文档内容
冲刺高分突破大题压轴 (一)
百强名校-必刷真题精练
一、随机变量及其分布
1.电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房神话，名列全球票房榜第
五位．在电影最后哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害
1
为随机变量100Y,P(Y=k)= ,k=0,1,2,⋯10．当无量仙翁生命值小于等于0时，则哪吒获胜(假设
11
莲花化身的哪吒具有不死之身，不会被击败)．
(1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率；
(2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数的期望；
(3)求哪吒恰好在第n次攻击后可战胜无量仙翁的概率．
【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题
5
【答案】(1)
11
(2)EX 10
1
11
= 10
10
C9 C9
(3) n+8 - n+9 ．
11n-1 11n
【分析】(1)由列举法可得符合题意的事件，利用古典概型的概率计算，可得答案；
(2)由期望的求和公式，整理可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案；
(3)由题意建立不等式组，根据不等式的整数解的个数，结合概率的乘法公式，可得答案.
【详解】(1)第一次伤害为0时，第二次为1000；
第一次伤害为100时，第二次为900，1000；
⋯；
第一次伤害为900时，第二次为100,200,⋯,1000，
55 5
共55种情况，故哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率为 = ．
121 11
(2)设无量仙翁生命值为100n时，哪吒战胜需要攻击的次数为X ，
n
则EX n
11-n 1
=1× 11 + 11 EX 1 +1+EX 2 +1+⋯+EX n +1 ，
故EX n
1
=1+ 11 EX 1 +EX 2 +⋯+EX n ，
则EX n-1
1
=1+ 11 EX 1 +EX 2 +⋯+EX n-1 ，
两式相减，得EX n
11
= 10 EX n-1 ，
故EX n
11
= 10
n-1
EX 1 ，又EX 1
10 1
=1× 11 + 11 EX 1 +1 ，得EX 1
11
= ， 10
从而EX n
11
= 10
n
，则当n=10时，EX 10
11
= 10
10
．
(3)设第n次攻击造成的伤害为100Y，则恰在第n次击败需满足：
n
Y+Y+Y+⋯+Y ≤9，①
1 2 3 n-1
Y+Y+Y+⋯+Y ≥10，②
1 2 3 n
设Y+Y+Y+⋯+Y +Z=9,Z≥1，③
1 2 3 n-1则③的非负整数解有Cn-1=C9 组，即①的非负整数解有C9 组．
n+8 n+8 n+8
C9
从而前n-1次哪吒未获胜的概率为 n+8 ，
11n-1
C9 C9
前n-1次获胜的概率为1- n+8 ，前n次获胜的概率为1- n+9 ，
11n-1 11n
C9 C9
第n次恰好获胜的概率为 n+8 - n+9 ．
11n-1 11n
2.合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为1,2,3,⋯,nn∈N + ,n≥3
2
的n个外观相
同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将n个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规
则是主持人请抽奖人在n个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希
望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了k号箱.在打开k号箱之前，主持人先打开了另
外n-1个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多
个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开.
(1)若n=3,k=1，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还
是改选2号箱？试说明理由；
(2)若k=2，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改
选其他号码的箱？试说明理由；
(3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量X的期望EX 和方差DX
存在，则对任意的ε>0，有P X-EX ≥ε
DX
≤
.若k=1，设主持人打开箱的号码为随机变量
ε2
X，求X的期望EX 和方差DX ，并验证随机变量X满足切比雪夫不等式.
【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题
【答案】(1)改选2号箱，理由见解析
(2)改选2号、3号以外的箱，理由见解析
n
(3)E(X)= +1，DX
2
n2 n
= - ，验证见解析
12 6
【分析】(1)用A ,A ,A 分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用B ,B ,B 分别表示主持人打开1,2,3号箱
1 2 3 1 2 3
子，根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可判断；
(2)用A1≤i≤n
i
分别表示i号箱子里有奖品，用B1≤i≤n
i
分别表示主持人打开i号箱子，根据全概
率公式计算可得PB 3 ，再根据条件概率计算即可判断；
(3)用A1≤i≤n
i
分别表示i号箱子里有奖品，用B1≤i≤n
i
分别表示主持人打开i号箱子，X=2,3,
1
4,⋯,n，计算可得P(X=k)= ，进而可求得EX
n-1
和DX ，代入P X-EX ≥ε
DX
≤
分
ε2
n n
析化简可得P +1-ε i≠2,3 n ,
所以改选2号、3号以外的箱，因为这样会增加中奖的概率；
(3)用A1≤i≤n
i
分别表示i号箱子里有奖品，用B1≤i≤n
i
分别表示主持人打开i号箱子，
则PB 1 ∣A i =0,PB k ∣A 1
1
= k≠1 n-1 ,PB ∣A k k =0，
PB ∣A
k i
1
= k≠1,i≠1,i≠k
n-2
，
X=2,3,4,⋯,n，则当k≠1时，
P(X=k)=PB
k
n
=∑PA
i
i=1
PB ∣A
k i
1 1 1
= + ⋅n-2
n n-1 n-2
1
= ，
n-1
n
k (n+2)(n-1)
所以E(X)= n k = k=2 = 2 = n +1，
n-1 n-1 n-1 2
k=2
E(X-1)2
n-1
∑k2 (n-1)n(2n-1)
=∑ n (k-1)2 = k=1 = 6 = n2 - n .
n-1 n-1 n-1 3 6
k=2
DX =DX-1 =E(X-1)2 - EX-1 2=E(X-1)2 - EX -1 2
对任意的ε>0，P X-EX ≥ε
n
=1-P X- -1
2
<ε
n n
=1-P +1-ε0,fx 单调递增；
n
当x∈ ,+∞
3
时，fx <0,fx 单调递减，所以fx
n
≤f
3
n3
= .
27
所以P X-EX ≥ε
n3
⋅ε2≤
27n-1
，
n3
下面证明
27n-1
n2 n
< - ,n≥5，
12 6
5
即证明 n2-3n+2>0,n≥5，
9
5 5 27
因为 n2-3n+2= n-
9 9 10
2 81 5 27
+2- ≥ ×5-
20 9 10
2 41 20 41
- ≥ - >0，
20 9 20
n3
所以
27n-1
n2 n
< - ,n≥5，
12 6
即当n≥5时，P X-EX ≥ε ⋅ε2≤DX ，即P X-EX ≥ε
DX
≤
.
ε2
当n=3时，PX=2 =PX=3
1
= ,EX
2
5
= ,DX
2
1
= .
4
1
此时，当ε> 时，P X-EX
2
≥ε
DX
=0≤
；
ε2
1
当ε≤ 时，P X-EX
2
≥ε
DX
=1≤
.
ε2
当n=4时，PX=2 =PX=3 =PX=4
1
= ,EX
3
=3,DX
2
= .
3
此时，当ε>1时，P X-EX ≥ε
DX
=0≤
；
ε2
当ε≤1时，P X-EX ≥ε
2 DX
= ≤
3
.
ε2
综上所述，P X-EX ≥ε
DX
≤
成立.
ε2
3.某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试(测试I)通过率为p00，均有P X-E(X) ≥ε ≤
DX
.
ε2【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题
【答案】(1)EX
5
=0.92n，DX =0.0736n
p
(2)θ=
p+(1-p)q
(3)1000
【分析】(1)先计算出每个芯片通过测试的合格率后，可得X服从二项分布n,0.92 ，则可借助二项分布
的期望与方差公式计算得解；
(2)可借助正难则反的思想计算出出一枚芯片合格的概率，也可借助全概率公式计算出出一枚芯片合格
的概率，再结合首次测试(测试I)通过率为p与条件概率公式计算从而得解；
(3)由题意可得k~Bm,θ ，则Ek =mθ，Dk =mθ1-θ ，再结合所给参考内容，可得∴∀ε>0，
P θ-θ ≥ε
θ1-θ
≤
，利用基本不等式可得 θ1-θ
mε2
1
≤ ，则对 ∀ ε > 0，均有 P θ-θ
4
≥ε ≤
1 1
，取ε=0.05可得
4mε2 4m⋅0.05
≤0.1，计算即可得解.
