安徽铜陵市2026届高三下学期第一次质检数学试卷+答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260324安徽铜陵市2026届高三下学期第一次质检（铜陵一模）（全科）

数 学 试 卷
考 生 注 意 ：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出
答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合A=-3,-2,-1 ,B=x∣x2-2x-3=0 ，则A∪B=   ( )
A. -3,-2,-1,3 B. -3,-2,-1,  1 C. -  3 D. -  1
2. 已知a>0,b>0

1 1 1 1
, ab= + ，则 + 的最小值为 ( )
a b log 2 log 2
a b
A. 3 B. 2 C. 2 D. 1
10i
3. 已知复数z=
3+4i
 ，则z = ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的
飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的
情况：
①平稳落地(概率为0.7)：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地(概率 0.2)：重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地(概率为0.1)：姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为 ( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
x2 y2
5. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)，F，F 分别为左、右焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l与
a2 b2 1 2 1
  C在第一象限的交点为P，∠PFF 的平分线与线段PF 交于点Q．若PQ =2QF ，则该双曲线的
1 2 2 2
·1·离心率是 ( )
A. 3 B. 1+ 3 C. 2+ 3 D. 3+ 3
6. 已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数，y= f(x-1)关于(2,0)中心对称，则下列说法正确的是
( )
A. f(x)的一个周期为6 B. f(-1)=0
2026
C. f(2)=0 D. f(i)=0
i=1
7. 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参
加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为
( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
  8. 已知函数 fx =-2x2+a，gx =x2ex，若对任意的x 2 ∈ -1,1 ，存在唯一的x 1 ∈ -1,2   ，使得
fx 1 =gx 2 ，则实数a的取值范围是   ( )
A. e,8 B. e+2,  8 C. e+2,  8 D. e,  8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

.
9. 下列说法正确的是 ( )
1
A. 若x<1，则函数y=x+ 的最小值为3
x-1
B. 若x+2y=3，则2x+4y的最小值为4 2
2 1
C. 函数 y= + 的最小值为3+2 2
sin2x cos2x

1
D. 若x>0,y>0，且x+2y=2，则xy =
max 2
 10. 已知正项等比数列a 的前n项和为S ，若S =6a +1，a =2，则 ( )
n n 3 3 2
1
A. q=
2

 B. 数列a 有最小项
n
C. 数列a 为递减数列 D. a +S =8
n n n
x2 y2
11. 已知双曲线C: - a2 b2  =1a>0,b>0 的离心率为 5，其左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点A在C的右
支上，直线AF 与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是 ( )
2
 
A. 存在点A，使得直线AF 的斜率为2 B. 存在点A，使得∠FAF =90°
2 1 2
C. 存在点A，使得OA <AF D. 存在点A，使得点M的横坐标为2a
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
·2·x2
12. 双曲线 -y2=1的一个焦点在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则抛物线的标准方程为
3
．
π
13. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 sinA = sinBcosC 且 c = 2 3,A = ，则
6
c+a
= ．
sinC+sinA
1
14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币(正面向上和反面向上的概率均为 )，当向上的结果出现“正面-
2
反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正
面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为X，若EX <M(M为正整数)，则M  的最小值为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 2csinAcosB=asinC.
(1)求角B的大小；
(2)若b= 2，c=2，求a.
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下
列联表：
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者
中随机抽取4人，设X表示4名患者中效果不明显的人数，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=
 nad-bc 2
   a+b c+d a+c b+d 
, n=a+b+c+d．
α 0.1 0.01 0.001
x 2.706 6.635 10.828
α
·3·17. 如图，A B 、AB分别是圆柱O O的上底面，下底面的直径，且A B ⎳AB，C，D分别是圆O上在
1 1 1 1 1
π
AB同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= ，E是线段OC上一点(不含端点).
3
(1)求证：O E⎳平面B BD；
1 1
(2)已知圆柱O O的高为6，表面积为54π，OE=2，求平面O B E与平面BB E夹角的余弦值.
1 1 1 1
18. 已知函数f(x)=ex+sinx-ax,a∈R.
(1)若a=2，求f(x)的单调区间；
(2)∀x∈[0,+∞)，f(x)≥cosx成立，求实数a的取值范围；
(3)若a=1,x∈[-2π,+∞)时，y=m与y=f(x)的图象有三个交点，横坐标分别为x ，x ，x (x <
p q r p
x <x )，求证：2x <x +x .
q r q p r
x2 y2
19. 已知双曲线E: -
a2 b2

