文档内容
冲刺高分突破大题压轴 (一)
百强名校-必刷真题精练
一、随机变量及其分布
1.电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房神话，名列全球票房榜第
五位．在电影最后哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害
1
为随机变量100Y,P(Y=k)= ,k=0,1,2,⋯10．当无量仙翁生命值小于等于0时，则哪吒获胜(假设
11
莲花化身的哪吒具有不死之身，不会被击败)．
(1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率；
(2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数的期望；
(3)求哪吒恰好在第n次攻击后可战胜无量仙翁的概率．
【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题
12.合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为1,2,3,⋯,nn∈N + ,n≥3
2
的n个外观相
同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将n个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规
则是主持人请抽奖人在n个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希
望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了k号箱.在打开k号箱之前，主持人先打开了另
外n-1个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多
个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开.
(1)若n=3,k=1，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还
是改选2号箱？试说明理由；
(2)若k=2，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改
选其他号码的箱？试说明理由；
(3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量X的期望EX 和方差DX
存在，则对任意的ε>0，有P X-EX ≥ε
DX
≤
.若k=1，设主持人打开箱的号码为随机变量
ε2
X，求X的期望EX 和方差DX ，并验证随机变量X满足切比雪夫不等式.
【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题3.某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试(测试I)通过率为p00，均有P X-E(X) ≥ε ≤
DX
.
ε2
【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题4.已知数列a
n
4
1
满足a =0，并且对任意的n∈N*，a 取a -1或a +1的概率均为 ．
1 n+1 n n 2
(1)求a =0的概率；
3
(2)设a 的值为随机变量X．
2n+1
①求X的分布列；
②求随机变量X 的数学期望E X ．
【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题5.北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时
1
间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为 ；前一天选择路线
2
3 1 1
B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为 和 .已知居民第一天选择路线A的概率为 ，
4 4 3
2
选择路线B的概率为 .
3
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为P.
n
(i)请写出P 与P(n∈N*)的递推关系；
n+1 n
16
(ii)设M =
n 15P -9 n
5
n M M M n
-4，求证： -1< 1 + 2 +⋯+ n < (n∈N*).
4 M M M 4 2 3 n+1
【来源】河南省实验中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷6.“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采
用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估
计方法，其原理是从总体中抽出具有 n 个值的采样 X 1 ,X 2 , ⋅⋅⋅ ,X n ，求出似然函数 Lp
6
=
PX 1 =x 1 ,X 2 =x 2 ,⋅⋅⋅,X n =x n ，似然函数Lp 表示样本同时取得x ,x ,⋅⋅⋅,x 的概率，当似然函数取得最 1 2 n
大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值．
(1)已知一工厂生产产品的合格率为p，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件
进行检测，有2件不合格；
(i)估计该批次产品合格率；
(ii)若用随机变量X表示产品是否合格，X=0表示不合格，X=1表示合格，求合格率p的最大似然估
计值，并判断与(i)中估计值是否相等；
(2)设一次试验中随机变量Y的概率分布如下：
Y 1 2 3
P x2 2x1-x 1-x 2
现做n次独立重复试验，Y=1出现了n 次，Y=2出现了n 次，Y=3出现了n 次，求x的最大似然估
1 2 3
计值；
(3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为PX=k
λk
= e-λX=0,1,2,⋅⋅⋅
k!
，设一次试验中随
机变量X的取值服从泊松分布，进行n次试验后得到X的值分别为a ,a ,⋅⋅⋅,a ，已知λ的最大似然估计
1 2 n
值为2，求数列a
n
的前n项和S ．
n
【来源】山东省聊城第一中学2025届高三下学期3月调研数学试题二、导数及其应用
7.已知函数fx
7
ex-a
= ，其中e为自然对数的底数
x
(1)当a=1时，求fx 的单调区间；
(2)若当a=2时，关于x的方程：fx =k有两个不同的根：x ,x 且x 0，x >0，证明：
1 2
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题19.若二元代数式 fa,b
19
满足 ，则称代数式 fa,b 为二元轮换式，记 ；若三元代
数式 f a,b,c 满足 ，则称代数式 f a,b,c 为三元轮换式，记 ，
.
2x-y
(1)若正实数 ， 满足 ，且 ，求 的最大值；
x-y+1
(2)若代数式 为二元轮换式，比较xy与e-2的大小；
(3)若对任意的正实数x，y，z均有 ，求整数 的最大值.