2
【详解】(1)每个芯片通过测试的合格率为0.8+1-0.8 ×0.6=0.92，X~Bn,0.92 ，
则EX =0.92n，DX =0.0736n；
(2)解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格，
PC =1- 1-PA 1-PB =p+1-p q，
则θ=PAC
PAC
=
PC
p
=
p+1-p
；
q
解法二：记事件A ：经过测试I，事件A ：经过测试II，事件B：芯片合格，
1 2
PBA 1 =p，PBA 2 =q，PA 1 =1，PA 2 =1-p，
PB =PA 1 PBA 1 +PA 2 PBA 2 =p+1-p q，
则θ=PA 1 B = PA 1 B
PB
p =
p+1-p
；
q
(3)因为k~Bm,θ ，所以Ek =mθ，Dk =mθ1-θ ，
解法一：Eθ
k
=E
m
1
= Ek
m
=θ，Dθ
1
= Dk
m2
θ1-θ
=
，
m
∴∀ε>0，P θ-θ ≥ε
θ1-θ
≤
，
mε2
又∵θ1-θ
θ+1-θ
≤
2
2 1 1
= ，当且仅当θ= 时等号成立，
4 2
∴∀ε>0，均有P θ-θ ≥ε
1
≤ ，
4mε2
取ε=0.05，则P θ-θ ≥0.05
1
≤
4m⋅0.05
，
2
根据题意要使得P θ-θ ≥0.05 总能不超过0.1，
1
当
4m⋅0.05
≤0.1，即m≥1000时满足条件，
2
∴最小样本量大约为1000.
解法二：由已知得对∀δ>0，P k-mθ ≥δ
mθ1-θ
≤
，
δ2
k
∴P -θ
m
δ
≥
m
θ1-θ
≤
δ
m
，
2
mδ
记ε= ，∴∀ε>0，P θ-θ
m
6
≥ε
θ1-θ
≤
，
mε2
又∵θ1-θ
θ+1-θ
≤
2
2 1 1
= ，当且仅当θ= 时等号成立，
4 2
∴∀ε>0，均有P θ-θ ≥ε
1
≤ ，
4mε2
取ε=0.05，则P θ-θ ≥0.05
1
≤
4m⋅0.05
，
2
根据题意要使得P θ-θ ≥0.05 总能不超过0.1，
1
当
4m⋅0.05
≤0.1，即m≥1000时满足条件，
2
∴最小样本量大约为1000.
4.已知数列a
n
1
满足a =0，并且对任意的n∈N*，a 取a -1或a +1的概率均为 ．
1 n+1 n n 2
(1)求a =0的概率；
3
(2)设a 的值为随机变量X．
2n+1
①求X的分布列；
②求随机变量X 的数学期望E X ．
【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题
1
【答案】(1)
2
nCn
(2)① 答案见解析；② 2n
22n-1
【分析】(1)分别求得a =0,a =1,a =0和a =0,a =-1,a =0时概率，结合互斥事件的概率加法，即可
1 2 3 1 2 3
求解；
2n
(2)(ⅰ)设d n =a n+1 -a n ，得到a 2n+1 =a 1 +∑ a i+1 -a i
i=1
2n
=∑d，设a =k且此时d ,d ,⋯,d 中有x个 i 2n+1 1 2 2n
i=1
1,2n-x个-1，得到X-2n-x =k，求得X=2m，得到事件X=2m 的含义，即可求得X的概率分
布，得到答案..
(ⅱ)对任意1≤i≤n，得到P X =2m
Cn+m
= 2n m=1,2,⋯,n
22n-1
，结合组合数的运算公式，进而求得
E X 的表达式，得到答案.
1 1 1
【详解】(1)解：当a =0,a =1,a =0时概率为 × = ，
1 2 3 2 2 4
1 1 1
当a =0,a =-1,a =0时概率为 × = ，
1 2 3 2 2 4
1 1 1
所以a =0的概率为 + = ．
3 4 4 2
(2)解：(ⅰ)设d =a -a ，
n n+1 n
1 2n
则对任意正整数n，d n 取1或1的概率均为 2 ，且a 2n+1 =a 1 +∑ a i+1 -a i
i=1
2n
=∑d， i
i=1
设a =k．显然k
2n+1
≤2n，
再设此时d 1 ,d 2 ,⋯,d 2n 中有x个1,2n-x个-1，则X=x-2n-x =2x-n =k，
因此k=2x-n 只能取 -2n,2n 之间的偶数值，所以X=2mm=±1,±2,⋯,±n ，
对于偶数2mm=0,±1,⋯,±n ，事件X=2m
7
相当于在2n个数d ,d ,⋯,d 中，有n+m个取1，n-m个取-1，
1 2 2n
所以X的概率分布可表示为PX=2m
Cn+m
= 2n m=0,±1,⋯,±n
22n
.
(ⅱ)对任意1≤i≤n，可得PX=-2m =PX=2m ．
所以P X =2m
Cn+m
= 2n m=1,2,⋯,n
22n-1
，
则E X
n Cn+m 1 n 1 n
= m ∑ =1 2m 22 2 n n -1 = 22n-2 m ∑ =1 mC 2 n n +m= 22n-2 m ∑ =1 (n+m)C 2 n n +m-nC 2 n n +m
1 n
= 22n-2 m ∑ =1 2nC 2 n n + - m 1 -1-nC 2 n n +m
1 n n
= 2n∑Cn+m-1-n∑Cn+m 22n-2 m=1 2n-1 m=1 2n
1 1 1
= 22n-2 2n× 2 ×22n-1- 2 22n-C 2 n n n
nCn
= 2n . 22n-1
5.北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时
1
间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为 ；前一天选择路线
2
3 1 1
B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为 和 .已知居民第一天选择路线A的概率为 ，
4 4 3
2
选择路线B的概率为 .
3
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为P.
n
(i)请写出P 与P(n∈N*)的递推关系；
n+1 n
16
(ii)设M =
n 15P -9 n
n M M M n
-4，求证： -1< 1 + 2 +⋯+ n < (n∈N*).
4 M M M 4 2 3 n+1
【来源】河南省实验中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷
8
【答案】(1)分布列见解析，
3
1 3
(2)(i)P =- P + (n∈N*)；(ii)证明见解析
n+1 4 n 4
【分析】(1)先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项
分布期望公式可得期望；
(2)(ⅰ)分析第n天选择路线A，和路线B情况下第n+1天选择路线A的概率，再由全概率公式列式，
利用构造法求出关系式；(ⅱ)由(ⅰ)构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前n和公式推理得
证.
【详解】(1)记附近居民第ii=1,2 天选择路线A,B分别为事件A,B，
i i
1 2
依题意，P(A 1 )= 3 ,P(B 1 )= 3 ，PA 2 A 1 =PB 2 A 1
1
= 2 ，PA 2 B 1
3
= 4 ,PB 2 B 1
1
= ， 4
则由全概率公式，得居民第二天选择路线A散步的概率P(A 2 )=P(A 1 )PA 2 A 1 +P(B 1 )PA 2 B 1
1
= 3
1 2 3 2
× + × = ；
2 3 4 3
2
记第二天选择路线A散步的人数为Y，则Y~B4,
3
，
1
则P(Y=0)=
3
4 1 2 1
= ，P(Y=1)=C1⋅ ⋅
81 4 3 3
3 8
= ，
812
P(Y=2)=C2⋅
4 3
8
2 1
⋅
3
2 24 8 2
= = ，P(Y=3)=C3⋅
81 27 4 3
3 1 32
⋅ = ，
3 81
2
P(Y=4)=
3
4 16
= ，
81
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4
1 8 8 32 16
P
81 81 27 81 81
2 8
故Y的数学期望E(Y)=4× = ．
3 3
1
(2)(i)当第n天选择路线A时，第n+1天选择路线A的概率P = P；
n+1 2 n
3
当第n天选择路线B时，第n+1天选择路线A的概率P = (1-P)，
n+1 4 n
1 3 1 3
所以P = P + (1-P)=- P + (n∈N*).
n+1 2 n 4 n 4 n 4
1 3 3 1 3
(ii)由(i)知P =- P + (n∈N*)，则P - =- P -
n+1 4 n 4 n+1 5 4 n 5
1
，而P = ，
1 3
3
于是数列P -
n 5
3 1 3 4 1
是首项为P - = - =- ，公比为- 的等比数列，
1 5 3 5 15 4
3 4 1
因此P - =- ⋅-
n 5 15 4
n-1 3 4 1
，即P = - ⋅-
n 5 15 4
n-1 16
，M =
n 15P -9
n
-4=4n-4，
M 4n-4 4n-4 4n-4 1 M 1
当n≥2时， n = = < = ，而 1 =0< ，
M 4n+1-4 4(4n-1) 4(4n-4) 4 M 4
n+1 2
M M M n
所以 1 + 2 +⋯+ n < ；
M M M 4
2 3 n+1
当n≥2时， M n = 4n-4 = 4
1 (4n+1-4)-3
= 1 - 3 > 1 - 3 ，而 M 1 =0> 1 - 3 =
M 4n+1-4 4n+1-4 4 4n+1-4 4 4n M 4 4
n+1 2
1
- ，
2
M M M n 1 1 1 1
所以 1 + 2 +⋯+ n > -3 + + +⋯+
M M M 4 41 42 43 4n
2 3 n+1
n 1
= -1-
4 4n
n
> -1，
4
n M M M n
所以 -1< 1 + 2 +⋯+ n < .