3
=1(a>0,b>0)的左顶点A-2,0 ，一条渐近线方程为y= x.
2
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线x=-1上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点(异
于A，B)，记直线MN与x轴的交点为Q．
①求证：Q为定点；
   
②直线MN交直线x=-1于点D，记QD=λQM，QD=μQN.求证：λ+μ为定值．
·4·数 学 试 卷
考 生 注 意 ：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出
答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合A=-3,-2,-1 ,B=x∣x2-2x-3=0 ，则A∪B=   ( )
B. -3,-2,-1,  1 C. -  3 D. -  A. -3,-2,-1,3 1
【答案】

A
【详解】B=x∣x2-2x-3=0 =-1,3 ，则A∪B=-3,-2,-1,3 ，
故选：
  
A
1 1 1 1
2. 已知a>0,b>0, ab= + ，则 + 的最小值为 ( )
a b log 2 log 2
a b
A. 3 B. 2 C. 2 D. 1
【答案】D
1 1 1 1 1
【详解】因为a>0,b>0， ab= + ，所以 ab= + ≥2 ，∴ab≥2，当且仅当a=b=
a b a b ab
2时取等号，
1 1
∴ +
log 2 log 2
a b
 =log a+log b=log ab ≥log 2=1.
2 2 2 2
故选：D.
10i
3. 已知复数z=
3+4i
 ，则z = ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
10i 10i3-4i
【详解】∵z= =
3+4i

3+4i  3-4i 
40+30i 8 6i
= = + ，
25 5 5
 ∴z = 
8 2
 +
5

6 2
 =2.
5
故选：A.
4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的
飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的
情况：
①平稳落地(概率为0.7)：动作精准，必定能站稳；
·1·②踉跄落地(概率 0.2)：重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地(概率为0.1)：姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为 ( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
【答案】D
【详解】P=0.7+0.2×0.9+0.1×0.5=0.93.
x2 y2
5. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)，F，F 分别为左、右焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l与
a2 b2 1 2 1
C在第一象限的交点为P，∠PFF 的平分线与线段PF 交于点Q．若PQ =2QF
1 2 2 2
  ，则该双曲线的
离心率是 ( )
A. 3 B. 1+ 3 C. 2+ 3 D. 3+ 3
【答案】C
π PF
【详解】因为直线l的∠PFF = ，由角平分线性质定理可知 1
1 2 3

FF
1 2

PQ
=
QF
2


=2，
 
  
 
 

 所以PF =2FF =4c，由双曲线的定义可知PF -PF =2a，所以PF =PF -2a=4c-2a，
1 1 2 1 2 2 1
在△PFF 中由余弦定理可得PF 2=PF 2+FF 2-2PF FF cos∠PFF，
1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2
即(4c-2a)2=(2c)2+(4c)2-2×2c×4c×cos60°，整理得c2-4ac+a2=0，
两边同除以a2可得e2-4e+1=0，解得e=2+ 3或e=2- 3(舍去)．
故选：C
6. 已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数，y= f(x-1)关于(2,0)中心对称，则下列说法正确的是
( )
A. f(x)的一个周期为6 B. f(-1)=0
2026
C. f(2)=0 D. f(i)=0
i=1
·2·【答案】B
【详解】选项A，∵y=f(x-1)的图像向左平移1个单位得到y=f(x)，
又y=f(x-1)关于(2,0)中心对称，
∴y=f(x)关于(1,0)中心对称，∴f(1+x)=-f(1-x)，
将f(1+x)=-f(1-x)式子中的x用x+1代替，得到f(2+x)=-f(-x)，
∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)，
∴f(2+x)=-f(x)，将此式子中的x用x+2代替，得到f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，
则f(x)是一个以4为周期的周期函数，故选项A错误；
选项B，∵y=f(x)关于(1,0)中心对称，f(x)的定义域为R，∴f(1)=0，
∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-1)=f(1)=0，故选项B正确；
选项C，∵f(2+x)=-f(x)，∴f(2)=-f(0)，但是f0 根据题中已知条件无法得到，故选项C错误；
选项D，∵f(x)是一个以4

