文档内容
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至
2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件 、 互斥，那么 ．
·如果事件 、 相互独立，那么 ．
·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高．
·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，则
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设 ，则“ ”是“ ”的
第1页 | 共26页A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为
A．5 B．8 C．24 D．29
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分
别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为 ，且
第2页 | 共26页，则
A． B． C． D．
8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则
的取值范围为
A． B． C． D．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 是虚数单位，则 的值为_____________．
10． 的展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为_____________．
第3页 | 共26页13．设 ，则 的最小值为_____________．
14．在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 _____________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
16．（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不
影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的
天数恰好多2”，求事件 发生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图， 平面 ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．
第4页 | 共26页18．（本小题满分13分）
设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的
负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率．
19．（本小题满分14分）
设 是等差数列， 是等比数列．已知 ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 ．
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 ．
20．（本小题满分14分）
设函数 为 的导函数．
（Ⅰ）求 的单调区间；
第5页 | 共26页（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明
．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求 ，再求 。
【详解】因为 ，
所以 .
第6页 | 共26页故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即
借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，
故目标函数在点 处取得最大值。
由 ，得 ，
所以 。
故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次
确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，
最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.
【答案】B
第7页 | 共26页【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 ，即 ，
等价于 ，故 推不出 ；
由 能推出 。
故“ ”是“ ”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由⇒p，q成⇒立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这
个方法特别适合以否定形式给出的问题．
4.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】详解： ，
结束循环，故输出 。
故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执
行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
5.
【答案】D
第8页 | 共26页【解析】
【分析】
只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】 的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
故得 ，
所以 ， ， ，
所以 。
故选D。
【点睛】双曲线 的离心率 。
6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用利用 等中间值区分各个数值的大小。
【详解】 ，
，
，故 ，
所以 。
第9页 | 共26页故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。
7.
【答案】A
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可。
【详解】 为奇函数，可知 ，
由 可得 ；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ，
由 的最小正周期为 可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ， 。
故选C。
【点睛】在 处有定义的奇函数必有 。
8.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为
第10页 | 共26页在 上恒成立。
【详解】首先 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 在 上恒成立；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
易知 为函数 在 唯一的极小值点、也是最小值点，
故 ，所以 。
综上可知， 的取值范围是 。
故选C。
【点睛】 在 上恒成立，等价于 ； 在 上恒成立，等价于
。
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共6小题.
9. 是虚数单位，则 的值为________.
【答案】
第11页 | 共26页【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一： 。
解法二： 。
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形
式，再根据题意求解．
10. 是展开式中的常数项为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出 的值，再求出其常数项。
【详解】 ，
由 ，得 ，
故所求的常数项为 .
【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。
11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.
【答案】
【解析】
第12页 | 共26页【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为 ，
故圆柱 的高为 ，圆柱的底面半径为 ，
故其体积为 。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
12.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程，解之解得。
【详解】圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
所以 ，
即 ，
解得 。
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出
判断。
第13页 | 共26页13.设 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。
【详解】 ，
等号当且仅当 ，即 时成立。
故所求的最小值为 。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14.在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ，
因为 ，故四边形 为菱形。
因为 ， ，所以 ，即 .
因为 ，
第14页 | 共26页所以 .
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。
因为 ∥ ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 。
由 得 ， ，
。
所以
所以 。
第15页 | 共26页【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为
方便。
三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.在 中，内角 所对 的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.
【详解】（Ⅰ）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由
，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余
第16页 | 共26页弦定理可得 .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，从而 ，
，故
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正
弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影
响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望
公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
第17页 | 共26页故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .
且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等
基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
第18页 | 共26页17.如图， 平面 ， ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ）
【解析】
【分析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可
得CF的长度.
【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角
坐标系(如图)，
第19页 | 共26页可得 .
设 ，则 .
(Ⅰ)依题意， 是平面ADE的法向量，
又 ，可得 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 .
(Ⅱ)依题意， ，
设 为平面BDE的法向量，
则 ，即 ，
不妨令z=1，可得 ，
因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(Ⅲ)设 为平面BDF的法向量，则 ，即 .
第20页 | 共26页不妨令y=1，可得 .
由题意，有 ，解得 .
经检验，符合题意｡
所以，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决
立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半
轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 或 .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的值，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达
式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，b=2，
c=1.
所以，椭圆方程为.
第21页 | 共26页(Ⅱ)由题意，设 .设直线 的斜率为 ，
又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 ，
整理得 ，可得 ，
代入 得 ，
进而直线 的斜率 ，
在 中，令 ，得 .
由题意得 ，所以直线 的斜率为 .
由 ，得 ，
化简得 ，从而 .
所以，直线 的斜率为 或 .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的
性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19.设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
第22页 | 共26页（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【 答 案 】 （ Ⅰ ） ； （ Ⅱ ） （ i ） （ ii ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进
行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
依题意得 ，解得 ，
故 ， .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以，数列 的通项公式为 .
第23页 | 共26页(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想
和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
20.设函数 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明
.
【 答 案 】 （ Ⅰ ） 单 调 递 增 区 间 为 的 单 调 递 减 区 间 为
.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明
【解析】
【分析】
第24页 | 共26页(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数 的单调区间；
(Ⅱ)构造函数 ，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数 的最小值即
可证得题中的结论；
(Ⅲ)令 ，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的
结果.
【详解】(Ⅰ)由已知，有 .
当 时，有 ，得 ，则 单调递减;
当 时，有 ，得 ，则 单调递增.
所以， 的单调递增区间为 ，
的单调递减区间为 .
(Ⅱ)记 .依题意及(Ⅰ)有： ，
从而 .当 时， ，故
.
因此， 在区间 上单调递减，进而 .
所以，当 时， .
第25页 | 共26页(Ⅲ)依题意， ，即 .
记 ，则 .
且 .
由 及(Ⅰ)得 .
由(Ⅱ)知，当 时， ，所以 在 上为减函数，
因此 .
又由(Ⅱ)知 ，故：
.
所以 .
【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想
和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.
第26页 | 共26页