4 M M M 4
2 3 n+1
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的
概率求和问题.
6.“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采
用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估
计方法，其原理是从总体中抽出具有 n 个值的采样 X 1 ,X 2 , ⋅⋅⋅ ,X n ，求出似然函数 Lp =
PX 1 =x 1 ,X 2 =x 2 ,⋅⋅⋅,X n =x n ，似然函数Lp 表示样本同时取得x ,x ,⋅⋅⋅,x 的概率，当似然函数取得最 1 2 n
大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值．
(1)已知一工厂生产产品的合格率为p，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件
进行检测，有2件不合格；
(i)估计该批次产品合格率；
(ii)若用随机变量X表示产品是否合格，X=0表示不合格，X=1表示合格，求合格率p的最大似然估计值，并判断与(i)中估计值是否相等；
(2)设一次试验中随机变量Y的概率分布如下：
Y 1 2 3
P x2 2x1-x
9
1-x 2
现做n次独立重复试验，Y=1出现了n 次，Y=2出现了n 次，Y=3出现了n 次，求x的最大似然估
1 2 3
计值；
(3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为PX=k
λk
= e-λX=0,1,2,⋅⋅⋅
k!
，设一次试验中随
机变量X的取值服从泊松分布，进行n次试验后得到X的值分别为a ,a ,⋅⋅⋅,a ，已知λ的最大似然估计
1 2 n
值为2，求数列a
n
的前n项和S ．
n
【来源】山东省聊城第一中学2025届高三下学期3月调研数学试题
【答案】(1)(i)0.9；(ii)0.9，与(i)中的估计值相等；
2n +n
(2) 1 2 ；
2n
(3)S =2n.
n
【分析】(1)(ⅰ)由题设结合数据直接计算即可；
(ⅱ)先根据似然函数定义结合二项分布的概率计算方法得似然函数L 1p =p181-p 2，再结合导数工具
求出似然函数最大值即可得解；
(2)先由题设得L 2x =2n 2x2n 1 +n 21-x 2n 3 +n 2，再由导数工具求出L 2x 的最大值即可得解；
(3)先由题设计算求得gλ =lnL 3λ ，再利用导数工具求出 gλ
n
a
i
=0得λ= i=1 ，且其为gλ
n
及
lnL 3λ
n
a
i
的最大值点，进而得 i=1 =2，由该等式即可求解.
n
20-2
【详解】(1)(ⅰ)由题该批次产品合格率P= =0.9；
20
(ⅱ)由题意得，似然函数L 1p =p181-p 2，L 1p =p17p-1 20p-18 ，
当p∈0,0.9 时，L 1p >0，L 1p 单调递增，
当p∈0.9,1 时，L 1p <0，L 1p 单调递减，
则当p=0.9时，L 1p 取得最大值，即p的最大似然估计值为0.9，与(ⅰ)中的估计值相等；
(2)L 2x =x2 n 1 2x1-x n 2 1-x 2 n 3=2n 2x2n 1 +n 21-x 2n 3 +n 2，
令fx =lnL 2x =2n 1 +n 2 lnx+2n 3 +n 2 ln1-x +n ln2， 2
则fx
2n +n 2n +n
= 1 2 - 3 2 ，令fx
x 1-x
2n +n
=0，解得x= 1 2 ，
2n
易知fx 在x∈0,1 上单调递减，
则当x∈0,x 时，fx >0，fx
单调递增，当x∈x,1 时，fx <0，fx 单调递减，
所以L 2x
在0,x
上单调递增，在x,1 上单调递减，
2n +n
则x=x=
2
1
n
2 时，L 2x
2n +n
取得最大值，所以x的最大似然估计值为 1 2 .
2n(3)L 3λ
10
=PX 1 =a 1 ,⋅⋅⋅,X n =a n
i=1
= i ∏ =1 λa i e-λ= λ ∑ n a i e-nλ，∏ n a =a a a ⋯a ， n a i ! i ∏ =1 a! i=1 i 1 2 3 n
i
n
设gλ =lnL 3λ
i=1
=∑a
i
n
i=1
lnλ-nλ-∑lna!，则函数gλ
i
n
与lnL 3λ 单调性相同，
因为gλ
1 i=1
= ∑a -n为减函数，令gλ
λ n i
n
a
i
=0得λ= i=1 ，
n
n
a
i
则0<λ< i=1 时gλ
n
>0，函数gλ
n
a
i
单调递增；λ> i=1 时，gλ
n
<0，函数gλ 单调递减，
n
a
i
所以λ= i=1 为gλ
n
n
a
i
极大值点也及最大值点，所以λ= i=
n
1 为lnL 3λ 极大值点也及最大值点，
n
a
i n
则由题λ的最大似然估计值为 i=1 =2，即a =S =2n.
n i n
i=1
二、导数及其应用
7.已知函数fx
ex-a
= ，其中e为自然对数的底数
x
(1)当a=1时，求fx 的单调区间；
(2)若当a=2时，关于x的方程：fx =k有两个不同的根：x ,x 且x 0，通过k= 2 1
ex 1-2 et-1
= ，先研究函数y= 的单调性，再研究mx t x t
1
=
ex-2 ex 1-2
,x<0的最小值，利用两者最小值的一致性，可得x 的值，即可通过k= 求k的值.
xex 1 x
1
【详解】(1)定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，
当a=1时，fx
ex-1
= ，则fx
x
xex-ex-1
=
x-1
=
x2
ex+1
，
x2
令gx =x-1 ex+1，则gx =ex+x-1 ex=xex，
则gx >0得x>0；gx <0得x<0，
则gx 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，
因g0 =0，则x∈-∞,0 或x∈0,+∞ 时，gx >0，即fx >0，则fx
11
的单调递增区间为-∞,0 和0,+∞ ，无单调递减区间.
(2)(i)当a=2时，fx
ex-2
= =k 有两个不同的根x ,x ， x 1 2
则hx =ex-kx-2在R上有两个不同的非零零点x ,x ， 1 2
因h0 =-1≠0，则hx =ex-kx-2在R上有两个不同的零点x ,x ， 1 2
因hx =ex-k，
当k≤0时，hx =ex-k>0，则hx 在R上单调递增，
则hx 在R上至多存在一个零点，不符合题意；
当k>0时，hx >0得x>lnk；hx <0得x0，则φk =1-lnk-1=-lnk，
则φk >0得01，
则φk 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，
则φk =φ1
max
=-1<0，则hlnk =k-klnk-2≤-1<0在0,+∞ 上恒成立，
x
因ex≥x+1>x，则ex=e2
2 x
>
2
2 x2
= ，
4
则当x>2k+2 k2+2时，hx
x2
=ex-kx-2> -kx-2>0；
4
2
当x<- 时，hx
k
=ex-kx-2>-kx-2>0，
则由零点存在性定理可知hx =ex-kx-2在R上有两个不同的零点，
综上可知，k的范围为0,+∞ .
(ii)因h0 =-1<0，结合hx 的单调性可知x <0,x >0， 1 2
由(i)可知x ,x 是ex-kx-2=0的两个根，即ex 1=kx +2,ex 2=kx +2，
1 2 1 2
ex 2-ex
1
两式相减得k= ，
x -x
2 1
et+x 1-ex 1 ex 1et-1
令t=x -x >0，则k= =
2 1 t
ex 1-2 et-1 ex 1-2
= ，则 = ，
t x 1 t x 1 ex 1
et-1
令由(1)可知，y= 在0,+∞
t
上单调递增，
et-1
故欲求t的最小值，只需求y= 的最小值，即 的最小值，
t
令 ，则 ，
令 ，则 ，则sx 在-∞,0 上单调递增，
又 ，则 使得sx 0 =0，即 ，
则mx >0得x 0 0，gx 单调递增，
1
所以 ，故a≤- ；
e
(2)(i)令fx =0，即 ，由题知 是方程 的两根，
又 时，y=xlnx<0，由(1)得，
1
此时- 0，在 ,π
2
上cosx<0,-xsinx<0，
在x∈0,π 内，gx 的符号会发生变化 ，
因为g(x)上连续，且 ，又gx 符号变化，
所以存在 使得g(x)先正后负，即fx 先正后负，
根据极值点的定义，fx 在0,π 上有一个极值点.
(ii)已知 ，令fx =0，即sinx=-xcosx，可得tanx=-x.