【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题三、圆锥曲线
20.已知直线 与双曲线 交于 两点．
(1)若 过右焦点 ，且AB
20
的最小值为2，求 的取值范围；
(2)若 ，且AB =4，过弦 的中点 分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为 ，求四边形
的面积的最大值．
【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷2 3
21.设 是坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率e= .
3
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)直线l:x=ty+c交双曲线 的右支于 两点，且 关于 轴的对称点为 的外心为 .
(i)求外心 的坐标(用 表示)；
(ii)求 的取值范围.
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试
题
2122.已知椭圆 的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线x- 6y=4相切.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点0,1
22
作斜率为 的直线交椭圆 于 、 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点为 ，点
关于直线 的对称点为点 ，若四边形 为正方形，求 的值.
【来源】天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查二(二模)数学试题2
23.已知椭圆 的离心率为 ,A,B分别为椭圆 的上、下顶点， 为坐标原点，直线
2
与椭圆 交于不同的两点 .
(1)设点 为线段PQ的中点，证明：直线 与直线PQ的斜率之积为定值；
(2)若AB
23
=2，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上.
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟(一)数学试卷24.已知焦点在 轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点( 5,1) ．
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)设P(2,0)，直线l与C的两支交于A,B两点( 在第一象限)，与y轴交于点Q，记直线 的斜率
分别为k ,k .
1 2
(i)求直线PQ的斜率k(用k ,k 表示)；
1 2
1
(ii)若tan∠BPQ= ，求 的坐标.
2
【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题
2425.焦点在 轴上的等轴双曲线 ，其顶点到渐近线的距离为 ，直线过点P- 5,0
25
与双曲线的左、右支
分别交于点 、 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若线段 的中垂线与 轴交于点Q 5,0 ，求直线 的斜率；
(3)若点 关于原点的对称点 在第三象限，且 ，求直线 斜率的取值范围.
【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题26.已知圆 ，圆 .若动圆 与圆F 外切，且与圆F 内切，设动圆圆心 的
1 2
轨迹为 .不过原点O的动直线 与曲线 交于A,B两点，平面上一点 满足OA=AD，连接 交
于点 (点 在线段 上且不与端点重合)，若 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形 的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷
2627.椭圆 与圆 和圆 都外切．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点(异于A，B)，直线 与
椭圆E交于另一点H．若直线 与 交于点P，求证：点P在定直线l上；
(3)在(2)的条件下，设直线KB与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线 与l交于R，
①求证： ．
②求△KPQ面积 取最小值时K点的横坐标．
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
27x2 y2
28.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)经过点M(6,9)，其一条渐近线的倾斜角为60°，双曲线C的左、
a2 b2
右顶点分别为A ,A ，左、右焦点分别为F,F．
1 2 1 2
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图1，N为双曲线C左支上异于点A 的一动点，且 的重心为A ，试探究点T的轨迹，并求
1 2
的最小值；
(3)如图2，不与坐标轴平行的动直线l与双曲线C交于 两点(异于点A ,A )，P关于原点O的对称
1 2
点为R．直线A R与直线A Q相交于点S，直线OS与直线PQ相交于点G，求 的内心的轨迹方
1 2
程．
【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题
281
29.在直角坐标系 中，点 到点F0,
4
29
1
的距离等于点 到直线y=- 的距离，记动点 的轨迹为 .
4
(1)求 的方程；
(2)已知梯形 的四个顶点都在曲线 上，其中 在第一象限( 在 的上方)， 在第二象
限，且 ，线段AC,BD交于点H，记AB,CD中点分别为 .
(i)求证： NH；
(ii)若线段 长度为3，梯形 的面积为9，求线段 与 长度的比值.
【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题2
30.如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率e= ，且椭圆 过点
2
A2，0
30
，过点 作斜率为kk≠0 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的kk≠0
都有OP⊥CQ，若存在，求出点 的坐
标：若不存在说明理由．
【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题31.点 为直线 上的动点， 为坐标原点，过点 作直线 垂直于 轴，过点 作直线 的垂线交直
线 于点 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)记 点轨迹为曲线 ， 上一定点 ，过 作两不同直线分别交 于 两点，
①直线 的斜率满足 ，且直线 过点-3,2
31
，求定点 坐标；
②若点B1,2 ，且直线 的斜率满足 ，设 的外接圆为圆 ，过点 作曲线 的
切线 ，判断直线 与圆 位置关系，并说明理由.
