2 -4n+1
3. 不等式|x+1| <5的解集为
4. 函数 f(x)= x2 (x>0)的反函数为
5. 设i为虚数单位，3z -i=6+5i，则|z|的值为
ì2x+2y =-1
6. 已知二元线性方程组í 有无穷多解，则实数a=
î4x+a2y =a
1
7. 在(x+ )6的二项展开式中，常数项的值为
x
1
8. 在 ABC中，AC =3，3sinA=2sinB，且cosC = ，则AB=
V
4
9. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其
中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，问有多少种不同的安排种数
（结果用数值表示）
10. 如图，正方形OABC的边长为a(a >1)，函数y =3x2交
AB于点Q，函数y = x-1 2与BC交于点P，当| AQ|+|CP|
最小时，a的值为
x2 y2
11. 已知P为椭圆 + =1上任意一点，Q与P关于x轴
4 2
uuur uuuur
对称，F 、F 为椭圆的左右焦点，若有FP×F P£1，则向
1 2 1 2
uuur uuuur
量FP与FQ的夹角范围为
1 2
12. 已知tÎR，集合A=[t,t+1] [t+4,t+9]，0ÏA，若存在正数l，对任意aÎA，
U
l
都有 ÎA，则t的值为
a
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 下列函数中，值域为[0,+¥)的是（ ）
A. y =2x B. y = x1 2 C. y =tanx D. y =cosx
第1页 | 共4页14. 已知a、bÎR，则“a2 >b2”是“|a| > |b|”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 已知平面a、b、g两两垂直，直线a、b、c满足：aÍa，bÍb，cÍg，则直线
a、b、c不可能是（ ）
A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面
16. 平面直角坐标系中，两动圆O 、O 的圆心分别为(a ,0)、(a ,0)，且两圆均过定点
1 2 1 2
(1,0)，
1 1
两圆与y轴正半轴分别交于点(0,y )、(0,y )，若lny +lny =0，点( , )的轨迹为
1 2 1 2 a a
1 2
G，
则G所在的曲线可能是（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，正三棱锥P-ABC中，侧棱长为2，底面边长为 3，M、N分别是PB和BC
的中点.
（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；
（2）求三棱锥P-ABC的体积.
18. 已知数列{a }中，a =3，前n项和为S .
n 1 n
（1）若{a }为等差数列，且a =15，求S ；
n 4 n
（2）若{a }为等比数列，且limS <12，求公比q的取值范围.
n n
n®¥
第2页 | 共4页19. 改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用
包
括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金
支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.
个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
卫生总费
占卫生总费 占卫生总费 占卫生总费
年份 用 绝对数 绝对数 绝对数
用比重 用比重 用比重
（亿元） （亿元） （亿元） （亿元）
（%） （%） （%）
2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）计算A、B的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占
比和社会支出占比的变化趋势；
（2）设t =1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数
357876.6053
f(t)= ，
1+e6.4420-0.1136t
研究函数 f(t)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.
20. 已知抛物线y2 =4x，F为焦点，P为准线l上一动点，线段PF与抛物线交于点Q，
|FP|
定义d(P)= .
|FQ|
8
（1）若点P坐标为(-1,- )，求d(P)；
3
（2）求证：存在常数a，使得2d(P)= |FP|+a恒成立；
（3）设P、P 、P为准线l上的三点，且|PP | = |PP |，试比较d(P)+d(P)与
1 2 3 1 2 2 3 1 3
2d(P)的大小.
2
第3页 | 共4页21. 若{a }是等差数列，公差dÎ(0,p]，数列{b }满足：b =sin(a )，nÎN*，
n n n n
记S ={x|x=b ,nÎN*}.
n
2
（1）设a =0，d = p，求集合S ；
1 3
p
（2）设a = ，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；
1 2
（3）若集合S 恰有三个元素，且b =b ，其中T 为不超过7的正整数，求T 所有可能
n+T n
值.
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