设y=tanx与y=-x的交点横坐标为a (n=1,2,⋯)，
n
因为y=tanx的周期为 ，且y=tanx在 上单调递增，
相邻两个交点之间，y=tanx的图象变化一个周期。
考虑y=tanx与y=-x的图象关系，tan(x+π)=tanx，
对于y=tanx在 上，y=-x单调递减，
从可知， (因为y=tanx一个周期内与y=-x有一个交点，且两交点间水平距离大于半个周
期)，
又因为y=tanx与y=-x的交点不会超过一个周期的距离，所以 ，
所以 ；
(2)当a=0,b=1时，
设 为双重切线的两个切点，
则在 处的切线方程为 ，
在 处的切线方程为 ，
因为两条切线重合，则 ，即 ，则x =2kπ+x 或 ，
2 1
不 妨 设 ( 取 一 种 情 况 分 析 ) ，则 直 线 PQ 的 斜 率 为，
cos(π-x )-cosx -2cosx
设 此时直线PQ的斜率k = 1 1 = 1 ，
1 (π-x )-x π-2x
1 1 1
设 此时直线PQ的斜率 ，
则 ，因为k >k 根据三角函数的图象和性质，
1 2
-2cosx
令k= 求导 ，
π-2x
3π
当求k 时，通过分析 的单调性，可知当 靠近- 时，k 较大；
1 2 1
3π
当求k 时， 靠近- 时，k 较大；
2 2 2
3π
不妨设x →- ，则 ，由三角函数的图像和性质可知，
1 2
22π
当 在相应区间内时，π-2x > ，则
1 9
所以 ，故得证.
10.已知函数 ．
(1)若y=fx
15
在 处的切线为 ，求 的值；
(2)当 时，求fx 在 0,+∞ 上的零点个数；
π
(3)当 时，设 ，是否存在t∈0,
2
，使得曲线y=Fx 在点 t,Ft 处的切
线与y=Fx 有3个交点？若存在，探究满足条件的 的个数；若不存在，说明理由 ．
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟(一)数学试卷
【答案】(1)φ=2kπ，k∈Z；
(2)存在2个零点；
π
(3)所以存在唯一实数t∈0,
2
，使得曲线y=Fx 在点 t,Ft 处的切线与y=Fx 有3个交点.
【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；
(2)求出fx 的导数，判断得fx 的单调性，进而可求得fx 的最小值，通过判断其最小值的正负，即可
判断其零点个数；
(3)求出函数y=Fx 的导数，由曲线y=Fx 在点 t,Ft 处的切线方程，构造函数gx ，利用导数
探讨极值，由gx 有3个零点建立关系，即可求解.【详解】(1)由 ，得 ，
因为y=fx
16
在 处的切线为 ，即f0 =-4，
代入得 ，解得φ=2kπ，k∈Z.
(2)当 时， ，得 ，令 ，
即3x=4cosx，结合函数图像可知，当且仅当 时，fx =0成立，即 ①，
当 时，fx <0，fx 单调递减；
当 时，fx >0，fx 单调递增，
所以当x=x 0 时fx 取得最小值，即 ，
将①代入，得 ，
令t=sinx ， ，所以 ，
0
所以 ，
又f0 =0， ，
所以当 时，求fx 在 0,+∞ 上存在2个零点.
(3)当 时， ，
所以 ， ， ，Ft =sint+t，
切线方程： ，即 ，
整理得 ，
令 ，
，
因为 ，cost∈0,1 ，当 时， ，gx
17
为单调递增函数，
当 时， ，gx 为单调递减函数，
函数gx 所有的极大值为 ，
当 时，极大值等于0，即gt =0，
当 为正整数时，极大值全部小于0，即gx 在t,+∞ 无零点，
当 为负整数时，极大值全部大于0，函数gx 所有的极小值为 ，
当 时，极小值 ，
且随着 的增大，极小值 越来越小，
因此y=Fx 在点 t,Ft 处的切线与y=Fx 有3个交点，
等价于 ，即 有解，
令ht =tant-t，
则 ，
因此y=ht
π
为0,
2
上的严格增函数，
因为h0 =0<π， ，
于是存在唯一实数 ，满足 ，
所以存在唯一实数 ，使得曲线y=Fx 在点 t,Ft 处的切线与y=Fx 有3个交点.
11.已知函数 .
(1)当a=e时，求fx 的单调区间；
(2)设 是fx 的两个极值点，
①求证： ；
②求证： .
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷
【答案】(1)减区间为0,e ，增区间为e,+∞ ；
(2)①②证明见解析.
【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；
( 2 ) ① 分 析 得 a = xlnx 的 两 根 为 ，且 ，再 构 造 函 数
，利用导数得其单调性即可证明原不等式；
②将左边不等式等价转化证明 ，再构造函数F(x)=x-lnx-1，利用导数即可证明，右边不等式利用切线放缩即可证明.
【详解】(1) 时， ， ，
e
因为y=lnx，y=- 均在(0,+∞)上单调递增，
x
则 在(0,+∞)上单调递增，又f(e)=0，
所以x∈(0,e)，f(x)<0， ，f(x)>0，
所以f(x)在(0,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增．
(2)①依题意 的两根为 ，
即a=xlnx的两根为 ．
令 ，
得 ，且 ， ，
1
则g(x)在0,
e
18
1
单调递减，在 ,+∞
e
单调递增，则 ．
令 ，
1
则 ，所以h(x)在0,
e
单调递增，所以 ，
1
所以 ，又 ，g(x)在 ,+∞
e
单调递增．
所以 ，即 ．
②由 ，要证明 ，只需证 ，
即证明 ，
即证明
即证明
即证明 ，设F(x)=x-lnx-1，x∈0,1 ，
x-1
则F(x)= ，则当x∈0,1
x
时，F(x)<0，则F(x)在0,1 单调递减，
则 ，则x-lnx-1>0在0,1 上恒成立，从而左边得证．
因为g1 =1， ，且 ， ，
则g(x)在 和 处的切线分别为y=x-1和y=-x-e-2，
令 ，得 ，
再证明xlnx>x-1恒成立，
设G(x)=xlnx-x+1，则G(x)=lnx，令G(x)=0，解得 ，且x∈0,1
19
时，G(x)<0，此时函数Gx 单调递减；
x∈1,+∞ 时，G(x)>0，此时函数Gx 单调递增；
则G(x)>G1 =0，则xlnx>x-1恒成立，
再证明 恒成立，
设 ， ，
则当 时，Hx <0， 单调递减；当 时，Hx >0， 单调递增；
则 恒成立，
所以 ，从而右边得证．
【点 睛】关 键 点 点 睛 ：本 题 第 二 问 第 一 问 是 经 典 的 极 值 点 偏 移 问 题 ，需 构 造 函 数
，再利用导数即可证明.
12.已知函数 .
(1)若函数fx 的最大值为0，求 的取值范围；
(2)证明：当 时，有 ；
(3)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
【来源】浙江省强基联盟2025-2026学年高三上学期返校联考数学试卷
【答案】(1)-∞,-1
(2)证明见解析
(3)2,+∞
【分析】(1)根据f0 =0得出 ，再检验其正确性即可；
(2)利用函数fx =sinx-x的单调性求解即可；
(3)先用和差化积公式得出 ，再通过 探究出 的取值范
围a≥2，最后验证其正确性即可.
【详解】(1) ，
注意到f0 =0，而函数fx 的最大值为0，因此 ，所以m≤-1，
另一方面，当m≤-1时， ，故fx 在 0,+∞ 上单调递减，
则 ，满足题意，
综上所述， 的取值范围为-∞,-1 .
(2)由(1)得当m=-1时函数fx =sinx-x在 0,+∞ 单调递减，
又 ，因此 ，即 成立.
(3)因 ，
则 ，
当 时，cos2x⋅sinx≥0，则 ，令 ，则 ，
因hx
20
π
≤0在 0,
4
上恒成立，且h0 =0，则 ，即a≥2，
下面证明a≥2时 成立：
由(2)得 ，下面证明sinx-sin3x≤2x，
即证明 ，
令 ，则 ，因此gx 单调递增，
则 即sinx-sin3x≤2x成立；
综上所述，实数 的取值范围为 2,+∞ .
13.已知函数 为f(x)的导函数．
(1)当 时，求曲线g(x)在(1,g(1))处的切线方程；
(2)若f(x)的两个极值点分别为 和x ，且 .
2
(i)求实数 的取值范围；
(ii)证明： ．
【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷
【答案】(1)x+y+2=0
(2)(i)(-2 e,0)；(ii)证明见解析
【分析】(1)根据导数的几何意义结合题意求解即可；
(2)(i)由题意得 是方程 的两个正根，进一步转化为 与 有两
个不同的交点，然后利用导数求出h(x)的单调区间和极值分析求解即可；(ii)由(i)可知m=hx 2 ，由
h(x)=0得x=e e，则可得 ，令 ，利用导数求出其单调区间和最值，
从而可证得结论.
