安徽铜陵市2026届高三下学期第一次质检数学试卷+答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260324安徽铜陵市2026届高三下学期第一次质检（铜陵一模）（全科）

数 学 试 卷 考 生 注 意 ： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合A=-3,-2,-1 ,B=x∣x2-2x-3=0 ，则A∪B=   ( ) A. -3,-2,-1,3 B. -3,-2,-1,  1 C. -  3 D. -  1 2. 已知a>0,b>0  1 1 1 1 , ab= + ，则 + 的最小值为 ( ) a b log 2 log 2 a b A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 10i 3. 已知复数z= 3+4i  ，则z = ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的 飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的 情况： ①平稳落地(概率为0.7)：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地(概率 0.2)：重心略偏，90%能站稳； ③近乎倒地(概率为0.1)：姿态失衡，50%能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为 ( ) A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 x2 y2 5. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)，F，F 分别为左、右焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l与 a2 b2 1 2 1   C在第一象限的交点为P，∠PFF 的平分线与线段PF 交于点Q．若PQ =2QF ，则该双曲线的 1 2 2 2 ·1·离心率是 ( ) A. 3 B. 1+ 3 C. 2+ 3 D. 3+ 3 6. 已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数，y= f(x-1)关于(2,0)中心对称，则下列说法正确的是 ( ) A. f(x)的一个周期为6 B. f(-1)=0 2026 C. f(2)=0 D. f(i)=0 i=1 7. 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参 加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为 ( ) A. 81 B. 72 C. 36 D. 12   8. 已知函数 fx =-2x2+a，gx =x2ex，若对任意的x 2 ∈ -1,1 ，存在唯一的x 1 ∈ -1,2   ，使得 fx 1 =gx 2 ，则实数a的取值范围是   ( ) A. e,8 B. e+2,  8 C. e+2,  8 D. e,  8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分  . 9. 下列说法正确的是 ( ) 1 A. 若x<1，则函数y=x+ 的最小值为3 x-1 B. 若x+2y=3，则2x+4y的最小值为4 2 2 1 C. 函数 y= + 的最小值为3+2 2 sin2x cos2x  1 D. 若x>0,y>0，且x+2y=2，则xy = max 2  10. 已知正项等比数列a 的前n项和为S ，若S =6a +1，a =2，则 ( ) n n 3 3 2 1 A. q= 2   B. 数列a 有最小项 n C. 数列a 为递减数列 D. a +S =8 n n n x2 y2 11. 已知双曲线C: - a2 b2  =1a>0,b>0 的离心率为 5，其左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点A在C的右 支上，直线AF 与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是 ( ) 2   A. 存在点A，使得直线AF 的斜率为2 B. 存在点A，使得∠FAF =90° 2 1 2 C. 存在点A，使得OA <AF D. 存在点A，使得点M的横坐标为2a 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. ·2·x2 12. 双曲线 -y2=1的一个焦点在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则抛物线的标准方程为 3 ． π 13. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 sinA = sinBcosC 且 c = 2 3,A = ，则 6 c+a = ． sinC+sinA 1 14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币(正面向上和反面向上的概率均为 )，当向上的结果出现“正面- 2 反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正 面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为X，若EX 0,b>0)的左顶点A-2,0 ，一条渐近线方程为y= x. 2 (1)求双曲线E的标准方程； (2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线x=-1上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点(异 于A，B)，记直线MN与x轴的交点为Q． ①求证：Q为定点；     ②直线MN交直线x=-1于点D，记QD=λQM，QD=μQN.求证：λ+μ为定值． ·4·数 学 试 卷 考 生 注 意 ： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合A=-3,-2,-1 ,B=x∣x2-2x-3=0 ，则A∪B=   ( ) B. -3,-2,-1,  1 C. -  3 D. -  A. -3,-2,-1,3 1 【答案】  A 【详解】B=x∣x2-2x-3=0 =-1,3 ，则A∪B=-3,-2,-1,3 ， 故选：    A 1 1 1 1 2. 已知a>0,b>0, ab= + ，则 + 的最小值为 ( ) a b log 2 log 2 a b A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】D 1 1 1 1 1 【详解】因为a>0,b>0， ab= + ，所以 ab= + ≥2 ，∴ab≥2，当且仅当a=b= a b a b ab 2时取等号， 1 1 ∴ + log 2 log 2 a b  =log a+log b=log ab ≥log 2=1. 2 2 2 2 故选：D. 10i 3. 已知复数z= 3+4i  ，则z = ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 10i 10i3-4i 【详解】∵z= = 3+4i  3+4i  3-4i  40+30i 8 6i = = + ， 25 5 5  ∴z =  8 2  + 5  6 2  =2. 5 故选：A. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的 飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的 情况： ①平稳落地(概率为0.7)：动作精准，必定能站稳； ·1·②踉跄落地(概率 0.2)：重心略偏，90%能站稳； ③近乎倒地(概率为0.1)：姿态失衡，50%能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为 ( ) A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【详解】P=0.7+0.2×0.9+0.1×0.5=0.93. x2 y2 5. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)，F，F 分别为左、右焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l与 a2 b2 1 2 1 C在第一象限的交点为P，∠PFF 的平分线与线段PF 交于点Q．若PQ =2QF 1 2 2 2   ，则该双曲线的 离心率是 ( ) A. 3 B. 1+ 3 C. 2+ 3 D. 3+ 3 【答案】C π PF 【详解】因为直线l的∠PFF = ，由角平分线性质定理可知 1 1 2 3  FF 1 2  PQ = QF 2   =2，            所以PF =2FF =4c，由双曲线的定义可知PF -PF =2a，所以PF =PF -2a=4c-2a， 1 1 2 1 2 2 1 在△PFF 中由余弦定理可得PF 2=PF 2+FF 2-2PF FF cos∠PFF， 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 即(4c-2a)2=(2c)2+(4c)2-2×2c×4c×cos60°，整理得c2-4ac+a2=0， 两边同除以a2可得e2-4e+1=0，解得e=2+ 3或e=2- 3(舍去)． 故选：C 6. 