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷四、数列新定义
32.存在 m∈N* ，对任意的 n∈N* ，当 时，正项数列 a
n
32
都满足 .
，则称 a n 满足 Pm 性质. 例如: 当 时，
，则等比数列 2n 满足 P4 性质; 当 时， ，则
数列 不满足 P1 性质. 已知数列 a n 同时满足 P2 ,P3 性质.
(1)证明:数列 a
n
为等比数列；
(2)已知 a =1,a =3 ，若数列 b
1 2 n
满足: ，其中 k∈N* . 设 S 为数列 a
n n
的前 项和，记 .
① 求 的表达式 (用含 的式子表示);
9
②试判断 与 的大小关系，并说明理由.
40
【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题33.已知数列a
n
33
的前项和为S ，a =1，且 .
n 1
S
(1)证明：数列 n
n
为等差数列；
(2)设 ，
(i)求数列b
n
的前 项和；
(ii)当 时，设集合 ，集合M 中所有元素
n
的和记为K ，求数列K
n n
的通项公式.
【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题34.设a
n
34
单调不减的无界非负数列，定义数列a*
n
为 ，这里 表示集合 中元素的
个数，称 为数列a
n
的伴随数列．
(1)若数列a n 满足 ，求数列a n 的伴随数列a* n (可以用 x 表示不超过 的最大整
数)；
(2)对任意的正整数 ， ，证明下述关于伴随数列的基本性质：
(i) ；
(ii)若a*
n
为整数数列a
n
的伴随数列，则a
n
也为数列a*
n
的伴随数列：
(3)设函数fx 在 1,+∞ 上连续，严格递增且无界，满足 ，且对任意正整数 ，都有fn ∉
N*，证明：数列 fn 与数列 互为伴随数列，这里f-1x 是fx 的反函数；并利用上述结果，直
接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，⋯的通项公式．
【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷35.已知 为有穷正整数数列，且 ，集合X=-1,0,1
35
.若存在 ，
使得 ，则称 为 可表数，称集合
为 可表集.
(1)若 ，判定31，1024是否为 可表数，并说明理由；
(2)若 ，证明： ；
(3)设 ，若 ，求 的最小值.
【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷36.已知 元正整数集合 ，取出A 的 个互不相同的非空子集： 构成集合
n
，若 中任意 个元素的并集均真包含于A ，任意 个元素的并集均等于A ，
n n
我们称 合理覆盖
(1)若 ，问P 是否合理覆盖A ？请简要说明理由；
4 6
(2)若存在 合理覆盖A ，求 的最小值；
n
(3)是否存在 合理覆盖A ，且 构成公差为1的等差数列(B
2025 k
36
表示集合B 中的元素
k
个数)？若存在请给出一个 ，若不存在请说明理由．
【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题37.若对∀n∈N*，都有 ，则称a
n
37
与b
n
为“ 级相邻数列”．
(1)设a
n
的前n项和 ，且 ，试判断a
n
与b
n
是否为“2级相邻数列”，并说
明理由；
(2)若 ，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知 ，由数列a
n
的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若a
n
与
b
n
为“1级相邻数列”，求满足条件的数列 的组数(用数字作答)．
【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题38.已知集合 ，其中 ，集合 ．定义运算
，记|A|为集合 中元素的个数.
(1)若A={1,2,3,4}，求|A*B|的值；
(2)若集合 中的元素a(1≤i≤n)构成等差数列，且公差 .
i
(i)当 时，求|A*B|的最小值；
(ii)当n=2025时，求|A*B|的最小值.
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试
题
3839.将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行 1 2 3 ⋯⋯ 7 8 9
第2行 10 11 12 ⋯⋯ 97 98 99
第3行 100 101 102 ⋯⋯ 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 ⋯⋯ 9997 9998 9999
⋯⋯⋯⋯
(1)将数列3n+1
39
与数列2n 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列a
n
，试确定a 在该数阵中
6
的位置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数
阵，记新数阵第 行中正整数的个数为b .
n
(i)求b ，b ，b ；
1 2 3
(ii)求b .
n
【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试(二模)数学试题40.在等差数列a
n
40
中，已知 成等差数列．
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)数列2an 是否为等比数列？若是求其前 项和，若不是，请说明理由；
(3)设 ，且 ，求 的所有取值．
【来源】河南省信阳市新县高级中学2025届高三考前第一次适应性考试数学试题
