文档内容
陕西省西安中学高 2026 届高三第三次模拟考试
数学试题
（时长：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 集合 ， ，则满足条件的集合 的个数（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分析可得集合 中必须有4、5、6这三个元素，而1，2，3这三个元素可能含有，即
的个数等价于集合 子集的个数，由集合的子集与元素个数的关系，分析可得答案．
【详解】根据题意，满足题意条件的集合 中必须有4、5、6这三个元素，
而1，2，3这三个元素可能含有，
则 的个数等价于集合 子集的个数，
集合 有3个元素，有 个子集；
故选：C.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设结合同角三角函数的基本关系可得 或 ，再结合齐次式求解即可.
【详解】由题意得 ，且 ，可得 ，解得 或 ，
则 ，
当 时， ；
当 时， .
综上所述， .
故选：A
3. 设向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 与 的夹角为 D. 在 方向上的投影为
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可.
【详解】A. ，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；
B. ，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；
C. ， ，所以夹角为 ，正确；D. 在 方向上的投影为 ，故错误.
故选：C
【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基
础题.
4. 已知 且 ，若函数 的值域为 ，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解.
【详解】若 ，则 在单调递减，即 ， ，
当 时， 的最大值为 ，又因为 ，此时两部分值域的并集不为
，不符合题意；
若 ，当 时， ， ，当 时， 的最大值为 ，
只需 的最大值大于等于2，
所以 ，解得 .
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是 右支上一点，
．若点 到直线 的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B【解析】
【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率.
【详解】
如图所示，由已知得 ，且 ， ，
则
又由双曲线定义可知 ，即 ，而 ，
可得 ，即 ，解得 （舍）或 ，
所以离心率 ，
故选：B.
6. 已知 ，则 ， ， 的大小关系不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数图象直接画图求解即可.
【详解】设 ，
则 分别为 与 图象交点的横坐标，
当 时，如下图所示，此时 ，故B情况可能出现；当 时，且 位于 和 交点上方时，
如下图所示，此时 ，故C情况可能出现；
当 时，且 位于 和 交点下方时，
如下图所示，此时 ，故D情况可能出现.
所以不可能出现 .
故选：A
7. 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 在边 上，且 ， ，
， ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出 的值，根据平面向量的线性表示求出 ，再
利用模长和三角形的面积公式，计算求值.
【详解】解： 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），∴ 的面积为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量基本定理应用问题，属于基础题.
8. 函数f(x)是定义在 上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x，x∈(－∞，0)，且x≠x，都有
1 2 1 2
成立，则不等式f(x)<0的解集为（ ）
A. (－∞，－1)∪(1，＋∞) B. (－1，0)∪(0，1)
C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－1，0)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】
【分析】由 想到构造函数F(x)＝xf(x)，可证 为偶函数且在 上为减函
数，结合偶函数的对称性解不等式即可求解.
【详解】令F(x)＝xf(x)，因为函数f(x)是定义在 上的奇函数，
所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，
所以F(x)是偶函数，因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，则F(1)＝0，
为
因 对任意x，x∈(－∞，0)，且x>x 时，
1 2 1 2
，
所以 在(－∞，0)上单调递减，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，等价于 或 ，
解得 或 ，
所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
故选：C
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，构造函数是解题的关键，属于中档题
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 对任意实数 都有
B. 若 ，则
C. 当 时， 的最小值是2
D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据绝对值的概念可判断A的真假；利用不等式的基本性质可判断B的真假；利用基本不等式可
判断C的真假；根据特称量词命题否定是全称量词命题可判断D的真假.
【详解】对于A：绝对值大于等于0恒成立，故A正确；
对于 B：由 ，由同向不等式可加性有 ，即
，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以C错误；
对于D：由特称量词命题的否定是全称量词命题，所以 得 ，故
D错误.故选：AB
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 图象的对称轴方程为
B. 当 时，将 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 为偶函数
C. 若函数 的图象在 上恰有三条对称轴，则
D. 若函数 在 上单调递增，则 或
【答案】BCD
【解析】
【分析】当 时， ，直接利用三角函数的性质求得对称轴验证A错误，利用函
数变换得到 为偶函数则B正确，利用函数的性质求得函数 的对称轴
和单调递增区间验证C、D即可求解.