已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数，y= f(x-1)关于(2,0)中心对称，则下列说法正确的是 ( ) A. f(x)的一个周期为6 B. f(-1)=0 2026 C. f(2)=0 D. f(i)=0 i=1 ·2·【答案】B 【详解】选项A，∵y=f(x-1)的图像向左平移1个单位得到y=f(x)， 又y=f(x-1)关于(2,0)中心对称， ∴y=f(x)关于(1,0)中心对称，∴f(1+x)=-f(1-x)， 将f(1+x)=-f(1-x)式子中的x用x+1代替，得到f(2+x)=-f(-x)， ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)， ∴f(2+x)=-f(x)，将此式子中的x用x+2代替，得到f(4+x)=-f(2+x)=f(x)， 则f(x)是一个以4为周期的周期函数，故选项A错误； 选项B，∵y=f(x)关于(1,0)中心对称，f(x)的定义域为R，∴f(1)=0， ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-1)=f(1)=0，故选项B正确； 选项C，∵f(2+x)=-f(x)，∴f(2)=-f(0)，但是f0 根据题中已知条件无法得到，故选项C错误； 选项D，∵f(x)是一个以4  为周期的周期函数， ∴f(3)=f(-1) ，f(4)=f(0)， ∵f(2+x)=-f(x)，∴f(2)=-f(0)，∴f(2)+f(0)=0， ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)， ∵f(-1)=f(1)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(2)+f(0)=0， 2026 ∴∑f(i)=506×f(1)+f(2)+f(3)+f(4) +f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=f(2) i=1  ， 2026 仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出f(i)=0，故选项D错误. i=1 7. 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参 加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为 ( ) A. 81 B. 72 C. 36 D. 12 【答案】C 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共C2种分法， 4 再将三组人进行分配，共A3种， 3 故共有C2A3=36种分配方法. 4 3     8. 已知函数 fx =-2x2+a，gx =x2ex，若对任意的x 2 ∈ -1,1 ，存在唯一的x 1 ∈ -1,2 ，使得   fx 1 =gx 2 ，则实数a的取值范围是 ( ) A. e,8  B. e+2,8  C. e+2,8  D. e,8          【答案】B 【详解】由gx =x2ex可得gx =2xex+x2ex=xx+2 ex， 当-10； 所以gx =x2ex在-1,0 单调递减，在0,1 单调递增，   e  1 所以g(x) min =g0 =0，g-1 =e-1= ，g1 =e，     所以gx =x2ex在 -1,1 上的值域为 0,e ，记A=0,e ，   f0 =-2×02+a=a，  f2 =a-8，   fx =-2x2+a，的对称轴为x=0， 所以函数fx 的值域为 a-8,a ， ·3·         又f-1 =a-2，且fx =-2x2+a，在1,2 上单调递减， 要使方程fx =y有唯一解，则y的取值集合为 a-8,a-2 ∪a ， 所以fx ∈a-8,a-2 ∪a ，记B=a-8,a-2 ∪a ， 若对任意的x 2 ∈-1,1 ，存在唯一的x 1 ∈-1,2 ，使得fx 1 =gx 2       ， a-8≤0 则A⊆B，所以  ，解得e+2e 所以实数a的取值范围是e+2,8 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分  . 9. 下列说法正确的是 ( ) 1 A. 若x<1，则函数y=x+ 的最小值为3 x-1 B. 若x+2y=3，则2x+4y的最小值为4 2 2 1 C. 函数 y= + 的最小值为3+2 2 sin2x cos2x  1 D. 