为周期的周期函数，
∴f(3)=f(-1) ，f(4)=f(0)，
∵f(2+x)=-f(x)，∴f(2)=-f(0)，∴f(2)+f(0)=0，
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)，
∵f(-1)=f(1)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(2)+f(0)=0，
2026
∴∑f(i)=506×f(1)+f(2)+f(3)+f(4) +f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=f(2)
i=1
 ，
2026
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出f(i)=0，故选项D错误.
i=1
7. 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参
加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为
( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
【答案】C
【详解】先从四人中选出两人当成一组，共C2种分法，
4
再将三组人进行分配，共A3种，
3
故共有C2A3=36种分配方法.
4 3
    8. 已知函数 fx =-2x2+a，gx =x2ex，若对任意的x 2 ∈ -1,1 ，存在唯一的x 1 ∈ -1,2 ，使得
  fx 1 =gx 2 ，则实数a的取值范围是 ( )
A. e,8  B. e+2,8  C. e+2,8  D. e,8









【答案】B
【详解】由gx =x2ex可得gx =2xex+x2ex=xx+2 ex，
当-1<x<0时，gx <0；当0<x<1时，gx >0；
所以gx =x2ex在-1,0 单调递减，在0,1 单调递增，
  e 
1
所以g(x) min =g0 =0，g-1 =e-1= ，g1 =e，
    所以gx =x2ex在 -1,1 上的值域为 0,e ，记A=0,e ，
  f0 =-2×02+a=a，  f2 =a-8，
 
fx =-2x2+a，的对称轴为x=0，
所以函数fx 的值域为 a-8,a ，
·3·



 

 
又f-1 =a-2，且fx =-2x2+a，在1,2 上单调递减，
要使方程fx =y有唯一解，则y的取值集合为 a-8,a-2 ∪a ，
所以fx ∈a-8,a-2 ∪a ，记B=a-8,a-2 ∪a ，
若对任意的x 2 ∈-1,1 ，存在唯一的x 1 ∈-1,2 ，使得fx 1 =gx 2  
 
  ，
a-8≤0
则A⊆B，所以

，解得e+2<a≤8，
a-2>e
所以实数a的取值范围是e+2,8 ．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

.
9. 下列说法正确的是 ( )
1
A. 若x<1，则函数y=x+ 的最小值为3
x-1
B. 若x+2y=3，则2x+4y的最小值为4 2
2 1
C. 函数 y= + 的最小值为3+2 2
sin2x cos2x

1
D. 若x>0,y>0，且x+2y=2，则xy =
max 2
【答案】BCD
【详解】对于A，∵x<1，∴x-1<0，
1 1 1 ∴y=x+ =x-1+ +1=- 1-x+
x-1 x-1  1-x
 +1≤-  1 2 1-x 
1-
 ×
x
 +1=-1，
1
当且仅当1-x= ，即x=0时，取得最大值-1，故A错误；
1-x
对于B，2x+4y≥2 2x⋅4y=2 2x+2y=4 2，
3 3
当且仅当x= ，y= 时，2x+4y取到最小值为4 2，故B正确；
2 4
2 1 2 1
对于C，y= + = +
sin2x cos2x sin2x cos2x
 sin2x+cos2x 
2cos2x sin2x 2cos2x sin2x
=3+ + ≥3+2 × =3+2 2
sin2x cos2x sin2x cos2x
当且仅当tan2x= 2时，取等号，故C正确；
1
对于D，当x>0,y>0，且x+2y=2时，2=x+2y≥2 x×2y=2 2 xy，∴xy≤ ，
2
1
当且仅当x=2y=1，xy取最大值 ，故D正确.
2

故选：BCD
10. 已知正项等比数列a 的前n项和为S ，若S =6a +1，a =2，则 ( )
n n 3 3 2
1
A. q=
2

 B. 数列a 有最小项
n
D. a +S =8
n n
 
C. 数列a 为递减数列
n
【答案】ACD
【详解】设正项等比数列a n 公比为qq>0 ，
a q=2
对于A，由题意得

1 ，
a +a q+a q2=6a q2+1
1 1 1 1
·4·a =4 a =-5
 1  1
结合q>0，解得
 1
或
 2
(舍去)，故A正确；
q= q=-
2 5
1 n-1
对于B和C，a =4× =23-n，故数列a 为递减数列，无最小项，故B错误，C
n 2 n
 正确；
1 n
4×1-
2
对于D，S =
n