【详解】当 时， ，令 ,
得到 图象的对称轴方程为 ，故A错误；
将 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，
则 为偶函数，故B正确；
函数 的对称轴满足 ，解得 ，
因为函数 的图象在 上恰有三条对称轴，即存在三个 值使得 ，
时， ， 时， ，
所以 ，解得 ，故C正确，
函数 的单调递增区间满足 ，
解得 ，
函数 在 上单调递增，
当 时，递增区间为 ，所以 即 ，
因为 ，所以 .
当 时，递增区间为 ，
所以 ，解得 ，
综上所述，函数 在 上单调递增，则 或 ，故D正确；
故选：BCD.11. 如果称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ）
A. 若 是“黄金椭圆”，则
B. 若点A在以 ， 为焦点的“黄金椭圆”上，且 ，则 的周长为
C. 若 是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则
D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，
PB的斜率分别为 ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】先判断焦点所在轴，再求m判断选项A；以椭圆定义巧求 的周长判断选项B；以勾股定
理判断选项C；直接去求 的值去判断选项D.
【详解】A中没有指明焦点在x轴还是y轴，应该有两个值，所以A不正确；
B中，由题意 ，则 ，所以 ，则 的周长为
，所以B正确；
C中，由题意可得 ， ， ，要使椭圆为“黄金
椭圆”，则 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以C正确；
D中，由题意可得 ， ，设 ，
则 ，
因为P在椭圆上 ，所以 ，所以 ，
因为“黄金椭圆”上动点P，所以 ，
所以 ，而 ，
所以 ，即 ，所以 ，可得D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
【答案】-2
【解析】
【详解】 为实数，
则 .
【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需
把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数 ，
当 时， 为虚数，
当 时， 为实数，
当 时， 为纯虚数.
13. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ，则球
的表面积是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出 的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半
径即得答案.
【详解】在 中， ，则 ， ，
由正弦定理得 外接圆半径 ，设球半径为 ，
于是 ，解得 ，所以球的表面积是 .
故答案为：
14. 宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红､黄､白､黑4个形状､大小相同的小球，规定
每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若
两次摸到的小球记录的得分的总分为7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得出总的取法的个数，再分类讨论求出满足条件的取法的个数，利用古典概型求解即可.
【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，则每次摸球的情况有 种，
所以先后两次任意摸取小球共有 种情况.
两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且总分为7分的情况有：
第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有 种；
第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有 种；
第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有 种；
第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有 种.
因为每次摸到球的各种不同情况等可能，所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，
且总分为7分的概率为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数
是数列 的“生成函数”，且 .
（1）求 ；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“生成函数”的定义，利用退一作差法求得 .（2）利用错位相减求和法求得
【小问1详解】
因为 且 ，
所以 ①，
当 可得 ，
当 时 ②，
①-②得 ，
显然当 时上式也成立，
所以 .
【小问2详解】
由题得 ，
，
则（1）-（2）得：
，
所以 .
16. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 且与 轴垂直的直线交 于 两点，且
.（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点（异于 两点），且 ， 位于 轴同一侧，直线
与直线 相交于点 ，证明：点 在定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件先找出直线 的方程，联立直线和抛物线方程解出 ，从而得出 的值
建立方程求出 的值即可；
（2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线 ，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达
定理，分别求出直线 的方程，联立两直线方程分析即可得出结论.
【小问1详解】
如图所示：
抛物线 的焦点 ，则直线 ，
由 得 ，
依题意 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
由抛物线对称性，不妨令点 在 轴上方，
由（1）知， ，焦点 ，
显然直线 不垂直于坐标轴，
设其方程为 ，如图所示：
由 消去 得： ，
因为 ，
设 ， ，所以 ，
直线 的斜率为: ，方程为 ，
直线 的斜率为: ，方程为 ，
由 ，消去 得： ，整理得：
，
因此点 的横坐标恒为 ，
所以点 在定直线 上.
17. 已知在三棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面 ，
， 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ．
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析.