若x>0,y>0，且x+2y=2，则xy = max 2 【答案】BCD 【详解】对于A，∵x<1，∴x-1<0， 1 1 1 ∴y=x+ =x-1+ +1=- 1-x+ x-1 x-1  1-x  +1≤-  1 2 1-x  1-  × x  +1=-1， 1 当且仅当1-x= ，即x=0时，取得最大值-1，故A错误； 1-x 对于B，2x+4y≥2 2x⋅4y=2 2x+2y=4 2， 3 3 当且仅当x= ，y= 时，2x+4y取到最小值为4 2，故B正确； 2 4 2 1 2 1 对于C，y= + = + sin2x cos2x sin2x cos2x  sin2x+cos2x  2cos2x sin2x 2cos2x sin2x =3+ + ≥3+2 × =3+2 2 sin2x cos2x sin2x cos2x 当且仅当tan2x= 2时，取等号，故C正确； 1 对于D，当x>0,y>0，且x+2y=2时，2=x+2y≥2 x×2y=2 2 xy，∴xy≤ ， 2 1 当且仅当x=2y=1，xy取最大值 ，故D正确. 2  故选：BCD 10. 已知正项等比数列a 的前n项和为S ，若S =6a +1，a =2，则 ( ) n n 3 3 2 1 A. q= 2   B. 数列a 有最小项 n D. a +S =8 n n   C. 数列a 为递减数列 n 【答案】ACD 【详解】设正项等比数列a n 公比为qq>0 ， a q=2 对于A，由题意得  1 ， a +a q+a q2=6a q2+1 1 1 1 1 ·4·a =4 a =-5  1  1 结合q>0，解得  1 或  2 (舍去)，故A正确； q= q=- 2 5 1 n-1 对于B和C，a =4× =23-n，故数列a 为递减数列，无最小项，故B错误，C n 2 n  正确； 1 n 4×1- 2 对于D，S = n    =8-2-n+3，则a +S =23-n+8-23-n=8，故D正确， 1 n n 1- 2 故选：ACD． x2 y2 11. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的离心率为 5，其左、右焦点分别为F，F，点A在C的右 1 2 支上，直线AF 与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是 ( ) 2 B. 存在点A，使得∠FAF =90° 1 2 D. 存在点A，使得点M的横坐标为2   A. 存在点A，使得直线AF 的斜率为2 2 C. 存在点A，使得OA <AF a 2 【答案】ABD 【详解】设点A(x ,y )，B(x ,y )，F(-c,0)，F(c,0)， 0 0 1 1 1 2 c2 a2+b2 b2 b 由题知离心率 e= = = 1+ = 5，解得 =2， a2 a2 a2 a 故有b=2a,c= 5a，双曲线C的渐近线为y=±2x， 对于A选项，如果存在点A，使得直线AF 的斜率为2， 2 直线AF 与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 2       对于B选项：F 1 A=x 0 +c,y 0 ，F 2 A=x 0 -c,y 0 ，若∠F 1 AF 2 =90°，即F 1 A⊥F 2 A，   可得FA⋅FA=x2-c2+y2=0，即：x2-5a2+y2=0(①)， 1 2 0 0 0 0 而A(x ,y )位于双曲线右支上，其中x ≥a， 0 0 0 x2 y2 x2 y2 故有： 0 - 0 =1，即： 0 - 0 =1(②)， a2 b2 a2 4a2 3 5 4 5 联立①②两个等式可得：x 0 = 5 a,y 0 =± 5 a，又F 2 5  4 5 ± 5 a,0 ，此时k = =±2，由选 AF 2 3 5 - 5 5   项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由OA <AF ，即： x2+y2< 2 0 0  c 5a x 0 -c 2+y2 0 ，化简得：x 0 < 2 = 2 ，由点A在C的   右支上可知：x ≥a，故存在点A，使得OA <AF ，故C选项正确； 0 2 y y 对于D选项：设M(2a,y )，k =k = M ，k = M ， M AB MF 2 2a-c OM 2a b2 y 2 而k ⋅k = =4，带入化简得：k ⋅k = M =4，而 c= 5a， OM AB a2 AB OM 4a2-2ac 故 y 2=16a2-8ac=16a2-8 5a2<0，可知不存在这样的点M使等式成立， M 故不存在点A，使得点M的横坐标为2a，故D选项错误. b2 下面为证明：k ⋅k = ， OM AB a2 x +x y +y y +y AB的中点为M，根据中点坐标公式可知M( 0 1 , 0 1 )，故k = 0 1 ， 2 2 OM x +x 0 1 y -y y +y y -y y2-y2 k = 0 1 ，故k ⋅k = 0 1 ⋅ 0 1 = 0 1 ， AB x -x OM AB x +x x -x x2-x2 0 1 0 1 0 1 0 1 ·5·x2 y2 而A(x ,y )，B(x ,y )两点均位于双曲线上，故： 0 - 0 =1 (③) 0 0 1 1 a2 b2 x2 y2 x2-x2 y2-y2 1 - 1 =1(④)，用③减④得： 0 1 - 0 1 =0， a2 b2 a2 b2 y2-y2 b2 b2 化简得 0 1 = ，故k ⋅k = ，证毕. x2-x2 a2 OM AB a2 0 1 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. x2 12. 