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2025～2026学年高三4月质量检测卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 因为M={2,3,4},N={1.2.3},所以M∩N={2,3},集合M∩N中的元素个数为2.故选B.
z==1+3=(-1+2(1-=1+2i.
2.D 由(1+zi)(1—i)=2i得(1+i)z=-1+3i,所以 .故选D.
3.A 由a⊥b得x+5=0,所以x=-5,a+b=(-4,一6),|a+b|=√16+36=2√13.故选A.
4.A 设{a>的公差为d,由a?+a2=2,a?=5得a?+(a?+d)2=2,a?+3d=5,所以a1=-—,d=Z或a?=
一7,d=4.因为an是整数，所以a?=-7,d=4,S=5u?+524d=5.
.故选A.
cosa=—2,sin a=7
5.D 由2cos 2a—cosa=1得4cos2a—cos a-3=0,又a∈(0,π),所以 ,所以
sin(a+号)= sin a+cosa=7-313
.故选D.
6.B 因为当x∈(-1,0)时，x+1∈(0,1),2f(x)=f(x+1)=(x+1)2,2f(x)-x—1=0,x=-1,y=2f(x)
-x—1的零点为一1,当x<-1时，x+1<0,f(x)≥0,y=2f(x)-x—1没有零点，当0≤x<1时，f(x)=
x2,方程2x2=x+1无解，当n≤xg(1)=-1,当a≥0时，(√x+a)In2x≥0,从而f(x)>-1,与00.h(x)在(0,+∞)上单调递增：b(1+a2)=In (1+42)+4++2√1+=
In(1+a2)+4+21+a3>0.
,取x为—2a与e?'中较小的值时，h(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一
一个零点xa,h(xn)=0,当0x时，h(x)>0,
“=-2,
①若 ,则x?=1,当x>0时，了(x)≥0.f(x)单调递增，所以00,则0f(1)=
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第1页(共6页)】-1,与01,当00,f(x)单调递增，所以0
f()= sin 笞=-1, g()=cos=
错误；因为 ,所以f(x)的图象关于直线 对称，B正确；
cos2=一章，f(否)=sin8=sin2=3>g(笞),
,C错误；由2kπ一π<2x+3<2kπ,k∈Z得kπ一
30,又 sin2A+cos2 A=1,
sin A=15
所以 ……………………………………………………………………………………5分
sinA=4, sin B sinC=4,
(2)法一：在△ABC中， ,由正弦定理得 ………………………………………… 7分
所以b+c=4(sin B+sin C)=4sin B+4sin(A+B)=4sin B+4sinAcosB+4cosAsin B=5sin B+√15cosB
……………………………………………………………………………………………………………·9分
cos o=1
=2√10(1sin B+cos B)=2√10sin(B+0.其中锐角满足
………………… 11分
时，b+c取得最大值2√10,此时 cos B=sinθ=4
当B+θ=2 ,…………………………… 12分
所以b+c的最大值2√10.…………………………………………………………………… 13分
法二：因为a=√15,bc=2(b2+c2-a2)=2(2+c2)-30,
所以(b+c)2=5(2+c2)—60,…………………………………………………………………………… 7分
因为B+c2≥2hc,当且仅当b=c时，取等号，所以2(2+c2)≥(b+c)2,…………………………… 9分
所以(b+c2=5(B+2)-60≥5(b+c)2-60,(b+c)2≤40,…………………11分
所以b+c≤2√10,b=c时，b+c的最大值为2√10.………………………………………………… 13分
16.解：(1)因为服用A类药物的10名患者中，有7人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在
P?=10
正常范围内的概率为 ,…………………………………………………………………………2分
因为服用B类药物的10名患者中，有8人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范
P?=8=亏，,…………………………………………………………………………… 4分
围内的概率为
因为服用C类药物的10名患者中，有9人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范
P=10·
围内的概率为 ……………………………………………………………………………… 6分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第3页(共6页)】(2)因为5名患者中，3人生理指标在正常范围内，2人生理指标不在正常范围内，所以X的可能取值为0,
1,2……………………………………………………………………………………………………………7分
P(X=0)=C=30……………………………………………………………………………………9分
P(X=1)=C=3,………………………………………………………………………………11分
P(X=2)=C=1…………………………………………………………………………………13分
所以X的分布列为：
X 0 1 2
30 35 1
P
E(X)=0×3+1×3+2×÷=亏…………………………………………………………………15分
故
17.(1)证明：因为E为AD的中点，AD=2,所以AE=DE=1,
因为BC=CD=1.AD⊥CD,BC⊥CD,所以四边形BCDE是正方形，所以BE⊥AD……………………2分
因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以BE⊥PA,
因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以BE⊥平面PAD……………………………………………3分
(2)解：如图，在平面ABCD中，过点A作AD的垂线为x轴，以A为坐标原点，向量2个p
AD,AP方向分别为y、≈轴建立空间直角坐标系.
则P(0,0,2),E(0,1,0),B(1,1,0),C(1,2,0)……………………………………4分
E
设平面PBE的法向量为m=(x,y,z),EB=(1,0,0),EP=(0,-1,2), A y
D
PC=(1,2,-2),……………………………………………………………5分xb
B ?
声m--+2-.
有 取z=1,得m=(0,2,1)………………………………………………………7分
设直线 PC与平面PBE所成的角为0则sin o—1cos1m一
…………………9分
(3)解：在(2)的空间直角坐标系中，A(0,0,0),AP=(0,0,2),AB=(1.1,0)………………………………10分
设平面PAB的法向量为n=(a,b,c),
:-=4-一=
则 取a=1,得n=(1,—1,0)………………………………………………………12分
cos(m:n>=-mn--可
………………………………………………………………………14分
√1-号=5.