=8-2-n+3，则a +S =23-n+8-23-n=8，故D正确，
1 n n
1-
2
故选：ACD．
x2 y2
11. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的离心率为 5，其左、右焦点分别为F，F，点A在C的右 1 2
支上，直线AF 与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是 ( )
2
B. 存在点A，使得∠FAF =90°
1 2
D. 存在点A，使得点M的横坐标为2  
A. 存在点A，使得直线AF 的斜率为2
2
C. 存在点A，使得OA <AF a
2
【答案】ABD
【详解】设点A(x ,y )，B(x ,y )，F(-c,0)，F(c,0)，
0 0 1 1 1 2
c2 a2+b2 b2 b
由题知离心率 e= = = 1+ = 5，解得 =2，
a2 a2 a2 a
故有b=2a,c= 5a，双曲线C的渐近线为y=±2x，
对于A选项，如果存在点A，使得直线AF 的斜率为2，
2
直线AF 与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误；
2




 
对于B选项：F 1 A=x 0 +c,y 0 ，F 2 A=x 0 -c,y 0 ，若∠F 1 AF 2 =90°，即F 1 A⊥F 2 A，
 
可得FA⋅FA=x2-c2+y2=0，即：x2-5a2+y2=0(①)，
1 2 0 0 0 0
而A(x ,y )位于双曲线右支上，其中x ≥a，
0 0 0
x2 y2 x2 y2
故有： 0 - 0 =1，即： 0 - 0 =1(②)，
a2 b2 a2 4a2
3 5 4 5
联立①②两个等式可得：x 0 = 5 a,y 0 =± 5 a，又F 2 5 
4 5
±
5
a,0 ，此时k = =±2，由选 AF 2 3 5 - 5
5
 
项A可知不合题意，故B选项错误；
对于C选项：由OA <AF ，即： x2+y2< 2 0 0 
c 5a
x 0 -c 2+y2 0 ，化简得：x 0 < 2 = 2 ，由点A在C的
  右支上可知：x ≥a，故存在点A，使得OA <AF ，故C选项正确；
0 2
y y
对于D选项：设M(2a,y )，k =k = M ，k = M ，
M AB MF 2 2a-c OM 2a
b2 y 2
而k ⋅k = =4，带入化简得：k ⋅k = M =4，而 c= 5a，
OM AB a2 AB OM 4a2-2ac
故 y 2=16a2-8ac=16a2-8 5a2<0，可知不存在这样的点M使等式成立，
M
故不存在点A，使得点M的横坐标为2a，故D选项错误.
b2
下面为证明：k ⋅k = ，
OM AB a2
x +x y +y y +y
AB的中点为M，根据中点坐标公式可知M( 0 1 , 0 1 )，故k = 0 1 ，
2 2 OM x +x
0 1
y -y y +y y -y y2-y2
k = 0 1 ，故k ⋅k = 0 1 ⋅ 0 1 = 0 1 ，
AB x -x OM AB x +x x -x x2-x2
0 1 0 1 0 1 0 1
·5·x2 y2
而A(x ,y )，B(x ,y )两点均位于双曲线上，故： 0 - 0 =1 (③)
0 0 1 1 a2 b2
x2 y2 x2-x2 y2-y2
1 - 1 =1(④)，用③减④得： 0 1 - 0 1 =0，
a2 b2 a2 b2
y2-y2 b2 b2
化简得 0 1 = ，故k ⋅k = ，证毕.
x2-x2 a2 OM AB a2
0 1
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
x2
12. 双曲线 -y2=1的一个焦点在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则抛物线的标准方程为
3
．
【答案】y2=8x
x2
【详解】由双曲线 -y2=1，可得a= 3,b=1，则c= a2+b2=2，
3
p
又由抛物线y2=2px(p>0)的准线的方程为x=- ，
2
x2
因为双曲线 -y2=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上，
3
p
所以- =-2，解得p=4，所以抛物线的标准方程为y2=8x.
2
故答案为：y2=8x.
π
13. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 sinA = sinBcosC 且 c = 2 3,A = ，则
6
c+a
= ．
sinC+sinA
【答案】4

