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陕西省西安中学高 2026 届高三第三次模拟考试
数学试题
（时长：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 集合 ， ，则满足条件的集合 的个数（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 设向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 与 的夹角为 D. 在 方向上的投影为
4. 已知 且 ，若函数 的值域为 ，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是 右支上一点，
．若点 到直线 的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.6. 已知 ，则 ， ， 的大小关系不可能为（ ）
.
A B. C. D.
7. 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 在边 上，且 ， ，
， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 函数f(x)是定义在 上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x，x∈(－∞，0)，且x≠x，都有
1 2 1 2
成立，则不等式f(x)<0的解集为（ ）
A. (－∞，－1)∪(1，＋∞) B. (－1，0)∪(0，1)
C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－1，0)∪(1，＋∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
的
9. 下列说法正确 有（ ）
.
A 对任意实数 都有
B. 若 ，则
C. 当 时， 的最小值是2
D. 若 ，则
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A. 当 时， 图象的对称轴方程为
B. 当 时，将 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 为偶函数
C. 若函数 的图象在 上恰有三条对称轴，则
D. 若函数 在 上单调递增，则 或
11. 如果称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ）
A. 若 是“黄金椭圆”，则
B. 若点A在以 ， 为焦点的“黄金椭圆”上，且 ，则 的周长为
C. 若 是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则
D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，
PB的斜率分别为 ， ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
13. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ，则球
的表面积是________．
14. 宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红､黄､白､黑 4个形状､大小相同的小球，规定
每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若
两次摸到的小球记录的得分的总分为 7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为
__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数
是数列 的“生成函数”，且 .
（1）求 ；
（2）求 .
16. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 且与 轴垂直的直线交 于 两点，且
.
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点（异于 两点），且 ， 位于 轴同一侧，直线
与直线 相交于点 ，证明：点 在定直线上.
17. 已知在三棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面 ，
， 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ．
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
（3）求点 到平面 的距离．18. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不
良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关
时间，如下表：
关卡 1 2 3 4 5 6
平均过关时间 （单位：
50 78 124 121 137 352
秒）
计算得到一些统计量的值为： ， ，其中， ．
（1）若用模型 拟合 与 的关系，根据提供的数据，求出 关于 的经验回归方程；
（2）甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为 ，且每局比赛相互独立，记甲恰
好获胜3次的概率为 ，求 的最大值，并求出相应的概率 ．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为 ， ．
19. 已知函数 ， .
（1）若 是 的极小值点，求 的取值范围；
（2）若直线 与曲线 的三个交点分别为 ， ，
，且 ， .记 在 ， 两点处切线的斜率分别为 ， ，若
，求 的值；