【详解】(1)当 时， ，则 ，
g(1)=-3，求导得 ，则 ，
所以曲线g(x)在(1,g(1))处的切线方程为x+y+2=0；
(2)(i) ，且定义域x∈(0,+∞).
因为若f(x)有两个极值点，所以 是方程 的两个正根，
即
令 ，则 ，
所以，当h(x)>0时，x> e；当h(x)<0时，0e2 时，2lnx-3>0，
所以当 时，hx
21
3
<0，当x>e2 时，hx >0，
所以当-2 e0恒成立.当 时，hx ，得到fx 单调递增，由二分法知道 fx =0在 存在唯
一零点x=x 1 .由此知道函数fx 的单调区间，再由二分法得到函数零点.
2π 2π
(3)分x≥ 与0≤x< 两种情况讨论，结合三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等
3 3
式，最后求出 的范围.
【详解】(1)因为函数fx 是偶函数，所以 .
即 ， ，所以 ，
所以2sinxcosφ=0，所以 ，又φ
22
π
≤π，所以φ=± .
2
(2)当 时， ，f0 =0，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以fx 在0,π 单调递增，
又f0 =-8， ，
所以存在 ，使得 ，
当 ，所以fx 在0,x 1 上单调递减，
当 ，所以fx 在x 1 ,π 上单调递增，
所以fx 在0,x 1 上单调递减，在x 1 ,+∞ 上单调递增，
而f0 =0，fx 1 <0，fx >0，所以fx 在x 1 ,π 上存在一个零点.
综上，函数fx 在 0,+∞ 有两个零点.
(3)当 时，
2π
若x≥ 时， ，所以 ，
3
2π
若0≤x< 时，若sinx+φ
3
≤0，则fx ≥0成立；
只需考虑sinx+φ >0，此时令 ，
则 ，fx
2π
在 0,
3
递增，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，
可得 ，
若 ，则fx <0，fx 在0,x 0 递减；
若 ，则fx >0，fx 在 上递增.
所以 ，解得 .
此时 ，所以 ，从而 .所以 的取值范围为 ．
15.已知函数 ．
(1)若 ，求曲线y=fx
23
在点 1,f1 处的切线方程；
(2)设 ，当 时，求函数hx 的最大值；
(3)讨论函数 与函数y=fx 的图象的交点个数．
【来源】山东省济南历城第二中学2025届高三下学期6月打靶测试数学试题
【答案】(1)ex-y=0
1
(2) -a
e
(3)答案见解析
【分析】(1)求出导函数fx ，得切线斜率 ，从而可得切线方程；
(2)由题意得 ，通过求导分析hx 的单调性，进而求得函数hx 的最大值；
(3)联立得 ，结合(2)知问题等价于“函数hx 的零点个数”.分 、 和 三种情
况，分别据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，从而判断出函数hx 的零点的个数.
【详解】(1)若 ，则 ，
所以 ，则f1 =e，
又f1 =e，
所以曲线y=fx 在点 1,f1 处的切线方程是y-e=ex-1 ，
即ex-y=0．
(2) ，
函数hx 的定义域为0,+∞ ,
．
当 时， ，
令hx >0，得0 ，则hx
e
无零点．
1
若 -a=0，即 ，则hx
e
只有一个零点．
1 1
若 -a>0，即00，又ea>1，
令gx =lnx-x，则 且 ，
由gx >0，得00，得 ；由kx <0，得 ，
所以kx 在 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，
故kx 有最小值 ，无最大值．
所以 ，
于是 和 ，
1
所以h
a
1
a 1 1
= +aln -
1 a a
ea
0，而 >0，
ex
所以hx >0，即hx 无零点．
1
综上，当 或a> 时，hx
e
无零点；当 时，hx
1
只有一个零点；当0 时，函数 与函数y=fx
e
的图象无交点；
当 时，函数 与函数y=fx 的图象有1个交点；
1
当00，利用导数求出最小值，转化证 <
t a
e即可.
【详解】(1)函数 ，
求导得 ，
π
令 ，得sinx+
4
=0，解得 ，
当 时，f(x)>0；
当 时，f(x)<0，
函数f(x)在 上单调递增，
在 上单调递减，而 ，所以 .
(2)(i)函数 ，求导得
，其中 ，
令 ，得sin(x+φ)=0，解得x=nπ-φ,n∈Z，
当 时，f(x)>0；
当 时，f(x)<0，
则函数f(x)在 上递增，
在 上递减，
又 ，则 ，
， ，
且 ， ，
所以数列{f(x )}是首项为ea(π-φ)sinφ，公比为 的等比数列.
n
(ii)欲证x <|f(x )|，即证 ，
n n
，且 ，
则只需证 ，又 ，
则只需证 ，即证 ，
et
令函数g(t)= ,t>0，求导得 ，
t
当t∈(0,1)时，g(t)<0；当 时，g(t)>0，
函数 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， ，
a2+1
因此 ，则只需证 1， ，x <|f(x )|成立，
n n
1
所以当a≥ ，则对一切n∈N*，x <|f(x )|恒成立.
n n
e2-1
2617.已知函数 ．
(1)设 ，若gx
27
的导函数gx 在1,4 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若m=-1，证明：当 时，函数y=fx 图象上任意一点处的切线总在y=fx 的图象的上方；
(3)若不等式 对任意x∈R恒成立，求 可取的最大整数值．
【来源】山东省泰安第一中学2025届高三第五次模拟考试数学试题
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) ．
【分析】(1) ，令 ，由题意得到 对于x∈
1,4 恒成立，参变分离求最值即可求解；
(2) 设切点为 ，则切线方程为 ，构造函数 Fx
1
= xlnx - x2-
2
fx 0 x-x 0 +y 0 ，只需证明Fx ≤0即可．
(3)构造函数 ，问题转化成H(x)<0恒成立，求导确定函数最值即可.
【详解】(1) ．
所以 ，
令 ，
因为gx 在1,4 上单调递减，
所以 对于x∈1,4 恒成立，
可得 对于x∈1,4 恒成立，
令 ，则x∈1,4 时， ，
易知Gx 在1,4 上单调递增，
1
所以 ，所以m≥e4- ．
4
即实数 的取值范围为 ．
(2)当m=-1时， ，
设切点为 ，则切线方程为 ，
令Fx
1
=xlnx- 2 x2- fx 0 x-x 0 +y 0 ，依题意，只需证明Fx ≤0即可．，
令 ，
当 时， ，
φx
28
在1,+∞ 上单调递减，即Fx 在1,+∞ 上单调递减，
又Fx 0 =lnx 0 +1-x 0 -lnx 0 +1-x 0 =0，
故当 时，Fx >0，Fx 单调递增，
当 时， 单调递减，
，则Fx ≤0恒成立，即得证．
(3)不等式 恒成立，即 恒成立，
设 ，
则Hx =1+2ne2x+n+2 ex=nex+1 2ex+1 ，
当 时，Hx >0恒成立，故Hx 在-∞,+∞ 上单调递增，
因为H0 =2n+3>0，所以不符合题意；
当n<0时，由Hx >0，得 ，由Hx <0，得 ，
所以Hx 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ．
设 ，则 恒成立，所以px 在 -∞,0 上单调递增，又
，
故 可取的最大整数值为 ．
18.一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.
1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中 为参数.当
时，就是双曲余弦函数 ，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多
类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式
，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)若 ，试比较chsinx
29
与shcosx 的大小关系，并证明你的结论；
(3)若x >0，x >0，证明：
1 2
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题
【答案】(1)答案见详解，证明见详解
(2) ，证明见详解
(3)证明见详解
【分析】(1)类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；
(2)作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.
(3)结合新定义将所证变为 ，设函数 ，即证
，先利用导数求得 在 0,+∞ 上单调递增，再设 hx =
f x+x 1 - f x 1 - xf x 1 x>0 ，利 用 导 数 得 其 单 调 性 及 h x > 0 ，从 而 得 到
，即可得证.
【详解】(1)①倍角公式： ，
；
②平方关系： ，
；
chx
③求导公式：
=shx
shx =chx
，
；
(2) ， .
依题意， ， ，
当 时， ， ，即sinx≥cosx，
于是 ，而 ，因此 ，
当时 时， ，则-cosx≥cosx， ，
即 ，而 ，因此 ，于是 ， ，
所以 .