【详解】∵三角形内角和A+B+C=π，
∴sinA=sinB+C ，
∵sinA=sinBcosC，
 ∴sinB+C =sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，故cosBsinC=0，
π
∵C是三角形内角，sinC≠0，故cosB=0，则B= ，
2
π π
∵A= ,B= ，
6 2
π π π
∴C=π-A-B=π- - = ，
6 2 3
a c
根据正弦定理得 = =2R，
sinA sinC
∴a=2RsinA,c=2RsinC，
c+a 2RsinC+sinA
∴ =
sinC+sinA
 c 2 3
=2R= = =4．
sinC+sinA sinC 3
2
故答案为：4．
1
14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币(正面向上和反面向上的概率均为 )，当向上的结果出现“正面-
2
反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正
·6·面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为X，若EX <M(M为正整数)，则M  的最小值为
.
【答案】3
【详解】抛掷总次数X∈{2,3,4,⋯,50}
1 i-

2

1 1 1 i-
× +
2 2

1 1 1 i-
× =
2 2

1
P(X=i)= ，其中i=2,3,4,⋯,49，
1
P(X=50)=
2

49 1
+
2

49 1
=
2

48
.
1 1 2 1
所以E(X)=2×  +4×
2 2 2

3 1
+⋯+49×
2

48 1
+50×
2

48
+3×
1 1
E(X)=2× +3
2 2

2 1
×
2


3 1
+⋯+48×
2

48 1

2

49 1

2

49
1 1
相减得 E(X)=1+
2 2

2 1
+
2

+49×
3 1
+⋯+ +51
2

+50×
48 1
× -50
2

49 1
×
2

49
1
=1+
2

2 1
+
2

3 1
+⋯+
2

48 1
+
2

1

49 2
=1+

2 1
-
2

50
3 1
= -
1 2 2
1-
2

49
.
1

2

48
所以E(X)=3- <3，所以正整数M的最小值为3．
故答案为：3.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 2csinAcosB=asinC.
(1)求角B的大小；
(2)若b= 2，c=2，求a.
π
【答案】(1)B= (2)a= 2
4
【解析】
【小问1详解】
已知 2csinAcosB=asinC边角互换得 2sinC⋅sinA⋅cosB=sinA⋅sinC，
因为sinA,sinC>0，
2
则 2cosB=1，即cosB= .
2
又因为B是△ABC的内角，所以0<B<π
π
可得B= .
4
小问2详解】
π
余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，将b= 2，c=2，B= 代入得
4
π
( 2)2=a2+22-2⋅a⋅2⋅cos
4
整理得a2-2 2a+2=0
解得a= 2。
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下
列联表：
效果明显 效果不明显 合计
·7·甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者
中随机抽取4人，设X表示4名患者中效果不明显的人数，求X的分布列和数学期望．
nad-bc
附：χ2=
 2
a+b c+d a+c b+    d 
, n=a+b+c+d．
α 0.1 0.01 0.001
x 2.706 6.635 10.828
α
【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联． (2)分布列见解析，1
【解析】
【小问1详解】
零假设 H ：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
0
20001000×200-200×600 2
χ2=
1200×800×1600×
 125
= ≈20.833>10.828=x ，
400 6 0.001
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
0
【小问2详解】
600
根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取8× =6名，从效果不明显的患者中抽取
800
200
8× =2名，
800
X的取值分别为0，1，2，