故平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值为 …………………………………15分
18.解：(1)由题意知C?的右焦点是F(1,0),由对称性知Ci的左焦点是F?(一1,0),则|BF|+|BF?|=2ai·
……………………………………………………………………………………………………………1分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第4页(共6页)】B(2,2√5)),所以|BF I=√?+专=75,IBFI=√1+4=355.
因为
2a?=755+35=2√5,a=√5,…………………………2分
所以
+星=1;
又a2—b=1,所以b=4,C?的方程为 …………………………………………………… 3分
+-1.
4+46=1,
由题意知a2=2,又( (1.2) 在C?上，所以 ,所以 6=号， ,所以C?的方程为
…………………………………………………………………………………………………………… 5分
(2)(i)当k=0,M为C?长轴端点，则N为C?短轴的端点，|MN|=√4+4=2√2,………………… 6分
0M.y-kr.与+长-1联立·
当k≠0时，设直线
解得2=6k2+52=620+5,|OMI2=x2+y2=26k2+52,,……………………………………… 7分
y=-方x,与亏+4=1联立，
因为OM⊥ON,所以直线ON的方程为
2=420+52=4k2+5,ION2=x2+y2=204k2+5
解得 ,……………………………………………·8分
所以|MNI2=|0MI2+1ONI2=(62°+5(4k2+5,,……………………………………………………9分
因为IMNI2-(2√22=(620+5)4R2+5)-8=(6+542+5>0,
,所以|MNI>2√2,………… 10分
所以当k=0时，|MN|取得最小值，|MN|的最小值为2√2.……………………………………………·11分
(ii)过原点O作OD⊥MN,垂足为D,OD是Rt△MON的斜边上的高，|MN||OD|=|OM||ON|,
当k=0时，|OM|=|ON|=2,|MN|=2√2,所以|OD|=√2,……………………………………… 13分
当k≠0时，由(1)知IOMI IoNI=√2O61+5).206+5=√(6E+5)-+4K8+5·
又IMNI=√620+5)(4R2+5,所以IOD|=1OMION=√2,
……………………………………… 15分
所以k变化时，点O到直线MN的距离都是√2,…………………………………………………… 16分
所以存在圆x2+y2=2与直线MN相切.……………………………………………………… 17分
19.解：(1)f(x)的定义域为R.了'(x)=e+a(x+a)e=(ax+a2+1)e”,………………………………1分
当a>0时，由f'(x)>0得>-a-—,f(x)在(-a-一，+∞)上单调递增，………………………2分
-a-≤-2,·
因为a>0时，a+1≥2,当且仅当a=1时取等号，所以 ………………………………… 3分
所以(-2,2)是(-a-一，+∞)的一个子区间，所以f(x)在(-2,2)上单调递增；…………… 4分
当a=0时，f(x)=x在(-2,2)上单调递增；…………………………………………………………·5分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第5页(共6页)】当a<0时，由f(x)>0得x<-a-—,,所以f(x)在(-∞,-a-!)」
上单调递增，……………… 6分
.一a>0.-a-1≥2,当且仅当-a=-—a=-1
因为a<0时， 时，取等号，
(-∞,-u-!)
所以(-2,2)是 的一个子区间，所以f(x)在(-2,2)上单调递增.………………… 7分
综上，对于任意实数a,f(x)在(—2,2)上单调递增.……………………………………………………… 8分
(2)(i)因为一2是f(x)的一个极值点，所以了(—2)=(-2a+a2+1)c?2=0,所以a=1,………… 9分
所以g(x)=(r—b)2f(x)=(x—b)2(x+1)e,
g(x)的定义域为R,g'(x)=2(x—b)(x+1)e+(x—b)2(x+2)e=(x—b)(x2+4x—bx+2-2b)e,
………………………………………………………………………………………………… 10分
g(0)=B,g'(0)=2b-2b,所以曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y-B2=(262-2b)x,
即(262—2b)r-y+b2=0.………………………………………………………………………·11分
(ii)方程x2+4x—br+2—2b=0,
b-4-、√B2+8,b-4+、√B+8,
即x2+(4-b)x+2(1—b)=0的两个实数根为
所以g'(x)=0的3个根为b.-4-2B+8,b-4+2√B+8,
因为g(x)有3个极值点，所以上述3个根互不相等，从而b≠-1,
z=b-4-√6+8.=b-4+√B+8.,=b.
将x?,r?,x?经过一定排列后成等比数列，则x?r?=x或xx=或r?x?=x2.…………………… 13分
当x?r2=x经时，(b-4)2—(2+8=B,B2+2b-2=0,b=-1±√3.x,xr?成等比数列；………14分
.(b-4-2B+8b=(h-4+√B+8).
当x?xs=r时，
所以(2—b)√B2+8=6,(2—b)2(b2+8)=36,令h(x)=(2—x)2(x2+8),则h'(x)=2(x—2)(x2+8)+
2.r(r—2)2=2(r—2)(2x2-2x+8),
当x<2时，h'(r)<0,h(x)在(-∞,2)上单调递减，
h()=(2-去)2(1+8)<36,h(一去)=(2+÷)2(4+8)>36,又b∈(-∞,一—)U
因为
(÷.3).
,所以满足条件的b不存在；…………………………………………………………………… 15分
(b-4+、B+8b=(2-4-26+8).(b-2)√G+8=6.
当r?xs=xi时，
由h(x)在(2,+∞)上单调递增，b(3)=17<36,又b∈(-∞,一2)u(2,3),,所以满足条件的b不存在.
………………………………………………………………………………………………… 16分
综上，b=-1±√3. ………………………………………………………………………………………… 17分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第6页(共6页)】