(3)因为 ，
所以原式变为 ，
即证 ，
设函数 ，即证 ， ，
设 ， ，
时，tx
30
>0，tx 在0,+∞ 上单调递增，即 在0,+∞ 上单调递增，
设hx =fx+x 1 -fx 1 -xfx 1 x>0 ，则 ，
由于 在0,+∞ 上单调递增， ，
所以 ，即hx >0，故hx 在0,+∞ 上单调递增，
又h0 =0，所以 时，hx >0，
所以 ，即 ，
因 此恒成立，
所以 成立，得证．
19.若二元代数式 fa,b 满足 ，则称代数式 fa,b 为二元轮换式，记 ；若三元代
数式 f a,b,c 满足 ，则称代数式 f a,b,c 为三元轮换式，记 ，
.
2x-y
(1)若正实数 ， 满足 ，且 ，求 的最大值；
x-y+1
(2)若代数式 为二元轮换式，比较xy与e-2的大小；
(3)若对任意的正实数x，y，z均有 ，求整数 的最大值.
【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题
【答案】(1)
(2)xyy>0，所以0< <1，所以当 = 即 时， 取得最大值为 ．
x x 2 x-y+1
(2)依题意可得 ，即 ，
x
由对称性不妨假设x>y>0，令t= >1，则有 ，
y
则有 ，
设
所以ht 在1,+∞ 单调递增，则有 ，
所以 ，即 ，即lnx+lny<-2，即xy0，即gt 在1,+∞ 上单调递增.令 ，即 ，化简可得 ，
1
令v=t+ ，则v2-2v-1=0，解得v=1+ 2(1- 2舍去)，即 .
t
则存在 ，且 ，所以gt
32
在1,t 0 上单调递减，在t 0 ,+∞ 上单调递增.
所以 g(t) min = gt 0
1
= t + 0
t 0t 0 -1
，因为 ，所以 ，则 ，所以
.
又因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以m≤2.
当 时，不等式 可整理为 ，
此时 ，所以 时，不等式恒成立.
三、圆锥曲线
20.已知直线 与双曲线 交于 两点．
(1)若 过右焦点 ，且AB 的最小值为2，求 的取值范围；
(2)若 ，且AB =4，过弦 的中点 分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为 ，求四边形
的面积的最大值．
【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)讨论 与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解；
(2)通过直线 斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形 是矩形，求得 到渐近线的距离，代
入面积公式化简求解即可.
【详解】(1)若 与双曲线交于两支两点，则AB ≥2a=2，与 轴重合时AB =2，
若 与双曲线交于右支两点，则 ，解得 ，
综上可知：
(2) 时，双曲线方程为： ，渐近线y=±x，垂直，
易知四边形 为矩形，若 的斜率不存在，由AB
33
=4，可设 ，
代入 ，可得：x=± 5，不妨取x= 5，
则P 5,0 ，渐近线 的距离为 ，
所以 ，
若 的斜率存在，
设直线AB的方程为 ，
联立方程得 ，
整理为： ①
故 ②
③
由AB = 1+k2 x 1 +x 2 2-4x x =4， 1 2
平方得1+k2 x 1 +x 2 2-4x x 1 2 =16
将式②、③代入得 ④
设 ，于是 ， ⑤
. ⑥
因为双曲线 的两条渐近线相互垂直，所以四边形 是矩形，
其面积S等于点P到渐近线x-y=0、x+y=0距离的乘积，
于是：
将式⑤、⑥代入上式得
由式④代入化简得 ，因为 ，所以 且 ，
所以
综上四边形 的面积的最大值为 .
2 3
21.设 是坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率e= .
3
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)直线l:x=ty+c交双曲线 的右支于 两点，且 关于 轴的对称点为 的外心为 .
(i)求外心 的坐标(用 表示)；
(ii)求 的取值范围.
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试
题
【答案】(1) ；
(2)(i) ；(ii)(1, 3].
【分析】(1)根据双曲线的方程知a= 3，根据离心率及 列式计算即可；
(2)(i)联立直线与双曲线的方程，由韦达定理可求得线段 的中点坐标为 ，又线段
的垂直平分线方程为 ，联立求解即可得点 ；(ii)分别求出TF
2
34
与 ，结合(i)化简求解即
可.
【详解】(1)由双曲线的方程知，a= 3，又离心率 ，故 ，
因为 ，
故双曲线的方程为 ；
(2)(i)直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
故 且 ，
设Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 ,P-x 1 ,y 1 ，
4t 1
则y +y =- ,y y = ，
1 2 t2-3 1 2 t2-3，
由已知 ，所以- 30，可得k =2，即 的直线方程为y=2x-4，
1 1
10 8
又由 ，所以点A ,
3 3
.25.焦点在 轴上的等轴双曲线 ，其顶点到渐近线的距离为 ，直线过点P- 5,0
40
与双曲线的左、右支
分别交于点 、 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若线段 的中垂线与 轴交于点Q 5,0 ，求直线 的斜率；
(3)若点 关于原点的对称点 在第三象限，且 ，求直线 斜率的取值范围.
【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题
【答案】(1)
3
(2)±
3
11
(3) ,1
6
【分析】(1)利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为 列方程，求解即可；
(2)由题意，过点P- 5,0 的直线 斜率存在且不为 ，可设其方程为x=ny- 5，设 、
，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段 的中点 的坐标，由题意
k k =-1，求出 的值，即可得出直线 的斜率；
QE AB
(3)将图形中三角形的面积关系转化为 ，即可得y >5y >0，结合根与系数的关系可解得斜率
2 1
的取值范围.
【详解】(1)设等轴双曲线 的方程为 ，其渐近线方程为y=±x，
a 2
故 = ，解得 ，所以双曲线 的方程为 .
2 2
(2)由题意，过点P- 5,0 的直线 斜率存在且不为 ，可设其方程为x=ny- 5，
设 、 ，联立 ，整理得 ，由题意可得 ，解得 ，
由韦达定理得： ， ，所以 或n>1，
设线段 的中点为 ，
则 ， ，
1
即点 ， ，k = ，
AB n
因为 ，所以 ，解得 ，
1 3
经验证均满足题意，所以直线 的斜率为 =± .
n 3
(3)点 在第三象限，如图所示，故直线 的斜率是正数，
由 ，得 ，
所以 ，则 ，则y >5y >0，
2 1
由 ，得 ，
36 11
所以n2< ，则k 2> ，
11 AB 36
又因为直线 交两支两点，故直线 的斜率 ，所以 .
26.已知圆 ，圆 .若动圆 与圆F 外切，且与圆F 内切，设动圆圆心 的
1 2
轨迹为 .不过原点O的动直线 与曲线 交于A,B两点，平面上一点 满足OA=AD，连接 交
于点 (点 在线段 上且不与端点重合)，若 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形 的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
41【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷
【答案】(1)
(2)不是，理由见解析
15 5
(3)是定值，
16
【分析】(1)设动圆 的半径为R，由题可得 ， ，据此可得轨迹 的方程；
(2)设 ，由OA=AD， ，可得F坐标，然后由F在椭圆上，可得 ，
据此可完成判断；
(3)由题及(2)可得 ，然后由 可完成判断.
【详解】(1)设动圆 的半径为R， 动圆 与圆F 外切，则 ，
1
又因为 动圆 与圆F 内切，结合图象可知： ， ，
2
所以 ，
由椭圆的定义可知，动点 在以F、F 为焦点， 为长轴长的椭圆上，
1 2
设椭圆的方程为 ，半焦距为 ，
则 ， ， ，
又可知圆F 与圆F 内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点(-2,0)，
1 2
曲线C的方程为 .
(2)直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设 ，则D(2x ,2y )，
1 1
1
因为 ，所以BF= BD，进而 ，
4
由点F在曲线E上得 ,
所以 ,
x2 y2
1 + 1 =1
又因为点A，B均在E上，即 4 3 ，带入上式得 ,
x2 y2
2 + 2 =1
4 3
所以 不为定值；
x2 y2
1 + 1 =1
(3)因为点A，B均在E上，所以 4 3 ，
x2 y2
2 + 2 =1
4 3
42x x y y
两式同向相乘得 ，整理得： 1 2 + 1 2
4 3
43
2 1
+ (x y -x y )2=1,
12 1 2 2 1
由(2)知 ，带入上式解得： ，
又因为
，
所以 .
27.椭圆 与圆 和圆 都外切．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点(异于A，B)，直线 与
椭圆E交于另一点H．若直线 与 交于点P，求证：点P在定直线l上；
(3)在(2)的条件下，设直线KB与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线 与l交于R，
①求证： ．
②求△KPQ面积 取最小值时K点的横坐标．
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)①证明见解析；②2 3-2
【分析】(1)结合图形可得 ，进而得椭圆方程；
(2)联立直线 与椭圆方程，由韦达定理可得关系式 ，再由直线 联立解得点
坐标，将关系式代入化简可得点 在直线 上；
(3)①求出切线 方程，依次求出 坐标，得R为PQ中点，进而由向量极化恒等式可证；②利用点
的横坐标表达出△KPQ面积 函数关系，利用导数求最值即可得.