C4 3
则PX=0 = 6 =
C4 14
8

C3C1 4
,PX=1 = 6 2 =
C4 7
8

C2C2 3
,PX=2 = 6 2 = ，
C4 14
8
所以X的分布列为
X 0 1 2
3 4 3
P
14 7 14

3 4 3
EX =0× +1× +2× =1．
14 7 14
17. 如图，A B 、AB分别是圆柱O O的上底面，下底面的直径，且A B ⎳AB，C，D分别是圆O上在
1 1 1 1 1
π
AB同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= ，E是线段OC上一点(不含端点).
3
·8·(1)求证：O E⎳平面B BD；
1 1
(2)已知圆柱O O的高为6，表面积为54π，OE=2，求平面O B E与平面BB E夹角的余弦值.
1 1 1 1
8 741
【答案】(1)证明见解析 (2)
247
【解析】
【小问1详解】
证法一：因为C，D分别是圆O上在AB同侧的两点，
π
且∠AOC=∠COD=∠DOB= ,
3
π
所以△DOB是等边三角形，∠BDO= =∠COD，所以BD⎳OC，
3
又OC⊄平面B BD，BD⊂平面B BD，所以OC⎳平面B BD，
1 1 1
因为A B ，AB分别是圆柱O O的上底面，下底面的直径，且A B ⎳AB，
1 1 1 1 1
所以O B ⎳OB，O B =OB，
1 1 1 1
所以四边形OBB O 是平行四边形，所以O O⎳B B，
1 1 1 1
又O O⊄平面B BD，B B⊂平面B BD，所以O O⎳平面B BD，
1 1 1 1 1 1
因为OC⎳平面B BD，O O⎳平面B BD，OC∩O O=O，OC，O O⊂平面OO C，
1 1 1 1 1 1
所以平面OO C⎳平面B BD，又O E⊂平面OO C，所以O E⎳平面B BD，
1 1 1 1 1 1
证法二：如图，在线段BD上取一点F，使得BF=OE，
π
因为C，D分别是圆O上在AB同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= ，
3
π
所以△DOB是等边三角形，∠BDO= =∠COD，所以BD⎳OC，
3
又BF=OE，所以四边形BFEO是平行四边形，EF⎳OB，EF=OB，
因为A B ，AB分别是圆柱O O的上底面，下底面的直径，且A B ⎳AB，
1 1 1 1 1
所以O B ⎳OB，O B =OB，
1 1 1 1
所以EF⎳O B ，EF=O B ，四边形EFB O 是平行四边形，所以O E⎳B F.
1 1 1 1 1 1 1 1
又O E⊄平面B BD，B F⊂平面B BD，所以O E⎳平面B BD；
1 1 1 1 1 1
【小问2详解】
解：在圆O中过点O作OG⊥OB，又OO ⊥平面GOB，OB，OG⊂平面GOB，
1
所以OO ⊥OB，OO ⊥OG，以O为原点，OG，OB，OO 所在直线分别为x轴，
1 1 1
y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
·9·设圆柱O O的底面半径为r，
1
因为圆柱O O的高为6，表面积为54π，
1
所以2πr2+2πr×6=54π，即r2+6r-27=0，
解得r=-9(舍)或r=3，
因为r=3，O O=6，OE=2，
1
   所以B0,3,0 ，O 10,0,6 ，B 10,3,6 ，E 3,-1,0  ，



O 1 B 1 =0,3,0 ，EB 1 =- 3 

,4,6 ，BB 1 =0,0,6  ，

设平面O 1 B 1 E的法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1  ，


则 

m

⋅O 1 B 1 =0 ，即 

3y 1 =0 ，
m⋅EB 1 =0 - 3x 1 +4y 1 +6z 1 =0
令z =1，得x =2 3，y =0，
1 1 1

即m=2 3,0,1 为平面O 1 B 1 E  的一个法向量，

设平面BB 1 E的法向量为n=x 2 ,y 2 ,z 2  ，


则   n  ⋅E  B 1 =0 ，即   - 3x 2 +4y 2 +6z 2 =0 ，
n⋅BB 1 =0 6z 2 =0
令x =4，得y = 3，z =0，
2 2 2