双曲线 -y2=1的一个焦点在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则抛物线的标准方程为 3 ． 【答案】y2=8x x2 【详解】由双曲线 -y2=1，可得a= 3,b=1，则c= a2+b2=2， 3 p 又由抛物线y2=2px(p>0)的准线的方程为x=- ， 2 x2 因为双曲线 -y2=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上， 3 p 所以- =-2，解得p=4，所以抛物线的标准方程为y2=8x. 2 故答案为：y2=8x. π 13. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 sinA = sinBcosC 且 c = 2 3,A = ，则 6 c+a = ． sinC+sinA 【答案】4  【详解】∵三角形内角和A+B+C=π， ∴sinA=sinB+C ， ∵sinA=sinBcosC，  ∴sinB+C =sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，故cosBsinC=0， π ∵C是三角形内角，sinC≠0，故cosB=0，则B= ， 2 π π ∵A= ,B= ， 6 2 π π π ∴C=π-A-B=π- - = ， 6 2 3 a c 根据正弦定理得 = =2R， sinA sinC ∴a=2RsinA,c=2RsinC， c+a 2RsinC+sinA ∴ = sinC+sinA  c 2 3 =2R= = =4． sinC+sinA sinC 3 2 故答案为：4． 1 14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币(正面向上和反面向上的概率均为 )，当向上的结果出现“正面- 2 反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正 ·6·面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为X，若EX 0， 2 则 2cosB=1，即cosB= . 2 又因为B是△ABC的内角，所以010.828=x ， 400 6 0.001 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 0 【小问2详解】 600 根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取8× =6名，从效果不明显的患者中抽取 800 200 8× =2名， 800 X的取值分别为0，1，2，  C4 3 则PX=0 = 6 = C4 14 8  C3C1 4 ,PX=1 = 6 2 = C4 7 8  C2C2 3 ,PX=2 = 6 2 = ， C4 14 8 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 3 P 14 7 14  3 4 3 EX =0× +1× +2× =1． 14 7 14 17. 如图，A B 、AB分别是圆柱O O的上底面，下底面的直径，且A B ⎳AB，C，D分别是圆O上在 1 1 1 1 1 π AB同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= ，E是线段OC上一点(不含端点). 3 ·8·(1)求证：O E⎳平面B BD； 1 1 (2)已知圆柱O O的高为6，表面积为54π，OE=2，求平面O B E与平面BB E夹角的余弦值. 1 1 1 1 8 741 【答案】(1)证明见解析 (2) 247 【解析】 【小问1详解】 证法一：因为C，D分别是圆O上在AB同侧的两点， π 且∠AOC=∠COD=∠DOB= , 3 π 所以△DOB是等边三角形，∠BDO= =∠COD，所以BD⎳OC， 3 又OC⊄平面B BD，BD⊂平面B BD，所以OC⎳平面B BD， 1 1 1 因为A B ，AB分别是圆柱O O的上底面，下底面的直径，且A B ⎳AB， 1 1 1 1 1 所以O B ⎳OB，O B =OB， 1 1 1 1 所以四边形OBB O 是平行四边形，所以O O⎳B B， 1 1 1 1 又O O⊄平面B BD，B B⊂平面B BD，所以O O⎳平面B BD， 1 1 1 1 1 1 因为OC⎳平面B BD，O O⎳平面B BD，OC∩O O=O，OC，O O⊂平面OO C， 1 1 1 1 1 1 所以平面OO C⎳平面B