【详解】(1)圆 的圆心为(6,0)，半径为 ；
圆 的圆心为(0,2 3)，半径为 3；
由题意椭圆E与两圆都外切，结合图形可知，a=2,b= 3，故椭圆E的方程为 .
(2)由椭圆E的方程为 可知 ，
由题意知， 不垂直于 轴，故可设直线KH:x=my+1，
由焦点 在椭圆内，则直线 与椭圆恒有两个交点，
设 ，
联立直线 与椭圆 方程得 ，
由韦达定理得 ，
则 ( )，
又直线 方程为 ， 方程为 ，
设两直线交点P(x,y)，
则联立 方程，解得 ，
将( )式代入化简得 ，
故点P在定直线l:x=4上.
(3)①由题意知椭圆E在点K(x ,y )处的切线斜率存在，
1 1
可设切线 的方程为 ，
联立直线 与椭圆E方程 消 得，
(3+4k2)x2+8k(y -kx )x+4(y -kx )2-12=0，
1 1 1 1
由直线 与椭圆相切，
则 ，
化简得 ，
由 ，得 代入上式得 ，
解得 ，故 ，
44令 ，得
直线 ，令 得 ；
直线 ，令 得 ；
由 ，
故R为线段PQ的中点，
，得证.
②由 ，
则
则
，
则△KPQ的面积
.
令 ，-20，f(x)在(2 3-2,2)上单调递增；
故当 2 3-2时，函数f(x)取最小值.
即△KPQ面积S取最小值时K点的横坐标为2 3-2．
45x2 y2
28.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)经过点M(6,9)，其一条渐近线的倾斜角为60°，双曲线C的左、
a2 b2
右顶点分别为A ,A ，左、右焦点分别为F,F．
1 2 1 2
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图1，N为双曲线C左支上异于点A 的一动点，且 的重心为A ，试探究点T的轨迹，并求
1 2
的最小值；
(3)如图2，不与坐标轴平行的动直线l与双曲线C交于 两点(异于点A ,A )，P关于原点O的对称
1 2
点为R．直线A R与直线A Q相交于点S，直线OS与直线PQ相交于点G，求 的内心的轨迹方
1 2
程．
【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题
x2 y2
【答案】(1) - =1
9 27
(2) 的轨迹为双曲线 的右支向右平移得到的图象(不含顶点(15,0))，21
(3)y=x+3(-30 联立抛物线方程，结合韦达定理及中点坐标公式得到x =x ，再结合弦长公式及
M N
求解即可.
1
【详解】(1)因为点 到点F0,
4
1
的距离等于点 到直线y=- 的距离，
4
1
根据抛物线的定义可知，动点 的轨迹为抛物线，其中F0,
4
1
为焦点，直线y=- 为准线，
4
所以点 的轨迹为曲线 的方程为y=x2
(2)
(i)证明：由 可知，△ABH∼△CDH，又因为 在 的上方则 ，所以 ，
由 中点为 ，可得
同理 ，又
所以： NH
(ii)设直线 的方程为：y=kx+mm>0
49
联立 ，消去 得：x2-kx-m=0
x +x k
所以x = A B = ,x -x
M 2 2 A B
= k2+4m
同理， ，所以x =x ，则直线MN⎳ 轴
M N
则直线 得方程为y=kx+m+3，代入抛物线可得：
由(i)可知， ，
HN
又∵
HM
=t∴HM +HN =t+1 HM =MN =3
所以
解得：
即线段 与 长度的比值2
2
30.如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率e= ，且椭圆 过点
2
A2，0 ，过点 作斜率为kk≠0 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 ．(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的kk≠0
50
都有OP⊥CQ，若存在，求出点 的坐
标：若不存在说明理由．
【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】(1)根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃 的值，得出椭圆的方程；
(2) 设直线 的方程为 y = k(x - 2)，联立方程组，得到 ，求得
和C(0,-2k)，设Q(m,n)，使得OP⊥CQ，根据 ，得到(2m-2)k-n=0恒
成立，求得 的值，即可得到答案.
2
【详解】(1)解：因为椭圆 的离心率e= ，且椭圆 过点A2，0
2
，
可得 ，解得a=2,b= 2，所以椭圆 的方程为 .
(2)解：由题意，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为y=k(x-2)，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，则 ，
因为点 为 的中点，可得 ，
则 ，即 ，
令 ，可得y =-2k，即C(0,-2k)，
C
假设存在点Q(m,n)，使得OP⊥CQ，此时因为 ，可得 ，
整理得 ，
因为k≠0，所以2mk-(n+2k)=0，即(2m-2)k-n=0恒成立，
所以 ，解得m=1,n=0，即 ，
即存在定点 ，使得OP⊥CQ.
31.点 为直线 上的动点， 为坐标原点，过点 作直线 垂直于 轴，过点 作直线 的垂线交直
线 于点 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)记 点轨迹为曲线 ， 上一定点 ，过 作两不同直线分别交 于 两点，
①直线 的斜率满足 ，且直线 过点-3,2
51
，求定点 坐标；
②若点B1,2 ，且直线 的斜率满足 ，设 的外接圆为圆 ，过点 作曲线 的
切线 ，判断直线 与圆 位置关系，并说明理由.
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷
【答案】(1)y2=4x
(2)①B1,2 ；②直线 与圆 相切，理由见解析
【分析】(1)设 ，可得直线 和直线 的方程，分y ≠0和 两种情况求解即可；
0
(2)①设 ， ， ，直线 ：y=kx+3 +2，联立方程由韦达定理即可求解；
②设直线 ： ，直线 ： 与抛物线方程联立结合韦达定理可得 ，联立 中垂
线和 中垂线即可证明.
【详解】(1)设 ，则直线 ： ，直线 ： ，
y ≠0时，直线 ： ，点 的轨迹为 ，
0
时，P0,0 ，
综上，点 的轨迹方程y2=4x；
(2)①设 ， ， ，
由已知直线 的斜率存在，
所以设直线 ：y=kx+3
52
+2，
联立方程 得 ，
Δ>0
4
所以 y 1 +y 2 = k ，由题意得 ，
y 1 y 2 = 12k k +8
所以 ，解得 ，所以B1,2 ；
②
1
当 时，由y2=4x可得 ，求导可得y= ，
x
当 时， ，所以切线的斜率为 ，所以直线 ： ，
设直线 ： ，联立抛物线方程得y2-4μy-4n=0，
， ，
可得 ，所以 ，
中垂线： ，
同理， 中垂线： ，
-n-1
联立可得 ，y= ，
2k ⋅k =-1，即直线 与圆 相切.
BE m
四、数列新定义
32.存在 m∈N* ，对任意的 n∈N* ，当 时，正项数列 a
n
53
都满足 .
，则称 a n 满足 Pm 性质. 例如: 当 时，
，则等比数列 2n 满足 P4 性质; 当 时， ，则
数列 不满足 P1 性质. 已知数列 a n 同时满足 P2 ,P3 性质.
(1)证明:数列 a
n
为等比数列；
(2)已知 a =1,a =3 ，若数列 b
1 2 n
满足: ，其中 k∈N* . 设 S 为数列 a
n n
的前 项和，记 .
① 求 的表达式 (用含 的式子表示);
9
②试判断 与 的大小关系，并说明理由.
40
【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题
【答案】(1)证明见解析；
(2)① ；②
【分析】(1)根据新定义再作差得 ，再证明其他情况也满足等比数列即可；
(2)①计算得 ，再利用错位相减法即可得到答案；
4
②令 ，作差得到其单调性，则有c ≤ ，再利用等比数列求和公式和放缩法即可证明.
n 9
【详解】(1)因为数列a n 同时满足P2 ,P3 性质，
所以当 时， ，
当 时， ，
当 时，由* 得：a n-3 ⋅a n-2 ⋅a n ⋅a n+1 =a4 n-1*** ,a n-1 ⋅a n ⋅a n+2 ⋅a n+3 =a4 n+1**** ，
将 式代入** 式得： ，
所以 ，
又因为 ，所以 ；
取 ，得 ；
所以当n≥3时，数列a
n
为等比数列.
a a a
设q= 4 = 5 =⋯= n =⋯，
a a a
3 4 n-1将 代入*
54
式得 ，所以 ；
将 代入* 式得 ，所以 ；
所以对任意的n∈N*，数列a
n
为等比数列.
(2)①因为a =1,a =3，所以 ，所以 ，
1 2
.