即n=4, 3  ,0 为平面BB E的一个法向量， 1
设平面O B E与平面BB E的夹角为θ，
1 1 1
 
m⋅n
则cosθ=

   m ⋅n 
8 3 8 741
= = ，
13× 19 247
8 741
即平面O B E与平面BB E夹角的余弦值为 ．
1 1 1 247
18. 已知函数f(x)=ex+sinx-ax,a∈R.
(1)若a=2，求f(x)的单调区间；
(2)∀x∈[0,+∞)，f(x)≥cosx成立，求实数a的取值范围；
(3)若a=1,x∈[-2π,+∞)时，y=m与y=f(x)的图象有三个交点，横坐标分别为x ，x ，x (x <
p q r p
x <x )，求证：2x <x +x .
q r q p r
【答案】(1)递减区间为(-∞,0)，递增区间为[0,+∞)
(2)(-∞,2]
(3)证明见解析
【解析】
·10·【小问1详解】
解：当a=2时，可得f(x)=ex+sinx-2x，可得f(x)=ex+cosx-2，
令g(x)=ex+cosx-2，可得g(x)=ex-sinx，
当x<0时，ex<1,cosx≤1，可得g(x)=ex+cosx-2<0，
即f(x)<0，fx  单调递减；
当x≥0时，ex≥1,-sinx≥-1，所以g(x)=ex-sinx>0，gx  单调递增，
则gx ≥g0 =e0+cos0-2=0，即f(x)≥0  ，fx  单调递增，
所以函数fx 的单调递减区间为(-∞,0)，单调递增区间为[0,+∞).
【小问2详解】
解：令hx =f(x)-cosx=ex+sinx-ax-cosx,x∈[0,+∞)，
可得hx =ex+cosx-a+sinx，令mx =hx =ex+cosx-a+sinx




  ，
则mx =ex-sinx+cosx=ex 
π
+ 2cosx+
4
 ，
π π π π π
当0≤x≤ 时，1≤ex≤e4，0≤x+ ≤ ，0≤cosx+
4 4 2 4

2
≤ ，故mx >0
2
 ，
π π π 1 π
当x> 时，ex≥e4 >24 >22 = 2，- 2≤ 2cosx+
4 4
 ≤ 2，故mx >0  ，
所以当x∈[0,+∞)时，可得mx >0，mx 单调递增，即hx 单调递增，h0 =2-a，
当a≤2时，h0 ≥0，则hx ≥h0 ≥0，hx 在x∈[0,+∞)上单调递增，
所以hx ≥h0 =0，所以f(x)≥cosx成立，满足题意；
当a>2时，存在x 0 ∈(0,+∞)，使得hx 0 =0，
当x∈[0,x 0 )时，hx <0，hx 单调递减；
当x∈(x 0 ,+∞)时，hx >0，hx 单调递增，
当x∈0,x 0 时，hx <h0 =0，不满足题意，
综上可得，实数a的取值范围为(-∞,2].
【小问3
















 
详解】
解：当a=1时，




f(x)=ex+sinx-x，可得f(x)=ex+cosx-1，












设f 1x =fx =ex+cosx-1，可得f 1 x =ex-sinx，
设f 2x =f 1 x =ex-sinx，可得f 2 x =ex-cosx，
设f 3x =f 2 x =ex-cosx，可得f 3 x =ex+sinx，
当x∈[-2π,-π)时，ex>0,sinx>0，可得f 3 x =ex+sinx>0，
则f 3x 在x∈[-2π,-π)上单调递增，
因为f 3-2π =e-2π-10,f 3-π =e-π+1 0，
所以存在唯一x 0 ∈(-2π,-π)，使得f 3x 0 =0，
可得f 2x 在(-2π,x 0 )上单调递减，在(x 0 ,-π)上单调递增，
 f 2-2π =e-2π>0,f 2 
3π -3π
- =e 2 2   -10,f 2-π =e-π 0，
所以存在唯一的λ∈  
3π 3π
-2π,- ,μ∈- ,-π ，使得eλ=sinλ,eμ=sinμ，
2 2
 且f 1x 在(-2π,λ)上单调递增，在(λ,μ)上单调递减，在(μ,-π)上单调递增，
 由f 1-2π =e-2π>0，  f 1-π =e-π-2<0，f 1  -
3π
=e
-3
2
π
-1<0， 2
 又由f 1λ =eλ+cosλ-1=sinλ+cosλ-1= 2sin 
π
λ+ -1
4
·11·π
f (μ)=eμ+cosμ-1=sinμ+cosμ-1= 2sinμ+ -1
1 4
 ，
3π 3π π 7π 5π π 5π 3π
因为λ∈-2π,- ，μ∈- ,-π ，可得λ+ ∈- ,- ，μ+ ∈- ,-
2 2 4 4 4 4 4 4
    ，
可得 2sin 
π π
λ+ >1， 2sinμ+ <1，所以f
4 4
 1λ >0,f 1μ <0   ，
3π
则存在唯一x ∈-2π,- ，使得f 1 2  x =0  ，
且fx 在(-2π,x 1 )上单调递增，在(x 1 ,-π)  上单调递减，
当x∈(-π,0)时，ex>0,sinx<0，f 1 (x)>0，则fx 在(-π,0)  上单调递增，
π - - =e 2   π π 2 -1<0，则存在唯一x ∈- ,0 ，使得f 2 2  则f0 =1>0,f x 2 =0
当-π<x<x 2
 ，
时，fx <0，当x 2 <x<0  时，fx >0  ，
当x>0时，ex>1,sinx≤1，可得f(x)>0，
1
fx 在0,+∞   上单调递增，f0 =1>0  ，fx >0  ，
综上可得，函数fx 在(-2π,x 1 )上单调递增，在(x 1 ,x 2 )上单调递减，在(x 2 ,+∞)上单调递增，
要使得y=m与y=f(x)