BD，又O E⊂平面OO C，所以O E⎳平面B BD， 1 1 1 1 1 1 证法二：如图，在线段BD上取一点F，使得BF=OE， π 因为C，D分别是圆O上在AB同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= ， 3 π 所以△DOB是等边三角形，∠BDO= =∠COD，所以BD⎳OC， 3 又BF=OE，所以四边形BFEO是平行四边形，EF⎳OB，EF=OB， 因为A B ，AB分别是圆柱O O的上底面，下底面的直径，且A B ⎳AB， 1 1 1 1 1 所以O B ⎳OB，O B =OB， 1 1 1 1 所以EF⎳O B ，EF=O B ，四边形EFB O 是平行四边形，所以O E⎳B F. 1 1 1 1 1 1 1 1 又O E⊄平面B BD，B F⊂平面B BD，所以O E⎳平面B BD； 1 1 1 1 1 1 【小问2详解】 解：在圆O中过点O作OG⊥OB，又OO ⊥平面GOB，OB，OG⊂平面GOB， 1 所以OO ⊥OB，OO ⊥OG，以O为原点，OG，OB，OO 所在直线分别为x轴， 1 1 1 y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ·9·设圆柱O O的底面半径为r， 1 因为圆柱O O的高为6，表面积为54π， 1 所以2πr2+2πr×6=54π，即r2+6r-27=0， 解得r=-9(舍)或r=3， 因为r=3，O O=6，OE=2， 1    所以B0,3,0 ，O 10,0,6 ，B 10,3,6 ，E 3,-1,0  ，    O 1 B 1 =0,3,0 ，EB 1 =- 3   ,4,6 ，BB 1 =0,0,6  ，  设平面O 1 B 1 E的法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1  ，   则   m  ⋅O 1 B 1 =0 ，即   3y 1 =0 ， m⋅EB 1 =0 - 3x 1 +4y 1 +6z 1 =0 令z =1，得x =2 3，y =0， 1 1 1  即m=2 3,0,1 为平面O 1 B 1 E  的一个法向量，  设平面BB 1 E的法向量为n=x 2 ,y 2 ,z 2  ，   则   n  ⋅E  B 1 =0 ，即   - 3x 2 +4y 2 +6z 2 =0 ， n⋅BB 1 =0 6z 2 =0 令x =4，得y = 3，z =0， 2 2 2  即n=4, 3  ,0 为平面BB E的一个法向量， 1 设平面O B E与平面BB E的夹角为θ， 1 1 1   m⋅n 则cosθ=     m ⋅n  8 3 8 741 = = ， 13× 19 247 8 741 即平面O B E与平面BB E夹角的余弦值为 ． 1 1 1 247 18. 已知函数f(x)=ex+sinx-ax,a∈R. (1)若a=2，求f(x)的单调区间； (2)∀x∈[0,+∞)，f(x)≥cosx成立，求实数a的取值范围； (3)若a=1,x∈[-2π,+∞)时，y=m与y=f(x)的图象有三个交点，横坐标分别为x ，x ，x (x < p q r p x 0，gx  单调递增， 则gx ≥g0 =e0+cos0-2=0，即f(x)≥0  ，fx  单调递增， 所以函数fx 的单调递减区间为(-∞,0)，单调递增区间为[0,+∞). 【小问2详解】 解：令hx =f(x)-cosx=ex+sinx-ax-cosx,x∈[0,+∞)， 可得hx =ex+cosx-a+sinx，令mx =hx =ex+cosx-a+sinx       ， 则mx =ex-sinx+cosx=ex  π + 2cosx+ 4  ， π π π π π 当0≤x≤ 时，1≤ex≤e4，0≤x+ ≤ ，0≤cosx+ 4 4 2 4  2 ≤ ，故mx >0 2  ， π π π 1 π 当x> 时，ex≥e4 >24 >22 = 2，- 2≤ 2cosx+ 4 4  ≤ 2，故mx >0  ， 所以当x∈[0,+∞)时，可得mx >0，mx 单调递增，即hx 单调递增，h0 =2-a， 当a≤2时，h0 ≥0，则hx ≥h0 ≥0，hx 在x∈[0,+∞)上单调递增， 所以hx ≥h0 =0，所以f(x)≥cosx成立，满足题意； 当a>2时，存在x 0 ∈(0,+∞)，使得hx 0 =0， 当x∈[0,x 0 )时，hx <0，hx 单调递减； 当x∈(x 0 ,+∞)时，hx >0，hx 单调递增， 当x∈0,x 0 时，hx 0,sinx>0，可得f 3 x =ex+sinx>0， 则f 3x 在x∈[-2π,-π)上单调递增， 因为f 3-2π =e-2π-10,f 3-π =e-π+1 0， 所以存在唯一x 0 ∈(-2π,-π)，使得f 3x 0 =0， 可得f 2x 在(-2π,x 0 )上单调递减，在(x 0 ,-π)上单调递增，  f 2-2π =e-2π>0,f 2  3π -3π - =e 2 2   -10,f 2-π =e-π 0， 所以存在唯一的λ∈   3π 3π -2π,- ,μ∈- ,-π ，使得eλ=sinλ,eμ=sinμ， 2 2  且f 1x 在(-2π,λ)上单调递增，在(λ,μ)上单调递减，在(μ,-π)上单调递增，  由f 1-2π =e-2π>0，  f 1-π =e-π-2<0，f 1  - 3π =e -3 2 π -1<0， 2  又由f 1λ =eλ+cosλ-1=sinλ+cosλ-1= 2sin  π λ+ -1 4 ·11·π f (μ)=eμ+cosμ-1=sinμ+cosμ-1= 2sinμ+ -1 1 4  ， 3π 3π π 7π 5π π 5π 3π 因为λ∈-2π,- ，μ∈- ,-π ，可得λ+ ∈- ,- ，μ+ ∈- ,- 2 2 4 4 4 4 4 4     ， 可得 2sin  π π λ+ >1， 2sinμ+ <1，所以f 4 4  1λ >0,f 1μ <0   ， 3π 则存在唯一x ∈-2π,- ，使得f 1 2  x =0  ， 且fx 在(-2π,x 1 )上单调递增，在(x 1 ,-π)  上单调递减， 当x∈(-π,0)时，ex>0,sinx<0，f 1 (x)>0，则fx 在(-π,0)  上单调递增， π - - =e 2   π π 2 -1<0，则存在唯一x ∈- ,0 ，使得f 2 2  则f0 =1>0,f x 2 =0 当-π0  ， 当x>0时，ex>1,sinx≤1，可得f(x)>0， 1 fx 在0,+∞   上单调递增，f0 =1>0  ，fx >0  ， 综上可得，函数fx 在(-2π,x 1 )上单调递增，在(x 1 ,x 2 )上单调递减，在(x 2 ,+∞)上单调递增， 要使得y=m与y=f(x)  的图像有三个交点， 3π 则x ∈-2π,- ,x p 2  3π π ∈- ,- ,x q 2 2  π ∈- ,+∞ r 2  ， f-2π =e-2π+2π,f-π =e-π+π-2π>2x q ， 所以2x 0,b>0)的左顶点A-2,0 ，一条渐近线方程为y a2 b2  3 = x. 2 (1)求双曲线E的标准方程； (2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线x=-1上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点(异 于A，B)，记直线MN与x轴的交点为Q． ①求证：Q为定点；     ②直线MN交直线x=-1于点D，记QD=λQM，QD=μQN.求证：λ+μ为定值． x2 y2 【答案】(1) - =1； (2)①证明见解析；②证明见解析. 4 3 【解析】 【小问1详解】  a=2 x2 y2 由题设 b 3 ⇒a=2，b= 3，则双曲线方程为 - =1． = 4 3 a 2 ·12·【小问2详解】 ①设P-1,t ，且A-2,0 ，B2,   0   t ∴AP的直线方程为y=tx+2 ，BP的直线方程为y=- x-2 3  ． x 设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2 ，联立直线AP   2 y2 - = 与双曲线方程有 4 3 tx+2   1  ， y= -16t2 化简得3-4t2 x2-16t2x-16t2-12=0，由韦达定理知-2⋅x 1 =  -12 ， 3-4t2 8t2+6 12t 8t2+6 12t 有x = ，代入直线有y = ．则M , 1 3-4t2 1 3-4t2 3-4t2 3-4t2  . 4 联立直线BP与双曲线方程，化简有3- t2 + 9  16 16 t2x- t2-12=0， 9 9 - 16 t2-12 9 8t2+54 8t2+54 -36t 由韦达定理知2⋅x = ，有x = ，代入直线有N , 2 3- 4 t2 2 4t2-27 4t2-27 4t2-27 9  .    8t2+6 12t 设Qm,0 ，QM = -m, ，QN 3-4t2 3-4  8t2+54 -36t = -m, 4t2-27 4t2-27  ，   8t2+6 由QM ⎳QN 得 -m 3-4t2  t2 -36t 12t 8t2+54 ⋅ - ⋅ -m =0 4t2-27 3-4t2 4t2-27  ， 化简得8t2+18 m+4 =0，可得m=-4，则Q-4,0    ． ②设直线MN方程为x=my-4，则有D  3 -1, . m x=my-4  联立方程组x2 y2 - =1 4 3  24m y +y = ，化简得3m2-4 y2-24my+36=0，则   1 2 3m2-4 ， 36 y ⋅y = 1 2 m2-4     3 3 由QD=λQM 知 =λy ，由QD=λQN 知 =μy ， m 1 m 2 3 1 1 λ+μ= ⋅ + m y y 1 2  3 y +y 3 24m = ⋅ 1 2 = ⋅ =2． m y ⋅y m 36 1 2 ·13·