当 时， ，所以b
i
为等差数列，
3k-1
得到： b =2⋅3k-1-1
i
i=3k-1+1
2⋅3k-1-1
(k+2k)+
2⋅3k-1-2
×2k=4k⋅32k-2-k，
2
所以 ，
4
所以T n = 9 1×9+2×92+⋯+n-1 ⋅9n-1+n×9n ，
4
所以9T n = 9 1×92+2×93+⋯+n-1 ⋅9n+n×9n+1 ，
两式相减得： ，
所以 .
② ，
理由如下：令 ，
所以数列c
n
4
单调递减，所以c ≤ ，
n 9
所以
.
33.已知数列a
n
的前项和为S ，a =1，且 .
n 1
S
(1)证明：数列 n
n
为等差数列；
(2)设 ，
(i)求数列b
n
的前 项和；(ii)当 时，设集合 ，集合M 中所有元素
n
的和记为K ，求数列K
n n
55
的通项公式.
【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题
【答案】(1)证明见解析；
(2)(i) ；(ii) .
【分析】(1)根据已知递推关系得 ，结合等差数列的定义即可证；
(2)(i)由(1)得S =n2，利用a ,S 关系求得a =2n-1，根据已知及组合数性质、二项式定理得b =(n
n n n n n
-1)⋅2n+1，若数列b
n
的前 项和为 ，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求 ；(ii)根据
已知得到j=n+1，再由不等关系有1≤i≤n，则 ，最后应用分组求和
求解即可.
【详解】(1)由 ， ，则 ，
S
所以 ，故 n
n
是首项、公差均为1的等差数列；
(2)(i)由(1)得 ，
当 时， ，
显然a =1满足，所以a =2n-1，
1 n
所以 ，
又Ci=Cn-i，i∈N,n∈N*,i≤n，
n n
所 以
，
所以b =(n-1)⋅2n+1，
n
若数列b
n
的前 项和为 ，
则 ， ，
所以 =(2-n)⋅2n+1-4-n，
所以 ；
(ii)当 时， ，与 矛盾，
所以j≤n+1，
当 时，b +b ≤b +b =(n-2)⋅2n-1+(n-1)⋅2n+2<3n⋅2n-1+2，与 矛盾，
i j n-1 n
所以 ，
综上j=n+1，此时 ，
所以 ，可得1≤i≤n，即 ，
所以 ，则.
34.设a
n
56
单调不减的无界非负数列，定义数列a*
n
为 ，这里 表示集合 中元素的
个数，称 为数列a
n
的伴随数列．
(1)若数列a n 满足 ，求数列a n 的伴随数列a* n (可以用 x 表示不超过 的最大整
数)；
(2)对任意的正整数 ， ，证明下述关于伴随数列的基本性质：
(i) ；
(ii)若a*
n
为整数数列a
n
的伴随数列，则a
n
也为数列a*
n
的伴随数列：
(3)设函数fx 在 1,+∞ 上连续，严格递增且无界，满足 ，且对任意正整数 ，都有fn ∉
N*，证明：数列 fn 与数列 互为伴随数列，这里f-1x 是fx 的反函数；并利用上述结果，直
接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，⋯的通项公式．
【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷
【答案】(1)
(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.
(3)证明见解析； .
【分析】(1)根据伴随数列的定义求解；
(2)(i)利用 证明；(ii)根据伴随数列的定义求 ；
(3)根据伴随数列的定义证明数列 fn 的伴随数列为数列 ，然后由已知数列的伴随数列的通
项公式构造出f(x)，通过反函数得出通项公式．
【详解】(1)根据定义，有：
，
即 ．
(2) (i) 的证明：注意到： ，故 ，反之有 ．而
且a*m-1，即 ，
而 ，
即当 时，取 时， 为 可表数，
因为2×1×1+1×3+1×32+⋅⋅⋅+1×3m-1
3m-1
=2× =3m-1，
2
由三进制的基本事实可知，对任意的0≤p≤3m-1，存在 ，，
使 ，
所以
，
令 ，则有 ，
设 ，
由 的任意性，对任意的 ，
都有 ，
又因为 ，所以对于任意的-n≤t≤n,t∈Z,t为 可表数，
综上，可知 的最小值为 ，其中 满足 ，又当n=2025时， ，
所以 的最小值为8.
36.已知 元正整数集合 ，取出A 的 个互不相同的非空子集： 构成集合
n
，若 中任意 个元素的并集均真包含于A ，任意 个元素的并集均等于A ，
n n
我们称 合理覆盖
(1)若 ，问P 是否合理覆盖A ？请简要说明理由；
4 6
(2)若存在 合理覆盖A ，求 的最小值；
n
(3)是否存在 合理覆盖A ，且 构成公差为1的等差数列(B
2025 k
59
表示集合B 中的元素
k
个数)？若存在请给出一个 ，若不存在请说明理由．
【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题
【答案】(1)是，理由见详解
(2)
(3)存在，理由见详解
【分析】(1)根据称 合理覆盖 的定义判断即可；
(2)依题意得k=5，根据定义可知A 中至少有C5 个，进而可求 的最小值；
n 10
(3)存在P 合理覆盖A ，则A 中的每一个元素可以恰好属于 中5,6,7,8,9,10个集合，在
10 2025 2025
此基础上去构造一个满足题意的P 即可.
10
【详解】(1)是，因为任意两个集合均有一个公共元素，从而不能覆盖A ，而任意三个集合覆盖A .
6 6
(2)若存在P 合理覆盖A ，从 中任取五个集合 ，则A 中必存在一个元素
10 n n
不属于这五个集合，同理再任取五个集合 ，则A 中必存在一个元素 不属于这五个集
n
合，则 (否则必存在六个集合的并集不等于A )，所以A 中至少有C5 =252个元素，故n≥252，
n n 10
当n=252时，A 中的每个元素均恰好属于 中五个集合，且每个元素所在的五个集合构
252
成的集合均不相同，则该P 合理覆盖A ．
10 252
(3)若存在P 合理覆盖A ，则A 中的每一个元素可以恰好属于 中5，6，7，8，9，10个
10 2025 2025
集合(小于5个则存在六个集合的并集不等于A )
2025
首先我们将A 中恰好属于 中6，7，8，9，10个集合的元素去除，则P 仍然合理覆盖剩
2025 10
下的集合A (可以理解为将剩下的集合置换为则1,2,3,⋯,m
m
)
由(2)A 中恰好属于 中5个集合的元素至少252个，我们再将所在5个集合相同的元素
2025
留下一个，其余去除，则A 中将只剩下252个元素，此时
2025
现在此基础上我们再加回一些元素：
加回的元素对于 的初始状态为：
先加5个恰属于五集合的元素然后每次加1个恰属于五集合的元素
最后剩余的所有元素给每一个集合
所以存在P 合理覆盖A ，且 构成公差为1的等差数列．
10 2025
37.若对∀n∈N*，都有 ，则称a
n
60
与b
n
为“ 级相邻数列”．
(1)设a
n
的前n项和 ，且 ，试判断a
n
与b
n
是否为“2级相邻数列”，并说
明理由；
(2)若 ，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知 ，由数列a
n
的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若a
n
与
b
n
为“1级相邻数列”，求满足条件的数列 的组数(用数字作答)．
【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题
【答案】(1){a }与 为“2级相邻数列”；理由见解析
n
7
(2) -4,
2
；
(3)3470
【分析】(1)根据数列通项公式 的关系，先求出 时 的表达式，再检验 时是否
满足该表达式，从而确定 的通项公式.利用累加法，得到b 的通项公式，同样检验 时是否满足.最
n
后根据“2级相邻数列”的定义，计算 的表达式，通过分析该表达式与 的大小关系，判断{a }与
n
是否为“2级相邻数列”.
n
(2)由 ，通过移项得到关于 的不等式 .设 f(n)= ，通过分析
2n
f(n+1)
与 的大小关系判断 的单调性，进而求出 的最值，
f(n)
由此得到 的取值范围和 的取值范围，从而确定 的取值范围.
(3)根据条件集合 有1,2 ，1,3 ，1,4 ，2,3 ，2,4 ，3,4 共6种不同的情况，每种情况下考虑数
列{a }的不同情况，并对应研究数列 的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的数
n
列 的组数.
【详解】(1)当 时， ，当 时， ，
1 1
当 时，也a = 成立，所以a = ，
1 2 n 2n
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以a
n
61
与b
n
是“2级相邻数列”
(2)已知 ，化简可得 .
n
设f(n)= ，则 .
2n
1 1
因为n∈N*，所以0< ≤ ， (当 时取等号)，
2n 2
所以 单调递减，所以 的最大值为 ，
1
所以0