（2）
（3）
【解析】【分析】（1）由 可得 为 的中点，由中点可得中位线，再由线面平行的判定定理证明即
可.
（2）证明 为直角三角形，得到 的长度，在 上取一点 ，使得 ,证明三线互相垂
直，建立空间直角坐标系，求解平面 与平面 的法向量，在求解平面夹角的余弦值即可.
（3）由点到平面的空间向量求解公式求解即可.
【小问1详解】
因为 ， ， 分别为 ， 的中点，所以 为 的中点，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
在平面 内作 交 于点 ，由 分别为 的中点， 为等边三角形，
得 ，由平面 平面 ，平面 平面 ，
得 平面 ， 平面 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，由 ，得 ，而 ，
所以 ， ， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
为
所以以点 原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，所以 ， ，所以 ，
平面 的法向量为 ，因为平面 与平面 夹角为钝角，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
因为平面 的法向量为 ， ，
所以点 到平面 的距离为
18. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不
良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关
时间，如下表：
关卡 1 2 3 4 5 6
平均过关时间 （单位：
50 78 124 121 137 352
秒）
计算得到一些统计量的值为： ， ，其中， ．
（1）若用模型 拟合 与 的关系，根据提供的数据，求出 关于 的经验回归方程；
（2）甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为 ，且每局比赛相互独立，记甲恰
好获胜3次的概率为 ，求 的最大值，并求出相应的概率 ．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）先对 两边分别取对数得到 ，再根据题目中的数据代入公式去求即
可；
（2）依题意 ，利用导数求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
因为 两边取对数可得 ，即 ，
令 ，所以 ，由 ，
， .
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ，所以 .
所以 关于 的经验回归方程为 .
【小问2详解】
甲每局比赛获胜的概率为 ，则甲每局比赛失败的概率为 ，依题意可得 ，
则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，此时 ；
19. 已知函数 ， .
（1）若 是 的极小值点，求 的取值范围；
（2）若直线 与曲线 的三个交点分别为 ， ，
，且 ， .记 在 ， 两点处切线的斜率分别为 ， ，若
，求 的值；
（3）若 当且仅当 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）就 、 和 分类讨论后可得函数的单调性；（2）利用因式分解可得 有两个不等的实数根，结合实数根的性质可求得根及
的范围，再结合斜率比值可求 的值；
（3）利用特值探路可得 ，再结合放缩法及虚设零点，利用导数证明前者为充分条件后可得参数
的范围.
【小问1详解】
，
令 得 或 ，
①当 ，即 时，列表得：
2
0 0
极大值 极小值
所以 是 的极大值点，不符合题意.
②当 ，即 时， 恒成立，无极值点，不符合题意.
③当 ，即 时，列表得：
2
0 0
极大值 极小值
所以 是 的极小值点，符合题意.综上可知， 的取值范围是 .
【小问2详解】
由 得 或 ，
设 ，则 ，所以 有两不等实根.
所以 ， ， ，
又因为 ，所以 ， ，
则 ，且 ，故 ，
且 ，而 ，
所以 ， ，
则 ，解之得 或8（舍去）.
【小问3详解】
因为 当且仅当 ，所以 ，则
因为 ，当 时， ，不符合题意；
当 时，
①当 时， ，
记 ， ，
若 ， ，则 单调递增，所以 .若 ，令 ， ，
令 ， ，易得 单调递增，
所以 ，即 ，
则 使 ，列表得：
0
极小值
因为 ， ，所以 使 ，列表得
0
极小值
又因 为， ， 使 ，列表得
0
极大值
又 ， ，所以 ，则当 时， .
②当 时，
，
设 ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增，故 即 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
在 上为减函数，故 ， ，
故 在 上存在一个零点 ，使得 ，
且当 时， ， 时， ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，
而 ， ，故存在 ，使得 ，
且当 时， ， 时， ，
故 在 上为减函数，在 为增函数，
而 ，故存在 ，使得 ，
且当 时， ， 时， ，
故 在 上为减函数，在 为增函数，
而 ，故 在 上恒成立.
综上，当 时， 即 ，