的图像有三个交点，
3π
则x ∈-2π,- ,x
p 2

3π π
∈- ,- ,x
q 2 2

π
∈- ,+∞
r 2
 ，
f-2π =e-2π+2π,f-π =e-π+π<f-2π ，则x q  
3π
∈- ,-π 2  ，
又因为f0 =1<f-2π ，则x r ∈(0,+∞)，则x p +x r >-2π>2x q ，
所以2x <x +x ，得证
q p r



.
x2 y2
19. 已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左顶点A-2,0 ，一条渐近线方程为y
a2 b2

3
= x.
2
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线x=-1上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点(异
于A，B)，记直线MN与x轴的交点为Q．
①求证：Q为定点；
   
②直线MN交直线x=-1于点D，记QD=λQM，QD=μQN.求证：λ+μ为定值．
x2 y2
【答案】(1) - =1； (2)①证明见解析；②证明见解析.
4 3
【解析】
【小问1详解】
 a=2 x2 y2
由题设 b 3 ⇒a=2，b= 3，则双曲线方程为 - =1．
= 4 3
a 2
·12·【小问2详解】
①设P-1,t ，且A-2,0 ，B2,   0


t
∴AP的直线方程为y=tx+2 ，BP的直线方程为y=- x-2
3
 ．
x
设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2 ，联立直线AP  
2 y2 - =
与双曲线方程有 4 3
tx+2 
 1
 ，
y=
-16t2
化简得3-4t2 x2-16t2x-16t2-12=0，由韦达定理知-2⋅x 1 = 
-12
， 3-4t2
8t2+6 12t 8t2+6 12t
有x = ，代入直线有y = ．则M ,
1 3-4t2 1 3-4t2 3-4t2 3-4t2
 .
4
联立直线BP与双曲线方程，化简有3- t2 +
9

16 16
t2x- t2-12=0，
9 9
- 16 t2-12
9 8t2+54 8t2+54 -36t
由韦达定理知2⋅x = ，有x = ，代入直线有N ,
2 3- 4 t2 2 4t2-27 4t2-27 4t2-27
9
 .

 
8t2+6 12t
设Qm,0 ，QM = -m, ，QN
3-4t2 3-4

8t2+54 -36t
= -m,
4t2-27 4t2-27
 ，
 
8t2+6
由QM ⎳QN 得 -m
3-4t2

t2
-36t 12t 8t2+54
⋅ - ⋅ -m =0
4t2-27 3-4t2 4t2-27
 ，
化简得8t2+18 m+4 =0，可得m=-4，则Q-4,0    ．
②设直线MN方程为x=my-4，则有D 
3
-1, .
m
x=my-4

联立方程组x2 y2 - =1
4 3

24m
y +y =
，化简得3m2-4 y2-24my+36=0，则


1 2 3m2-4
， 36 y ⋅y =
1 2 m2-4
   
3 3
由QD=λQM 知 =λy ，由QD=λQN 知 =μy ，
m 1 m 2
3 1 1
λ+μ= ⋅ +
m y y
1 2

3 y +y 3 24m
= ⋅ 1 2 = ⋅ =2．
m y ⋅y m 36
1 2
·13·